BDT hay cấp THCS

Chu Thanh Huyền (angleofdarkness) K48 chuyên toán - trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Một số bài toán BĐT hay cấp THCS *** Bài 1. (braga) Cho a, b , c là các số thực dương. Chứng minh rằng: (a +b +c)  1 a + 1 b + 1 c  ≥9 +3 3   (b −a)(c −b)(a −c) (a +b)(b +c)(c +a)  2 Lời giải. Áp dụng BĐT AM - GM cho 3 số dương: 3 3  ( (a −b)(b −c)(c −a) (a +b)(b +c)(c +a) ) 2 ≤ (a −b)(b −c) (a +b)(b +c) + (b −c)(c −a) (b +c)(c +a) + (a −b)(c −a) (a +b))(c +a) ⇒3 3  ( (a −b)(b −c)(c −a) (a +b)(b +c)(c +a) ) 2 +6 ≤ (a −b)(b −c)(c +a) +(b −c)(c −a)(a +b) +(a −b)(c −a)(b +c) (a +b)(b +c)(c +a) +6 ≤ (a −b)(b −c)(c +a) +(b −c)(c −a)(a +b) +(a −b)(c −a)(b +c) 8abc +6 ⇒VP-3 ≤ 54abc −ac 2 −ab 2 −a 2 b −a 2 c −b 2 c −bc 2 8abc V T a b + b c + c a + b a + c b + a c +3 a 2 c +b 2 a +c 2 b +b 2 c +a 2 b +c 2 a abc +3 Ta phải chứng minh: VT = = . Bất đẳng thức 54abc −ac 2 −b 2 a −a 2 b −a 2 c −b 2 c −bc 2 8abc ≤ a 2 c +b 2 a +c 2 b +b 2 c +a 2 b +c 2 a abc ⇔8(a 2 c +b 2 a +c 2 b +b 2 c +a 2 b +c 2 a) ≥54abc −ac 2 −b 2 a −a 2 b −a 2 c −b 2 c −bc 2 ⇔a 2 b +ab 2 +b 2 c +bc 2 +c 2 a +ca 2 ≥6abc ⇔a 2 b +ab 2 +b 2 c +bc 2 +c 2 a +ca 2 +2abc ≥8abc ⇔(a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc(luôn đúng theo BĐT AM - GM) Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. Q. E. D.  Bài 2. (braga) Cho a, b , c là ba số thực dương.Chứng minh rằng: (a +b +c)  1 a + 1 b + 1 c  ≥9 +3 3   (b −a)(c −b)(a −c) abc  2 Lời giải. Áp dụng BĐT AM - GM cho 3 số dương: 3 3  ( (b −a)(c −b)(a −c) abc ) 2 +9 ≤( (b −a) 2 ab + (c −b) 2 bc + (c −a) 2 ac +6) +3 = cb 2 +ca 2 +ac 2 +ab 2 +bc 2 +ba 2 abc +3 = b a + a b + c b + b c + a c + c a +3 =(a +b +c)( 1 a + 1 b + 1 c ) Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. Q. E. D.  Bài 3. (braga) Cho a, b , c là ba số thực dương.Chứng minh rằng: a b +c + b c +a + c a +b ≥ 3 2 +3 3   (b −a)(c −b)(a −c) (a +b)(b +c)(c +a)  2 Math Team 2 . Bất đẳng thức Lời giải. Áp dụng BĐT AM - GM cho 3 số dương: 3 3  ( (b −a)(c −b)(a −c) (a +b)(b +c)(c +a) ) 2 + 3 2 ≤ (b −a)(c −b) (a +b)(b +c) + (c −b)(a −c) (b +c)(c +a) + (b −a)(a −c) (a +b)(c +a) + 3 2 = 6abc −b 2 a −a 2 b −bc 2 −b 2 c −ca 2 −c 2 a + 3 2 (a +b)(b +c)(c +a) (a +b)(b +c)(c +a) = 9abc + 1 2 (a 2 b +b 2 a +bc 2 +b 2 c +ca 2 +c 2 a) (a +b)(b +c)(c +a) V T = a 3 +b 3 +c 3 +a 2 b +b 2 c +c 2 a +ab 2 +bc 2 +ca 2 +3abc (a +b)(b +c)(c +a) ≥ 6abc +a 2 b +b 2 a +bc 2 +b 2 c +ca 2 +c 2 a (a +b)(b +c)(c +a) (Vi a 3 +b 3 +c 3 ≥3abc) Như vậy ta phải chứng minh: 6abc +a 2 b +ab 2 +b 2 c +bc 2 +c 2 a +ca 2 ≥9abc + 1 2 (a 2 b +ab 2 +b 2 c +bc 2 +c 2 a +ca 2 ) ⇔ 1 2 (a 2 b +ab 2 +b 2 c +bc 2 +c 2 a +ca 2 ) ≥3abc Mà a 2 b +ab 2 +b 2 c +bc 2 +c 2 a +ca 2 +2abc=(a +b)(b +c)(c +a) ≥8abc ⇒a 2 b +b 2 a +bc 2 +b 2 c +ca 2 +c 2 a ≥6abc ⇔ 1 2 (a 2 b +ab 2 +b 2 c +bc 2 +c 2 a +ca 2 ) ≥3abc Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. Q. E. D.  Bài 4. (congchuaanhsang) Cho a, b , c >0 và a +b +c =1. Tim min A = a 3 +b 3 +c 3 Math Team 3 . Bất đẳng thức Lời giải. Áp dụng BĐT AM - GM cho 3 số dương: a 3 + 1 27 + 1 27 ≥ a 3 Tương tự cộng từng vế. Nếu được sử dụng có thể áp dụng luôn Holder. Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. Q. E. D.  Bài 5. (congchuaanhsang) Cho a,b,c >0 ; abc =1. Chứng minh rằng: a (1 +a)(1 +b) + b (1 +b)(1 +c) + c (1 +c)(1 +a) ≥ 3 4 Lời giải. Quy đồng ta có V T = a +b +c +ab +bc +ca a +b +c +ab +bc +ca +2 Đặt a +b +c +ab +bc +ca = x Theo BĐT AM- GM a +b +c +ab +bc +ca ≥ 6 6  a 3 b 3 c 3 =6 Ta cần chứng minh x x +2 ≥ 3 4 ⇔4x ≥3x +6 ⇔x ≥6 ( đúng) Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. Q. E. D.  Bài 6. (soiconboy9x) Cho a,b,c dương. Chứng minh: 1 a(1 +b) + 1 b(1 +c) + 1 c(1 +a) ≥ 3 1 +abc Math Team 4 . Bất đẳng thức Lời giải. BĐT cần chứng minh tương đương vơi: p abc +1 a(b +1) + abc +1 b(c +1) + abc +1 c(a +1) ≥3 ⇔[ abc +1 a(b +1) +1] +[ abc +1 b(c +1) +1] +[ abc +1 c(a +1) ] ≥6 ⇔ abc +ab +a +1 a(b +1) + abc +bc +b +1 b(c +1) + abc +ac +c +1 c(a +1) ≥6 ⇔[ a +1 a(b +1) + a(b +1) a +1 ] +[ b(c +1) b +1 + b +1 b(c +1) ] +[ c(a +1) c +1 + c +1 c(a +1) ] ≥6 Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. Q. E. D.  Bài 7. (xinchao2000) Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y +z =3. Chứng minh: x 3 y 3 +8 + y 3 z 3 +8 + z 3 x 3 +8 ≥ 1 9 + 2 27 .(x y + y z +zx) Lời giải. Có x y +yz +xz ≤ (x +y +z) 2 3 ⇒VP ≤ 1 3 (1) Giả sử x là số lớn nhất trong 3 số x, y, z. XetA =V T − 1 3 = x 3 y 3 +8 − 1 9 + y 3 z 3 +8 − 1 9 + z 3 x 3 +8 − 1 9 = 9x 3 −y 3 −8 x 3 +8 + 9y 3 −z 3 −8 y 3 +8 + 9z 3 −x 3 −8 x 3 +8 ≥ 8(x 3 +y 3 +z 3 ) −24 x 3 +8 Áp dụng BĐT AM - GM x 3 +1 +1 ≥3x; y 3 +1 +1 ≥3y; z 3 +1 +1 ≥3z ⇒x 3 +y 3 +z 3 ≥3(x +y +z) −6 = 3 ⇒8(x+y+z) ≥24 ⇒A ≥0 ⇒VT ≥ 1 3 (2) Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. Math Team 5 . Bất đẳng thức Cách 2: Ta đưa bài toán về chứng minh: P = x 3 y 3 +8 + y 3 z 3 +8 + z 3 x 3 +8 − 2 27 .(x y + y z +zx) ≥ 1 9 Ta có y 3 +8 =(y +2)(y 2 −2y +4). Đánh giá đại diện theo AM - GM: x 3 y 3 +8 + y +2 27 + y 2 −2y +4 27 ≥ x 3 . ⇒P ≥  x 3 −3. 6 27 + 2 27  x − 1 27  x + 1 27 (  x) 2 . Với  x = 3 ta có ngay BĐT trên. Q. E. D.  Bài 8. (hoamattroi3520725127) Cho a,b,c dương thỏa mãn abc =1. Chứng minh: a 2 1 +b + b 2 1 +c + c 2 1 +a ≥ 3 2 Lời giải. Giả sử a là số lớn nhất trong 3 số a, b, c. V T −V P = a 2 b +1 − 1 2 + b 2 c +1 − 1 2 + c 2 a +1 − 1 2 ≥ 2(a 2 +b 2 +c 2 ) −(a +b +c) −3 a +1 Theo BĐT AM - GM thì a +b +c ≥3 3  abc = 3 Theo BĐT B. C. S: a 2 +b 2 +c 2 ≥ (a +b +c) 2 3 ⇒VT-VP ≥ 2(a +b +c) 2 3 −(a +b +c) −3 a +1 ⇔VT-VP ≥ (a +b +c −3)[2(a +b +c) +3] a +1 ≥0 ⇒VT ≥V P Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. Q. E. D.  Math Team 6 . Bất đẳng thức Bài 9. Cho a,b,c dương thỏa mãn a +b +c =1. Tìm min: 1 a 2 +b 2 +c 2 + 1 abc Lời giải Ta có: 1 a 2 +b 2 +c 2 + 1 abc = 1 a 2 +b 2 +c 2 + 1 3abc + 2 3abc = 1 a 2 +b 2 +c 2 + (a +b +c) 2 3abc + 2 3abc = 1 a 2 +b 2 +c 2 + a 2 +b 2 +c 2 3abc + 2 3 ( 1 a + 1 b + 1 c ) + 2 3abc ≥ 2  3abc + 2 3 . 9 a +b +c + 2 3abc Mặt khác có 1 = a +b +c ≥3 3  abc ⇒bc ≤ 1 27 ⇒3abc ≤ 1 9 ⇒V T ≥6 +6 +18 =30 Dấu "=" xảy ra ↔ a =b = c = 1 3 Q. E. D. Bài 10. Cho a,b,c dương thỏa mãn 3(ab +bc +ca) =1. Chứng minh: a a 2 −bc +1 + b b 2 −ac +1 + c c 2 −ab +1 ≥ 1 a +b +c Lời giải  a a 2 −bc +1 =  a 2 a 3 −abc +a ≥ (a +b +c) 2 (a +b +c)(a 2 +b 2 +c 2 −ab −bc −ca) +a +b +c = a +b +c a 2 +b 2 +c 2 +2ab +2bc +2ca = 1 a +b +c Math Team 7 . Bất đẳng thức Ta áp dụng BĐT phụ sau: 1 x 2 +1 + 1 y 2 +1 ≥ 2 x y +1 Có 1 x 3 +1 + 1 y 3 +1 ≥ 2 x y 1,5 +1 và 1 z 3 +1 + 1 x yz +1 ≥ 2 z 2  x y +1 Cộng theo vế ta được: 1 x 3 +1 + 1 y 3 +1 + 1 z 3 +1 + 1 x yz +1 ≥ 2 x y 1,5 +1 + 2 z 2  x y +1 ≥ 4 x yz +1 Q. E. D. Bài 11. Cho các số thực a,b,c ≥1.Chùngminh : abc +60 29 ≥2010.( 2010  a + 2010  b + 2010  c) Lời giải Áp dụng BĐT AM - GM cho 2010 số dương: 2010 2010  a = 2010  a.1.1 1 ≤a +2009 2010 2010  b ≤b +2009 2010 2010  c ≤ c +2009 ⇒V P ≤ a +b +c +6027. Ta phải chứng minh: a +b +c +6027 ≤ abc +6029 ⇔ a +b +c ≤ abc +2 ⇔ abc −a ≥b +c −2 ⇔ a(bc −1) ≥b +c −2 (1) Xét bc =1 ⇒b =c = 1 ⇒V P(1) =V T (1) =0 Xét bc >1 (1) ⇔ a ≥ b +c −2 bc −1 Xét hiệu b +c −2 −(bc −1) = b +c −bc −1 = (b −1)(1 −c) ≤ 0 ⇔b +c −2 ≤bc −1 ⇒ b +c −2 bc −1 ≤1 ≤ a Dấu "=" không xảy ra ở trường hợp này nên (1) luôn đúng. Q. E. D. Math Team 8 Ch?ng minh Prove that: . Bất đẳng thức Bài 12. Cho a; b;c >0 và ab +bc +ca =1. Tìm max: A = 2a  1 +a 2 + b  1 +b 2 + c  1 +c 2 Lời giải Thay ab +bc +ca =1 vào thì biểu thức A đã cho trở thành: A = 2a  (a +b)(a +c) + b  (b +c)(b +a) + c  (c +a)(c +b) ⇔ A = 2a  (a +b)(a +c) + 2b  4(b +c)(b +a) + 2c  (c +a)4(c +b) ⇔ A ≤2a( 1 2a +2b ++ 1 2a +2c ) +2b( 1 8b +8c + 1 2b +2 a ) +2c( 1 8b +8c + 1 2a +2c ) ⇔ A ≤ a +b a +b + a +c a +c + b +c 4(b +c) =2, 25 Dấu "=" xảy ra khi a = 7  15 ; b =c = 1  15 Q. E. D. Bài 13. Cho x 2 y +x y 2 ≥0. Tìm min: B =(1 +x 2 y +x y 2 ) 2001 −2001 x y(x +y) +2001 Lời giải Áp dụng BĐT AM - GM cho 2001 số không âm ta được: (1 +x 2 y +x y 2 ) 2001 +2000 ≥2011(1 +xy 2 +x 2 y) ⇔B ≥2002 Dấu "=" xảy ra khi x = y =0. Cách 2 Áp dụng BĐT Bernoulli thì: (1 +x 2 y +x y 2 ) 2001 ≥1 +2001 x y(x +y) ⇔B ≥1 +2001 =2002 Q. E. D. Math Team 9 . Bất đẳng thức Bài 14. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc =1. Tìm min: P = ab 2b +c + cb 2c +a + ca 2a +b Lời giải Ta đặt (a; b; c) =  x y ; y z ; z x  với x; y; z >0 thì sẽ có x y z =1 ⇒ ab 2b +c = x y yz 2y z + z x = x 2 2x y +z 2 Tương tự trên ta được P = x 2 2x y +z 2 + y 2 2yz +x 2 + z 2 2xz +y 2 Theo BĐT B. C. S thì: P ≥ (x +y +z) 2 (x +y +z) 2 =1 Dấu "=" xảy ra khi a =b =c =1 Q. E. D Bài 15. Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a +b +c =1. Chứng minh: a +2b +c ≥4(1 −a)(1 −b)(1 −c) Lời giải Từ a +b +c =1 ⇒1 −c =a +b Ta có 4.(1 −a).(1 −c) =4.(1 −a).(a +b) ≤(1 −a +a +b) 2 =(1 +b) 2 ⇒4.(1 −a).(1 −b).(1 −c) ≤(1 +b) 2 .(1 −b) =(1 −b 2 ).(1 +b) ≤(1 +b) =a +b +c +b = a +2b +c ⇒a +2b +c ≥4.(1 −a).(1 −b).(1 −c) Dấu "=" xảy ra khi a =b =c = 1 3 Q. E. D Math Team 10 [...]... Team 12 Bất đẳng thức Mặt khác: a2 + c 2 a2 + c 2 ≥ −ac ⇒ ac ≥ − 2 2 ⇒ ab + bc + ca + c a ≥ −4 − a2 + c 2 2 Ta có a 2 + c 2 ≤ a 2 + c 2 + b 2 ≤ 8 ⇒ a2 + c 2 ≥ −4 ⇒ ab + bc + c a + c a ≥ −4 − 4 = −8 2 Hay P = ab + bc + 2c a ≥ −8 Dấu "="xảy ra khi a = 2, b = 0, c = −2 Q E D Bài 20 Cho a,b, c >0 thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 + abc = 4 Chứng minh: ab + bc + c a − abc ≤ 2 Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì... Xét x 3 + 1 = (x + 1) x − 1 2 2 3 + (x + 1) 4 3 1 ⇒ x + 1 − (x + 1) = (x + 1) x − 4 2 3 2 ≥ 0 ( do x ≥ −1 ) 3 x 3 + 1 − (x + 1) ≥ 0 4 Tương tự ta có được Kết hợp với x + y + z = 0 ⇒ x 3 + y 3 + z 3 ≥ Hay ta có (a − 1)3 + (b − 1)3 + (c − 1)3 ≥ Dấu "=" xảy ra khi a = 0; b = c = −3 4 −3 4 3 và các hoán vị của nó 2 Q E D Bài 40 Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn: a + b + c = 3 Tìm max: P = a b + b c + c a − abc... = −3 + 9+ Mặt khác thì do −3 + 9+ x = y +z −3 + 9+ 6 12y z (y + z)2 12y z (z + y) (y + z)2 4x y ≤ 1 nên: (x + y)2 12y z (y + z) ≤ (−3 + 12)(y + z) = (2 3 − 3)(y + z) (y + z)2 ⇒ 6x ≤ (2 3 − 3)(y + z) Hay ta cũng có x ≤ 2 3−3 (z + y) 6 2 3 Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = Q E D Math Team 28 Bất đẳng thức Bài 44 Cho a; b; c > 0 Chứng minh: 2a 3 2b 3 2c 3 a b c + 6 + 6 ≤ + + 6 + bc a b + ac c + ab bc... Q= ≤ (m + n) 1 + p k (m + n) 1 + p · 4k · a2 b2 + m n k+ kc 2 p a2 b2 kc 2 + +k + m n p 2 Mặt khác thì kc 2 npa 2 + pmb 2 + kmnc 2 a2 b2 + +k + = +k m n p mnp = 5 5 · 12a 2 + 3b 2 + 2c 2 + = 2 5 12 3 Hay ta có P2 ≤ Q ≤ (m + n) 1 + p 4k · 2 5 2 = 45 Suy ra P ≤ 3 5 Dấu "=" xảy ra khi a = m, b = n, c = p Q E D Bài 50 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh: 5 a + b +c 5 b + c +a 5 c >2 a +b Lời giải . Huyền (angleofdarkness) K48 chuyên toán - trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Một số bài toán BĐT hay cấp THCS *** Bài 1. (braga) Cho a, b , c là các số thực dương. Chứng minh rằng: (a +b +c)  1 a + 1 b + 1 c  ≥9. 12. Cho a; b;c >0 và ab +bc +ca =1. Tìm max: A = 2a  1 +a 2 + b  1 +b 2 + c  1 +c 2 Lời giải Thay ab +bc +ca =1 vào thì biểu thức A đã cho trở thành: A = 2a  (a +b)(a +c) + b  (b +c)(b +a) + c  (c. ≥−4 − a 2 +c 2 2 Ta có a 2 +c 2 ≤a 2 +c 2 +b 2 ≤8. ⇒ a 2 +c 2 2 ≥−4 ⇒ab +bc +ca +ca ≥−4 −4 =−8 Hay P = ab +bc +2ca ≥−8 Dấu "="xảy ra khi a =2, b =0, c =−2. Q. E. D. Bài 20. Cho a,b,