Giáo án Đại số 11 chương 2 bài 2: Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

GV: Nguyễn Văn Huy Trung tâm LTĐH & Gia Sư TÀI ĐỨC HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( n ³ 0) Mỗi cách xếp n phần tử X theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử Số hoán vị n phần tử ký hiệu P n Pn = n! = 1.2 n Quy ước: 0! = Ví dụ Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách Giải Mỗi cách đổi chỗ người băng ghế hốn vị Vậy có P5 = 5! = 120 cách Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác Giải Gọi A = a1a2a3a4a5 với a1 ¹ a1, a2, a3, a4, a5 phân biệt số cần lập + Bước 1: chữ số a1 ¹ nên có cách chọn a1 + Bước 2: chữ số lại vào vị trí có 4! = 24 cách Vậy có 4.24 = 96 số Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( n ³ 0) Mỗi cách chọn k ( £ k £ n ) phần tử X xếp theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu A kn A kn = n! (n - k)! Nhận xét: A nn = n! = Pn Ví dụ Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách Giải Mỗi cách chọn chỗ ngồi từ băng ghế để người vào có hốn vị chỉnh hợp chập Vậy có A 57 = 7! = 2520 cách (7 - 5)! Ví dụ Từ tập hợp X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5} lập số tự nhiên có chữ số khác Giải Gọi A = a1a2a3a4 với a1 ¹ a1, a2, a3, a4 phân biệt số cần lập + Bước 1: chữ số a1 ¹ nên có cách chọn a1 + Bước 2: chọn chữ số lại để vào vị trí A 53 cách Vậy có 5A 53 = 300 số Tổ hợp Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( n ³ 0) Mỗi cách chọn k ( £ k £ n ) phần tử X gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu C kn Ckn = n! k!(n - k)! Ví dụ Có 10 sách tốn khác Chọn cuốn, hỏi có cách Giải Mỗi cách chọn 10 sách tổ hợp chập 10 = 210 cách chọn Vậy có C10 Ví dụ Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nữ Hỏi có cách Giải + Trường hợp 1: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có cách - Bước 2: chọn nam có C25 Suy có 3C25 cách chọn + Trường hợp 2: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có C23 cách - Bước 2: chọn nam có Suy có 5C23 cách chọn + Trường hợp 3: chọn nữ có cách Vậy có 3C25 + 5C23 + = 46 cách chọn Ví dụ Hỏi lập số tự nhiên có chữ số cho số đó, chữ số hàng ngàn lớn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hàng chục chữ số hàng chục lớn hàng đơn vị Giải Gọi A = a1a2a3a4 với ³ a1 > a2 > a3 > a4 ³ số cần lập X = { 0; 1; 2; ; 8; 9} Từ 10 phần tử X ta chọn phần tử lập số A Nghĩa khơng có hốn vị tổ hợp chập 10 = 210 số Vậy có C10 Nhận xét: i) Điều kiện để xảy hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp n phần tử phải phân biệt ii) Chỉnh hợp tổ hợp khác chỗ sau chọn k n phần tử chỉnh hợp có thứ tự tổ hợp khơng Phương pháp giải toán 4.1 Phương pháp Bước Đọc kỹ yêu cầu số liệu đề Phân toán trường hợp, trường hợp lại phân thành giai đoạn Bước Tùy giai đoạn cụ thể giả thiết toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp Bước Đáp án tổng kết trường hợp Ví dụ Một nhóm cơng nhân gồm 15 nam nữ Người ta muốn chọn từ nhóm người để lập thành tổ cơng tác cho phải có tổ trưởng nam, tổ phó nam có nữ Hỏi có cách lập tổ công tác Giải + Trường hợp 1: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A 15 cách - Bước 3: chọn 13 nam lại có C13 cách 2 C13 Suy có 5A 15 cách chọn cho trường hợp + Trường hợp 2: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có C25 cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A 15 cách - Bước 3: chọn 13 nam lại có 13 cách C25 cách chọn cho trường hợp Suy có 13A 15 + Trường hợp 3: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có C53 cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A 15 cách C53 cách chọn cho trường hợp Suy có A 15 2 2 C13 + 13A 15 C25 + A 15 C53 = 111300 cách Vậy có 5A 15 Cách khác: + Bước 1: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A 15 cách + Bước 2: chọn tổ viên, có nữ - Trường hợp 1: chọn nữ nam có 5.C13 cách - Trường hợp 2: chọn nữ nam có 13.C25 cách - Trường hợp 3: chọn nữ có C53 cách Vậy có A 15 ( 5.C132 + 13.C25 + C53 ) = 111300 cách 4.2 Phương pháp Đối với nhiều toán, phương pháp dài Do ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép tốn A U A = X Þ A = X \ A Bước Chia yêu cầu đề thành phần yêu cầu chung X (tổng quát) gọi loại yêu cầu riêng A Xét A phủ định A, nghĩa không thỏa yêu cầu riêng gọi loại Bước Tính số cách chọn loại loại Bước Đáp án số cách chọn loại trừ số cách chọn loại Chú ý: Cách phân loại loại có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan người giải Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác Giải + Loại 1: chữ số a1 tùy ý, ta có 5! = 120 số + Loại 2: chữ số a1 = 0, ta có 4! = 24 số Vậy có 120 – 24 = 96 số Ví dụ 10 Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nữ Hỏi có cách Giải + Loại 1: chọn người tùy ý 13 người có C13 cách + Loại 2: chọn nam (khơng có nữ) nam có C73 cách - C73 = 251 cách chọn Vậy có C13 Ví dụ 11 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra Giải + Loại 1: chọn 10 câu tùy ý 20 câu có C10 20 cách + Loại 2: chọn 10 câu có khơng q loại dễ, trung bình khó - Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ trung bình 16 câu có C10 16 cách - Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ khó 13 câu có C10 13 cách - Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình khó 11 câu có C10 11 cách 10 10 10 Vậy có C10 20 - ( C16 + C13 + C11 ) = 176451 đề kiểm tra Chú ý: Giải phương pháp phần bù có ưu điểm ngắn nhiên nhược điểm thường sai sót tính số lượng loại Ví dụ 12 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra Cách giải sai: + Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C20 cách + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: chọn câu dễ câu có C79 cách - Trường hợp 2: chọn câu trung bình có cách - Trường hợp 3: chọn câu dễ trung bình 16 câu có C16 cách - Trường hợp 4: chọn câu dễ khó 13 câu có C13 cách - Trường hợp 5: chọn câu trung bình khó 11 câu có C11 cách 7 7 - ( + C79 + C16 + C13 + C11 Vậy có C20 ) = 63997 đề kiểm tra! Sai sót cách tính số đề loại Chẳng hạn, tính số đề trường hợp ta tính lặp lại trường hợp trường hợp Cách giải sai khác: + Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C20 cách + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: chọn câu dễ trung bình 16 câu có C16 cách - Trường hợp 2: chọn câu dễ khó 13 câu có C13 cách - Trường hợp 3: chọn câu trung bình khó 11 câu có C11 cách 7 7 - ( C16 + C13 + C11 Vậy có C20 ) = 64034 đề kiểm tra Sai sót ta tính lặp lại số cách chọn đề có câu dễ đề có câu trung bình trường hợp trường hợp Cách giải đúng: + Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C20 cách + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: chọn câu dễ trung bình 16 câu có C16 cách - C79 cách - Trường hợp 2: chọn câu dễ khó 13 câu có C13 - cách - Trường hợp 3: chọn câu trung bình khó 11 câu có C11 7 7 - ( C16 + C13 - C79 + C11 - 1) = 64071 đề kiểm tra Vậy có C20 Ví dụ 13 Hội đồng quản trị cơng ty gồm 12 người, có nữ Từ hội đồng quản trị người ta bầu chủ tịch hội đồng quản trị, phó chủ tịch hội đồng quản trị ủy viên Hỏi có cách bầu cho người bầu phải có nữ Giải + Loại 1: bầu người tùy ý (không phân biệt nam, nữ) - Bước 1: bầu chủ tịch phó chủ tịch có A 12 cách - Bước 2: bầu ủy viên có C10 cách 2 C10 Suy có A 12 cách bầu loại + Loại 2: bầu người toàn nam - Bước 1: bầu chủ tịch phó chủ tịch có A 27 cách - Bước 2: bầu ủy viên có C25 cách Suy có A 27.C52 cách bầu loại 2 C10 - A 27.C25 = 5520 cách Vậy có A 12 5 Hoán vị lặp (tham khảo) Cho tập hợp X có n phần tử gồm n1 phần tử giống nhau, n2 phần tử khác lại giống nhau, …, nk phần tử khác lại giống ( n1 + n2 + + nk = n ) Mỗi cách n phần tử vào n vị trí hoán vị lặp, số hoán vị lặp n! n1 !n2 ! nk ! Ví dụ 14 Từ chữ số 1, 2, lập số tự nhiên có chữ số 1, chữ số chữ số Giải Xem số cần lập có 10 chữ số gồm chữ số giống nhau, chữ số giống chữ số giống Vậy có 10! = 2520 số 5!2!3! Cách giải thường dùng: + Bước 1: chọn 10 vị trí để chữ số có C10 cách + Bước 2: chọn vị trí lại để chữ số có C25 cách + Bước 3: chữ số vào vị trí lại có cách C25.1 = 2520 số Vậy có C10