CHUONG 1 (Xac suat bien co) - V4.52

ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015  I/ Phép thử ngẫu nhiên biến cố ngẫu nhiên:  Phép CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Tung đồng xu Sấp Ngữa (cân đối, đồng chất), xét xem mặt xuất (mặt lật lên)  Đây phép thử ngẫu nhiên?  Vd2: Ném đá xuống nước, xét xem đá chìm hay  Đây phép thử ngẫu nhiên?  Vd3: Hai vợ chồng cãi Xét xem họ có ly dò không  Đây phép thử ngẫu nhiên?  VD4:  Bắn phát súng vào bia  Đây phép thử NN?  Vd1: thử ngẫu nhiên:  việc thực thí nghiệm/ thực nghiệm, việc quan sát tượng tự nhiên số điều kiện đònh Nó dẫn đến kết cục kết cục khác (có kết cục) Và việc làm thực lần  Quy ước: Một đồng xu có mặt Hình mặt Chữ gọi đồng xu Sấp Ngữa, với quy ước  mặt Hình = Sấp , mặt Chữ = Ngữa  VD5:  Hộp có bi Trắng bi Xanh Lấy ngẫu nhiên bi xem màu  Đây phép thử NN?  VD6:  Hộp có bi Trắng Lấy ngẫu nhiên bi xem màu  Đây phép thử NN?  VD7: (Phim “Hãy yêu biết”)  Yêu người khác giới tính  Đây phép thử NN?  Từ trở ta nói phép thử có nghóa phép thử NN ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 Các kết cục phép thử NN gọi biến cố Có loại biến cố: bc ngẫu nhiên, bc chắn, bc có BcNN: bc xảy không xảy thực phép thử Ký hiệu A, B, C,… Bc chắn: bc xảy thực phép thử Ký hiệu  Bc có: bc xảy thực phép thử Ký hiệu  (hoặc ) Ta nghiên cứu bcNN mà  Vd1:  Tung xúc xắc (cân đối, đồng chất), xét xem mặt xuất  (Con xúc xắc có mặt đánh số nút từ 16)  Đặt: A= bc xuất mặt có số nút 0, P(B) >  Vaäy P(A.B)  P(A).P(B)  A,B xung khắc  A, B không độc lập 136 34 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 3.2)CT NHÂN 3.2)CT NHÂN * Nhóm biến cố độc lập đôi:  A,B,C độc lập đôi A,B đl ; A,C đl ; B,C đl * * Nhóm biến cố độc lập toàn thể:  A,B,C độc lập tt A,B đl ; A,C ñl ; B,C ñl vaø A,BC ñl ; B,AC ñl ; C,AB ñl  Hay: P(AB)= P(A)P(B) ; P(AC)= P(A)P(C) ; P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) Quy ước (sách Luyện thi CH): nhóm biến cố độc lập  Nhận xét:  Độc lập (toàn thể)  độc lập đôi 137 VD1: ĐỘC LẬP TOÀN THỂ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}  A= {1, 2, 3, 5}  P(A)= 4/8 = ½  B= {1, 2, 4, 6}  P(B)= ½  C= {1, 3, 4, 7}  P(C)= ½  AB= {1, 2}  P(AB)= 2/8 = ¼  AC= {1, 3}  P(AC)= ¼  BC= {1,4}  P(BC)= ¼  ABC= {1}  P(ABC)= 1/8  Ta coù: P(AB)= P(A).P(B) ; P(AC)= P(A).P(C) ; P(BC)= P(B).P(C) nên A, B, C độc lập đôi 139  Ta có: P(ABC)= P(A).P(B).P(C) nên A, B, C độc lập toàn thể  Nhóm n bc độc lập (toàn thể): Nhóm biến cố A1, ,An độc lập (toàn thể) biến cố nhóm độc lập tích biến cố lại 138  BT1:  Tung đồng xu Sấp Ngữa lần  A= bc lần mặt S  B= bc lần mặt S  C= bc lần mặt S  A, B, C độc lập toàn thể?  HD:  Xác đònh kg mẫu   Đánh số biến cố sơ cấp  Ta quay VD1 140 35 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 3.2)CT NHÂN (ĐỘC LẬP TT) Quan sát gia đình có A= bc sinh trai lần I, A= TT+TG B= bc sinh trai laàn II, B= TT+GT C= bc có lần sinh trai, C= TG+GT  Xét xem A,B,C có độc lập (toàn thể)?  HD: *) P(AB) = P(TT)= ¼ = P(A)P(B)= ½ ½ P(AC) = P(TG) = ¼ = P(A)P(C) = ẵ ẵ P(BC) = P(GT)= ẳ = P(B)P(C) = ½ ½  A,B,C độc lập đôi  *) ABC=   P(ABC) =  1/8 = P(A)P(B)P(C)  A,B,C không độc lập toàn thể 32)CT NHÂN  Vd2:  Vd3:  Tung lần xúc xắc  Ai= bc lần tung i xuất mặt có số nút chẳn, i=1,3  Ta có: A1, A2, A3 độc lập toàn thể  Chủ yếu dựa vào giả thiết toán suy luận  Muốn có “linh cảm” tốt làm nhiều tập!!!  Bài 141 3.2)CT NHÂN BT3:  Tổng quát:  * P(ABC) = P(A/BC).P(BC) = P(A/BC).P(B/C).P(C)  Nếu A,B,C độc lập toàn thể P(ABC)= P(A).P(B).P(C)  * P(ABCD)= P(A/BCD).P(BCD) = P(A/BCD).P(B/CD).P(CD) = P(A/BCD).P(B/CD).P(C/D).P(D)  Nếu A,B,C,D độc lập toàn thể P(ABCD)= P(A).P(B).P(C).P(D)  Câu hỏi: Nắm cách ghi CT nhân chưa? muốn chứng minh chặt chẽ không gian mẫu có 63 = 216 trường hợp 142  Nếu A, B, C độc lập toàn thể A*, B*, C* độc lập toàn thể?  HD:  1) A, B độc lập A, B* ; A*, B ; A*, B* độc lập  2) A, B, C độc lập toàn thể A, B+C độc lập  3) A*, (B+C)* độc lập 143 144 36 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 ÍCH LI CỦA CÔNG THỨC P(A)= 1-P(A*) VD4: Có sinh viên thi hết môn với xác suất thi đậu 0,5 0,7 0,8 0,9  a) Tính xác suất có người thi rớt?  b) Tính xác suất có người thi đậu?  c) Tính xác suất có nhiều người thi đậu?  Giải:  a) Ai= bc người thứ i thi đậu  F= bc có người thi rớt  F*= bc có người thi rớt (tất thi đậu)  P(F*)= P(A1A2A3A4)= P(A1).P(A2).P(A3).P(A4)  b) K= bc có người thi đậu  K*= bc có người thi đậu (tất thi rớt) 145  P(K*)= P(A1*A2*A3*A4*)= P(A1*).P(A2*).P(A3*).P(A4*)  c) L= bc có nhiều người thi đậu P(L*)= P(F*)  5)CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ: 5)CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ: Xét phép thử T Giả sử A1, ,An nhóm bc đầy đủ (và xktđ) F biến cố liên quan tới phép thử T (khi bc F xảy có bc Ai xảy ra) Cho biết xác suất P(Ai) , P(F/Ai) Tính P(F)? P(F)= P(F/A1)P(A1)+ +P(F/An)P(An) 146 5)CTXSĐĐ  Câu hỏi lớn: Khó khăn áp dụng công thức xsđđ gì?  Gợi ý: Ta nên phân chia trường hợp Ai cho dễ tính xác suất P(Ai) P(F/Ai) 147 Vd1: Hộp có bi T, bi X Lấy bi (lấy ngẫu nhiên không hoàn lại) Tính xác suất lần lấy đưọc bi X? HD: Ta thấy khả lấy bi X lần phụ thuộc vào lần 1: lấy bi X hay bi T  có trường hợp xảy  ta có nhóm gồm bc , xét xem chúng có đầy đủ xung khắc ? 148 37 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 5)CTXSĐĐ 5)CTXSĐĐ VD1: * F= bc lần lấy bi X A1= bc lần lấy bi T A2= bc lần lấy bi X A1,A2 nhóm bc đđ xk * P(A1)= 5/9 , P(A2)= 4/9 * P(F/A1)= 4/8 , P(F/A2)= 3/8 P(F)= P(F/A1)P(A1)+P(F/A2)P(A2) = (4/8).(5/9)+ (3/8).(4/9) = 4/9  Vd2:  Xí nghiệp bút bi Thiên long có phân xưởng sản xuất  PX1: sản xuất 50% sp toàn XN ; PX2: sản xuất 30% ; PX3: sản xuất 20% (1 viết phân xưởng sản xuất)  Tỷ lệ phế phẩm tính số sp PX sản xuất là: 1%, 2%, 3%  Một sinh viên mua bút bi Thiên long Tính xác suất mua phải viết xấu? 149 5)CTXSĐĐ 5)CTXSĐĐ  HDVD2: Cây viết xấu do: PXI sx, PXII sx, PXIII sx  có trường hợp xảy  ta có nhóm gồm bc , xét xem chúng có đầy đủ xung khắc đôi?  *Đặt Ai= bc viết PXi sản xuất, i=1,3  F= bc mua phải viết xấu  A1,A2,A3 tạo thành nhóm bc đđ xktđ  *P(A1)= 0,5 P(A2)= 0,3 P(A3)= 0,2  *P(F/A1)= 0,01 P(F/A2)= 0,02 P(F/A3)= 0,03 P(F/A1)P(A1)+ P(F/A2)P(A2)+ P(F/A3)P(A3) = 0,017= 1,7%   Vậy xác suất mua phải viết xấu 1,7% 150  Câu hỏi ngược:  Biết mua phải viết xấu, tính xs viết PXI sản suất?  Giải:  P(A1/F)= P(FA1) / P(F)= P(F/A1)P(A1) / P(F) = 0,01*0,5 / 0,017 = 0,294  P(F)= 151 152 38 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 5)CTXSĐĐ 5)CTXSĐĐ  Ta thấy: Trước mua viết xs viết PXI sản xuất 0,5 (P(A1)= 0,5) , bc F xảy (mua phải viết xấu) khả viết PXI sản xuất giảm (P(A1/F)= 0,294) Nhận xét: Thường ta dùng sơ đồ để biểu diễn trường hợp (bcsc) ctxsđđ sau: * Trước thực thí nghiệm (mua viết, xem tốt hay xấu) ta tính trước : xs viết PXI sx P(A1)= 0,5 , gọi xác suất tiền/ tiên nghiệm VD1 VD2 F F * Sau thực thí nghiệm , bc F xảy  ta có xs viết PXI sx P(A1/F)= 0,294 , gọi xác suất hậu nghiệm  P(Ai/F) =? Gọi công thức Bayes A1 153 A2 A1 A2 A3 154 6)CTBAYES  6)Coâng thức Bayes:  Lấy lại giả thiết công thức xs đầy đủ  Vd0:  Có  Tính xác suất bc Ai với điều kiện bc F xaûy ra:  P(Ai/F)= P(FAi) / P(F)= P(F/Ai)P(Ai) / P(F)  Lưu ý:  Nên tính P(F) trước tính P(Ai/F) 155 hộp phấn, hộp có 10 viên phấn Hộp thứ có viên phấn T Hộp thứ có viên phấn T Hộp thứ có viên phấn T Lấy ngẫu nhiên hộp (trong hộp), từ hộp lấy ngẫu nhiên viên phấn xem màu  1) Tính xs lấy viên phấn T?  2) Biết viên phấn lấy viên phấn T, tính xs viên phấn thuộc hộp thứ 2? 156 39 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 6)CTBAYES 6)CTBAYES  HD VD0: Viên phấn lấy xem màu thuộc hộp thứ thứ thứ  có trường hợp xảy  1) F= bc lấy viên phấn T Hi= bc lấy hộp thứ i P(F)= P(F/H1)P(H1)+P(F/H2)P(H2)+P(F/H3)P(H3) = (6/10)(1/3)+(8/10)(1/3)+(7/10)(1/3) = 21/30 = 0,7  2) P(H2/F)= P(H2.F) / P(F) = P(F/H2)P(H2) / P(F) = (8/10)(1/3) / (21/30) = 8/21  Vd1:  Có hộp phấn loại I, hộp phấn loại II Hộp loại I có viên phấn T, viên phấn X; hộp loại II có viên phấn T, viên phấn X Lấy ngẫu nhiên hộp (trong hộp), từ hộp lấy ngẫu nhiên viên phấn xem màu  1) Tính xs lấy viên phấn T?  2) Tính xs viên phấn lấy thuộc hộp loại I, biết viên phấn T? 157 158 PHÂN BIỆT CT XS CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CT BAYES 6)CTBAYES  HDVd1: 1) Viên phấn lấy xem màu thuộc: hộp loại I hộp loại II  có trường hợp xảy * F= bc lấy viên phấn T Hi= bc lấy hộp loại i, i=1,2 * P(F)= P(F/H1)P(H1)+P(F/H2)P(H2) = (8/10)(2/3)+ (9/10)(1/3) = 5/6 2) P(H1/F)= P(FH1) / P(F)= P(F/H1)P(H1) / P(F) = (8/10)(2/3) / (5/6) = 48/75 VD2: Có người thi cuối kỳ với xác suất thi đậu người 0,7 ; 0,6 ; 0,8  1) Tính xác suất có người thi đậu?  2) Tính xác suất có người thi đậu?  3) Biết có người TĐ, tính xs người thứ nhất?  Giải:  1) Gọi Ai biến cố người thứ i thi đậu  F= bc có người thi đậu  P(F)= P(A1A2*A3*+A1*A2A3*+A1*A2*A3) = P(A1)P(A2*)P(A3*)+P(A1*)P(A2)P(A3*)+P(A1*)P(A2*)P(A3)   2) K= bc có người thi đậu 160  P(K)= P(A1A2A3*+A1A2*A3+A1*A2A3)  3) P(A1/F) = P(A1F) / P(F) = P(A1A2*A3*) / P(F)  159 40 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 Bình loạn: Qua công thức xsđđ Bayes bạn có cảm thấy “vô thường” đời! Trong đời, lần lên câu: “giá như…”! Thí dụ: “giá biết lấy chồng sung sướng lấy chồng sớm rồi”, “giá biết lấy vợ chòu đau khổ không lấy rồi”, “giá chăm học thêm tý thi đậu rồi”,… Giả sử trước lấy vợ bạn ước tính xác suất bạn bò đau khổ P(A)= 50%; sau bạn lấy vợ, người vợ người cho “hiện đại”, bạn tính xác suất bạn bò đau khổ P(A/F)= 80% Lúc bạn mong ước F đừng xảy ra, bạn biết F xảy bạn thực “phép thử” lấy vợ Đây phép thử mà bạn 161 thực lần “quá đủ”! MỘT SỐ LƯU Ý 7)NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM biến cố A có xác suất P(A) nhỏ thực phép thử ta xem không xảy Ta gọi A biến cố  Vậy P(A) nhỏ? Tùy theo thực tế, tùy theo người mà P(A) xem nhỏ hay không  Một dụ: Nếu bạn yêu người mà người không yêu bạn, bạn có 1/106 hy vọng người yêu bạn Với hy vọng bạn chờ đợi đời (từ lúc tóc đen, da mòn lúc tóc bạc, da nhăn) Thậm chí trước chết bạn cần người nói câu yêu bạn bạn mãn nguyện xuống suối vàng rùi (Y phim!) Vậy 1/106 không nhỏ chút hết! 162  Thí BÀI TẬP 1:   Ta có biến cố A, B ; C thỏa P(C)>0  “Nếu A, B độc lập  P([AB]/C) = P(A/C) P(B/C)”  Điều 163 hay sai? 164 41 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015  Bài  Giải:  Xét = {1,2,3,4}  A= {1,2} B= {1,3}, C= {1,4}  P(A)= 2/4 , P(B)= 2/4 , P(AB)= P({1})= ¼  Vậy: P(AB) = P(A).P(B) nên A, B độc lập P(ABC) /P(C) = (1/4) / (2/4) = 1/2  P(A/C) = P(AC) / P(C)= (ẳ) / (2/4) = ẵ P(B/C) = P(BC) / P(C)= (ẳ) / (2/4) = ẵ P(A/C).P(B/C) = (½).(½) = 1/4  Vậy P(AB/C) ≠ P(A/C).P(B/C)  P(AB/C)=  Vậy điều kiện dấu “=“ xảy ra? 165  Giaûi: = {1,2,3,4,5,6}  A1= {1,2} , A2= {3,4,5,6}, B= {2,3,4}, C= {2}  P(C)= 1/6  P(A1/B)= P(A1B) / P(B)= (1/6) / (3/6)= 1/3  P(A2/B)= P(A2B) / P(B)= (2/6) / (3/6)= 2/3  P(C/A1B)= P(CA1B) / P(A1B)= (1/6) / (1/6)=  P(C/A2B)= P(CA2B) / P(A2B)= / (2/6)=  Ta coù: P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)  = (1/3)(1)+(2/3)(0)= 1/3  P(C/B)= P(CB)/P(B)= (1/6) / (3/6)= 1/3  2) Bạn tự chứng minh, tập thi vò! tập 2:  A1, A2 họ biến cố đầy đủ xung khắc  C biến cố bất kỳ, P(B)>0  Ta có công thức sau:  P(C)= P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)  P(C/B)= P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)  1) Theo bạn công thức đúng?  2) Hãy chứng minh công thức cách “đường đường, chính”, nghóa cho biến cố hổng phải qua thí 166 dụ cá biệt? TÓM LẠI:  1)  Ta có đònh nghóa xác suất biến cố theo cổ điển  Các công thức tính xác suất:  Công thức cộng  Công thức xác suất có điều kiện  Công thức nhân  Công thức xác suất đầy đủ  Công thức Bayes 167 168 42 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 BÀI TẬP  Tuy nhiên tập người ta không nỡ để dạng toán cách “cô đơn, buồn chán” Thường người ta “hợp hôn” nhiều công thức tính xác suất toán Điều đòi hỏi ta phải biết phân biệt nên dùng công thức nào, cách kết hợp công thức nào, … nữa!  Sự “hợp hôn” có “hoàn hảo” hay không ta có “khéo tay hay làm” không!  Bài tập 1:  Hộp có viên bi đỏ, viên bi trắng Lấy bi từ hộp  Tính xs lấy bi T cách lấy sau:  a) C1: Lấy ngẫu nhiên bi (lấy lần bi)  b) C2: Lấy bi (không hoàn lại)  c) C3: Lấy có hoàn lại bi 169 BT1: TÍNH XS LẤY ĐƯC BI TRẮNG? HDBT1:  A= bc lấy bi T  a) P(A)= C(2,3) / C(2,7)= 3/21  b) P(A)= P(T1.T2) = P(T2/T1)P(T1) = (3/7).(2/6) = 6/42 = 3/21   c) Do chọn có hoàn lại nên lần chọn thứ ta có giả thiết y lần chọn (Hộp có bi , có bi đỏ, bi trắng)  T1 T2 độc lập  P(A)= P(T1.T2) = P(T1).P(T2) = (3/7).(3/7)= 9/49  Nhận xét: câu a b có xác suất 170 171 Lấy n bi N bi Cách Cách Sai số Lấy bi bi, bi coù bi T 0.142857 0.183673 -0.040816 Laáy bi 70 bi, 70 bi coù 30 bi T 0.180124 0.183673 -0.003549 Lấy bi 700 bi, 700 bi có 300 bi T 0.183323 0.183673 -0.000350 Laáy bi 7000 bi, 7000 bi coù 3000 bi T 172 0.183638 0.183673 -0.000035 43 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH ỨNG DỤNG NHẬN XÉT BÀI TẬP 13/04/2015 BT3:  Hộp có bi T, bi X, bi V Lấy bi từ hộp Tính xác suất lấy bi T, bi X bi V  Đáp số: 8/33 tự động sản xuất sản phẩm có tỷ lệ sản phẩm loại A 85%, tỷ lệ sản phẩm loại B 15% Sản phẩm sản xuất qua máy phân loại (PL) tự động, máy PL nhận sản phẩm loại A với tỷ lệ 90%, 174 nhận sản phẩm loại B với tỷ lệ 80%  Máy 173 BT3:  1) Tính xác suất sản phẩm qua máy PL bò nhận nhầm?  2a) Biết máy PL kết luận sản phẩm loại A, tính xác suất loại A?  2b) Biết máy PL kết luận sản phẩm loại A, tính xác suất loại B?  3a) Biết máy PL kết luận sản phẩm loại B, tính xác suất loại B?  3b) Biết máy PL kết luận sản phẩm loại B, tính xác suất loại A? 175  GIẢI: A= biến cố sản phẩm sản xuất loại A  B= biến cố sản phẩm sản xuất loại B  1) F= biến cố sản phẩm bò máy PL nhận nhầm  P(F)=   2a) = (0,1)(0,85)+(0,2)(0,15) F= bc sản phẩm máy PL kết luận loại A  P(F)=  P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B) P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B) = (0,9)(0,85)+(0,2)(0,15)  P(A/F)= P(F/A)P(A) / P(F) 176 44 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 GIAÛI:  Quy  2b) P(B/F)= P(F/B)P(B) / P(F)  3a) F= bc sản phẩm máy PL kết luận loại B  P(F)=   3b)  BÀI TẬP XSTK, ThS Lê Khánh Luận & GVC Nguyễn Thanh Sơn & ThS Phạm Trí Cao, NXB ĐHQG TP.HCM 2013 P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B) = (0,1)(0,85)+(0,8)(0,15)  P(B/F)= ước: Quyển (*) quyển:  Xem thêm số dạng tập xác suất biến cố (*) P(F/B)P(B) / P(F) P(A/F)= P(F/A)P(A) / P(F)  https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtricao/  https://sites.google.com/site/phamtricao/ 177 178 45 ... T, bi X Trong C(2 ,14 ) cách lấy trên, ta thấy có C (1, 10)*C (1, 4) cách lấy bi T, bi X  |B|= C (1, 10)*C (1, 4) Vaäy P(B)= |B| / || = C (1, 10)*C (1, 4) / C(2 ,14 ) 84 = 10 *4 / 91 = 40/ 91 21 ThS Phạm Trí Cao... A+B1+B2 74 Giaûi:  1) A0B0  2) A1B0+A0B1  3) A0B2+A2B0+A1B1  4) A2B1+A1B2  5) A2B2  6) (A0B0)*  7) = 1) +2)+3)  8) = 2)+4)  9) = 1) +5) 76 19 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13 /04/2 015 ... P(A)+P(B) = C (1, 7)*C (1, 3) / C(2 ,10 ) + C(2,7) / C(2 ,10 ) A,B xung khắc? 10 3 10 4 26 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13 /04/2 015 1) CTCỘNG ÍCH LI CỦA CÔNG THỨC P(A)= 1- P(A*) VD6: Hộp có 10 bi T bi X