phương pháp tính nguyễn quốc lân c2 hệ phương trình tuyến tính ax=b sinhvienzone com

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK om - C PHƯƠNG PHÁP TÍNH – BG SINH VIÊN Zo ne CHƯƠNG nh Vi en HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Si Ax = b SinhVienZone.com TS NGUYỄN QUỐC LÂN (2/2006) https://fb.com/sinhvienzonevn NOÄI DUNG om A- CÁC PHƯƠNG PHÁP CHÍNH XÁC C 1- PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS (PHẦN TỬ TRỤ) ne 2- PHÂN TÍCH NHÂN TỬ A = LU nh Vi en Zo 3- PHÂN TÍCH CHOLESKY B- CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP 1- LẶP JACOBI Si 2- LẶP GAUSS - SEIDEL C- SỐ ĐIỀU KIỆN – HỆ ĐIỀU KIỆN XẤU SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn TỔNG QUAN - Si Đơn giản: Hệ tam giác    ,    C  b1  b2  b    bn ne  Zo a1n   a 22  a2n  ,    an2  a nn  a 12 nh Vi en  a 11  a 21  A      a n1 om Hệ n phương trình bậc (tuyến tính), n ẩn  Dạng Ax = b:  a 11  A       x1  x2  x     xn     x  x n    a1n   a 22  a2n     a nn  a 12  T   Giaûi lùi Hàng i: hi = [ai1 ai2 … ain]T Biến đổi sơ cấp hàng hi  hi + khj: Nhân hj với k cộng xuống hi (chỉ hi thay đổi) SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS m 21  m 31  C ne Xây dựng ma trận mở rộng Zo   14 8 30 Si 2  A  A | b    2       SinhVienZone.com 1   14  nh Vi en VD: Giải hệ  x1  x  x    x  x  14 x    x  x  30 x  14 om Giải thuật: Biến đổi sơ cấp hàng  A:   Giải lùi   14 8 30 Khử cột với hệ số khử m1j m1 j  a1 j Tổng quát : m ij  a 11  h  h  3h 2    h  h  h1 14  2     1  24 https://fb.com/sinhvienzonevn a ij a ii 1   12  GIẢI LÙI & PHẦN TỬ TRUÏ 1  24 1 h3  h3  h    12  2     om 1 ne    1 1    Zo 2    m 32  C Khử cột với hệ số khử: nh Vi en Giải lùi với hệ tam giác thu được: Si  x1  x  x    x2  x3    x3     x3  4  2    x    x       x         x  1  x  x   Điều kiện: Khử cột 1: a11(1)  & Khử cột 2: a22(2)  & Giải lùi: a33(3)   Phần tử trụ (pivot) akk  SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn KHỬ GAUSS VỚI LỆNH MAPLE - > with(linalg); # Khởi động gói lệnh Đại số tuyến tính om > A := matrix(2,3,[2, 3, 4, 1, 2, 3]); # Nhập ma trận C > m21 := A[2,1]/A[1,1]; # Tính hệ số khử ne > A := addrow(A,1,2,–m21) ; # Cộng hàng h2  h2 – m21h1 Zo > A := swaprow(A,1,2) ; # Nếu cần thiết, đổi hàng h2  h1 nh Vi en > x := backsup(A) ; # Hệ dạng tam giác trên: Giải lùi > AA := gausselim(A); # Lệnh gộp khử Gauss toàn ma traän  x1   x1  x1   x  Si VD: Giải hệ SinhVienZone.com  x2  x3  x4  8  x  x  x   20  x2   x2  x3  x4  x3  2 https://fb.com/sinhvienzonevn KHỬ GAUSS VỚI MA TRẬN “LẺ”: PIVOT ĐƠN VỊ SinhVienZone.com   08 nh Vi en 08  608   152   168  116 264    152    168   08 116  Zo  Si  08     A b      ne C Gauss, laøm tròn chữ số lẻ)  08 x  x    x  08 x  x   x  08 x  x    x  08 x  om VD: Giải hệ với phép khử  1 006  636   y   593   736 https://fb.com/sinhvienzonevn       THỰC TẾ TÍNH TOÁN: VẤN ĐỀ LÀM TRÒN SỐ C Nghiệm xác: [10, 1]T ne  003 x  59 14 x  59 17 (E )   291 x  130 x  46 78 (E ) om VD: Giải hệ máy tính với phép làm tròn chữ có nghóa  , 234567  10  , 235  10 nh Vi en 12 , 34567 Zo Quy tắc làm tròn máy tính: Làm tròn chữ số có nghóa Trụ khử: a11 = 0.003   m 21   12 , 35 a 21  1763 , 67  1764 a 11 Si Biến đổi cột một: (E2)  (E2) – m21(E1)  003 x  59 14 x  59 17   104300 x   104400  SinhVienZone.com   x  001 : Taïi ???   x   10 https://fb.com/sinhvienzonevn PHÂN TÍCH NHÂN TỬ (MATRIX FACTORIZATIONS) L Heä Ax = b  (LU)x = b  ne C *   *  *  *   Zo * * *  * *   0 *  0 0     nh Vi en 1 0    * 0  A   * *    * * *         om Ma trận vuông A phân tích thành dạng LU   Ux  y   Ly  b 1  2  : hệ tam giác U Si Giải hệ đầu  Giải hệ : Ly = b (2) tìm y; Ux = y (1) tìm x Nhaân A x Nhaân U SinhVienZone.com y Nhaân L https://fb.com/sinhvienzonevn b VÍ DỤ    2    1     5    12   0 C   ne Zo     A     om Giả sử ma trận A phân tích thành dạng LU sau:  3   0   0    0    1 1 0 1   1   1 nh Vi en Sử dụng phân tích LU giải hệ Ax = b = [–9 11]T Giải Ux = y tìm x Si Giải Ly = b tìm y SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP LẶP om Chương 1: Phương pháp lặp đơn với phương trình f(x) = x n 1    x n  ne C x   (x) f (x)       (x)   ( y)  q x  y :  'x   q  Zo Heä Ax = b  x = Tx + c = (x), T: ma trận, c: vectơ Đkiện: nh Vi en (x) – (y) qx – y  Dãy lặp: x(n+1) = Tx(n) + c Chuẩn vectơ, ma traän: x = [x1, x2 … xn]T  Rn, A = [aij ]   xi   Si x  max 1 i  n A n x   i 1 SinhVienZone.com   n   max   a ij  1 i  n  j 1     max   a ij  1 j  n  i 1  n xi  A https://fb.com/sinhvienzonevn VÍ DỤ   C    A      ne  1  x   x        x    om  Tính chuẩn vectơ ma traän   A      A     12  13 Zo  Vectơ số hai vectơ sau xấp xỉ tốt theo 1       2        , x           Si x nh Vi en chuẩn , chuẩn nghiệm hệ phương trình  x1  x  x    x1  x  x     x1  x  x   2    x x    1   x x Tch chuẩn vectơ, chuẩn ma trận: Chuẩn tích  tích chuẩn Ax  A  x SinhVienZone.com   x    y   T x  y   T  x  y : T  https://fb.com/sinhvienzonevn LAËP JACOBI  10 x  x  x     x  10 x  x     x1  x  x   om Với vectơ x(0) = [0, 0, 0]T, tìm vectơ nghiệm xấp xỉ x(k) phép lặp ne C Jacobi với hệ sau Dừng: x(k) Zo “giống” x(k-1) (khoảng 0.3) So với nghiệm  = [0.5, 1, -0.5]T nh Vi en 1/ Ruùt x đường chéo  Đưa dạng x = Tx + c Si  x   x2  x3    x  x  75  10 10 10   x1  x3   x1  x   x2  10 10 10  2  x  x1  x   125 x  25 x  3125  8  SinhVienZone.com  x = Tx + c https://fb.com/sinhvienzonevn CÔNG THỨC LAËP JACOBI  10   , 10      ne C T 75   3   max  ,    1, c    10  10   3125      x   x  x  75  75  (1 ) (0) (0) x  x  x     (1 ) (0) (0) x  125 x  25 x  3125   3125  ( k 1) (k ) (k )  x1   x  x  75  (k+1) x :  x 2( k  )  x 1( k )  x 3( k )   ( k 1) (k ) (k ) x3  125 x  25 x  3125   (0) (0) nh Vi en Zo (1 ) 2/ Từ x(0) tính x(1): om 0  10  T  3 10  1   8 Si Tổng quát: x(k)  Sai số: Như lặp đơn với q = ||T||: SinhVienZone.com x k   x*   q 1 q https://fb.com/sinhvienzonevn x 1   x 0   LẶP JACOBI KHÔNG BIẾN ĐỔI MA TRAÄN A ( k 1)  10 x   x  x   ( k 1) (k ) (k ) 10 x  x  x    ( k 1) (k ) (k ) x  x  x   (k )  SinhVienZone.com om C : Giữ đ/chéo vế trái ( x(k+1)) ; Chuyển số hạng lại sang vế phải ( x(k)) : Thay x(k) vào số hạng (k )  đường chéo   Xem x(k+1) ẩn Giảix(k+1) ( k 1)  x3 (k )  x3  x2   x3  10 x   x  x   10 x    x3   10 x  x    x  x1  x (k ) (k ) x2 Si ( k 1)  10 x  (k )  x   (k )  x  nh Vi en Zo (k ) Đ / chéo ne Heä Ax = b:  10 x  x  x     x  10 x  x     x1  x  x   ( k 1) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍNH TOÁN & KẾT QUẢ LAËP JACOBI -  ( k 1)  x  x  x   10  (k ) (k ) x1  x   ( k 1)   x2 10  (k ) (k )  ( k 1) x1  x    x3  ne (k ) (k ) om (k ) x1(k) 0.0 0.75 x2(k) 0.0 0.9 x3(k) 0.0 –0.3125 Zo k nh Vi en (k ) ( k 1)  10 x   x  x   ( k 1) (k ) (k ) :  10 x  x1  x   ( k 1) (k ) (k ) x  x  x   C  10 x  x  x   Heä :   x  10 x  x   Laëp Jacobi    x1  x  x   x(k)-x(k-1) 0.9 Si Ưu điểm Lặp Jacobi: Giải hệ “thưa” (chứa nhiều số 0) ĐK đủ : T  1 M/trận đ/c trội nghiêm ngặt: n a ii   j 1, j  i SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn a ij  i LAËP GAUSS – SEIDEL om Tương tự lặp Jacobi với thông tin cập nhật hoá  ( k 1)  x  x    x1 10  (k ) (k ) x1  x   ( k 1)   x2 10  (k ) (k )  ( k 1) x1  x    x3  Seidel ne Dùng x(k) để tính giá trị x(k+1) (k ) Si  Zo  ( k 1)  x  x    x1 10  ( k 1) (k ) x1  x3   ( k 1)   x2 10  ( k 1) ( k 1)  ( k 1) x1  x2    x3  SinhVienZone.com (k ) Gauss nh Vi en  10 x  x  x  Laëp   Heä :   x  10 x  x  Jacobi    x1  x  x   (k ) C (k )  x1 (mới): dùng x2 (cũ), x3 (cũ)  x2 (mới): dùng x1 (mới), x3 (cũ)  x3 (mới): dùng x1 (mới), x2 (mới) https://fb.com/sinhvienzonevn LẶP GAUSS – SEIDEL: SƠ ĐỒ TÁCH MA TRẬN - ( k 1)  10 x  3 x2  ( k 1) ( k 1)  10 x    x1  ( k 1) ( k 1) ( k 1)  x  x  x   (k )  (k )   x3 x3 ne C (k )  Si nh Vi en Zo  10 x  x  x     x  10 x  x      x1  x  x   om Trình bày dạng khác: Xem x(k+1) ẩn chuyển sang vế trái x 0  k   b k  k  k 1 Giải hệ  x k 1 Gauss - Seidel: Biết x(k)  Tính vế phải b(k)  Giải hệ x(k+1) SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn LẶP GAUSS – SEIDEL: VÍ DỤ TÁCH MA TRẬN ( k 1)  10 x  3 x2  ( k 1) ( k 1)  x  10 x    ( k 1) ( k 1) ( k 1)  x  x  x   om Xét ví dụ lặp Gauss – Seidel, x(0) = [0, 0, 0]T Công thức lặp: (k )  x3 (k ) x3 x nh Vi en k Zo ne C (k ) 0.0 x2(k) 0.0 x3(k) 0.0 x(k)-x(k-1) x b x Si x1(k) b    k    b     Phép lặp  Thay hệ Ax = b giải liên tiếp nhiều hệ  SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn b TỔNG KẾT LẶP JACOBI & GAUSS – SEIDEL C om  10 x  x  x     x  10 x  x     x1  x  x   ( k 1) nh Vi en  x  x   10 x    x3   10 x  x    x  x1  x Si Laëp Jacobi Zo ne x = Tx + c  10 x   x  x   ( k 1) (k ) (k ) 10 x  x  x    ( k 1) (k ) (k ) x  x  x   (k ) SinhVienZone.com (k ) ( k 1) Laëp Gauss– Seidel  10 x   x  x   ( k 1) ( k 1) (k ) 10 x  x  x    ( k 1) ( k 1) ( k 1) x  x  x    (k ) https://fb.com/sinhvienzonevn (k ) HỆ PHƯƠNG TRÌNH BỊ NHIỄU - Minh hoạ: Giải hệ phương trình nhận xét om Hệ “gần” nhau, nghieäm x  y    x  y  ne C “xa” nhau! Do detA  0: xi  det A i ? det A nh Vi en Zo x  y    x  y  x  2y  Si x  y  2 x  y  SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn VÍ DỤ WILSON: Ax = b, detA = - 7  32     23  ,b     x  10   33     10  31   C om ne 1      1    1  Zo 10  Ax  b : A   8   nh Vi en  32  22 Ax  x   b  b : b  b    33   30    x  x      10  08    x   x   b : A   A    x'   99 SinhVienZone.com Si   A   A    04 98 99     89   9 98  https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ ĐIỀU KIỆN CỦA HỆ Ax = b - x om •“Nhiễu” vế phải A(x + x) = b + b   A A  1 b x ; nh Vi en x Zo ne C •“Nhiễu” vế trái (A + A)(x + x) = b  x b x  x   b x b x x  x A A   A A  A A 1 A  A Số điều kiện: (A) = ||A|| ||A–1|| đặc trưng cho độ “nhạy Si cảm” nghiệm hệ Ax = b thay đổi dù nhỏ b A Hệ điều kiện xấu (ill – conditionned): (A) >> SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn VÍ DỤ  25   41    10    C om ne  41 7   10   10  10 68  17  17 10 3 nh Vi en  A 1 10   A  8    6  10   3   Zo VD Wilson: ma trận Si VD: Tính số điều kiện theo chuẩn vô (A) 58 09  1 003 A    550 321  SinhVienZone.com  https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGƯC A 1 x   z y    c1 t  c2  om Tính ma trận ngược C  Giải hệ phương trình A.c1 = e1 = [1 0]T (vectơ đơn vị thứ ne nhất) máy tính bỏ túi  Cột ma trận ngược Zo  Vẫn chế độ giải hệ phương trình, giải tiếp hệ nh Vi en A.c2 = e2 = [0 1]T (vectơ đơn vị thứ nhì)  Cột A-1  Trường hợp ma trận cấp 3: Giải hệ Ac1 = e1, Ac2 = e2, Si Ac3 = e3 với e1, e2, e3 vectơ đơn vị  Tìm vectơ nghiệm c1, c2, c3: cột ma trận ngược A–1 cần tìm SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn ...    c1 t  c2  om Tính ma trận ngược C  Giải hệ phương trình A.c1 = e1 = [1 0]T (vectơ đơn vị thứ ne nhất) máy tính bỏ túi  Cột ma trận ngược Zo  Vẫn chế độ giải hệ phương trình, giải tiếp...  Zo VD Wilson: ma trận Si VD: Tính số điều kiện theo chuẩn vô (A) 58 09  1 003 A    550 321  SinhVienZone. com  https://fb .com/ sinhvienzonevn PHƯƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGƯC ...  y   Ly  b 1  2  : hệ tam giác U Si Giải hệ đầu  Giải hệ : Ly = b (2) tìm y; Ux = y (1) tìm x Nhân A x Nhaân U SinhVienZone. com y Nhaân L https://fb .com/ sinhvienzonevn b VÍ DỤ