Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức i/ dùng định nghĩa và tính chất 1/ Định nghĩa: Khi hai biểu thức A và B nối với nhau bởi một trong các quan hệ >; ; <; thì ta bảo có một bất đẳng thức: A>B, BA , A<B, BA Khi đó ta viết: A>B A-B >0 (đọc là A lớn hơn B) A và B là hai vế của bất đẳng thức. 0 BABA (đọc là A lớn hơn hay bằng B) Ghi nhớ:Một BĐT có thể đúng, có thể sai nhng khi phải cm một BĐT mà không rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng đó là một BĐT đúng. 2/ Các tính chất của bất đẳng thức: 1 Tính phản xạ: aaRa : 2 Tính bắc cầu: baRcba :,, và cacb 3 Cộng, trừ hai vế của một BĐT với cùng một số thực mbmabaRmba ::,, . Hệ quả: Chuyển vế đổi dấu: bcacba + Cộng hai BĐT cùng chiều: dbca dc ba ++ Ghi nhớ:Không đợc trừ hai BĐT cho nhau 4 Nhân, chia hai vế của một BĐT với cùng một số thực 0 m < > 0; 0; :, mbmam mbmam baRba < > + 0; 0; :, m m b m a m m b m a Rba 5 Nếu a>b>0 hay 0>a>b ba ba 11 (a và b cùng dấu) 6 Nhân hai vế của hai BĐT cùng chiều + bdac dc ba Rdcba :,,, Ghi nhớ: Không đợc chia hai BĐT cho nhau. 1 Hệ quả: * ;0 > n ba ba ba nn nn 3/ Ví dụ áp dụng: Cho x,y,z là 3 số tùy ý. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) xyzxzzyyxa 6111/ 222222 +++++ ( ) ( ) zxyzxyzyxb ++++ 3/ 2 Giải: a/ Ta luôn có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 320 220 120 222 2 222 2 222 2 xyzyxzxyz xyzxzyzxy xyzzyxyzx + + + Cộng (1),(2),(3) theo vế và nhóm các đơn thức có nhân tử chung cho ta điều phải chứng minh: b/ Ta có: ( ) ( ) zxyzxyzyxzyx +++++=++ 2 222 2 Ngoài ra ta luôn có: ( ) ( ) ( ) zxxzxz yzzyzy xyyxyx 20 20 20 22 2 22 2 22 2 + + + Cộng vế theo vế và rút gọn cho ta: ( ) zxyzxyzyx ++++ 222 Do đó: ( ) ( ) zxyzxyzxyzxyzyx +++++++ 2 2 Vậy: ( ) ( ) zxyzxyzyx ++++ 3 2 4/ Bài tập tự giải: Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1. Chứng minh rằng: 2 1 , 22 + yxa 8 1 , 44 + yxb Bài 2: Cho x+y=2. Chứng minh rằng 2 44 + yx Bài 3: Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì 3 1 222 ++ zyx Bài 4: Cho ba số x,y,z tùy ý. Chứng minh rằng: 2 222 33 ++ ++ zyxzyx Bài 5: Cho ba số dơng x,y,z và x+y+z=4. Chứng minh rằng: xyzyx + Bài 6: Cho hai số dơng x,y và yxyx =+ 33 . Chứng minh rằng: 1 22 <+ yx 2 Bài 7: Cho ba số dơng x,y,z thỏa mãn điều kiện 3 5 222 =++ zyx . Chứng minh rằng: xyzzyx 1111 <+ ii/ dùng phép biến đổi tơng đơng: 1/ Đ ờng lối chung: 3 Để chứng minh đẳng thức BA là đúng bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng ta biến đổi: BA (1) 11 BA . BnAn (2) Theo giả thiết hay theo tính chất cơ bản đã biết ta có (2) cuối cùng hiển nhiên đúng. Do đó kết luận (1) luôn đúng. 2/ Ví dụ áp dụng: Cho hai số x, y sao cho 0 xy . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1 4 2 22 yxyx Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh, ta lần lợt có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 001 4224 2 22 + yxyxyxyxyx ( ) ( ) ( ) [ ] 0 222 + yxyxyx ( ) ( )( ) [ ] 0 2 ++++ yxyxyxyxyx ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) 204022 22 yxxyyxyx Do 0 xy nên bất đẳng thức (2) hiển nhiên đúng. Vậy (1) luôn đúng. 3/ Các bài tập tự giải: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y ta có bất đẳng thức: yxxyyxa ++++ 1/ 22 yxxyyxb 3344 / + Bài 2: Cho hai số dơng x,y. Chứng minh rằng: 3 33 22 + + yxyx Bài 3: Cho bốn số a,b,c,d, bất kỳ. Chứng minh rằng: ( )( ) 2222 dcbabdac ++ Bài 4: Cho ba số a,b,c sao cho 0 ++ cba Chứng minh rằng: abccba 3 333 ++ Bài 5: Chứng minh rằng với năm số c,b.c,d,e bất kỳ, bao giờ ta cũng có: ( ) edcbaedcba +++++++ 22222 Bài 6: Chứng minh rằng nếu a>0, b>0 thì ta có: cbabaaccb ++ > + + + + + 3111 Bài 7: Cho .1 ab Chứng minh rằng: ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 22 Iii/ dùng BĐT trung gian: 1/ Ph ơng pháp chung: Dùng BĐT Côsi với hai số không âm: Cho hai số 0,0 yx ta có BĐT Côsi sau: xy yx + 2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y. 4 Ta có thể cm nh sau: Vì 0,0 yx nên: ( ) xy yx xyyxyx + ++ 2 020 2 Dấu = xảy ra yxyx == 0 2/ Ví dụ áp dụng: Cho ba số x, y, z không âm. Chứng minh rằng: zxyzxyzyx ++++ Giải: Vì 0,0,0 zyx nên áp dụng BĐT Côsi với hai số không âm cho ta: zx xz yz zy xy yx + + + 2 , 2 , 2 Do đó cộng vế theo vế ba BĐT cùng chiều cho ta zxyzxy xzzyyx ++ + + + + + 222 Vậy: zxyzxyzyx ++++ 3/ Các bài tập tự giải: Bài 1: Cho bốn số a,b,c,d không âm. Chứng minh rằng: ( )( )( )( ) abcdaddccbba 16 ++++ Bài 2: Với 0,0 yx . Chứng minh đẳng thức: ( ) ( ) xyyxyx ++ 22 2 Bài 3:Cho ,1 x và 1 y . Chứng minh rằng: xyxyyx + 11 iV/ dùng BĐT về ba cạnh của một tam giác: 1/ Ph ơng pháp chung: Với a,b,c là ba độ dài cạnh của một tam giác ( ) ( ) ( ) +< +< +< 3 2 1 bac acb cba 5 Từ ba BĐT về tổng hai cạnh của một tam giác ta suy ra đợc ba bất đẳng thức về hiệu hai cạnh: ( ) ( ) ( ) 6 5 4 bacbac acbacb cbacba <+< <+< <+< 2/ Ví dụ áp dụng: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta có: ( ) cabcabcba ++<++ 2 222 Giải: áp dụng BĐT về ba cạnh a,b,c của một tam giác cho ta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2 2 2 2 bacbac acbacb cbacba << << << Cộng ba vế của BĐT cùng chiều (1), (2), (3) vế theo vế cho ta: ( ) ( ) ( ) 222 222 abcaccbba ++<+ ( ) ( ) cabcabcba cabcabcba cbaacaccbcbbaba ++<++ <++++ ++<+++++ 2 02 222 222 222 222222222 Vậy BĐT đã đợc chứng minh. 3/ Bài tập tự giải: Bài 1: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ( )( )( ) abcbacacbcba +++ 6