Đề tài toán Chứng minh bất đẳng thức MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO THCS 1) Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ b , kí hiệu a < b + a lớn b , kí hiệu a > b , + a nhỏ b , kí hiệu a b, + a lớn b , kí hiệu a b, 2) Một số tính chất bất đẳng thức: a) Nếu (tính chất bắc cầu) b) Nếu a>b c a+c>b+c Tức là: Khi cộng vào vế bất đẳng thức với số bất đẳng thức không đổi chiều. c) Nếu a>b+c a-c>b Tức là: Ta chuyển số hạng bất đẳng thức từ vế sang vế phải đổi dấu số hạng đó. d) Nếu a>b c>d a+c>b+d Tức là: Nếu cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều. Chú ý: Không cộng vế với vế bất đẳng thức ngược chiều e) Nếu a>b c a-c>b-d Tức là: Nếu trừ vế với vế bất đẳng thức ngược chiều ta đượcmột bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ. Chú ý: Không trừ vế với vế bất đẳng thức chiều. f) Nếu a>b c>0 ac>bc Nếu a>b cb>0 c>d>0 ac>bd Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức chiều có vế dương ta bất đẳng thức cung chiều. Chú ý: Không nhân vế với vế hai bất đẳng thức ngược chiều. h) Nếu Tức là: Nếu nhân vế bất đẳng thức dương phép lấy nghịch đảo dổi chiều bất đẳng thức. k) Nếu a>b>0 n nguyên dương Nếu a>b n nguyên dưong 1. Phương pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh - Lưu ý : A2 (hoặc ) ta chứng minh (hoặc ) với A ; dấu '' = '' xảy A = . - Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức Côsi hai số thực không âm ( gọi bất đẳng thức Ơclit ) Dấu “ = “ xảy a=b Giải: Với a,b không âm Dấu “ = “ xảy a=b 2. Phương pháp biến đổi tương đương - Để chứng minh ta biến đổi tương đương Tài liệu giáo viên Đề tài toán Chứng minh bất đẳng thức bất đẳng thức cuối bất đẳng thức hiển nhiên bất đẳng thức đơn giản bất đẳng thức - Một số đẳng thức thường dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Ví dụ: Chứng minh Giải. Bất đẳng thức xét tương đương với bấ đẳng thức sau: (nhân hai vế với 4, chuyển vế) 3. Phương pháp quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức với n > phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức với n = (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức với n = k > (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức với n = k + + Kết luận bất đẳng thức với n > (n > n0) Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n N) Thì ta nên ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học - Ví dụ : Tài liệu giáo viên Đề tài toán Chứng minh bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức Côsi trường hợp tổng quát. Với Giải: Dùng phương pháp quy nạp: + Với n = đúng. + Với n = k cần chứng minh (để chứng minh dựa vào bất đẳng thức phụ sau: x>0 4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-sy: Với số a,b không âm ta có: Dấu "=" xảy a=b Chứng minh: Dấu "=" xảy a=b. Dạng tổng quát bất đẳng thức Cô-sy (Cauchy): Cho n số tự nhiên Dấu "=" xảy Ví dụ:Cho a,b,c >0 chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho số dương ta có: (1) Tài liệu giáo viên Đề tài toán Chứng minh bất đẳng thức (2) Nhân vế (1) (2) ta Dấu "=" xảy a=b=c Cách khác: Dấu "=" xảy a=b=c. 5. Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacôpski Cho a, b, c số thực viết Dấu "=" xảy Tổng quát: Dấu "=" xảy Ví dụ: Cho . Chứng minh rằng: Giải: 6. Phương pháp phản chứng. - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai , sau vận dụng kiến thức biết giả thiết đề để suy điều vô lý . Điều vô lý trái với giả thiết , điều trái Tài liệu giáo viên Đề tài toán Chứng minh bất đẳng thức nhược , từ suy đẳng thức cần chứng minh . - Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định suy điều trái với giả thiết . + Phủ định suy trái với đIều . + Phủ định suy hai điều trái ngược . + Phủ định suy kết luận . Ví dụ: Chứng minh số a,b,c dương thỏa mãn bất đẳng thức: Giải: Giả sử tồn số dương thỏa mãn bất đẳng thức Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: Mà theo bất đẳng thức Cô-sy Điều mâu thuẫn với (1) nên không tồn số a,b,c dương thỏa mãn bất đẳng thức trên. 7. Phương pháp làm trội, làm giảm. Dùng tính chất BĐT để đưa vế BĐT cần chứng minh dạng để tính tổng hữu hạn tích hữu hạn. Ví dụ: Với n số tự nhiên thì: Tài liệu giáo viên Đề tài toán Chứng minh bất đẳng thức Giải: Với số tự nhiên k>1 ta có: Thay k = 2,3,4 . n cộng vế bất đẳng thức ta được: 8. Phương pháp dùng miền giá trị hàm số: Để chứng minh b < f(x) < a với x ta đặt y = f(x) y - f(x) = có nghiệm b < f(x) < a. Từ suy đpcm. Ví dụ: Chứng minh rằng: Giải: Đặt (*) (x;y) thỏa mãn (*) phương trình: có nghiệm có nghiệm Với y= x = Với y khác 9. Phương pháp dùng tính chất tỉ số: Nội dung: Cho ba số a,b,c >0 ta có: Nếu Nếu Nếu d > Tài liệu giáo viên Đề tài toán Ví dụ: Cho a,b,c > chứng minh rằng: Chứng minh bất đẳng thức Giải: Ta có: Cộng vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh. 10. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối. a/ b/ c/ d/ dấu = A.B >0 e/ dấu = A>B>0 A . Cmr : . Cmr : Híng dÉn gi¶i Bài 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, ý không dùng bất đẳng thức Cosi không cho a, b không âm. Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa tổng bình phương không âm. Bài 3: Cách làm tương tự 3. Tài liệu giáo viên Đề tài toán Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Chứng minh bất đẳng thức Bài : Biến đổi tương đương tạo thành tích số không âm. Bài : Biến đổi tương đương Biến đổi tạo thành biểu thức không âm Bài : Áp dụng bất đẳng thức Cosi phát xong : Bài 8: Tương tự Bài 9: Sử dụng bất đẳng thức: (đã chứng minh 8) Chú ý sử dụng kĩ thuật tách hạng tử: (p nửa chu vi ) Bài 10:Biến đổi lại áp dụng xong. Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức cosi lần cho số. Bài 12: Cộng hai vế BĐT với BĐT cần chứng minh trở thành Áp dụng bất đẳng thức 11 xong ! Bài 13 : BĐT áp dụng 11 xong ! Tài liệu giáo viên 10 . thức cosi 2 lần cho 3 số. Bài 12: Cộng hai vế của BĐT với 3 thì BĐT cần chứng minh trở thành Áp dụng bất đẳng thức của bài 11 là xong ! Bài 13 : BĐT áp dụng bài 11 xong ! Tài liệu giáo viên 10 . thỏa mãn bất đẳng thức trên. 7. Phương pháp làm trội, làm giảm. Dùng tính chất của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. Ví dụ: Với n là. Đề tài toán 8 Chứng minh bất đẳng thức MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO THCS 1) Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b + a lớn