Bài tập sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình

[r]

3.PHƯƠNG PHÁP XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ

Giải: Điều kiện : x1 Phương trình   4

1  1x x 1 y y 2

Đặt

1,

u x u 4

1

x u x u

      

Khi đó,phương trình (1) trở thành :  

4

2

u u   y y 

Xét phương trình (2) :  

2

x  y xy  y 

Xem x ẩn, y tham số, ta có :  4y Phương trình có nghiệm y0

Xét hàm số    

2, 0;

f t  t t  t 

   

2

4

2

' 0, 0;

2

t

f t t

t

     



Suy hàm số liên tục đồng biến 0; Từđó, phương trình  

3 u y x 1 y

4

1

y x

    

1

x y

  

Thế (4) vào phương trình (2) ta :

 2   

1 1

y   y  y y  y 

8

2

y y y y

       

1 3

y y y y y y y y

        

Bài toán 7(A – 2013).

   

4

2

1 (1)

2

x x y y

x x y y y

      

 

     

0

1 0,

y x

y x loai

  



    



Vậy nghiệm hệphương trình cho 1; 0

Giải:

Điều kiện :

1

x y

  

 

Xét hàm số    

1, 1;

f t t  t t 

   

' 0, 1;

2

f t t t

t

     

 Suy hàm số đồng biến 1;

Từđó, phương trình  2  xy

 1 2x x 1 4 x2x14

4

x x

     x2 y Vậy hệphương trình có nghiệm 2; 2

Giải: Điều kiện : 0x y, 1

Lấy phương trình (1) trừphương trình (2) vế với vế, ta :

 

2

1

y x

x y

 

  Xét hàm số    

2

1

, 0;1

t

f t t

t



 

  2 2  

' 0, 0;1

1

f t t

t t



   



Suy hàm số liên tục nghịch biến [0; 1]

Bài toán 11.  

 

2

1

1 +

x y y x

x x y y

    

 

   

 

Bài toán 2.

 

0 (1)

3 2

x y x y

x y x y

    

 

    

Từđó, phương trình   x y Khi

 

1

2

x x

   2 2

1

4

x x

  

4

4x 4x

    

2 ,

1

2 2

2

x loai

x

x y

       



  



Vậy nghiệm hệphương trình cho 2;

2

 

 

 

 

Giải: Điều kiện : 2

16

x

x x

  

  



 



Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cop-xki cho số : 1, x21,3, y21ta

 

2 2 2

1 1 1

x   y    x  y 

   

2 2

1 10

x y x y

     

Do phương trình (1) nên dấu “ =” xảy Khi ta có :

2 1

1

1

y

x  

 9x21 y21 2

9x 10 y

  

Thế 2

9x 10 y vào phương trình (2), ta :

 

2 16 2 10 - 628 =

x   x x  (3)

Xét hàm số :      

2 16 2 10 - 628, x 2;8

f x  x   x x  

  1  

' 36 0, x 2;8

2 16

f x x

x x

     

 

Bài toán 17.    

 

2 2

2

1 10

2 16 2 - 628 =

x y x y

x x y

     

 

    

Vậy hàm số f x đồng biến (2; 8) f  6 0do phương trình (3) có nghiệm x = Với x = ta có y  314

Vậy hệphương trình có nghiệm : 6; 314 ; 6;   314

Giải: Điều kiện :

2

x y

  

 

Lấy phương trình (1) trừđi phương trình (2) vế với vế, ta :  

5

x  x  y  y

Xét hàm số : f t  t 5 t2 ,t  2; 

 

' 0,

2

t t

f t t

t t

  

   

 

Vậy hàm số nghịch biến trên2; Phương trình 3  f x  f y x y

Khi đó, hệphương trìnhtrở thành : x 5 x27

2x x x 49

     

5 23

x x x

    

    2

2 23

5 23

x

x x x

 

   

   





2 23 539

49 539 49

x

x y

x

 



   

 



Hệphương trình có nghiệm 539 539;

49 49

 

 

 

Bài toán 65.  

 

5

2

x y

x y

     



    



Bài toán 78.      

 

2

2

+ y = y 1+ y 8=6

x x

x y

  

   

Giải: Điều kiện : x0

Nếu y = phương trình(1) tương đương :

0

x   x , không thỏa hệ

Xét y0 :phương trình   

3

3

1 x x y y

y y

 

      

Xét hàm số

( ) ,

f t t t t ;  

' 0,

f t  t    t  Suy ra, hàm sốf(t) đồng biến 

   

3 x y x y

y

    Thế (4) vào phương trình(2) ta :

2

4y  5 y 186   

2 4y y 18 23 5y

    

Điều kiện : 115 115

23

5

y y

     

Bình phương vế phương trình trên, ta :

   22

4 4y 37y 40  23 5 y

9y 378y 369

   

2

2

1

1 41,

y x

y

y loai

  

   

 

Vậy nghiệm hệphương trình cho   1;1 , 1; 1 

Giải: Điều kiện :

2

y  x

Phương trình(1)     2 

2 x 2x y x y

      

    

2x x y x

        

2x y x

    

 

2

y x

  

Bài toán 89.      

   

3

3

2 1

4 ln

x x y x y

y x y x

      



     

Thế (3) vào phương trình(2) ta : 2x134x 1 ln2x122x0

 

 3  2  

2x 4x ln 2x 2x

        

 

Xét hàm số    3  2

2 ln 2 ,

f x  x  x   x  x

  x

   2

8

'

4

x

f x x

x x

    

 

     

2 2 2

2

3 16

' 0,

4

x x x x

f x x

x x

    

   

  

Suy ra, hàm sốf(x) đồng biến liên tục  Mặt khác , f(0) = Vậy phương trình   có nghiệm x = 0, suy y = -1

Vậy nghiệm hệphương trình cho 0; 1 

Giải:

Hệphương trìnhtương đương với    

   

3

2

=278

100

y x y y x y

 

 

 

 

Từphương trình (2) suy y > 0.Viết lạiphương trình (1) :

  2

278

y xy x xyy  Vì y > 2

0, ,

x xyy  x y

nên (1)xy0x y0.Phương trình(2) x 10 y 3  y

  

Thế (3) vào phương trình(1) ta :

Bài tốn 90.

3

2

=278

2 100

x y y

x y xy y

   

   

3

10

278

y y y

y

          

 

Đặt t y t, 0, ta có phương trình :

3

2 10

278

t t t

t

  

  

  

 

 

 

 33  

10 278

t t t

     

Xét hàm số    33  

10 278 0, 0;

f t t  t  t t 

  2 32  

' 9 10 278 0, 0;

f t  t  t t    t 

Suy ra, hàm sốf(t) đồng biến liên tục 0; Mặt khác , f(1) = Vậy phương trình   có nghiệm t =

Từđó, y  1 y 1 x9 Vậy nghiệm hệphương trình cho 9;1

Giải : Điều kiện : Phương trình (1)

(3)

Đặt

Phương trình (3)

Xét hàm số ;

Suy ra, hàm số đồng biến Phương trình

1 2

y x

      

3 x x 2y 2y

    

1 x x 1 2y 1 2y

       

2

,

= =

x

u v

v y

u

 



  

 



 2  2 3  

1 u u v v u u v v

        

 

,

f t t t t f ' t 3t2 1 0, t

 

f t 0;

  u v 2x  2y1

Bài toán 109.    

 3  

3 - 2y 1

2 2

=

2 - =

x x y

x y

   

 

 

Thế : x = – 2y vào phương trình (2) ta : Đặt , phương trình trở thành :

Hệphương trình cho có nghiệm :

Giải : Điều kiện :

Hệphương trình

Xét phương trình (1) :

2 x 2y x 2y

      

 3

2 2y 1 2y1 1

2

X  y 

3

1

2

2

,

X

X X X

X loai



 



 

     

 

 

 



1 1 1

X y y x

        

5

2

2

X  y 

    

6 5 5

2

4

y  y  x 

      

 1;1 , 5;

3

   

 

 

 

1

x y

  

 

 

3

2

1

1

- =

= y

x y x

x

  

  

  

   

 

2 3

2

1

1

- =

= y

x x x

x

   

  

  

 2

1 - 8=

x x x

Bài toán 115.

 

3

4

1

1

- = = y

x y x

x

  

 

Xét hàm số :

Xét hàm số :

Hàm sốg(x) đồng biến

Vậy hàm sốf(x) đồng biến

Mặt khác, f(2) = 0.Suy ra, phương trình có nghiệm x = 2, y = Hệphương trình cho có nghiệm :

Giải : Điều kiện :

0

x y

  

 

Phương trình (2)  

1 x

x y x x y y x y

     

  2 

x

x xy x y x y y x y

     

  2 2 

x

xy x x y y xy

     

2

1 - x + 2x - 8=

x x

  

 

3

- x + 2x + -

x x =

  

 

- x + 2x + - 9, x

f x = x x 

 

x - 2x + + , x

2

f' x =

x

 

 

x - 2x , x

=

g x 

 

' = 6x - > , x

g x  

1;

   1 ,

g x g x

    g x   1, x

 

' 0,

f x x

   

1;

 

2;1

Bài toán 121(THPTQG 2014-2015).

   

 

2

2

2

1 2

1

y

y y x

x

x y

x y y

y x



    

  



    

  2  2

0

xy x x y x y

        2

1

xy x x y

    

2

0

1

x y xy x

  

 

  

  

2

1

x y x y

   

 



2

0

x y

   , thếvàophương trình (1) ta :

 2 2

2

1 y 2

y y y

y

      y2 y 2 y22 y220

 

2 2

y y y y

      

 

2 2

y y y y

     

Đặt

2 ,

2

u y

u v

v y

  

 



 

 

, Phương trình trở thành : 2  

2

u  uv  v 

Xét hàm số :  

( ) , t 0;

f x t  t  

 

' 2 0,

f t  t   t

Suy ra, hàm sốf(t) đồng biến liên tục 0; Phương trình  

2

u v y y

     

2

2

y y y y

      

1,

2

y loai

y x

  

    



 1 1

1

x y x

y

    



Do x ≥  2 1

1 y y

y        , vô lý

Vậy hệphương trình có nghiệm : 4; 2

Bài tốn 128(Chuyên Lê Hồng Phong)

   

 

2 2

1 +

4 1

4 +8

1

xy x y y

y

xy xy

y y

    

 

 

   

  

Giải : Phương trình (2) (3)

Với , đặt ,ta có :

Từ phương trình (3) ta có :

Ta lại có :

Từ phương trình (1) ta suy : Điều kiện :

Ta có :

Xét hàm số :

Suy ra, hàm sốf(t) đồng biến liên tục

Xét điểm thuộc đồ thị hàm số f(t)

Ta có : hàm sốf(t) đồng biến liên tục nên

4 1

4 +

1

y

xy xy

y y



   

  

0

xy u 3,u

xy

  

2

1

- + = u 4u

xy xy    

2

1

- + 8= u -

xy xy

   

1

4

4

y  y

2

2

1

1 0,

y y y

y y y

y y

   



     

   



0

x

0

2

x y

   

 

 

 

2 2

1 +

xy  x   y y  

2

2 1

1 + y

x x

y y y



   

 

2

1 1

1 + y

x x

y y y



   

2

2 1

1 +

x x x

y y y

 

      

 

  f x f

y

 

   

 

2

( ) t

f t  t t t  

 

2

2

' 1 0,

1

t

f t t t

t

       





 

 , , 1,

M x f x N f

y y

       

 

M N

(3)

Xét phương trình (1) :

Thế(3) vào phương trình (1) ta : (4)

Nếu x = 0, không thỏa phương trình (4), xét x ≠ Chia vế củaphương trình (4) cho ta đựợc :

Đặt , phương trình trở thành :

thỏa điều kiện :

Hệphương trìnhphương trình có nghiệm :

1

M N

x x x

y

   xy1

3

2 +3x -

y  y  x

4

4 + 3x -

x  x  x

4

3

x x x x

     

2 x

2

1

3

x x

x x

     x2 .x 12 x

x x x

   

       

   

2

2

1 1

2

x x x

x x x

   

       

   

2

1

3

x x

x x

   

       

   

1

t x x

 

2

3

t  t 

2

t t

    



1

1 =1

t x

x

    x2 x 1=0,VN

1

2 =2

t x

x

    x22x1 = 0x = 1y = -1 y 2

1; 1 

Bài toán 134.(Chuyên Hạ long)  

 

3

3 2+8 = 10y - 3xy + 12

5

y x x

y x y xy x

  

 

    

Giải : Điều kiện :

khơng thỏa phương trình (2)

Chia vế phương trình (2) cho ta :

(3)

Xét hàm số : ;

Hàm sốf(t) đồng biến liên tục

(4)

Thế(4) vào phương trình (1) ta :

(5) Đặt :

(6)

Thế(6) vào phương trình (5) ta :

2

2

2

x

x x

  

    

  

0

y

3 y

3

8

5 x x x

y y

      

3

6

2 x 2 x x

y y

 

         

 

 

3

3 2 2

2 x x

y y

 

      

 

 

3 ,

f t t  t t  

' 3 0,

f t  t    t 



 3 f x f y

 

    

 

2

2 x

y

  

0,

2

y x

y

x

 

   



 



6 20

2 +8 = - x + 12

2x x x 2x 2x

2

3 x - x+4 x = 10 - 3x

   

3 -

t x x

   

2

3 - 36 36

t x  x t  x  x  x

90 27x 36 x

   

2

2

90 27

4

x t

x

 

  

2

90 27

+ = 10 - 3x

9

x t

t   2+9 = 0

9

t t t

t

 

   

, vơ nghiệm : 5x – 15 < 0,

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện :

Phương trình (1)

Xét hàm số : ;

Hàm sốf(t) đồng biến liên tục Phương trình

0 -

t x x

     

   

3 x = x x 36 x

       45 54

5

x x y

      

9 -

t x x

      3 x2 9 2x

   

9 x 81 36 x 108 x

      

5x 15 12 x

      x  2;2

6 ; 5

 

 

 

2

1

3

3

6

2 10 10

x x

y y

y

    

 

 

  

      



3 25

2

2

y y y x x

   

         

   

3 1

2 12 4

2

y y y y x x

   

            

   

 3    3  

2 y y 2 x x

       

 

2 ,

f t  t t t  

' 0,

f t  t    t 



 3  f y 2 f  x4 

4

x y

   

2

2 10

4 4

y

y y x

     

 

   

 

Bài toán 135.(THPT Nghi Sơn)      

3

2

2 12 25 18

3 14

y y y x x

x x x y y

      

 

      

Thế(4) vào phương trình (2) ta :

Hệphương trình có nghiệm :

Giải Điều kiện : Phương trình (2)

Xét hàm số : ;

Hàm sốf(t) đồng biến liên tục

.Điều kiện : Thế(4) vào phương trình (1) ta :

 

2

2 10

4

y

y y x

     

 

    



2

3x 1 3x 14x 8 6x  3x 1 6x3x214x 8

2

3x x 3x 14x

         

 

  

3 5

5

3

x x

x x

x x

 

     

   

 5 3

3

x x

x x

 

      

   

 

5

3 1

3 0,

3

3

x y

x VN x

x x

  

  

       

    



5;1

2

2

x y x y

     

3 2

3

y x y yx y y

      

3

3

y x yx y y y

      yx233yx2y133y1 3  

 

3 ,

f t t  t t  

' 3 0,

f t  t    t 



   2  

3  f yx  f y1 x y2  y1 4  y   1 y 1

Bài tốn 136.(SởGDĐT Thanh Hóa)  

     

2 2

3 2

1 2

1 3

x y x x x y

y x y x y

    

 

     

Thế(5) vàophương trình (4) ta :

Thế(6) vào phương trình (4) ta :

2

yx  x y

1

y x x y

       x y12 1

x y 1x y 1

        1

1

x y

x y

    

 

    



1 1

x y y x

        

 2  2

1

1 1

x x

y x y x

   

 

 

 

     

 

   

1

2

x

y x x

     

 

 

 

2 2

2

x x  x x  x x42x3x22x22x 1 0

 2  

2

x x x x

      x2 x 12  0 x2  x

1 5

2

1

,

x y

x loai

   

  

  

  

  

1 1

x y y x

        

 2  2

1

1 1

x x

y x y x

 

 

 

 

     

 

   

2

1

2

x

y x x

    

 

 

 

2 2

2

x x  x x  x x42x3x22x 1

4 2

2 2

x x x x x

       x2 x 12  0 x2  x

1 5

2

1

,

x y

x loai

  

  

  

 

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Từphương trình (2) suy : (1)

Xét hàm số : ;

Hàm sốf(t) đồng biến liên tục

.Điều kiện : Thếy = 2x vào phương trình (2) ta :

Hệ có nghiệm :

Giải : (1) Vì

1 5 5

; ; ;

2 2

       

   

   

   

2y 0 y2

3 2

2x - yx 3y 3x y + 3xy

    

 

3 3 2

3 + x - y 3x y + 3xy 3

x x y x

     

 3

3

3 + x - y 3

x x y x

      3    

3 = y - x

x x y x

   

 

3 ,

f t t  t t f ' t 3t2 3 0, t 



 3  f x  = f y x x = y - xy = 2x 2x  2 x

 2  

2 2

x    x x4 4x12  

 

2

2

2

2

x x

x x

  

 

  



2

2

2 0,

2

x x VN

x x

   

 

  



1 2

1 2

x y

x y

       

 

      



 1 3; 2 ;    1 3; 2 3  

   

y x x

    x2  2 x 0, x  y0

Bài toán 139.(THPT Can Lộc)

       

     

2

2

2 - y = 3xy

2

x x y x y

x y

   

 

  

 

Bài toán 142.

 

   

2

2 2

2 = y

2 = 2x - 4x

xy x

y x x x

  

 

   

Phương trình (3)

Thế(4) vào phương trình (2), ta :

Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến liên tục Phương trình

Hệphương trình có nghiệm :

Giải

Điều kiện :

Phương trình (1)

Xét hàm số :

Hàm số f(t) đồng biến liên tục

2

2

y

x x

 

   

2

2

y x x

   

 2   2

2 2 = 2x - 4x

x  x  x x  x

 

2

1 x x 2x x x 2x =

       

       

2

2 1 -

x x x x x x

          

 

2 ,

f t t t  t t  

2

2

' 0,

2

t

f t t t

t

      







 5  f x  f x1x  x 1

x y

    

1 ;1

 



 

 

1

2

x x

y x y x

  

 



 

     

 

 

3

2y y = x 2x - + 1 x

    

 

3

2y y = x x x

      2y3y = 2 1x3 1x 3 

 

2 ,

f t  t t t f ' t 6t2 1 0, t 



Bài toán 143.(THPT Triệu Sơn 4)

   

3

2

2 + 2x =

2 - y = - x

y y x x

y

   

 

 

Phương trình

Thế(4) vào phương trình (2), ta :

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện : Phương trình (1)

Thếvào phương trình (2) ta :

 3  f y  f  1x y 1x y, 0

 

2

1

y x x y

     

 

2

2y 1 - y = - 1y 2

2y - y - y - 1=

 

 

2

2

1

- y + =

2 + y

y y

 

  

2

1

-1 y + =

2y + y

 

 



  

 

2

1

-1=

2y + y





2

2y + y=

 

2

2y = - y

 

 2

2

1

2 1

y

y y

    

  

 

2

1 2,

0

2

y y loai

y x

y y

  

 

 

  

  



1;0

0

x y

   

  

3 2

x y y xy x

   

   

2

1

x xy y xy

       

1

x y xy

   

2

1

x y

xy

 

    

2

x y

 

2

5x 1 - x x =  5x21 = + x x 3 

Bài toán 144.

2

5 1

x

x y

x y

y x y



  

 

   

TH :

TH :

Thếvào (2) ta :

(do vế trái không âm, vế phải âm)

Hệphương trình có nghiệm :

Giải :Phương trình (1) (3)

Vì : nên :

0 :

x  3  5x21 = + x2 5x21 = + 2x2x4

2

4

2

1

3 =

2

x

x x

x

 

    

 

1

2

x y

x y

  

  

  



0 :

x  3  5x21 = - x2 5x21 = - 2x2x4

2

4

2

7 41

2

7 =

7 41

2

x

x x

x

 

  

   

 

  

7 41 41

2

7 41 41

2

x y

x y

  

    

 



 

    



1

xy x

y

     

1

5y y

y

   5y 1

y

     y5y1 1 y

5 1 5 1

y y y y y

     

 

2 y 5y 5y 2y 1,VN

     

 1;1 ; 2; ; 41 7; 41 ; 41 7; 41

2 2

       

   

   

   

2

2

2

1

x x

y y

   

 

2

1 0,

y y    y     

2

2

3

1

y y

x x

 

   



 2    

2

4

x x y y

       

Bài toán 145     

 

2

3

2

4

12 10 2

x x y y

y y x

     

 

    

Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến liên tục

Thế x = -2y vào phương trình (2), ta :

Xét hàm số : Hàm sốg(t) đồng biến liên tục Phương trình

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện :

phương trình (1)

(3) Xét hàm số :

 

4,

f t  t t  t  

2

' 0,

4

t

f t t

t

    







 4  f x  f 2y x 2y

3

2

3x 5x 2 x 1 x132x1x3123 x31 5 

 

2 ,

g t t  t t g t' 3t2 2 0, t 



    3 

5 g x1 g x 1 3

1

x x

   

 3

1 3

x x x x

      

0

1

2

x y

x y

  

  

     

0; ; 1;1

 



 

 

2

2

1 1

1 1

0

2

x x

y y

y y

     



     

 

 

 

 



3 3 3 3 1 3

x x y y y y

       

 3  

3 3 1 3 1

x x y y

     

   

3 , 1;1

f t t  t t  f ' t 3t23,t  1;1

Bài toán 146

   

3

2 2

3

1 2

x y y x

x x y y

     

 

      

 f ' t 0,  t  1;1

Hàm số f(t) nghịch biến liên tục và Phương trình

Thế x +1 = y vào phương trình (2), ta :

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Do y = khơng thõa hệphương trình nên

Hệphương trình

Cộng phương trình hệ với ta :

(3)

 

' 3

f t   t     t

1;1

 3  f x  f y 1 x y 1 y x

2 2

1

x x x

        x22 1x2  2

2

1 x x

      1 1x2  0 x2  1 x0

0;1

0

y

 

2

3

3

2

8

3

4

4

x x

y y

x x

y y



   

   

     

 

3

3

8

3

x x x

y y

     

3

3 2

3 3 3

x x x x

y y

   

          

   

   

3

3 2

1 3

x x

y y

   

        

   

-1

2 t

f(t)

f’(t) -

1

-2

Bài toán 146

   

 

3

2 2

3

4

y x x y

y x y x y y

    

 

   

Xét hàm số :  

' 3 0,

f t  t    t  Hàm sốf(t) đồng biến liên tục

Thế (4) vào phương trình , ta :

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện :

Phương trình (1)

(3) Xét hàm số :  

' 0,

f t  t    t  Hàm sốf(t) đồng biến liên tục

Phương trình

Thếvào phương trình (2) ta :

 

3 ,

f t t  t t



 1 2 4 

f x f x

y y

 

      

 

 

 2  

3

4

x  x  x  x

1

x x x

     1

1,

x y

x loai

  

    



 1;1

2

1

1

3

9

2

x x

y y

   

 



 

  

 

 

 

3

2y y = x 2x x

      

 

3

2y y = x x x

       

3

2y y = x x

    

 

2 ,

f t  t t t



 3  f y  f  1x y 1x0

2

4x 5 2x 6x1

2

2 4x 4x 12x

     2 4x 5 4x  5 4x28x4

 4x 12 2x 22

     2

4 2, : 2 0,

x x

x x loai x x

    

 

       



Bài toán 155.  

 

3

2 2

2 =

9 -

y y x x x

y x y

    

 

  

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện :

Phương trình (2) (3) Thế(3) vào phương trình (1) ta :

(4)

Xét hàm số :

Bảng biến thiên :

 2

1

4

x

x x

 

   

  





4

1

1 2

2

1 2,

4

1 2

x x

x loai

x x

x y

   



 

    

    

 

    

 

1 2; ; 14    2;42

2

2

1

2

2

x x

y y

    

 



 

   

 

2 2 2 2

x y x y

     

 

2 2

2 2 = 2y + y +

x   y  x y  x x y

2

3 2 = 4y + 2y +

x x x y

     

x 12 x x 1 = 2y 2 + 2y + 2y

       

   

1, 1;

f t t  t t t   '  1 ,t -1

2

f t t

t

   



 

 

1

''

4 1

f t

t t

 

     

1

'' =0

4 1

f t

t t

  

 

 

8 t t 1=1

    

3 1

1 =

t

  1=1 t = -

2

t

  

Bài toán 156

   

2

2

2 = 2y + y + 1

2 2

x x x y

x y x y

    

 

    

 

1/2 f’(t)

t f’’(t)

+∞ +∞

+∞

-3/4 -1

0 +

Ta thấy Hàm sốf(t) đồng biến liên tục Phương trình

Thếvào phương trình (2) ta :

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện : Phương trình (1)

(3)

Xét hàm số : Hàm sốf(t) đồng biến liên tục

Phương trình

Thếvào phương trình (2) ta :

   

' 0, 1;

f t     t  1; 

 4  f x 1 = f 2y    x 2y x 2y1

 2  

2y1 2y 2 2y1   y 2

6y 7y

   

1

1

6

y x

y x

   

 

     

 1;1 ; 1;

 



 

 

1

x

 

2x 2x = y + 3y

     2x133 2x1 = y + 3y3

 

3 ,

f t t  t t f ' t 3 +3 > 0, tt2  

 1;   

2

2

3 1,

2

y

y x y y x x 

        

  2

2 1

5

2

y y y

y       y  y33y211y 5 0

Bài toán 157

   

 

3

2

2 2 = y + 3y

5

x x

y xy x y

  

 

   

Hệphương trình có nghiệm :

Giải :Điều kiện :

Phương trình (1) (3)

Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến liên tục Phương trình

Thếvào phương trình (2) ta :

Xét : khơng thỏa phương trình

Chia vế phương trình cho ta

Đặt : ,phương trình trở thành :

  

5

y y y

    

5,

1 2

1 2,

y loai

y x

y loai

   

     

   

2 2;1 2

2

1

1 3

1

3

6 3

3

3

3

x

x x

x

x x x

x

y y

y

 

     

 

   

  

       

  

  

      

  

  

x 1 x 13 1 =3 y 2 + y 2 1

       

 

1 ,

f t  t  t t  

2

3

3

' 0,

2

t

f t t

t

    



 

 3  f x 1 f 3 y2  x 1 y2

2

3 x 1 x 6x6 = x 3 x1 = x1 1 x124x1

1

x

1

x

1

1 + +

1

x x

x x

     

 

1

1 + >

1

t x

x

 

 Bài toán 158

   

 

2 3

2 3

3 = + +

3 6 = +

x x x x y y

x x x y

     

 

     

1

1

2

x

x

   

   

2

2 x x

     

1

1

2

x x

   



   

5 62

5 127

4 64

x y

x y

  

  

   



Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện : Ta thấy khơng thỏa hệphương trình

Xét ,Phương trình (1) , suy

(3)

Xét hàm số :  

1,

f t  t t t  t

 

2

2

' 1 0,

1

t

f t t t

t

      



Hàm sốf(t) đồng biến liên tục

Phương trình

2

+ =3

t t   t   t

 2

2

3 3 5

t =

6 15

6

t t

t

t t

 

  



  

 

   

 

5; 62 ; 5; 127

4 64

 



 

 

0

x x0

0

x  

 

2

3 =

1

y y

x x x

  

  y0

2

3y 3y 9y = x x

x

 

   3y 3y  3y = + x

x x x



  

 

2

2 1

3y 3y 3y = +

x x x

 

     

 

0;  3 f  3y f 3y

x x

 

    

 

Bài toán 159

   

     

2

3 2

1

3 =

1

9 = 10

xy y

x x

x y x x



 

  



   

Thếvào phương trình (2) ta :

(4)

Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến g(1) = Vậy (4) có nghiệm :

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện :

Phương trình (1)

Ta có :

Thếvào phương trình (2) ta :

 

3

1 = 10

x x x

x

 

  

 

   

3 2

4 - 10 =

x x x x

   

   

4 - 10, x >

g x x x  x  x

  2  

' > 0, x >

g x x x x x x

x

     

0; 1

3

x  y

1 1;

3

 

 

 

2

0

2 2

x x

x x



 

 



 

    

 

  2

2 = 2

x x x xy x y

     

3 2

2 2

x x x xy y

        2  2  

2

x x y x y x

      

  2  

2

x x y x

      x2x2y210

2

2

2,

1

x loai

x y

x y

  

   

 



1

x y

 

 

  

  

2

4y  y x 3x2 y  1

Bài toán 160

   

    

2

2 2

2

1

1 =

4 2

y

x y

x

y y x x x

   

  

  

  



      

(3)

Xét hàm số :

Bảng biến thiên :

Theo Bảng biến thiên ta có :

Xét hàm số :

Bảng biến thiên :

    

4 y 1 y x 3x y 1

         

     

4 y 1 y 1 y x 3x y 1

           

 

4 y 1 y x 3x

        y24 y2 1 x33x2

     

3 2, 1;0 0;1

f x x  x x  

 

' 3

f x  x  f ' x  0 3x2  3 x 1

  4,  1;0 0;1 f x     x 

1;0min 0;1 f x    4 x

  2  

4 1, 1;1

g y  y  y  y 

  42

'

1

y

g y y

y

 

  

4

'

1

y

g y y

y

   



2

2

2

1

y

y

 

 

  

  

 

0

0

1 3,

1

y

y

y loai

y

 

  

  

   



 



-2

f(x) x f’(x)

-4

-1

-

-4

1-4√2 g(y)

y g’(y)

1

-1

0 -

+

Theo Bảng biến thiên ta có :

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện :

Phương trình (1) (3)

Xem phương trình (3) phương trình theo ẩn , cịn tham số

Phương trình có nghiệm :

Thếvào (2) ta :

(4)

Xét hàm số : Hàm sốf(t) đồng biến

(5)

  4,  1;1

g y     y

 1;1  

maxg y y

    

 3    

x f x g y

y

 

      



  

1;0

4

0

5

xy

y x

  

 



 2 22  2 2

5 12 36 =

x y xy x y xy

     

 2

5

x  y xy

 2

' xy

  

2

2

5

5 6,

x y

x y xy loai

  



   



  

4 2 2

5y x  x 5y x y + 2xy

4 4 2

5y x x 4x y 5y 2xy

      4  4 2

5y x 5y x 4x y 2xy

     

 2  2

4 4

5y x 5y x 2xy 2xy

     

   

, 0;

f t t t t  f ' t 2t 1 0, t

0;

   4   4

4  f 5y x  f 2xy 2xy 5y x

4 2

4

x x y y

   

Bài toán 161

     

 

2

2 2

4 2

5 +36

5 + 2xy - 6y

x y xy x y

y x x

    

 

  

Nếu , không thỏa hệđã cho

Xét , chia vế phương trình (5) cho ta :

Từ

Hệphương trình có 2nghiệm :

Giải : Điều kiện :

Phương trình (1)

(3) Dễ thấy :

Xét hàm số :

Bảng biến thiên :

0

y x

0

y y4

4

4

x x

y y

          

   

2

2

1

5,

x y

x y x

loai y

      

  

 

  

  

  

2 2

5 6

1

x y

x y x

x y

  

     

   

  1;1 ;  1; 1

2

2

1 1

0

2

x x

y y y

     





 

 

 

 



3

3

x x y y

    

   

3 3

x x x x x y y

        

 3  2

1 3

x x y y

     

0

x y

   



 



  3 ,2 0; 2 f t t  t t

 

'

f t  t  t '  0

2

t

f t t t

t

 

     

  Bài toán 162.

   

3

2 2

3

1 -3 2y - y =

x y y x

x x

    

 

 

 

0 t f’(t)

2

Hàm số f(t) nghịch biến Thếvào phương trình (2) ta :

, loai Hệphương trình vơ nghiệm

Giải :Điều kiện : .Ta thấy khơng thỏa hệphương trình

Xét ,Phương trình (1)

, suy

(3)

Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến liên tục

0; 2  3  f x 1 f y   x y

   2

2

1x x -3 x1 - x1 = x2 - - x2 = 2

2

- +2 - x x

    

2

1 - x

  

0

x x0

0

x  

2

2

1

2 x x

y y

x

 

   

2

2

1

2y 2y 4y x x

x

 

    y0

 

2

2

1 1

2y 2y 2y x

x x x



      

2

2 1

2y 2y 2y 1

x x x

 

       

 

   

1, t 0;

f t  t t t       

2

2

' 1+ >0, t 0;

1

t

f t t

t

     



0;

Bài toán 163

   

     

2 2

2 2

2 1

4 +2 =

x y y x x

y x x x

     

 

  

Phương trình

Thếvào phương trình (2) ta :

(4)

Xét hàm số :

Hàm sốg(x) đồng biến g(1) = Vậy (4) có nghiệm :

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Phương trình (1)

(3) Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến Phương trình

Thếvàophương trình (2) ta :

 3 2  1

2

f y f y

x x

 

    

 

 

2

2

1

1 x +2 x x =

x

 

 

 

 

2

1 x +2x x x - =

  

  2

1 +2x - = 0,x >

g x  x x x

 

2

1

' +4x x > 0, x >

g x x x

x x

   

0; 1

2

x  y

1 1;

2

 

 

 

   

3 3

x x x x y y

       

 3  

1 3

x x y y

     

 

3 , t

f t t  t  f ' t 3 +3 > 0, tt2  

  3  f y  f x 1y x

   23

3 x1 7 x = 1- 1x

 

 

   23

3x x = - x

   3x4x3 = - 1 x21 + x + 12 x2 1

Bài toán 164

 

     

3

3

3

3

3 = 1-

x x x y y

y x x

     

 

 

Xét phương trình :

Vì nên vế trái phương trình ln dương

Vậy phương trình vơ nghiệm Hệphương trình có nghiệm : (0; 1)

Giải : Điều kiện :

0 x y x y x y              

2 2

3

2

1 + x + 1

3 +

1 +

x x x x x       2 2

1 + x + 1

3 - 4x +

1 +

x x x x               2 2

1 + x + 1

3 - 4x +

1 +

x y x x x              2 2

1 + x + 1

3 - 4x +

1 +

x x x     2 2

2 4 + x + 1

3 - x + +

3 9 1 + 1

x x x            

2 2 2 2

2

2 -2 + + x +3

3 - - +

3 1 + 1

x x x x           

 22

2

2

1 -

2

3 - - + 3+

3 1 + 1

x x x           

 22

2

2

1 -

2

3 - +

3 3 + 1 1 + 1

x x x x             

 22

2 2

2

1 -

2

3 - +

3 1 + 1 1 + 1

x x x x x               2

5 1x 5, x 5 1x  4 0, x 

Bài toán 165

   

 

2

2

3

2

x y x y x y x y

x x y x y

Đặt : ,Phương trình (1) trở thành :

Thế : y = 1- x vào phương trình (2) ta :

Hệphương trình có nghiệm : (1; 0)

Giải : Điều kiện :

Phương trình (1)

Đặt , phương trình trở thành :

,

t x y t 

2

3

t t t  t

2

t t t t

     

 1 3 1

2

t t t

t t



   

   

3

1

2

t t

t t

 

    

 

 

1

0,

2

t

t VN

t t

   

  

  



1

1

2

x y y x x x

        

2

3

x   x   x2  3 2x  1

 

2

2

2

1

0

2 1

3

x x

x x

 

  

 

   

1

1

2 1

3

x x

x x

  

    

   

 

2

1

1

0,

2 1

3

x y

x

VN x

x

  

 

 

 

    



2

2

x x

y y

  

 



 

  

 

 

2 2

2

2

2 x y

x xy y y xy x

y y y



   

  

2

2 2

x x x x x

y y y y y

                      

         

,

x

t t

y

 

Bài toán 166.

   

      

2 2

2 2

8 2

x xy y y xy x x y

y x y y x

       

 

        

Bình phương vế phương trình trên, ta :

, thế : y = x vào phương trình (2) ta :

(3) Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến

Hệphương trình có nghiệm :

2

2 2

t   t t   t t

2 2

3t 2t 3 t  t 2t   t 4t 8t4

2 2

2 t t 2t t t 6t

       

    2

4 t t 2t t t 6t

       

4 2

7t 14t t t

       

x y

 

8x6 x 1 2 x2x4 x 2 3

    

8 x x x x x

           

2 x 13 x 2 x 2  x 22 x 1

           

 3    2 

2 x x x 2 x

         

2 x 1 3 x 1 2 x 2 3 x 2

         

 

,

f t t t t  

' 0,

f t  t    t

2;  3  f 2 x1 f 2 x2

 3 2 x  1 x2 4x1 4 x  2 x

3x x

    3x62 16x2 9x2 52x680

34

x y

x y



  

 

  

2; ; 39 39;

4

 

 

 

Bài toán 167

   

4

4 y + 4y =

x y x

   

Giải : Phương trình (1)

, thay vào phương trình (2) ta :

(3)

Xét hàm số :

Bảng biến thiên :

4

4 + 4y - y =

x x y y

  

     

4

1 y + - y + =

x y y

  

  

4 1 =

x y y

    4 2

4

y

x y

    

   

1

y

  

2

4 x  1 x 4 16x21  x242

4

8 0; 2

x x x x

      

4

4

2

1

1

4 1 1

4

2

x x

x y

y y

   

 

 

    

   



 

  2

2 8y 6y 2 x 4 x 1

  2  

4 1, 1;1

f x x  x  x   

2

4

'

1

x

f x x

x

 



  42 22

' 2

1

x

f x x x

x x

 

       

   

2

0

1

1

x

x

   

  

 



2

0

1

x x

   

 



0

3,

1

x x

x loai

x

 

 

 

   

 



0 +

f(x) x f’(x)

1 -1

0 -

Theo Bảng biến thiên ta có :

Xét hàm số :

Bảng biến thiên :

Theo Bảng biến thiên ta có :

Phương trình (3)

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện : Phương trình (1)

   0 4,  1;1 f x  f     x

  1

8 2, ;

2

g y  y  y y  

 

 

' 24

g y  y   

' 24

2

g y   y    y 

  4, 1;

2 2

g y g      y  

   

     

 

0

1

2

x f x

f x g y

y g y

    

 

   

  

 

 

     

1

0; ; 0; ; 2; ; 2;

2

 

   

 

 

2

8

x  y 

3

1 12

x x y y y

      

 3

3

1 12 1

x x y y y y

         

0 g(y)

y g’(y)

1/2 -1/2

-

-4

Bài toán 168.

   

3

2

12 8

8

x y x y y

x y x y

     

 

  

(3) Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến Phương trình Thế : 2y – = x vào phương trình (2) ta :

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện :

Từphương trình (2) Đặt  3  

3

1 2 1

x x y y

       

 

1,

f t t  t t f ' t 3t2 1 0, t 

  3  f x  f 2y1x2y1

 2  

2y1 8y 5 2y1 2y  8y34y24y 1 8y5

 2

3

8

8 4

y

y y y y

  

  

    





5

8 60 76 24

y

y y y

    

    



5

6 11

1

1 ,

y

y x

y x

y loai

     

     

   

 



 

  

11; ; 1;1  

1

3 3

5 4

5

y y

x

x

     

 



 

 

   

 

0

x y

    

2

2

2

; ,

4

u x y

u v x xy y v

  

 



  

    Bài toán 169

 

 

   

2

2

3 3

4

2 2

3

y x xy y

x xy y

x y x y

      

 

  

    

Phương trình (2) trở thành :

Thế : y = x vào phương trình (1) ta :

(3)

Vì Từ

 

2 2

2 2

2

2

2

3

2 2

4

2

u x y

v x xy y u xy

x xy y v

  



        

  

 

2

3

2

2v u xy

   

 

2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

u u

xy xy  x  xyy   v u  v 

2

3

2

u u v  v 

2

3u 2uv 5v

    3u22uv2v23v2 0

   2

2v u v u v

     u v 3u5v0

3

u v

u v

 

   



u v

  x22xyy2 0xy2 0x y

2

3x 1 5x4 3x  x

   

3x x 5x x 3x 3x

         

   

   

2

2

3 1

3

3 1

x x x x

x x

x x x x

     

   

     

     

2

2

3

3 1

x x x x

x x

x x x x

 

    

     

 

   

2 1

3

3 1

x x

x x x x

 

     

     

 

   

2

0

1

3 0,

3 1

x x

VN

x x x x

  



    

      



0

x y

x y

  

   



3u 5v

Hệphương trình có nghiệm :

Chú ý Đểcó phương trình (3) ta làm sau : Dùng máy tính ta biết phương trình có nghiệm : 1và cũng là nghiệm của phương trình : Ta biến đổi phương trình :

sau:

Ta phải có :

Giải : Phương trình (2) (3) Thếphương trình (3) vào phương trình (1) ta :

(4) 0;0 ; 1;1  

2

0

x x

  

2

3x 1 5x4 3x  x

2

3x 1 5x4 3x  x

       

3x x a 5x x b 3x x x a x b

              

   

   

2

2

3

3 3

3

x x a x x b

x x a b

x x a x x b

     

      

     

 

 

   

2 2

2

3

3 3

3

x a x a x b x b

x x a b

x x a x x b

         

      

     

 

 

2 2

2 2

3

5

x a x a x x

x b x b x x

       

 

       

 

2

2

3

1

5 2

4

a

a a

b b

b

 

 

   



 

   



  



2

2 3

y x y x y x

      

2 2

2 5 2

x  x  y  y y x  y x

x 12 y 12 y 12 x 12

         

x 12 x 12 y 12 y 12

         

Bài toán 172

   

2

2

2 5 3

3

x x y y y x

y y x x

        

 

   

Xét hàm số :

Hàm số f(t) đồng biến

,thế vào phương trình (2) ta :

,thế vào phương trình (2) ta :

Hệphương trình có nghiệm :

Giải Điều kiện :

Phương trình (1)

(3) Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến

Phương trình (4)

  , 0; 

f t  t t t  '  1 0, 0; 

2

f t t

t

     



0;  4 x12 y12

2

x y

x y

  

   



x y

  

3

4

4

y y x

       

2

x y

  

 2  

2 3 3 2 2

y  y  y  y 3

2

y y x

       

1 3

; ; ;

2 4

   

 

   

   

3

2

3

2

8

0

2

y y

x

y y

y x

  



 

  

 

    



3

3

x x y y

    

     

3 3 3

x x x x y y

         

x 13 3x 1  y 33 y

       

   

3 , 1;

f t t  t t  f ' t 3t2 3 0, t 1;

1;

 3  f x 1 f  y3  x y3

Bài toán 173

   

3

2

3

3

x x y y

x y y

    

 

  

Phương trình (2) (5) Thế(4) vàophương trình (5) ta :

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện :

Phương trình (1)

(4)

Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến

Thếphương trình (5) vào phương trình (2) ta :  

9 x y 8y

   

 

9 y 3  y 8y  y28y 9 y3

 2  

8 81

y y y

      y416y382y263y1620

  

1 17 99 162

y y y y

      3 2

17 99 162 0,

y x

y y y VN

   

 

   



3;1

3

1

1

y y

x x x x

  

 



 

     

 

x x 2 y y 12 2x x y y 1

      

x x y y 12 0

    

1

x x y y

   

 

3 1 1 1

x x y y

       x x  y13 y1

 

,

f t t t t  

' 0,

f t  t    t 



 4  f  3 x  f  y1 x  y1

3

0

x

x y

    

  

    

3

0

1

x

x y

    

 

  Bài toán 174.

   

   

3

2 3

3

4

2

1 1

x y x x y y y x x

x x x x y

       

 

      

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện : Phương trình (2) Từphương trình suy :

Phương trình (3)

Đặt :

(4)

Xét hàm số :

Hàm sốf(u) đồng biến

Phương trình

Hệphương trình có nghiệm :

4 3

1

x  x x   x  x4x3 x3x2  1

 

3

3

3

1

1

x x x x

x x



   

    

2

3

1

1

1

x x x

x x

 

    

  

 

3

0

1

1

0, x

1

x y

x y

x VN

x x



    

   



   

   



0;1 ; 1; 2  

2

x

   2

2

2 2

x x y y y

      x y 22 4y

0

y

 1  x 3 x2 = y4 5 y

4 4

4 2, 0 2 3 5 3 5

t x t t     x x t   x  t 

  4

3  t  5 t = y  5 y

   

5 , 0;

f u  u  u u     

3

4

2

' 0, 0;

5

u

f u u

u

     



0;

 3  f y  f t  y t y x2

0;1 ; 1; 2  

Bài toán 175.

 

   

4

2

3 - = y

2

x x y

x x y y y

    

 

     

 

Bài toán 176.  

 

3

3

2 3 10

6 13 10

x y x y x x y

x x x y y

         

 

    

Giải Điều kiện :

Phương trình (2)

(3) Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến

Thếvàophương trình (1) ta : (4)

Xét hàm số :

Ta có :

Suy , hàm sốg(x) đồng biến

Và g(2) = 0, phương trình (4) có nghiệm x = Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện : Phương trình (1)

2

3

x y x y

   



  



3 6 12 8 2 10 10

x x x x y y

         

 3  

2 10 10

x x y y

       

 

10,

f t t  t t f ' t 3t2 1 0, t 

  3  f x 2 f y  y x

3

3x 3 2 x x 3x 10x26

 

3 10 26, 1;

2

g x  x   xx  x  x x  

 

  3

' 10, 1;

2

2 3

g x x x x

x x

 

       

   

2

3 10 0, 1;

2

x x x  

       

 

 

' 0, 1;

2

g x    x  

 

5 1;

2

 



 

 

0

y

 

2;0

3x2y0

3 2

3 12

y x x y xy x x x

        

Bài toán 178.    

 

3

3

7 12

4 =

x y xy x y x x

x y x y

       

 

   

Thếvào phương trình (2) ta : (3) Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến

Phương trình (3) có nghiệm , thỏa điều kiện Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện : Phương trình (1)

(3) Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến Phương trình Thếvào phương trình (2) ta :

(4)

Do

Từphương trình (4), suy : ;

y x3 2x 13

     xy3 2x13   x y 2x 1 y x

3

3x2 x2 4

 

3 2 4,

f x  x  x  x 

  1  23

' 3 0,

3 2

f x x x

x



      



 2;  f 2 0

2

x  y 

2; 1 

2

8

x   y

6

3 3

x x y y y y

        

 2  3  

3 4

x x y y

       

 

3 4, t

f t t  t  f ' t 3t2 3 0, t 

    2  

3  f x  f y1  yx -1

   

2 x 1  x1 2x 7 + - x =  

2x x x 2x

     

2 2

2x   x x  4 x   x 0, x 

1

x       2 

4  2x  x  x1 2x 7

4

2x 8x 12x 24x 18

      x3x1 2 x260

Bài toán 179.  

   

6

2

3

2 8+7 = x

x x y y y

y x x y

     

 

   

.Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện : Phương trình (1)

(3) Xét hàm số :

Hàm sốf(t) đồng biến

Phương trình

Thếvào phương trình (2) ta :

(4)

Xét hàm số :

Hàm sốf(x) đồng biến

Nên phương trình (4) có nghiệm : Hệphương trình có nghiệm :

3

1 0, ( thoa)

x y

x y loai khong

  



    

  

3;8

4 x

  

   

2 y 3y 3y y x x 1 x

           

 3  

2 y y x x x

        

 

2 ,

f t  t t t f ' t 6t2 1 0, t 



 3  f  1x f y 1 1x y1  1  x y

3 2 x 4 1x x4  x4 1x 2 x 4

  4,  4;1

f x  x  x  x x 

  1  

' 0, 4;1

2

f x x

x x x

      

   4;1 f  3 0

3

x   y

3;3

Bài toán 180.    

 

3

2

2 3

2

y y x x x y

y y y x

       

 

     

 

Bài toán 185.

3

3 (1)

3 (2)

x x y y

x y x

    

 

   

Giải : Điều kiện :

Phương trình (1)

(3)

Ta thấy :

Xét hàm số: Hàm sốf(t) đồng biến

Thay vào phương trình (2), ta :

Vậy hệphương trình có nghiệm là:

Giải Phương trình (1)

(3) Mặt khác, ta có :

3

3

3

3

2

x

x

y y

y x y x

 

  

  

 

  

   

3

3

x x y y

    

3

(x 1) 3(x 1) ( y 3) y

       

1

3

2 3

x

x x

y x y x y

  

  

  

 

  

          

  

3

( ) ,

f t t  t  t  2

'( ) 3 3 0,

f t  t      t

2;

 3  f x( 1) f  y3  x y3 x22x 2 y

2

3

x  x  x x24x 3 1,

3

x loai

x y

 

    



(3;1)

 

2

1

4 1

y y

x x

 

    

 

   

2

1 0,

x  x  x 

2

4

y y x x

      x x21y y241

 

2

4

1

4

x x

y y

 

 

   

   

   

2

4 0,

y  y  y 

Bài toán 195.     

   

2

3 3

1

2 5 10

x x y y

y y x x

     

 

(4)

Lấy phương trình (3) trừphương trình (4), vế với vế, ta : (5)

Thế (5) vàophương trình (2) ta có phương trình : (6) Xét hàm số :

Hàm số đồng biến

Suy ra, phương trình (6) có nghiệm

Vậy hệphương trình có nghiệm

Giải : Điều kiện :

Phương trình (2)

 

4 x x y y

     

2

2y 3 x  1 x  4y6 x2 1 10 x

2y5335 2 y  4y

  2 53 35 2 4 , f y  y   y y y

   

 

2

2

2

' 0,

2

f y y y

y

      



 

f y 

2

f  

 

3

y 

2

3 x x

      3 x2  1 x

 2

2

3

9

x

x x

  

  

   



3

16 30

x

x x

    

  



0

x

 

3 0;

2

 



 

 

2

x x y

  

 

x y 2y 1 x y 2y         

 x y3 2y 4 x y x y 2y          

Bài toán 205.    

   

3

4 2

5

y y x x x

x y x y y

       



      

(3) Xét hàm số :

Hàm số : đồng biến Phương trình

Ta có hệphương trình :

Xét phương trình :

2y 4 x y 1 x y x y2 1

        

 

 

 x y 2 y x y x y 1

        

4

x y x y

       xy4 xy xy0

     

1  y y3 x2  x 2 x22

  2 3  2 

3

2 2 2

y y x x x x

          

  2 3

3

3 2 2

y y x  x  x   x 

  3 

3

2

y y x   x 

 

,

f t t t t f ' t 3t2 1 0, t 

 

f t   3 1 02

2

y

y x

x y y

        

    

2

1

2

y

x y y

   

  



4

1

2

x y x y

y

x y y

      

  

   

2

2

1 3

1

2

y y y y

y

x y y

       

  

    



2

1 3

y y  y  y 

2

2 3

y y y y

       

2

2

3

2

1 3

y y

y y

y y

  

    

  

 1 2  12 2

1 3

y y

y y

y y

 

    

    

1

2

1 3

y

y y

y y

  

 

    

    

Vậy hệphương trình có nghiệm :

Giải Điều kiện :

Phương trình (1) (3)

Xét hàm số

(3) (4)

Thay (4) vào phương trình (2) ta :

.Hệphương trình có nghiệm nhất:

Giải Phương trình (1) (3) Phương trình (2)

Xét hàm số : Hàm sốf(t) đồng biến

(3) Thay vào phương trình (2) ta :

 

2

2

3 3

2

1 3

y y y y y

y

y y

       

 

  

    

 

2

y x

   

3; 2

0

x y

  

 

   

2 5

x x x y y y

            

 

f t  t  t  t 0;    1 0, 0; 

2 2

f t t

t t t

        

 

   5 5

f x f y x y y x

        

 2

2

5 44

x  x x  x 

2

2 12 14

7,

x y

x x

x loai

  



     

 

  

1;6

 3  

3

3

x x y y

     

xy y2 x

        x x

   

3 , 1;

f t t  t t  f ' t 3t2 3 0, t 1;

1; 

   

f x f y x y

    

Bài toán 209.  

 

2

2

44

x x x y y y

x y x y

          

 

   

 

Bài toán 210.  

 

3

2 2

3

2

x x y y

x y y xy x

     



     

Hệphương trình có nghiệm :

Giải : Phương trình

Xét hàm số :

Hàm số đồng biến Phương trình (3) Thay y=x+2 vào phương trình (2) ta có :

Vậy hệphương trình có nghiệm (-3;-1), (3;5)

Giải : Phương trình (2)

(3)

Xét hàm số

 2 2    

1 1

y y y  y y  y    1 0

1

y x

y y y y

y x

  



       

  

 1;0 ; 2;1  

3

(1)x 3x 4x 4 y 3y 4y

3

(x 1) x (y 1) y (3)

       

 

,

f t t t t f ' t 3t2 1 0, t   

f t   f x( 1) f y( 1)    x y yx2

 2

2

2 2(2 2) 18

x  x  x  2 18

3

x y

x

x y

  



    

     

3 2

7x 12x y 6xy y x y

       

 3 2

8 12

y x x y xy x x y x

        

y 2x3 y 2x  x3  x

       

 

,

f t t t t f ' t 3t2 1 0, t 

Bài toán 216.

3 2

2

3( ) 4( )

( , )

2( ) 18

x y x y x y

x y

x y x y

       



 

   

 



Bài toán 220.  

 

2

3 2

2

7 12

x y x y

x x y xy y x y

     

 

      

Suy hàm số đồng biến Phương trình

Thếvào phương trình (1) ta :

Vậy hệphương trình có nghiệm

Giải : Điều kiện:

Nếu , để hệphương trình có nghiệm :

hệphương trình vơ nghiệm

Nếu y<0, từ (2) suy x>0

Ta có :

Xét hàm số

Suy hàm số đồng biến

Phương trình

Thế vào phương trình (1) ta có phương trình : (4)

Xét hàm số :

 

f t   3  y2x  x x y

2

5

2

x

x x

x

      

  2;2; 3;3 

6

1

x y

x

   

   

 y 0 0 y1

(1)

(1) (1)

(1) 1

VT x y

VT VP

VP y



    

 



   



2

9 1xxy 9y 0    

2

2

3

9 y y (3)

x x

   

       

   

 

2

( ) , 0;

f t t t t 

2

9

'( ) 0

9

t

f t t

t



   

  

f t 0;

2

3

(3) f f( y) y x

y

x x

 

        

 

2

9

2 y y

y    

2

9

( )

g y y

y

   ;0

Bài toán 221.

2

2 (1)

9 (2)

x y y

x xy y

    

 

   

Suy hàm số đồng biếntrên

Xét hàm số : có

Suy hàm số nghịch biến phương trình (4) có nghiệm y= -3, x =

Cách (Dùng lượng liên hợp)

Xét phương trình :

Vì phương trình vơ nghiệm có hệ số a = > 0, nên Do vế trái (*) ln dương, với y < 0, (*)vơ nghiệm Vậy hệphương trình có nghiệm (1;-3)

2

3

2

9

6 '

18

'( ) 0,

9

6

y

y y

g y y

y y y

y y

 

 

 



 

    

   

( )

g y ;0

h( )y  1 y ;0 h'( )y   1 0, y

h( )y ;0

2

9

2 y y

y    

9

2 y y

y

 

       

 

2

2

9

6

2

9

6

y y

y y

y

 

  

 

 

   

 

  

 

 

3

2

2

2

9

6

y y

y

y y

y

 

 

 

 

   

 

  

 

 

  

2

3

2

9

6

y y y

y

y y

y

 

    

 

   

 

  

 

 

 

2

2

3

2

9

6

y y

y

y y

y

 

 

 

 

   

 

  

 

 

 

2

2

3

3

1

6

y x

y y

y y

y

    



  

   



   



2

3

Giải : Điều kiện : Phương trình (1)

(3) Xét hàm số : Suy hàm sốđồng biến

Thế vào phương trình (2) ta :

Đặt với

Ta có

Khi đó, phương trình (2) trở thành :

Nghiệm hệphương trình :

1 x

    

2y y x x 1 x

       

 3

3

2y y x x

     

 

2 ,

f t  t t t f ' t 6t2 1 0, t 

  3  f y  f  1x  y 1x

2

1  x 2x 2x 1x

2

2x 2x x x

      

cos

x t 0;  0; sin2 sin

2 2

t t t

t     

 

2

cos s in sin

2

t t

x t   x 

2

2 os cos sin sin

t

c t t t  

1 os2 sin 2 sin

2

t

c t t

      sin sin

4

t t 

 

   

 

2

4

2

4

t

t k

t

t k



 

 



   

 

     

3

2

2

5

2

2

t k

t k

  





   

 

   

 

4

3

3

10

k t

k k

t

 

 



   

 

  





3

3

os sin

10

10

cos 2,

x c y

t

t x y loai

 



 



   

 



  

 

     

 

3

os ; sin

10

c  

 

 

 

Bài toán 228.  

 

3

2

2

1 2

y x x x y

y x xy x

     

 

   

Giải : Điều kiện : Phương trình (1)

(3)

Xét hàm số:

Hàm số f t  đồng biến 0;

Phương trình

Thay vào phương trình (2) ta được: (4) Xét hàm số :

nên g(y) đồng biến

Hơn g(6) = nên phương trình (4) có nghiệm

Vậy nghiệm hệphương trình :

Giải : Điều kiện:x 2 Phương trình: 3

2

x   x y  y  y

1 2

x

y

       

3

2(2x 1) 2x (2y 1) y

       

   

3

2(2x 1) 2x y y y

        

   3

3

2(2x 1) 2x y y

       

 

3

( ) , 0;

f t  t t t  f t'( )6t2  1 0, t 0;

 3  f(2x1) f( y2)2x 1 y2

44y 8 2y4 6

 

4

( ) 6, 2;

g y  y  y  y 

 

4

1

'( ) 2;

4

     

 

g y y

y y 2;

1

2

y  x

1 ;      

Bài toán 229.  

 

3

2(2 1) (2 3)

4 2

x x y y

x y

      

 

   

 

Bài toán 231.  

 

3

3

3

3 2

x y y x y

x x x y

      

 

    

(3)

Xét hàm số Ta có:

Suy hàm số đồng biến Phương trình

Thay vào phương trình (2) ta được:



 Xét phương trình : (*)

Ta có

Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy hệphương trình cho có nghiệm

 3  

3

2 1

x x y y

       

 

2

f t t  t  2;  f ' t 3t2 1 0,   t  2; 

 

f t  2; 

 3  f x  f y 1 x y 1 y x1

yx

3

3 2

x   x  x3 8 2 x22

     

 

2 2 2

2

2

x x

x x x

x

   

    

    

 

 

2 2

2

2

x

x x x

x



    

 

 

 

2

2

2

x x x

x

 

 

     

   

   

2

2

2

2

2

x

x x

x

  

     

  



2

x  x y

   

2 2

2 4

2 2

x x x x

x x

       

   

 2  

2

2 3; 1, 2;

2

VT x x x VP x

x

            

 

2;3

Bài toán 245.

2 3 3

8 12 12 4 y + 3xy

8 2

3 1 4

1

x x xy xy y x

x x

xy x y

x y

    

 

     



Giải : Hệphương trình

Điều kiện :

Phương trình (1)

(3)

Xét hàm số : Ta có :

Hàm số đồng biến Phương trình (3)

(4)

Thếvào phương trình (2) ta :

Đặt , phương trình trở thành :

 

    

2 3 3

8 12 12 4 y + 3xy 1

8 2

3 1 1 4 2

1

x x xy xy y x

x x

x y

x y

    

 

    



 

  

0

0

1 1 0

1 0

x

x x y

y y

 

  

   

 

  

 

3

3

8 12 12

4 + 3x

x x x x

x y y y

    

3

2 3

2 2 2 2

3 .1 3 .1 3 3 + 3x

x x x x

x

y y y y

   

         

   

3

3

2 2

1 3 1 + 3x

x x

x

y y

   

      

   

   

 

3 ,

f t  t t t f t' 3t2   3 0, t 

 

f t 

 

2 2

1 1

x x

f f x x

y y

 

      

 

 

2

1

x x y

   2 0

1

x y x

  



    

3 x1 y 1 4y  4 x 1

      

3 x 1 y 1 4 y 1 x 1 0

        3 1 4 1 1 0

1 1

y y x x

 

   

 

1 0 1

y t

x



 

Thế vào phương trình (4) ta :

Vậy hệphương trình có nghiệm nhất:

Giải : Điều kiện :

Phương trình (1)

(3)

Xét hàm số : Hàm số đồng biến

Phương trình (3)

Ta có : Thế : y = x – vào phương trình (2) ta :

4t 3 0t

   

1 1

, 4

t

t loai

   

  

1

1 1 1

1

y

y x y x x



       



2 0 ,

2

2 0

1 1

x y loai x

x x x x

x y x

  

     

 

 

 1;1

2 2 0

16

16 3 0

3

x x

y y

   

 



 

  

 



3

9 27 27 5 15 3 3 1 5 5

x x x x y y y y

           

x 33 5x 3 y 13 5y 1

       

 

5 ,

f t  t t t f t' 3t2   5 0, t  f t  

 3  1 3 1 2

f x f y x y y x

          

16 16 22

2

3 3 3

y   x  x

2

4 x 2 22 3 x x 8 4 x  2 2 22 3 x 4 x2 4 0

 

2 6 3

4 4 0

2 2 22 3 4

x x

x

x x

 

 

     

   

   

4 3

2 2 0

2 2 22 3 4

x x

x x

 

      

   

 

Bài toán 246.

   

3 2

2

3 32 9 + 8y+36 1

4 2 16 3 8 2

x y y x x

x y x

    

 

    

Xét hàm số :

Hàm số nghịch biến , suy phương trình (*) có nghiệm

duy x = -1, y = -3 Vậy hệphương trình có nghiệm :

Giải : Điều kiện : Phương trình (1)

(3)

Xét hàm số : Ta có

Hàm số đồng biến Phương trình (3)

Thế vào phương trình (2) ta :  

2 0

4 3

2

2 2 22 3 4

x y

x

x x

   

 

     

    



  4 3 2,x 2;22

3

2 2 22 3 4

f x x

x x

 

      

     

 

 2  2

2 9 22

' 1 0, x 2;

3

2 2 2 2 22 3 22 3 4

f x

x x x x

 

       

 

     

 

f x 2;22

3

    

  f  1 0

  2;0 ; 1; 3  

2y   8 0 y 4

6 2 3

3 3 4 4 4

x x y x y y x y y y

       

 3  

4 4

x y x y y y

     

 

4t,t

f t  t  f t' 3t2   4 0, t 

 

f t 

    2

2 , 0

f x y f y x y y y x y

        

2

2y x

Bài toán 249.

   

6 2

2

3 3 2 4 8 0 1

3 2 3 2 2 8 2

x x y x y y x y

y x y

      

 

    

Phương trình (*)

Vì

Phương trình (*) vơ nghiệm

Vậy hệphương trình có nghiệm :

3 2

3 x  x   3 2 x 8 33 x2 1  x2  3 2  x2  8 3 0

2 2

3 2

1 1 1

3 0

1 3 2 8 3

x x x

x x x x

        

      

     

     

 

3 2

3 1 1

1 0

1 3 2 3

x

x x x x

 

     

     

 

 

3 2

1 1

2

3 1 1

0

1 3 2 8 3

x y

x x x x



   

 

    

      



3 2

3 1 1

: 0

1 3 2 8 3

x x x x

  

     

2 2

2

1 1

: 8 3 8 3 3 2

3 2 8 3

x x x x x

x x

            

   



3 2

3 1 1

0,

1 3 2 8 3

x

x x x x

     

     



1 1

1; ; 1;

2 2

   



   