Bài tập sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình - TOANMATH.com HPT PP HAM SO

Bài tập sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình - TOANMATH.com HPT PP HAM SO tài liệu, giáo án, bài giảng , l...

Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3.PHƯƠNG PHÁP XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ   x  x   y   y (1) 2  x  x  y  1  y  y    2 Bài toán 7(A – 2013)  Giải: Điều kiện : x  Phương trình 1   x  x   y  y  Đặt u  x  1, u   x  u   x   u  Khi đó,phương trình (1) trở thành : u  u   y  y   3 Xét phương trình (2) : x   y  1 x  y  y   Xem x ẩn, y tham số, ta có :   y Phương trình có nghiệm y  Xét hàm số f  t   t  t  2, t  0;   f ' t   1 2t t4   0, t   0;   Suy hàm số liên tục đồng biến  0;   Từ đó, phương trình  3  u  y  x   y  y  x   x  y  1  Thế (4) vào phương trình (2) ta : y  1   y  1  y  1  y  y    y8  y5  y  y   y  y  1  y  y  y  y  y  y    Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com y   x 1   y   x  0, loai Vậy nghiệm hệ phương trình cho 1;   x y   y x   Bài toán 11  2  x  x   y + y  1 2 Giải: x  Xét hàm số f  t   t  t  1, t  1;   y   Điều kiện :  f '  t   2t   0, t  1;   Suy hàm số đồng biến 1;   t 1 Từ đó, phương trình    x  y 1  x x    x  x  1   x  x    x   y Vậy hệ phương trình có nghiệm  2;   x  y  x  y  (1)  x  y  3x  y  1  2 Bài toán  Giải: Điều kiện :  x, y  Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế với vế, ta :  y2  x2  x y f ' t   1 t 1 t2  Xét hàm số f  t   1 t2 , t   0;1 t  0, t   0;1 Suy hàm số liên tục nghịch biến [0; 1] Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Từ đó, phương trình    x  y Khi 1  x  x2  1  x 1  x    x , loai  2 x    y x    4 x  x    2 ;  2   Vậy nghiệm hệ phương trình cho   x   y   10  x  y   Bài toán 17   x   16  x  y - 628 = 1 2 x   2 x8 Giải: Điều kiện :  16  x  2 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cop-xki cho số : 1, x  1,3, y  ta x2     y   12  32 x   y   x2 1    y   10  x2  y  Do phương trình (1) nên dấu “ =” xảy Khi ta có : x2   y2 1   x  1  y   x  10  y Thế x  10  y vào phương trình (2), ta : x   16  x   x  10  - 628 = (3) Xét hàm số : f  x   x   16  x   x  10  - 628, x   2;8 f ' x  1   36 x  0, x   2;8  x2 16  x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hàm số f  x  đồng biến (2; 8) f    phương trình (3) có nghiệm x = Với x = ta có y   314   Vậy hệ phương trình có nghiệm : 6; 314 ; 6;  314   x   y   Bài toán 65   x   y   1  2 x  y  Giải: Điều kiện :  Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế với vế, ta : x5  x2  y 5  y2  3 Xét hàm số : f  t   t   t  ,t   2;   f ' t   t 2  t 5  0, t  2 t  t  Vậy hàm số nghịch biến  2;   Phương trình    f  x   f  y   x  y Khi đó, hệ phương trìnhtrở thành :  x   x  x   49 2  x  23   x  5 x     23  x  x5 x2 7  x  x   23  x 2  x  23 539  x y 49 49 x  539   539 539  ; Hệ phương trình có nghiệm    49 49   x  x + y  = y 1+ y   Bài toán 78   x   y  8=6 1 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải: Điều kiện : x  Nếu y = phương trình(1) tương đương : x   x  , không thỏa hệ  Xét y  : phương trình 1    x x   y y y y  3 Xét hàm số f (t )  t  t , t   ; f '  t   3t   0, t   Suy ra, hàm số f(t) đồng biến   3  x  y  x  y2 y y   y  18   4 Thế (4) vào phương trình(2) ta : 2 Điều kiện : 23  y    4 y   y  18   23  y 115 115 y 5 Bình phương vế phương trình trên, ta :  y  37 y  40    23  y   y  378 y  369   y2   x   y  1  y  41, loai Vậy nghiệm hệ phương trình cho 1;1 , 1; 1 2  x  x  y  1  x  y  1  Bài toán 89   y  x   ln  y  x   Giải: Điều kiện : y  x  Phương trình(1)   x  x    y  1  x  y  1   x  x     y  1  x      x  y  1  x     y  2x 1  3 1 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thế (3) vào phương trình(2) ta :  x  1  x   ln  x  1  x       x  1  x   ln  x  1  x       Xét hàm số f  x    x  1  x   ln  x  1  x  , x   f '  x    x  1   8x  4x  2x  2 f ' x   x  1  x  x  1  16 x  4x2  2x 1  0, x   Suy ra, hàm số f(x) đồng biến liên tục  Mặt khác , f(0) = Vậy phương trình   có nghiệm x = 0, suy y = -1 Vậy nghiệm hệ phương trình cho  0; 1  x y  y =278 2  x y  xy  y  100 Bài toán 90  Giải:  y  x  y  =278 Hệ phương trìnhtương đương với   y  x  y   100 1  2 Từphương trình (2) suy y > 0.Viết lạiphương trình (1) : y  x  y   x  xy  y   278 Vì y > x  xy  y  0, x, y   nên (1) x  y   x  y  Phương trình(2)  x  Thế (3) vào phương trình(1) ta : 10 y y  3 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  10   y   y   y   278 Đặt t  y , t  , ta có phương trình :   y      10   t   t   t   278   t   t  10  t   278t    Xét hàm số f  t   t  10  t   278t  0, t   0;   f '  t   9t  9t 10  t   278  0, t   0;   Suy ra, hàm số f(t) đồng biến liên tục  0;   Mặt khác , f(1) = Vậy phương trình   có nghiệm t = Từ đó, y   y   x  Vậy nghiệm hệ phương trình cho  9;1   x   x - 2y y  =  Bài toán 109  2  x -  y  1 = 1  2  y  Giải : Điều kiện :  Phương trình (1)    x   x  y y   x   1   x   x  1  y  1 y  u =  x Đặt   v = (3)  u, v  y 1 Phương trình (3)  1  u  u  1  v  v  u  u  v  v Xét hàm số f  t   t  t , t  ; f '  t   3t   0, t  Suy ra, hàm số f  t  đồng biến  0;   Phương trình    u  v   x  y   Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com   x  y 1  x   y Thế : x = – 2y vào phương trình (2) ta : 2 y    y  1 Đặt X  y   , phương trình trở thành :  X 1  1  X  X     X    X    , loai   X   y 1   y   x  X  1 1  y 1  2  y 1  62 5 1  y x 4 1 5   ;    Hệ phương trình cho có nghiệm : 1;1 ,   x  - y =  x Bài toán 115   x  1 = y x  y  Giải : Điều kiện :   x  - y =  x3 Hệ phương trình    x  1 = y  x  -  x  12 =  x 1   x  1 = y Xét phương trình (1) : x  -  x  1 =  x3 1 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  x  - x + 2x - 1=  x  x - x + 2x + x  - 9=   Xét hàm số : f  x  = x - x + 2x + x  - 9, x  f'  x  = 3x - 2x + + , x 1 x 1 Xét hàm số : g  x  = 3x - 2x , x  g '  x  = 6x - > , x  Hàm số g(x) đồng biến 1;    g  x   g 1 , x   g  x   1, x   f '  x   0, x  Vậy hàm số f(x) đồng biến 1;   Mặt khác, f(2) = 0.Suy ra, phương trình   có nghiệm x = 2, y = Hệ phương trình cho có nghiệm :  2;1  y2  y   y  x  1  x Bài toán 121(THPTQG 2014-2015)  x  x 1  y  y2  y  2  y x  x  Giải : Điều kiện :  y  Phương trình (2)  x y  x  x  1  y  y x  y x  x  xy  x   y  x  y  y x  y x    xy  x   x  y   y  xy  x    Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com   xy  x   x  y    x  y     xy  x  1  x  y   x  y2  x  y2     x  y  1   xy  x    x  y  , vàophương trình (1) ta :   y 1  y2  y  y2   y  y   y2  y2   y2  y  y   y  2  y    y  y   y    y  u  y Đặt   u , v  , Phương trình trở thành : u  2u  v  3v v  y    Xét hàm số : f ( x)  t  2t , t   0;   f '  t   2t   0, t  Suy ra, hàm số f(t) đồng biến liên tục  0;   Phương trình    u  v  y  y   y  y2   y2  y    x  y  1   x  Do x ≥   y  1, loai  y   x  y 1 1   y    y   , vơ lý y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm :  4;     xy  x   y +  y 1  Bài toán 128(Chuyên Lê Hồng Phong)  y 1 1  4   +8   xy xy   y   y Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com   y  4    x  y 1  x  y     x  y 1   x  y 1 y   x  y x y   1      x y 4 x y   x y  x y  x y  1  y  y   x     x     y3  y  y3  y  y3  y     x2 x2     x2 x2   2  x2    x  1  x  1 x  1   x  1  x2 2  x  1 Xét hàm số : f  t   t  t , t   (3) f '  t   3t   0, t    y 1  Hàm số : f  t  đồng biến  Phương trình    y  x     x   y  y 1 x  y   x  y  y 1  Ta có hệ phương trình :  y   x  y  y  x  y2  y    y2  y 1  y  y     y 1 x  y2  y   Xét phương trình : y  y   y  y    y2  y  1  y2  y    y2  y    y2  y  1   y  1 y    y2  y  0   y 1 0    y  2  y 1    y2  y   y  y     y  1 y   Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  y y2  3y   y2  3y    0  y 2 x3   y  2       y y   Vậy hệ phương trình có nghiệm :  3;   x  x   x   y   y   y  Bài toán 209  2  x  y  x  y  44 1 2 x  y  Giải Điều kiện :  Phương trình (1)  x  x   x   y    y  5    y  5  Xét hàm số f  t   t  t   t   0;    f   t   (3)  f  x   f  y  5  x  y   y  x  t  (3) 1   0, t   0;    t2 t4 (4) Thay (4) vào phương trình (2) ta : x  x   x   x  5  44 x  1 y  Hệ phương trình có nghiệm nhất: 1;6   x  12 x  14     x  7, loai  x  x  y  y  Bài toán 210  2 2  x y  y  xy  x   Giải Phương trình (1)  x  x   y  1   y  1 1  2 (3) Phương trình (2)   xy  y   x   x 1   x  Xét hàm số : f  t   t  3t , t  1;   f '  t   3t   0, t  1;   Hàm số f(t) đồng biến 1;    (3)  f  x   f  y   x  y  Thay vào phương trình (2) ta : Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  y  1 y   x 1 y  y   y  1 y   y  1    y  y   y y     y 1 x    Hệ phương trình có nghiệm : 1;0  ;  2;1  x  y  3( x  y )  4( x  y )   2  x  y  2( x  y )  18 Bài toán 216  ( x, y  ) Giải : Phương trình (1)  x3  3x  x   y3  y  y  ( x  1)3  x   ( y  1)3  y  (3) Xét hàm số : f  t   t  t , t   f '  t   3t   0, t   Hàm số f  t  đồng biến  Phương trình (3)  f ( x  1)  f ( y  1)  x   y   y  x  Thay y=x+2 vào phương trình (2) ta có : x   x    2(2 x  2)  18 x   y   x  18     x  3  y  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (-3;-1), (3;5)  x  y  x  y   Bài toán 220  2  7 x  12 x y  xy  y  x  y  Giải : Phương trình (2)  7 x  12 x y  xy  y  x  y    y  x3  12 x y  xy   x  x  y  x  3   y  2x    y  x     x     x  Xét hàm số f  t   t  t , t   (3) f '  t   3t   0, t   1 2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Suy hàm số f  t  đồng biến  Phương trình  3  y  x   x  x  y x  Thế vào phương trình (1) ta : x  x     x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  2;2  ;  3;3 2 x  y    y (1) Bài toán 221  9  x  xy  y  (2) x  y   Giải : Điều kiện:   x  1  Nếu y  , để hệ phương trình có nghiệm :  y  VT (1)  x  y      VT (1)  VP (1) hệphương trình vơ nghiệm VP (1)   y    Nếu y0 2     Ta có :  x  xy  y     9   y  y  x  x Xét hàm số f (t )  t  t , t   0;   f '(t )   2t 9t  0.t  Suy hàm số f  t  đồng biến  0;     Phương trình (3)  f   y  x    f ( y )  y x  x Thế vào phương trình (1) ta có phương trình : Xét hàm số : g ( y )   y   ;0 y2  y    y (4) y2 (3) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com    y2  y   ' y  18   g '( y )    0, y  9  y6 y3  y  y y Suy hàm số g ( y ) đồng biếntrên  ;0  Xét hàm số : h( y )   y  ;0 có h'( y )  1  0, y  Suy hàm số h( y ) nghịch biến  ;0  phương trình (4) có nghiệm y= -3, x = Cách (Dùng lượng liên hợp) Xét phương trình :    y    y   y    y3   y2  y      y64  y  y3  2    y62   y      y3  y2    2  y3    y6 2 y y       y  3 y  y     y3  2    y6 2  y y    y  3  x   y2  y    1    y62 y y      y  y3    y  3  1     y6 2  y y     Vì phương trình y  y   vơ nghiệm có hệ số a = > 0, nên y  y   0, y   Do vế trái (*) ln dương, với y < 0, (*)vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;-3) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 y  x  x   x  y Bài toán 228   y   x  xy  x 1 2 Giải : Điều kiện : 1  x  Phương trình (1)  y  y   x  1  x  1  x  y3  y   1 x  (3)  1 x Xét hàm số : f  t   2t  t , t   f '  t   6t   0, t   Suy hàm số đồng biến   3  f  y   f Thế vào phương trình (2) ta :   1 x  y  1 x  x   x2  x  x  x2  x  x2   x   t   t t Đặt x  cos t với t   0;     0;   sin  sin  2 2 Ta có x  cos t   s in t t   x  sin 2 t Khi đó, phương trình (2) trở thành : 2cos 2t  cos t sin t  sin    t  2t    k 2  t  t    cos2t  sin 2t  sin    sin  2t    sin       2t     t  k 2   k 4   3 t     t    k 2   t    k 4  t  3  k 2  10  3 3   3 x  cos  y  sin t   10  k      10    t    x  cos   1  y  2, loai 3 3 Nghiệm hệ phương trình :  cos ; sin   10  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2(2 x  1)3  x   (2 y  3) y  Bài toán 229   x   y   1  2  x   Giải : Điều kiện :  Phương trình (1)  2(2 x  1)  x   (2 y   1) y   y   2(2 x  1)3   x  1   y   y   y   2(2 x  1)3   x  1   y2   y2 Xét hàm số: f (t )  2t  t , t  0;   (3) f '(t )  6t   0, t   0;   Hàm số f  t  đồng biến  0;   Phương trình  3  f (2 x  1)  f ( y  2)  x   Thay vào phương trình (2) ta được: y2 y   y   (4) Xét hàm số : g ( y )  4 y   y   6, y   2;   g '( y )  1   y   2;   nên g(y) đồng biến  2;   4y 8 2y  Hơn g(6) = nên phương trình (4) có nghiệm y   x  Vậy nghiệm hệ phương trình :  ;  2   x  y  y  x  y   Bài toán 231   x  x   x   y Giải : Điều kiện: x  2 Phương trình: x3  x   y  y  y 1 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  x3  x    y  1   y  1  (3) Xét hàm số f  t   t  t   2;   Ta có: f '  t   3t   0, t   2;   Suy hàm số f  t  đồng biến  2;   Phương trình    f  x   f  y  1  x  y   y  x  Thay y  x  vào phương trình (2) ta được: x   x    x3       x  2 x  x      x  2  x2  2x       x2 2 x2 2    x22 x2 2   0 x2 2        x  2 x x     x2  2x       2x    x2 2   x  2  x2 2  0  x2 0 x  2 y 3  Xét phương trình : x  x   2  x2 2 Ta có VT  x  x    x  1   3;VP     x2  x    x22  (*)  1, x   2;   x22 Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  2;3 8x x 12xy 12 xy2  4y3  x3y3 + 3xy3  x x Bài toán 245  xy  x  y      x 1 y  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 8x x 12xy 12 xy2  4y3  x3y3 + 3xy3 1   x x Giải : Hệ phương trình   4  2 3  x 1 y 1  x  y  x  x       x y     Điều kiện :  y 1 y   Phương trình (1)  8x x 12x 12 x  2   x3 + 3x y y y 2 x  2 x  x x 1 3  3  x3 + 3x  3  1 y y  y   y  2 x  2 x   1  3 1  x + 3x (3) y y     Xét hàm số : f  t   t 3t, t  Ta có : f '  t   3t 3  0, t  Hàm số f  t  đồng biến  Phương trình (3) 2 x  x x x  f  1  f  x  1 x   x 1   y  0(4) y y y x    Thế vào phương trình (2) ta :  x 1 y 1  4y   x 1 3  x 1 y 1  4 y 1  x 1  3 Đặt t  y 1 y 1 4 1 x 1 x 1 y 1  0, phương trình trở thành : x 1 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com t 1  4t  3t 1   t  , loai   y 1 1 y 1 x 1 y  x x 1 x   y, loai x  x  x  x  x   Thế vào phương trình (4) ta :  x 1 x 1 y Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: 1;1 x3  y3 3y2 32x  9x2 + 8y+36 1 Bài toán 246   2 4 x   163y  x 8 x 2 x     16 Giải : Điều kiện :  163y  y   3 Phương trình (1)  x 9x  27x  27 5x 15  y 3y 3y 15y 5 3  x 3 5 x 3   y 1 5 y 1 (3) Xét hàm số : f  t   t 5t,t  f '  t   3t 5  0, t  Hàm số f  t  đồng biến  Phương trình (3)  f  x 3  f  y 1  x 3  y 1 y  x  Ta có : y  16 16 22  x    x  Thế : y = x – vào phương trình (2) ta : 3 x   22 3x  x2 8   4 x 2 2  223x 4 x2 4  3x  x 2    4  x2  4   x  2    x  2    x    22 3x   x   223x   Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x   y      x     x   223x  4  22   x  2,x 2;  x   22 3x   3 Xét hàm số : f  x  f '  x     x  x 2   22    0,  x   2;   3 22 3x 22 3x     Hàm số f  x nghịch biến  2;  22   f  1  0, suy phương trình (*) có nghiệm  x = -1, y = -3 Vậy hệ phương trình có nghiệm :  2;0 ; 1; 3 x6 3x4 y  3x2 y2  2y3  4x2 8y  1 Bài toán 249   2 33 2y  x 3   2y 8 Giải : Điều kiện : 2y 8   y 4 2 3 Phương trình (1)  x 3x y  3x y  y  4x  4y  y  4y  x2  y 4 x2  y  y3 4y (3) Xét hàm số : f  t   t  4t,t  Ta có f ' t   3t   0,t  Hàm số f  t  đồng biến  Phương trình (3)  f  x2  y  f  y  x2  y  y 2y  x2, y  Thế 2y  x vào phương trình (2) ta : Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com     3 x2 1  x2 3   x2 8 3  33 x2  x2 3 2  x2 8  x2 1   x2 1   x2 1  3     0  x  x 1  x 3    x 8 3   1   x2 1    0 2  x  x 1 x 3  x  3  x 1 y   1    0  x4  x2 1 x2 3  x2 8 3 Phương trình (*) : 3  2 x  x 1  x 3   x 8  2 2 Vì x : x 8  x 3  x 8   x 3    3 x  x 1  x 3   x 8    0 x2 3   x2 8 3  0,x Phương trình (*) vô nghiệm 1  1 2   Vậy hệ phương trình có nghiệm :  1; ;1;  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ...  -  x  1 =  x3 1 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www .toanmath.com  x  - x + 2x - 1=  x  x - x + 2x + x  - 9=   Xét hàm số : f  x  = x - x + 2x + x  - 9, x  f''  x  = 3x - 2x... nhỏ - www .toanmath.com Phương trình  3  f  y   f  y2   x  x   y   1 x  y   x , y   4 Thế (4) vào phương trình (2), ta : y  - y = - 1  y   y  - y - y2 - 1=     - ... Chuyện nhỏ - www .toanmath.com Hệ phương trình có nghiệm :  0;0 ; 1;1 Chú ý Để có phương trình (3) ta làm sau : Dùng máy tính ta biết phương trình có nghiệm : 1và nghiệm phương trình :  x2