Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành Phò
CHUYÊN ĐỀ 15: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Điểm vecto Ba vecto đơn vị i, j, k trục Ox, Oy, Oz: i (1;0;0) , j (0;1;0) , k (0;0;1) Hai điểm A(x1, y1, z1 ) B(x , y2 , z2 ) thì: AB (x x1; y y1; z z1 ) AB (x x1 ) (y y1 ) (z z1 ) Điểm M chia đoạn thẳng Ab theo tỉ số k : x1 kx x k y ky MA kMB y 1 k z1 kz z 1 k Hai vecto: u (x, y, z) v (x ', y ', z ') thì: u v (x x '; y y '; z z '); ku (kx; ky; kz) u.v xx ' yy ' zz '; u x y z u; v y z ; z x x y y ' z ' z ' z ' x ' y ' x.x ' y.y ' z.z ' cos u, v x y z x '2 y '2 z '2 - vecto a, b, c đồng phẳng: a, b c - vecto a, b, c không đồng phẳng: a, b c Diện tích thể tích Diện tích tam giác ABC: S Trang 1 AB, AC 2 Thể tích tứ diện ABCD: V AB, AC AD 6 Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V AB, AD AA ' Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: V AB, AD AA ' 2 Góc mặt phẳng: mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n ' cos((P),(Q)) = cos(n, n ') Góc đường thẳng: d có VTCP u d’ có VTCP v cos(d, d ') cos(u, v) Góc đường thẳng mặt phẳng: d có VTCP u (P) có VTPT n sin(d, (P)) cos(u, n) Khoảng cách từ M0 (x , y0 , z0 ) đến mặt phẳng: (Oxy) z ; (Oyz) x ; (Ozx) y0 (P) : Ax By Cz D là: d(M0 , P) Ax By0 Cz0 D A B2 C2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho M0 (x , y0 , z0 ) đường thẳng d qua A có VTCP u AB d(M , d) AM0 , u u Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: d1 qua M1 có VTCP u1;d qua M có VTCP Trang d(d1, d ) u1, u M1 M u1, u Phương trình tổng quát mặt phẳng: Mặt phẳng qua M0 (x , y0 ) vecto pháp tuyến n (A, B,C) Ax+By+Cz+D=0, A2 B2 C2 hay A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) Phương trình đường thẳng: qua M0 (x , y0 , z0 ) có vecto phương u (a, b,c),a b2 c2 x x at Phương trình tham số: d : y y0 bt, t R z z ct Phương trình tắc a, b, c : x x y y0 z z a b c Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) tâm I(a,b,c) bán kính R: (x a)2 (y b)2 (z c)2 R hay: x y2 z2 2Ax 2By 2Cz D 0, A2 B2 C2 D Có tâm I(A, B, C) bán kính R A2 B2 C2 D Vị trí tương đối mặt phẳng: (P): Ax By Cz D (Q): A'x B' y C'z D' - Cắt nhau: A : B: C A' : B' : C' - Trùng nhau: A B C D A B C D ; Song song: A ' B' C' D ' A ' B' C' D ' Vị trí tương đối đường thẳng: Đi qua A(x A , yA , zA ) có vecto phương u(a, b,c) Đi qua B(x B , yB , zB ) có vecto phương v(a ', b ',c ') Trang -Chéo nhau: u, v AB -Cắt nhau: u, v AB a : b : c a ' : b' : c' -Trùng nhau: a : b : c a ' : b' : c' (x B x A ) : (yB yA ) : (z B z A ) -Song song: a : b : c a ' : b' : c' (x B x A ) : (yB yA ) : (z B z A ) *Hai điểm M1 (x1, y1, z1) M2 (x , y2 , z2 ) nằm hai phía mặt phẳng (P): Ax By Cz D khi: (Ax1 By1 Cz1 D).(Ax By2 Cz1 D) Đăng ký mua tài liệu file word bồi dưỡng HSG mơn Tốn trọn bộ: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu HSG mơn Tốn” Gửi đến số điện thoại Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Đường thẳng d qua A có vecto phương u mặt phẳng (P) qua M có vecto pháp tuyến n - Cắt nhau: u.n Song song: u.n A (P) - Đường thẳng thuộc mặt phẳng u.n A (P) Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu S(I;R) Gọi IH = d khoảng cách từ tâm I đến (P) thù: Trang a)Nếu dR: mp(P) khơng có điểm chung với mặ cầu Ứng dụng giải tốn khơng gian: Đưa tọa độ Oxyz vào tốn hình học khơng gian túy, cách chọn hệ trục thuận lợn để giải tốn CÁC BÀI TỐN Bài tốn 15.1: Cho hình bình hành ABCD với A(3; 2;0) , B(3; 3;1) , C(5;0; 2) Tìm tọa độ đỉnh D tính góc hai vecto AC BD Hướng dẫn giải Ta có BA (6;1; 1), BC (2;3;1) Vì tọa độ hai vecto khơng tỉ lệ nên ba điểm A,B,C không thẳng hàng Gọi D(x, y, z) Tứ giác ABCD hình bình hành x x 1 AD BC y y Vậy D(1;1;1) z z 1 Ta có AC (8;2;2), BD (4;4;0) , đó: cos(AC, BD) 32 Vậy (AC, BD) 120o 72 32 Bài tốn 15.2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2; 1), B(2; 1;3),C(4,7,5) a) Tính diện tích độ dài đường cao h A b) Tính độ dài đường phân giác BD Hướng dẫn giải a) Ta có AB (1; 3;4), AC (5;5;6), BC (6;8;2) Trang AB, AC (38; 26; 10) Vậy SABC hA 1 AB, AC 382 262 102 554 2 2SABC 554 277 BC 104 13 b) Gọi D(x; y; z) Ta có DA BA 26 DC BC 104 Vì D nằm A, C nên DA DC 2 74 11 Từ tìm D ; ;1 DB 3 Bài toán 15.3: Tính diện tích tứ giá ABCD có tọa độ A(2;5;-4), B(1;6;3), C(-4;-1;12), D(-2;-3;-2) Hướng dẫn giải AB (1;1;7), AC (6; 6;16) , hai vecto không phương tọa độ khơng tỉ lệ suy A, B, C khơng thẳng hàng có: DC (2;2;14) 2AB AB CD Vậy ABCD hình thang nên SABCD SABC SADC 1 AB, AC AD, AC 1046 2 Bài toán 15.4: Cho tứ diện ABCD có: A(-1;2;0), B(0;0;1), C(0;3;0), D(2;1;0) a) Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD b) Tìm hình chiếu D lên mặt phẳng (ABC) Hướng dẫn giải a) Ta có AB (1; 1;1), AC (1;1;0), AD (3; 1;0) Nên AB, AC (1;1; 2) SABC AB, AC 2 Và AB, AC AD 4 VABCD AB, AC AD Trang b) Gọi H(x;y;z) hình chiếu D mặt phẳng (ABC) thì: AH (x 1; y 2;z), DH (x 2; y 1;z) Ta có: 18 x DH.AB 11 x 2y z 15 x y y DH.AC 11 x y 3z 3 AB, AC AH 12 z 11 18 15 12 Vậy H ; ; 11 11 11 Bài tốn 15.5: Tìm khoảng cách hai đường thẳng sau: x t a) d : y 1 t z b) d : x y z 1 1 2 x 3t d ' : y 2 3t z d': x y2 z 1 3 Hướng dẫn giải a) d qua điểm M1 (1; 1;1) , có vecto phương u1 (1; 1;0) d’ qua điểm M2 (2; 2;3) có vecto phương u (1;1;0) Vì u1 u phương u1 , u không phương với M1M2 (1; 1; 2) nên hai đường thẳng song song Vậy d(d;d ') d(M1, d ') M1M , u 2 u2 b) d qua M(0;4;-1) có VTCP u (1;1; 2) d’ qua M’(0;2;0) có VTCP u ' (1;3;3) Ta có u, u ' (9;5; 2), MM ' (0; 2;1) nên u, u ' nên chéo Trang u, u ' MM ' 10 21 12 Do d(d, d ') 81 25 110 u, u ' Bài tốn 15.6: Tìm điểm M mặt phẳng (Oxz) cách ba đểm A(1;1;1), B(-1;1;-0), C(3;1;-1) Hướng dẫn giải M thuộc (Oxz) M x;0; z Ta có: MA MB MC AM BM (x 1) (z 1) (x 1) z 2 2 2 AM CM (x 1) (z 1) (x 3) (z 1) x 4x 2z 4x 4z z 7 5 Vậy M ;0; 6 6 Bài toán 15.7: Cho hai điểm A(2;0;-1), B(0;-2;3) a) Tìm tọa độ điểm C Oy để tam giác ABC có diện tích 11 thỏa mãn OC b) Tìm điểm D (Oxz) để ABCD hình thang có cạnh đáy AB Hướng dẫn giải a) Gọi C(0; y;0) AB (2; 2;4), AC (2; y;1) Ta có: SABC 11 1 AB, AC 11 (2 4y) 36 (2y 4) 11 2 20y2 32y 12 y 1 y (loại) Vậy C(0;-1;0) b) Gọi D(x;0;z) (Oxz) DC (z; 1; z) ABCD hình thang AB, DC hướng Trang x 1 z x 1, z 2 Vậy D(1;0; 2) 2 2 Bài tốn 15.8: Tìm tọa độ điểm H hình chếu a) A(2;1;0) đường thẳng BC với B(0;3; 1),C(1;0;2) b) D(1;1;1) lên mặt phẳng (ABC) với A(4;1;4), B(3;3;1),C(1;5;5) Đăng ký mua tài liệu file word bồi dưỡng HSG mơn Tốn trọn bộ: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu HSG mơn Tốn” Gửi đến số điện thoại Hướng dẫn giải a) H(x; y; z) thuộc BC nên BH tBC Do x t, y 3t, z 3t x t, y 3t, z 1 3t Ta có AH BC nên AH.BC (t 2)(1) (3t 2)(3) (z 1)3 t 11 11 24 14 Vậy hình chiếu H ; ; 9 9 Cách khác: lập mp(P) qua A vng góc với BC tìm giao điểm H b) Ta có AB (1;2;3), AC (3;4;1) nên mp (ABC) có VTCP: n AB, AC (14;10; 2) hay (7;5;1) Trang (P) : 7(x 4) 5(y 1) 1(z 4) hay 7x 5y z 37 Đường thẳng d qua A, vng góc với (ABC) có phương trình tham số: x y 5t Thế x,y,z vào (P) t 25 z t 81 13 33 Vậy hình chiếu có tọa độ H ; ; 25 25 Bài tốn 15.9: a) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc trục Oy tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) VABCD b) Tìm tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(0;4;1), B(1:0:1), C(3;1;-2) Hướng dẫn giải a) Gọi D(0;y;0) thuộc trục Oy Ta có: AB (1; 1; 2), AD (2; y 1;1), AC (0; 2; 4) AB, AC (0; 4; 2) AB, AC AD 4y Theo giả thiết VABCD AB, AC AD 6 4y 30 y 7; y Vậy có điểm D trục Oy: (0;-7;0) (0;8;0) b) Ta có AC (3; 3; 3), BC (2;1; 3) nên lập phương trình mặt phẳng (ABC): 3xx+y+2z-6=0 Gọi H(x; y; z) trực tâm tam giác ABC AH (x; y 4;z 1), BH (x 1; y;z 1) , ta có: 25 x 19 AH.BC 2x y 3z 11 H : y BH.AC x y z 19 H (ABC) 3x y 2z 14 z 19 Trang 10 SA (2;0; 2 2), BM (1; 1; 2) cos(SA, BM) cos(SA, BM) (SA, BM) 30o Ta có: SA.BM (2 2;0; 2), AB (2;1;0) Nên d SA, BM b) SA, BM AB SA, BM MN AB,CD nên N trung điểm SO, N(0; ; 2) SM (1;0; 2),SB (0;1; 2 2),SN (0; ; 2) Và SA,SM (0; 2;0) Ta có: VS.ABM 2 SA,SM SB , VS.AMN SA,SM SN 6 Vậy: VS.ABMN VS.ABM VS.AMN Bài toán 15.26: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Chứng minh đường thẳng qua G đỉnh tứ diện qua trọng tâm mặt đối diện với đỉnh Gọi A’ trọng tâm tam giác BCD Chứng minnh GA 3 GA ' Hướng dẫn giải Ta giải phương pháp tọa độ Trong không gian tọa độ Oxyz, giả sử A(x1; y1;z1), B(x ; y2 ;z ),C(x3; y3;z3 ), D(x ; y4 ;z ) trọng tâm A’ tam giác BCD, trọng tâm tứ diện G: x x x y y3 y z z z A ' ; ; 3 x x x x y1 y y3 y z1 z z3 z G ; ; 4 Do đó: Trang 21 3x x x x 3y1 y2 y3 y 3z1 z z3 z GA ; ; 4 3x1 x x x 3y1 y y3 y 3z1 z z3 z GA ; ; 12 12 12 Suy ra: GA 3GA ' G, A, A ' thẳng hàng GA 3 GA ' Tương tự có đpcm Bài tốn 15.27: Cho tứ diện nội tiếp mặt cầu tâm O có AB=AC=AD Gọi G trọng tâm ACD, E, F trung điểm BG, AE Chứng minh OF BG OD AC Hướng dẫn giải AB=AC=AD OB=OC=OD OA (BCD) chân đường cao H với HB=HC=HD Chọn H làm gốc tọa độ, với hệ trục Hx, Hy, Hz cho HA trục Hz, HB trục Hy, HD trục Hx A(0;0;a), B(0;b;0),C(c1;c2 ;0) c d c d2 a D(d1;d ;0) O(0;0; z) suy G 1 ; ; 3 c d b c d a c d b c d 7a E 1 ; ; ; F 1 ; ; 12 12 12 a c d b c d 7a c d c d2 Và OF 1 ; ; z ; BG 1 ; b; 12 12 3 12 AC (c1;c2 ; a),OD(d1;d ; z) Theo giả thiết OA OB OC OD OA2 OB2 OC2 OD2 (a z)2 b2 z c12 c22 z d12 d 22 z a 2az b2 c12 c22 d12 d 22 (1) Ta có: OF.BG (c1 d1)2 (c2 d2 )2 9b2 7a 12az (2) Khải triển (2) thay (1) ta được: (2) a c1d1 c2d OD.AC (dpcm) Trang 22 Bài tốn 15.28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Gọi I, J trung điểm A’D’ B’B a) Chứng minh IJ AC' Tính độ dài đoạn IJ b) Chứng minh D'B mp(A'C'D), mp(ACB') Tính góc hai đường thẳng IJ A’D Hướng dẫn giải a) Chọn hệ tọa độ Oxyz cho A(0;0;0), D(a;0;0), B(0;a;0), A'(0;0;a) Ta có C'(a;a;a), B'(0;a;0), D'(a;0;a) nên: a a I( ;0;a); J(0;a; ) 2 a a a a Ta có: IJ (0 ;a 0; a) ( ;a; ) 2 2 AC' (a 0;a 0;a 0) (a;a;a) a a Nên IJ.AC' a a.a a a a 2 2 a a a Vậy IJ AC' Đoạn IJ a 2 2 b) Để chứng minh D'B mp(A 'C'D) , ta chứng minh D'B A 'C', D'B A 'D D'B.A 'C' 0, D'B.A 'D Ta có D'B (a;a; a), A 'C' (a;a;0), A 'D (a;0; a) Do D'B.A 'C' 0, D'B.A 'D Tương twjj D'B mp(ACB') A 'D (a;0; a) Gọi góc hai đường thẳng IJ A’D thì: a a a a.0 (a) cos cos(IJ, A 'D 0 IJ.A 'D a a 2 IJ.A 'D Vậy 90o Trang 23 Bài toán 15.29: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a, BC1 lấy điểm M cho D1M, DA1, AB1 đồng phẳng Tính diện tích S MAB1 Đăng ký mua tài liệu file word bồi dưỡng HSG mơn Tốn trọn bộ: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu HSG mơn Tốn” Gửi đến số điện thoại Hướng dẫn giải Chọn hệ Oxyz cho: B 0, B1(a;0;0),C1(a;a;0),C(0;a;0), A(0;0;a), A1(a;0;a), D1(a;a;a), D(0;a;a) Vì M BC1 nên gọi M(x;x;0) Ta có D1M (x a; x a; a) DA1 (a;a;0) AB1 (a;0; a) Vì D1M, DA1, AB1 đồng phẳng nên 3a 3a 3a D1M, DA1 AB1 x M ; ;0 2 3a 3a a 3a Nên MA ; ;a ; MB1 ; ;0 Vậy S Trang 24 a 19 MA1, MB 2 Bài toán 15.30: Lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có chiều cao nửa cạnh đáy Điểm M thay đổi cạnh AB Tìm giá trị lớn góc A1MC1 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục hình vẽ (A1xyz) Đặt AM x,0 x Ta có: M(x;0;a), A1(0;0;0),C1(2;2;2) Nên MA ' (x;0; 1), MC1' (2 x;2; 1) Đặt A1MC1 cos cos(MA1, MC1) x 2x x (2 x) 2 (x 1) x (2 x) 2 0 Do 90o Vậy góc A1MC1 lớn x=1 tức M trung điểm AB Bài tốn 15.31: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA=h, đáy tam giác ABC vuông C AC b, BC a Gọi M trung điểm AC N điểm cho SN SB a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Tìm liên hệ a, b, h để MN vng góc với SB Hướng dẫn giải Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gơc O trùng với A, tia Ox trùng với tia AC, tia Oz trùng với tia AS cho điểm B nằm góc xOy Khi đó: b A(0;0;0), C(b;0;0), B(b;a;0),S(0;0; h), M( ;0;0) SB (b;a; h) Gọi N(x;y;z) SN (x; y; z h) Từ điều kiện SN SB nên b a h 2h b a 2h x ;y ,z h z N ; ; 3 3 3 3 Trang 25 b b a 2h b a 2h a) Ta có MN ; ; ; ; 3 3 3 Nên MN b2 a 4h 2 b 4a 16h 36 9 b) MN vng góc với SB MN.SB b2 a 2h 4h 2a b2 3 Bài toán 15.32: Cho tứ diện S.ABC có SC CA AB a 2,SC (ABC) , tam giác ABC vuông A Các điểm M SA, N BC cho AM CN t(0 t 2a) a) Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị t để MN ngắn b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA Hướng dẫn giải a) Ta chọn trục Oxyz cho gốc tọa độ O A Trục Ox chứa AC, trục Oy chứa AB trục Oz (ABC) Khi cạnh SC song song với rục Oz ta có: A(0;0;0), B(0;a 2;0),C(a 2;0;0),S(a 2;0;a 2) t t 2 t t M ;0; ; ;0 ; N a 2 MN 2(a 2at t ) t2 t2 3t 4at 2a 2 2 a 2a 2a 3 t 3 Vây MN ngắn a 2a t 3 a a 2a a b) Khi MN ngắn thì: M ;0; ; ;0 , N 3 a a a 2 MN ; ; 3 Trang 26 MN.SA Ta có dpcm MN.BC Bài toán 15.33: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc Tìm tan để SA vng góc SC Hướng dẫn giải Chọn hệ trục Oxyz có O tâm đáy ABCD, tia Ox chứa A, tia Oy chứa B, tia Oz chứa S Ta có: a a A ;0;0 , B 0; ;0 a a a C ;0;0 , D 0; ;0 ,S 0;0; tan 2 a a a a Nên SA ;0; tan ,SB 0; ; tan 2 a a a a SC ;0; tan ,SD 0; ; tan 2 2 Ta có SA SC SA.SC a2 a2 a2 tan tan 1 2 tan tan Bài tốn 15.34: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N,P điểm chia đoạn thẳng AB, D’D B’C’ theo tỉ số k 0,1 Chứng minh mp(MNP) luôn song song với mp(AB’D’) Hướng dẫn giải Đặt A'B' a, A'D' b, AA' c Ta dùng phương pháp tọa độbằng cách chọn hệ trục tọa độ với gốc là: A '(0;0;0) cho B'(a;0;0), D'(0;b;0), A(0;0;c) Ta có C'(a;b;0), B(a;0;c), D(0;b;c),C(a;b;c) Các điểm M,N,P chia đoạn thẳng AB, D’D, B’C’ theo tỉ số k nên: kc kb ka M ;0;c , N 0; b; ;0 , P a; 1 k 1 k 1 k Trang 27 1 kc ka Do MN ; b; c , NP a; b; ck 1 k a k 1 k k k k k k k Ta có: MN, NP bc; ca; ab 2 (1 k)2 (1 k) (1 k) Nên mp(MNP) có vecto pháp tuyến n (bc;ca;ab) Mặt phẳng (AB’D’) có phương trình Vì x y z 1 1 có vecto pháp tuyến n ; ; a b c a b c bc ca ab abc M, N, P (AB'D') k nên: mp(MNP) mp(AB'D') 1 a b c Bài tốn 15.35: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI) Hướng dẫn giải Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ tâm O đáy, trục Ox chứa OA, trục Oy chứa OB, trục Oz chứa SO Khi đó: a a a A ;0;0 , B 0; ;0 , C ;0;0 ,S 0;0; h 2 h Ta có giao điểm M SO AI trọng tâm tam giác SAC nên M 0;0; Mặt phẳng 3 qua A, B, MI mặt phẳng (ABM) nên có phương trình là: x a 2 y a 2 z 1 h Do khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABM) là: d 2ah 2 4h 9a a2 a2 h2 Bài tốn 15.36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB a, AD a 2,SA a, SA vng góc (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD, SC, gọi I giao điểm BM AC Chứng minh (SAC) (SBM) tính thể tích khối ANIB Trang 28 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ S(0;0;a), A(0;0;0), B(a;0;0),C(a;a 2;0) Thì D(0;a 2;0), M(0; Vì a a a a ;0), N( ; ; ) 2 2 IA IM AM IC IB BC IA AC a a a I( ; ;0), BM(a; ;0), BS(a;0;a) 3 Mặt phẳng (SBM) có vecto pháp tuyến: a2 2 a2 n1 BM, BA ;a ; 2 Mặt phẳng (SBM) có vecto pháp tuyến: n AS, AC a 2;a ;0 Vì n1.n nên mặt phẳng (SAC), (SMB) vng góc a2 a2 Ta có: AI, AN ; ;0 , AB (a;0;0) VANIB a3 AI, AN AB (dvtt) 36 Bài toán 15.37: Cho tứ diện (T) có đỉnh có tọa độ (xi ; yi ; zi ) với i , nội tiếp mặt cầu đơn vị Chứng minh: 4 i 1 i 1 i 1 4 i 1 i 1 i 1 xi2 yi2 zi2 x i yi yi z i z i x i Hướng dẫn giải Ta kiểm tra kết luận cho trường hợp tứ diện Ao BoCo Do có đỉnh Trang 29 2 1 1 1 Ao (0;0;1), B o ;0; , Co ; ; , Do ; ; 3 3 3 3 Bây ta chứng minh khẳng dịnhđúng cho tứ diện ABCD có đỉnh (xi ; yi ; zi ) Đầu tiên, ta quay (T) quanh trục z đỉnh nằm mặt phẳng (Oyz) Tiếp theo, ta quay quanh trục Ox đỉnh trùng với điểm Ao (0;0;1) Sau đó, lại quanh quanh trục Oz (T) trùng với tứ diện Ao BoCo Do nói dpcm Bài toán 15.38: Cho hai điểm A(3;1;0), B(9;4;9), mp() : 2x y z Tìm tọa độ điểm M () cho MA MB đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải Đặt f (x; y;z) 2x y z f (x A , yA , zA ).f (x B , yB , z B ) nên hai điểm A, B khác phía mặt phẳng () Gọi A’ điểm đối xứng điểm A qua mặt phẳng () Ta có: MA MB MA ' MB A 'B (Không đổi) A'H : x 2t, y t, z t nên H(3 2t;1 t; t) thuộc () suy t = H(1; 2; 1) Do A '(1;3; 2) x 1 8t Đường thẳng A’B có phương trình y t z 2 11t x 1 8t y t t M(7; 2; 13) Điểm M(x;y;z) thỏa mãn hệ: z 11t 2x y z Bài tốn 15.39: Cho điểm A(1;0;3), B(3;1;3),C(1;5;1) M(x;y;0) Tìm giá trị nhỏ T MA MA MC Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm BC Trang 30 I(1;3;2) MB MC 2MI T 2(MA MI) zA zI A I nằm phía mp(Oxy) M(x;y;0) thuộc mp(Oxy) nên lấy đối xứng I(-1;3;2) qua mp(Oxy) thành J(-1;3;-2) MI MJ T 2(MA MJ) 2AJ 38 Dấu = xảy M giao điểm đoạn MJ với mp(Oxy) thành J(-1;3;-2) MI MJ T 2(MA MJ) 2AJ 38 Dấu = xảy M giao điểm đoạn MJ với mp(Oxy) M ; ;0 Vậy T 38 Bài toán 15.40: Cho A(2; 2;1), B(0;2; 3) Tìm điểm M thuộc x 2t d : y t cho MA + MB bé z t Đăng ký mua tài liệu file word bồi dưỡng HSG mơn Tốn trọn bộ: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu HSG mơn Tốn” Gửi đến số điện thoại Hướng dẫn giải Trang 31 Ta tìm hình chiếu A’B’ A, B lên d Ta có M thuộc d M(1 2t;2 t;1 t) AM (2t 1)2 (4 t) t 6t 12t 17 6(t 1)2 11 11 AM bé t=1, M hình chiếu A’(3;1;2) Tương tự BM2 6t 12t 17 6(t 1)2 11 11 BM BM bé t=1, M hình chiếu B’(-1;3;0) Trên mp(A,d) lấy điểm B1 cho B1 A khác phía d, B1B' d Với M thuộc d: MA MB MA MB1 AB1 : khơng đổi, MA + MB bé M giao điểm AB1 với d Ta có AA ' B1B' nên M chia đoạn A’B’ theo tỉ số: k AA ' 11 1 M(1; 2;1) B1B' 11 Bài tốn 15.41: Tìm giá trị bé của: f (x; y) (x 1)2 (y 3)2 (x 2)2 (y 4)2 25 Hướng dẫn giải Trong không gian Oxyz, xét M(x;y;0) điểm cố định A(1; 3;3), B(2; 4; 5) khác phía với mp(Oxy) Ta có: f (x; y) MA MB AB 66 Giá trị bé f (x; y) 66 M giao điểm đoạn AB với mặt phẳng Oxy Bài tốn 15.42: Cho số thức a1;b1;c1;a ;b2 ;c2 ;a 3;b3;c3 thỏa mãn: a1 a a3 3b1 b2 b3 4c1 c2 c3 12 Chứng minh bất đẳng thức: a12 b12 c12 a 22 b22 c22 a 32 b32 c32 13 Hướng dẫn giải Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, chọn điểm: A(a1;b1;c1), B(a1 a ;b1 b2 ;c1 c2 ),C(a1 a a 3;b1 b2 b3;c1 c2 c3 ) Trang 32 hay C(3; 4;12) có: OA a12 b12 c12 ; AB a 22 b22 c22 ; BC a 32 b32 c32 Nên ta có: a12 b12 c12 a 22 b22 c22 a 32 b32 c32 OA AB BC OC 13 3.BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 15.1: Cho u 2, v , góc hai vecto u v 2 Tìm k để vecto p ku 17v vng góc với vecto q 3u v Hướng dẫn Điều kiện tích vơ hướng Kết k = 40 Bài tập 15.2: Cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1),C(2;1;1) Tính chu vi, diện tích độ dài đường cao H Hướng dẫn Dùng công thức Kết 5; 30 ; AH Bài tập 15.3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có điểm A(1;0;1), B(2;1;2), D(1; 1;1),C'(4;5; 5) Tìm điểm lại Hướng dẫn Vì hình hộp ABCD.A’B’C’D’ nên ABCD hình bình hành Kết C(2;0;2), A'(3;5; 6), B'(4;6;5), D'(3;4; 6) Bài tập 15.4: Cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0),C(0;0;1), D(2;1; 2) a) Tính góc đường thẳng chứa cạnh đối tứ diện b) Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao AH tứ diện Hướng dẫn a) Kết cos(AB, CD) 17 17 ; cos(AB, CD) 0; cos(AB, CD) 14 14 3V b) Kết V (dvtt); AH SBCD Trang 33 Bài tập 15.5: Cho điểm A(2; 4;2), B(0;2; 2),C(4;8;0), D(6;2;4) Chứng minh ABCD hình thoi, tính diện tích bán kính r đường tròn nội tiếp hình thoi Hướng dẫn Chứng minnh ABCD hình bình hành có cạnh liên tiếp Kết SABCD 2736, r 171 14 Bài tập 15.6: Chứng tỏ mặt phẳng (),(,(),() sau mặt phẳng bốn mặt hình hộp chữ nhật: () : 7x 4y 4z 30 0, () : 36x 51y 12z 17 ( ) : 7x 4y 4z 0, () :12x 17y 4z Hướng dẫn Chứng minh: () (),() (),() () Bài tập 15.7: Chứng minh đường thẳng d k giao tuyến mặt phẳng: x kz k 0,(1 k)x ky 0, k nằm mặt phẳng cố định Hướng dẫn Khử tham số k hai phương trình mặt phẳng Kết (P) : x y z 1 Bài tập 15.8: Tìm điểm M trục Oz trường hợp sau: a) M cách điểm A(2;3; 4) mặt phẳng 2x 3y z 17 b) M cách hai mặt phẳng x y z x y z Hướng dẫn a) Điểm M trục Oz nên M 0;0; z Kết M 0;0;3 b) Điểm M trục Oz nên M 0;0; z Kết M 0;0; 2 Bài tập 15.9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên cạnh BB’, CD, AD’ lấy điểm M,N,P cho: B'M CN DP ka(0 k 1) a) Tính diện tích tam giác MNR theo k a b) Xác định vị trí M BB’ để diện tích MNP có giá trị bé Hướng dẫn Trang 34 a) Chọn hệ trục tọa độ Axyz Kết SMNP a2 (k k 1) b) Kết M trung điểm BB’ Bài tập 15.10: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi M trung điểm AD, N tâm hình vng CC1D1D Tìm bán kính mặt cầu qua đểm B,C1, M, N Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Axyz Kết R a 35 Bài tập 15.11: a) Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) cho MA MB nhỏ với A(1;6;6), B(3; 6; 2) b) Tìm điểm H BC cho AH bé với A(4;2;6), B(4; 4;0),C(10; 2;4) Hướng dẫn a) Điểm M thuộc mp(Oxy) nên M x; y;0 Kết M 2; 3;0 b) Kết H( 55 19 18 ; ; ) 77 7 Bài tập 15.12: Cho A(1;4;5), B(0;3;1),C(2; 1;0) mặt phẳng (P) : 3x 3y 2z 15 Tìm điểm M thuộc (P) để: a) MA2 MB2 MC2 bé b) MA2 1975.MB2 2015.MC2 bé Hướng dẫn a) Dùng trọng tâm G tam giác ABC Kết M(4; 1;0) b) Dùng tâm tỉ cự I hệ điểm: IA 1975IB 2015IC Trang 35 ... gian: Đưa tọa độ Oxyz vào tốn hình học không gian túy, cách chọn hệ trục thuận lợn để giải tốn CÁC BÀI TỐN Bài tốn 15. 1: Cho hình bình hành ABCD với A(3; 2;0) , B(3; 3;1) , C(5;0; 2) Tìm tọa. .. toán 15. 8: Tìm tọa độ điểm H hình chếu a) A(2;1;0) đường thẳng BC với B(0;3; 1),C(1;0;2) b) D(1;1;1) lên mặt phẳng (ABC) với A(4;1;4), B(3;3;1),C(1;5;5) Đăng ký mua tài liệu file word bồi dưỡng. .. 13 33 Vậy hình chiếu có tọa độ H ; ; 25 25 Bài toán 15. 9: a) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc trục Oy tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) VABCD b) Tìm tọa độ trực tâm, tâm đường tròn
