Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)3.PHƯƠNG PHÁP XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ
Giải: Điều kiện : x1 Phương trình 4
1 1x x 1 y y 2
Đặt
1,
u x u 4
1
x u x u
Khi đó,phương trình (1) trở thành :
4
2
u u y y
Xét phương trình (2) :
2
x y xy y
Xem x ẩn, y tham số, ta có : 4y Phương trình có nghiệm y0
Xét hàm số
2, 0;
f t t t t
2
4
2
' 0, 0;
2
t
f t t
t
Suy hàm số liên tục đồng biến 0; Từđó, phương trình
3 u y x 1 y
4
1
y x
1
x y
Thế (4) vào phương trình (2) ta :
2
1 1
y y y y y
8
2
y y y y
1 3
y y y y y y y y
Bài toán 7(A – 2013).
4
2
1 (1)
2
x x y y
x x y y y
(2)0
1 0,
y x
y x loai
Vậy nghiệm hệphương trình cho 1; 0
Giải:
Điều kiện :
1
x y
Xét hàm số
1, 1;
f t t t t
' 0, 1;
2
f t t t
t
Suy hàm số đồng biến 1;
Từđó, phương trình 2 xy
1 2x x 1 4 x2x14
4
x x
x2 y Vậy hệphương trình có nghiệm 2; 2
Giải: Điều kiện : 0x y, 1
Lấy phương trình (1) trừphương trình (2) vế với vế, ta :
2
1
y x
x y
Xét hàm số
2
1
, 0;1
t
f t t
t
2 2
' 0, 0;1
1
f t t
t t
Suy hàm số liên tục nghịch biến [0; 1]
Bài toán 11.
2
1
1 +
x y y x
x x y y
Bài toán 2.
0 (1)
3 2
x y x y
x y x y
(3)Từđó, phương trình x y Khi
1
2
x x
2 2
1
4
x x
4
4x 4x
2 ,
1
2 2
2
x loai
x
x y
Vậy nghiệm hệphương trình cho 2;
2
Giải: Điều kiện : 2
16
x
x x
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cop-xki cho số : 1, x21,3, y21ta
2 2 2
1 1 1
x y x y
2 2
1 10
x y x y
Do phương trình (1) nên dấu “ =” xảy Khi ta có :
2 1
1
1
y
x
9x21 y21 2
9x 10 y
Thế 2
9x 10 y vào phương trình (2), ta :
2 16 2 10 - 628 =
x x x (3)
Xét hàm số :
2 16 2 10 - 628, x 2;8
f x x x x
1
' 36 0, x 2;8
2 16
f x x
x x
Bài toán 17.
2 2
2
1 10
2 16 2 - 628 =
x y x y
x x y
(4)Vậy hàm số f x đồng biến (2; 8) f 6 0do phương trình (3) có nghiệm x = Với x = ta có y 314
Vậy hệphương trình có nghiệm : 6; 314 ; 6; 314
Giải: Điều kiện :
2
x y
Lấy phương trình (1) trừđi phương trình (2) vế với vế, ta :
5
x x y y
Xét hàm số : f t t 5 t2 ,t 2;
' 0,
2
t t
f t t
t t
Vậy hàm số nghịch biến trên2; Phương trình 3 f x f y x y
Khi đó, hệphương trìnhtrở thành : x 5 x27
2x x x 49
5 23
x x x
2
2 23
5 23
x
x x x
2 23 539
49 539 49
x
x y
x
Hệphương trình có nghiệm 539 539;
49 49
Bài toán 65.
5
2
x y
x y
Bài toán 78.
2
2
+ y = y 1+ y 8=6
x x
x y
(5)Giải: Điều kiện : x0
Nếu y = phương trình(1) tương đương :
0
x x , không thỏa hệ
Xét y0 :phương trình
3
3
1 x x y y
y y
Xét hàm số
( ) ,
f t t t t ;
' 0,
f t t t Suy ra, hàm sốf(t) đồng biến
3 x y x y
y
Thế (4) vào phương trình(2) ta :
2
4y 5 y 186
2 4y y 18 23 5y
Điều kiện : 115 115
23
5
y y
Bình phương vế phương trình trên, ta :
22
4 4y 37y 40 23 5 y
9y 378y 369
2
2
1
1 41,
y x
y
y loai
Vậy nghiệm hệphương trình cho 1;1 , 1; 1
Giải: Điều kiện :
2
y x
Phương trình(1) 2
2 x 2x y x y
2x x y x
2x y x
2
y x
Bài toán 89.
3
3
2 1
4 ln
x x y x y
y x y x
(6)Thế (3) vào phương trình(2) ta : 2x134x 1 ln2x122x0
3 2
2x 4x ln 2x 2x
Xét hàm số 3 2
2 ln 2 ,
f x x x x x
x
2
8
'
4
x
f x x
x x
2 2 2
2
3 16
' 0,
4
x x x x
f x x
x x
Suy ra, hàm sốf(x) đồng biến liên tục Mặt khác , f(0) = Vậy phương trình có nghiệm x = 0, suy y = -1
Vậy nghiệm hệphương trình cho 0; 1
Giải:
Hệphương trìnhtương đương với
3
2
=278
100
y x y y x y
Từphương trình (2) suy y > 0.Viết lạiphương trình (1) :
2
278
y xy x xyy Vì y > 2
0, ,
x xyy x y
nên (1)xy0x y0.Phương trình(2) x 10 y 3 y
Thế (3) vào phương trình(1) ta :
Bài tốn 90.
3
2
=278
2 100
x y y
x y xy y
(7)3
10
278
y y y
y
Đặt t y t, 0, ta có phương trình :
3
2 10
278
t t t
t
33
10 278
t t t
Xét hàm số 33
10 278 0, 0;
f t t t t t
2 32
' 9 10 278 0, 0;
f t t t t t
Suy ra, hàm sốf(t) đồng biến liên tục 0; Mặt khác , f(1) = Vậy phương trình có nghiệm t =
Từđó, y 1 y 1 x9 Vậy nghiệm hệphương trình cho 9;1
Giải : Điều kiện : Phương trình (1)
(3)
Đặt
Phương trình (3)
Xét hàm số ;
Suy ra, hàm số đồng biến Phương trình
1 2
y x
3 x x 2y 2y
1 x x 1 2y 1 2y
2
,
= =
x
u v
v y
u
2 2 3
1 u u v v u u v v
,
f t t t t f ' t 3t2 1 0, t
f t 0;
u v 2x 2y1
Bài toán 109.
3
3 - 2y 1
2 2
=
2 - =
x x y
x y
(8)Thế : x = – 2y vào phương trình (2) ta : Đặt , phương trình trở thành :
Hệphương trình cho có nghiệm :
Giải : Điều kiện :
Hệphương trình
Xét phương trình (1) :
2 x 2y x 2y
3
2 2y 1 2y1 1
2
X y
3
1
2
2
,
X
X X X
X loai
1 1 1
X y y x
5
2
2
X y
6 5 5
2
4
y y x
1;1 , 5;
3
1
x y
3
2
1
1
- =
= y
x y x
x
2 3
2
1
1
- =
= y
x x x
x
2
1 - 8=
x x x
Bài toán 115.
3
4
1
1
- = = y
x y x
x
(9)Xét hàm số :
Xét hàm số :
Hàm sốg(x) đồng biến
Vậy hàm sốf(x) đồng biến
Mặt khác, f(2) = 0.Suy ra, phương trình có nghiệm x = 2, y = Hệphương trình cho có nghiệm :
Giải : Điều kiện :
0
x y
Phương trình (2)
1 x
x y x x y y x y
2
x
x xy x y x y y x y
2 2
x
xy x x y y xy
2
1 - x + 2x - 8=
x x
3
- x + 2x + -
x x =
- x + 2x + - 9, x
f x = x x
x - 2x + + , x
2
f' x =
x
x - 2x , x
=
g x
' = 6x - > , x
g x
1;
1 ,
g x g x
g x 1, x
' 0,
f x x
1;
2;1
Bài toán 121(THPTQG 2014-2015).
2
2
2
1 2
1
y
y y x
x
x y
x y y
y x
(10) 2 2
0
xy x x y x y
2
1
xy x x y
2
0
1
x y xy x
2
1
x y x y
2
0
x y
, thếvàophương trình (1) ta :
2 2
2
1 y 2
y y y
y
y2 y 2 y22 y220
2 2
y y y y
2 2
y y y y
Đặt
2 ,
2
u y
u v
v y
, Phương trình trở thành : 2
2
u uv v
Xét hàm số :
( ) , t 0;
f x t t
' 2 0,
f t t t
Suy ra, hàm sốf(t) đồng biến liên tục 0; Phương trình
2
u v y y
2
2
y y y y
1,
2
y loai
y x
1 1
1
x y x
y
Do x ≥ 2 1
1 y y
y , vô lý
Vậy hệphương trình có nghiệm : 4; 2
Bài tốn 128(Chuyên Lê Hồng Phong)
2 2
1 +
4 1
4 +8
1
xy x y y
y
xy xy
y y
(11)Giải : Phương trình (2) (3)
Với , đặt ,ta có :
Từ phương trình (3) ta có :
Ta lại có :
Từ phương trình (1) ta suy : Điều kiện :
Ta có :
Xét hàm số :
Suy ra, hàm sốf(t) đồng biến liên tục
Xét điểm thuộc đồ thị hàm số f(t)
Ta có : hàm sốf(t) đồng biến liên tục nên
4 1
4 +
1
y
xy xy
y y
0
xy u 3,u
xy
2
1
- + = u 4u
xy xy
2
1
- + 8= u -
xy xy
1
4
4
y y
2
2
1
1 0,
y y y
y y y
y y
0
x
0
2
x y
2 2
1 +
xy x y y
2
2 1
1 + y
x x
y y y
2
1 1
1 + y
x x
y y y
2
2 1
1 +
x x x
y y y
f x f
y
2
( ) t
f t t t t
2
2
' 1 0,
1
t
f t t t
t
, , 1,
M x f x N f
y y
M N
(12)(3)
Xét phương trình (1) :
Thế(3) vào phương trình (1) ta : (4)
Nếu x = 0, không thỏa phương trình (4), xét x ≠ Chia vế củaphương trình (4) cho ta đựợc :
Đặt , phương trình trở thành :
thỏa điều kiện :
Hệphương trìnhphương trình có nghiệm :
1
M N
x x x
y
xy1
3
2 +3x -
y y x
4
4 + 3x -
x x x
4
3
x x x x
2 x
2
1
3
x x
x x
x2 .x 12 x
x x x
2
2
1 1
2
x x x
x x x
2
1
3
x x
x x
1
t x x
2
3
t t
2
t t
1
1 =1
t x
x
x2 x 1=0,VN
1
2 =2
t x
x
x22x1 = 0x = 1y = -1 y 2
1; 1
Bài toán 134.(Chuyên Hạ long)
3
3 2+8 = 10y - 3xy + 12
5
y x x
y x y xy x
(13)Giải : Điều kiện :
khơng thỏa phương trình (2)
Chia vế phương trình (2) cho ta :
(3)
Xét hàm số : ;
Hàm sốf(t) đồng biến liên tục
(4)
Thế(4) vào phương trình (1) ta :
(5) Đặt :
(6)
Thế(6) vào phương trình (5) ta :
2
2
2
x
x x
0
y
3 y
3
8
5 x x x
y y
3
6
2 x 2 x x
y y
3
3 2 2
2 x x
y y
3 ,
f t t t t
' 3 0,
f t t t
3 f x f y
2
2 x
y
0,
2
y x
y
x
6 20
2 +8 = - x + 12
2x x x 2x 2x
2
3 x - x+4 x = 10 - 3x
3 -
t x x
2
3 - 36 36
t x x t x x x
90 27x 36 x
2
2
90 27
4
x t
x
2
90 27
+ = 10 - 3x
9
x t
t 2+9 = 0
9
t t t
t
(14)
, vơ nghiệm : 5x – 15 < 0,
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện :
Phương trình (1)
Xét hàm số : ;
Hàm sốf(t) đồng biến liên tục Phương trình
0 -
t x x
3 x = x x 36 x
45 54
5
x x y
9 -
t x x
3 x2 9 2x
9 x 81 36 x 108 x
5x 15 12 x
x 2;2
6 ; 5
2
1
3
3
6
2 10 10
x x
y y
y
3 25
2
2
y y y x x
3 1
2 12 4
2
y y y y x x
3 3
2 y y 2 x x
2 ,
f t t t t
' 0,
f t t t
3 f y 2 f x4
4
x y
2
2 10
4 4
y
y y x
Bài toán 135.(THPT Nghi Sơn)
3
2
2 12 25 18
3 14
y y y x x
x x x y y
(15)Thế(4) vào phương trình (2) ta :
Hệphương trình có nghiệm :
Giải Điều kiện : Phương trình (2)
Xét hàm số : ;
Hàm sốf(t) đồng biến liên tục
.Điều kiện : Thế(4) vào phương trình (1) ta :
2
2 10
4
y
y y x
2
3x 1 3x 14x 8 6x 3x 1 6x3x214x 8
2
3x x 3x 14x
3 5
5
3
x x
x x
x x
5 3
3
x x
x x
5
3 1
3 0,
3
3
x y
x VN x
x x
5;1
2
2
x y x y
3 2
3
y x y yx y y
3
3
y x yx y y y
yx233yx2y133y1 3
3 ,
f t t t t
' 3 0,
f t t t
2
3 f yx f y1 x y2 y1 4 y 1 y 1
Bài tốn 136.(SởGDĐT Thanh Hóa)
2 2
3 2
1 2
1 3
x y x x x y
y x y x y
(16)
Thế(5) vàophương trình (4) ta :
Thế(6) vào phương trình (4) ta :
2
yx x y
1
y x x y
x y12 1
x y 1x y 1
1
1
x y
x y
1 1
x y y x
2 2
1
1 1
x x
y x y x
1
2
x
y x x
2 2
2
x x x x x x42x3x22x22x 1 0
2
2
x x x x
x2 x 12 0 x2 x
1 5
2
1
,
x y
x loai
1 1
x y y x
2 2
1
1 1
x x
y x y x
2
1
2
x
y x x
2 2
2
x x x x x x42x3x22x 1
4 2
2 2
x x x x x
x2 x 12 0 x2 x
1 5
2
1
,
x y
x loai
(17)Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Từphương trình (2) suy : (1)
Xét hàm số : ;
Hàm sốf(t) đồng biến liên tục
.Điều kiện : Thếy = 2x vào phương trình (2) ta :
Hệ có nghiệm :
Giải : (1) Vì
1 5 5
; ; ;
2 2
2y 0 y2
3 2
2x - yx 3y 3x y + 3xy
3 3 2
3 + x - y 3x y + 3xy 3
x x y x
3
3
3 + x - y 3
x x y x
3
3 = y - x
x x y x
3 ,
f t t t t f ' t 3t2 3 0, t
3 f x = f y x x = y - xy = 2x 2x 2 x
2
2 2
x x x4 4x12
2
2
2
2
x x
x x
2
2
2 0,
2
x x VN
x x
1 2
1 2
x y
x y
1 3; 2 ; 1 3; 2 3
y x x
x2 2 x 0, x y0
Bài toán 139.(THPT Can Lộc)
2
2
2 - y = 3xy
2
x x y x y
x y
Bài toán 142.
2
2 2
2 = y
2 = 2x - 4x
xy x
y x x x
(18)Phương trình (3)
Thế(4) vào phương trình (2), ta :
Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến liên tục Phương trình
Hệphương trình có nghiệm :
Giải
Điều kiện :
Phương trình (1)
Xét hàm số :
Hàm số f(t) đồng biến liên tục
2
2
y
x x
2
2
y x x
2 2
2 2 = 2x - 4x
x x x x x
2
1 x x 2x x x 2x =
2
2 1 -
x x x x x x
2 ,
f t t t t t
2
2
' 0,
2
t
f t t t
t
5 f x f x1x x 1
x y
1 ;1
1
2
x x
y x y x
3
2y y = x 2x - + 1 x
3
2y y = x x x
2y3y = 2 1x3 1x 3
2 ,
f t t t t f ' t 6t2 1 0, t
Bài toán 143.(THPT Triệu Sơn 4)
3
2
2 + 2x =
2 - y = - x
y y x x
y
(19)Phương trình
Thế(4) vào phương trình (2), ta :
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện : Phương trình (1)
Thếvào phương trình (2) ta :
3 f y f 1x y 1x y, 0
2
1
y x x y
2
2y 1 - y = - 1y 2
2y - y - y - 1=
2
2
1
- y + =
2 + y
y y
2
1
-1 y + =
2y + y
2
1
-1=
2y + y
2
2y + y=
2
2y = - y
2
2
1
2 1
y
y y
2
1 2,
0
2
y y loai
y x
y y
1;0
0
x y
3 2
x y y xy x
2
1
x xy y xy
1
x y xy
2
1
x y
xy
2
x y
2
5x 1 - x x = 5x21 = + x x 3
Bài toán 144.
2
5 1
x
x y
x y
y x y
(20)TH :
TH :
Thếvào (2) ta :
(do vế trái không âm, vế phải âm)
Hệphương trình có nghiệm :
Giải :Phương trình (1) (3)
Vì : nên :
0 :
x 3 5x21 = + x2 5x21 = + 2x2x4
2
4
2
1
3 =
2
x
x x
x
1
2
x y
x y
0 :
x 3 5x21 = - x2 5x21 = - 2x2x4
2
4
2
7 41
2
7 =
7 41
2
x
x x
x
7 41 41
2
7 41 41
2
x y
x y
1
xy x
y
1
5y y
y
5y 1
y
y5y1 1 y
5 1 5 1
y y y y y
2 y 5y 5y 2y 1,VN
1;1 ; 2; ; 41 7; 41 ; 41 7; 41
2 2
2
2
2
1
x x
y y
2
1 0,
y y y
2
2
3
1
y y
x x
2
2
4
x x y y
Bài toán 145
2
3
2
4
12 10 2
x x y y
y y x
(21)Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến liên tục
Thế x = -2y vào phương trình (2), ta :
Xét hàm số : Hàm sốg(t) đồng biến liên tục Phương trình
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện :
phương trình (1)
(3) Xét hàm số :
4,
f t t t t
2
' 0,
4
t
f t t
t
4 f x f 2y x 2y
3
2
3x 5x 2 x 1 x132x1x3123 x31 5
2 ,
g t t t t g t' 3t2 2 0, t
3
5 g x1 g x 1 3
1
x x
3
1 3
x x x x
0
1
2
x y
x y
0; ; 1;1
2
2
1 1
1 1
0
2
x x
y y
y y
3 3 3 3 1 3
x x y y y y
3
3 3 1 3 1
x x y y
3 , 1;1
f t t t t f ' t 3t23,t 1;1
Bài toán 146
3
2 2
3
1 2
x y y x
x x y y
(22) f ' t 0, t 1;1
Hàm số f(t) nghịch biến liên tục và Phương trình
Thế x +1 = y vào phương trình (2), ta :
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Do y = khơng thõa hệphương trình nên
Hệphương trình
Cộng phương trình hệ với ta :
(3)
' 3
f t t t
1;1
3 f x f y 1 x y 1 y x
2 2
1
x x x
x22 1x2 2
2
1 x x
1 1x2 0 x2 1 x0
0;1
0
y
2
3
3
2
8
3
4
4
x x
y y
x x
y y
3
3
8
3
x x x
y y
3
3 2
3 3 3
x x x x
y y
3
3 2
1 3
x x
y y
-1
2 t
f(t)
f’(t) -
1
-2
Bài toán 146
3
2 2
3
4
y x x y
y x y x y y
(23)Xét hàm số :
' 3 0,
f t t t Hàm sốf(t) đồng biến liên tục
Thế (4) vào phương trình , ta :
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện :
Phương trình (1)
(3) Xét hàm số :
' 0,
f t t t Hàm sốf(t) đồng biến liên tục
Phương trình
Thếvào phương trình (2) ta :
3 ,
f t t t t
1 2 4
f x f x
y y
2
3
4
x x x x
1
x x x
1
1,
x y
x loai
1;1
2
1
1
3
9
2
x x
y y
3
2y y = x 2x x
3
2y y = x x x
3
2y y = x x
2 ,
f t t t t
3 f y f 1x y 1x0
2
4x 5 2x 6x1
2
2 4x 4x 12x
2 4x 5 4x 5 4x28x4
4x 12 2x 22
2
4 2, : 2 0,
x x
x x loai x x
Bài toán 155.
3
2 2
2 =
9 -
y y x x x
y x y
(24)Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện :
Phương trình (2) (3) Thế(3) vào phương trình (1) ta :
(4)
Xét hàm số :
Bảng biến thiên :
2
1
4
x
x x
4
1
1 2
2
1 2,
4
1 2
x x
x loai
x x
x y
1 2; ; 14 2;42
2
2
1
2
2
x x
y y
2 2 2 2
x y x y
2 2
2 2 = 2y + y +
x y x y x x y
2
3 2 = 4y + 2y +
x x x y
x 12 x x 1 = 2y 2 + 2y + 2y
1, 1;
f t t t t t ' 1 ,t -1
2
f t t
t
1
''
4 1
f t
t t
1
'' =0
4 1
f t
t t
8 t t 1=1
3 1
1 =
t
1=1 t = -
2
t
Bài toán 156
2
2
2 = 2y + y + 1
2 2
x x x y
x y x y
1/2 f’(t)
t f’’(t)
+∞ +∞
+∞
-3/4 -1
0 +
(25)Ta thấy Hàm sốf(t) đồng biến liên tục Phương trình
Thếvào phương trình (2) ta :
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện : Phương trình (1)
(3)
Xét hàm số : Hàm sốf(t) đồng biến liên tục
Phương trình
Thếvào phương trình (2) ta :
' 0, 1;
f t t 1;
4 f x 1 = f 2y x 2y x 2y1
2
2y1 2y 2 2y1 y 2
6y 7y
1
1
6
y x
y x
1;1 ; 1;
1
x
2x 2x = y + 3y
2x133 2x1 = y + 3y3
3 ,
f t t t t f ' t 3 +3 > 0, tt2
1;
2
2
3 1,
2
y
y x y y x x
2
2 1
5
2
y y y
y y y33y211y 5 0
Bài toán 157
3
2
2 2 = y + 3y
5
x x
y xy x y
(26)Hệphương trình có nghiệm :
Giải :Điều kiện :
Phương trình (1) (3)
Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến liên tục Phương trình
Thếvào phương trình (2) ta :
Xét : khơng thỏa phương trình
Chia vế phương trình cho ta
Đặt : ,phương trình trở thành :
5
y y y
5,
1 2
1 2,
y loai
y x
y loai
2 2;1 2
2
1
1 3
1
3
6 3
3
3
3
x
x x
x
x x x
x
y y
y
x 1 x 13 1 =3 y 2 + y 2 1
1 ,
f t t t t
2
3
3
' 0,
2
t
f t t
t
3 f x 1 f 3 y2 x 1 y2
2
3 x 1 x 6x6 = x 3 x1 = x1 1 x124x1
1
x
1
x
1
1 + +
1
x x
x x
1
1 + >
1
t x
x
Bài toán 158
2 3
2 3
3 = + +
3 6 = +
x x x x y y
x x x y
(27)
1
1
2
x
x
2
2 x x
1
1
2
x x
5 62
5 127
4 64
x y
x y
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện : Ta thấy khơng thỏa hệphương trình
Xét ,Phương trình (1) , suy
(3)
Xét hàm số :
1,
f t t t t t
2
2
' 1 0,
1
t
f t t t
t
Hàm sốf(t) đồng biến liên tục
Phương trình
2
+ =3
t t t t
2
2
3 3 5
t =
6 15
6
t t
t
t t
5; 62 ; 5; 127
4 64
0
x x0
0
x
2
3 =
1
y y
x x x
y0
2
3y 3y 9y = x x
x
3y 3y 3y = + x
x x x
2
2 1
3y 3y 3y = +
x x x
0; 3 f 3y f 3y
x x
Bài toán 159
2
3 2
1
3 =
1
9 = 10
xy y
x x
x y x x
(28)Thếvào phương trình (2) ta :
(4)
Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến g(1) = Vậy (4) có nghiệm :
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện :
Phương trình (1)
Ta có :
Thếvào phương trình (2) ta :
3
1 = 10
x x x
x
3 2
4 - 10 =
x x x x
4 - 10, x >
g x x x x x
2
' > 0, x >
g x x x x x x
x
0; 1
3
x y
1 1;
3
2
0
2 2
x x
x x
2
2 = 2
x x x xy x y
3 2
2 2
x x x xy y
2 2
2
x x y x y x
2
2
x x y x
x2x2y210
2
2
2,
1
x loai
x y
x y
1
x y
2
4y y x 3x2 y 1
Bài toán 160
2
2 2
2
1
1 =
4 2
y
x y
x
y y x x x
(29)(3)
Xét hàm số :
Bảng biến thiên :
Theo Bảng biến thiên ta có :
Xét hàm số :
Bảng biến thiên :
4 y 1 y x 3x y 1
4 y 1 y 1 y x 3x y 1
4 y 1 y x 3x
y24 y2 1 x33x2
3 2, 1;0 0;1
f x x x x
' 3
f x x f ' x 0 3x2 3 x 1
4, 1;0 0;1 f x x
1;0min 0;1 f x 4 x
2
4 1, 1;1
g y y y y
42
'
1
y
g y y
y
4
'
1
y
g y y
y
2
2
2
1
y
y
0
0
1 3,
1
y
y
y loai
y
-2
f(x) x f’(x)
-4
-1
-
-4
1-4√2 g(y)
y g’(y)
1
-1
0 -
+
(30)Theo Bảng biến thiên ta có :
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện :
Phương trình (1) (3)
Xem phương trình (3) phương trình theo ẩn , cịn tham số
Phương trình có nghiệm :
Thếvào (2) ta :
(4)
Xét hàm số : Hàm sốf(t) đồng biến
(5)
4, 1;1
g y y
1;1
maxg y y
3
x f x g y
y
1;0
4
0
5
xy
y x
2 22 2 2
5 12 36 =
x y xy x y xy
2
5
x y xy
2
' xy
2
2
5
5 6,
x y
x y xy loai
4 2 2
5y x x 5y x y + 2xy
4 4 2
5y x x 4x y 5y 2xy
4 4 2
5y x 5y x 4x y 2xy
2 2
4 4
5y x 5y x 2xy 2xy
, 0;
f t t t t f ' t 2t 1 0, t
0;
4 4
4 f 5y x f 2xy 2xy 5y x
4 2
4
x x y y
Bài toán 161
2
2 2
4 2
5 +36
5 + 2xy - 6y
x y xy x y
y x x
(31)Nếu , không thỏa hệđã cho
Xét , chia vế phương trình (5) cho ta :
Từ
Hệphương trình có 2nghiệm :
Giải : Điều kiện :
Phương trình (1)
(3) Dễ thấy :
Xét hàm số :
Bảng biến thiên :
0
y x
0
y y4
4
4
x x
y y
2
2
1
5,
x y
x y x
loai y
2 2
5 6
1
x y
x y x
x y
1;1 ; 1; 1
2
2
1 1
0
2
x x
y y y
3
3
x x y y
3 3
x x x x x y y
3 2
1 3
x x y y
0
x y
3 ,2 0; 2 f t t t t
'
f t t t ' 0
2
t
f t t t
t
Bài toán 162.
3
2 2
3
1 -3 2y - y =
x y y x
x x
0 t f’(t)
2
(32)Hàm số f(t) nghịch biến Thếvào phương trình (2) ta :
, loai Hệphương trình vơ nghiệm
Giải :Điều kiện : .Ta thấy khơng thỏa hệphương trình
Xét ,Phương trình (1)
, suy
(3)
Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến liên tục
0; 2 3 f x 1 f y x y
2
2
1x x -3 x1 - x1 = x2 - - x2 = 2
2
- +2 - x x
2
1 - x
0
x x0
0
x
2
2
1
2 x x
y y
x
2
2
1
2y 2y 4y x x
x
y0
2
2
1 1
2y 2y 2y x
x x x
2
2 1
2y 2y 2y 1
x x x
1, t 0;
f t t t t
2
2
' 1+ >0, t 0;
1
t
f t t
t
0;
Bài toán 163
2 2
2 2
2 1
4 +2 =
x y y x x
y x x x
(33)Phương trình
Thếvào phương trình (2) ta :
(4)
Xét hàm số :
Hàm sốg(x) đồng biến g(1) = Vậy (4) có nghiệm :
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Phương trình (1)
(3) Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến Phương trình
Thếvàophương trình (2) ta :
3 2 1
2
f y f y
x x
2
2
1
1 x +2 x x =
x
2
1 x +2x x x - =
2
1 +2x - = 0,x >
g x x x x
2
1
' +4x x > 0, x >
g x x x
x x
0; 1
2
x y
1 1;
2
3 3
x x x x y y
3
1 3
x x y y
3 , t
f t t t f ' t 3 +3 > 0, tt2
3 f y f x 1y x
23
3 x1 7 x = 1- 1x
23
3x x = - x
3x4x3 = - 1 x21 + x + 12 x2 1
Bài toán 164
3
3
3
3
3 = 1-
x x x y y
y x x
(34)
Xét phương trình :
Vì nên vế trái phương trình ln dương
Vậy phương trình vơ nghiệm Hệphương trình có nghiệm : (0; 1)
Giải : Điều kiện :
0 x y x y x y
2 2
3
2
1 + x + 1
3 +
1 +
x x x x x 2 2
1 + x + 1
3 - 4x +
1 +
x x x x 2 2
1 + x + 1
3 - 4x +
1 +
x y x x x 2 2
1 + x + 1
3 - 4x +
1 +
x x x 2 2
2 4 + x + 1
3 - x + +
3 9 1 + 1
x x x
2 2 2 2
2
2 -2 + + x +3
3 - - +
3 1 + 1
x x x x
22
2
2
1 -
2
3 - - + 3+
3 1 + 1
x x x
22
2
2
1 -
2
3 - +
3 3 + 1 1 + 1
x x x x
22
2 2
2
1 -
2
3 - +
3 1 + 1 1 + 1
x x x x x 2
5 1x 5, x 5 1x 4 0, x
Bài toán 165
2
2
3
2
x y x y x y x y
x x y x y
(35)Đặt : ,Phương trình (1) trở thành :
Thế : y = 1- x vào phương trình (2) ta :
Hệphương trình có nghiệm : (1; 0)
Giải : Điều kiện :
Phương trình (1)
Đặt , phương trình trở thành :
,
t x y t
2
3
t t t t
2
t t t t
1 3 1
2
t t t
t t
3
1
2
t t
t t
1
0,
2
t
t VN
t t
1
1
2
x y y x x x
2
3
x x x2 3 2x 1
2
2
2
1
0
2 1
3
x x
x x
1
1
2 1
3
x x
x x
2
1
1
0,
2 1
3
x y
x
VN x
x
2
2
x x
y y
2 2
2
2
2 x y
x xy y y xy x
y y y
2
2 2
x x x x x
y y y y y
,
x
t t
y
Bài toán 166.
2 2
2 2
8 2
x xy y y xy x x y
y x y y x
(36)Bình phương vế phương trình trên, ta :
, thế : y = x vào phương trình (2) ta :
(3) Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến
Hệphương trình có nghiệm :
2
2 2
t t t t t
2 2
3t 2t 3 t t 2t t 4t 8t4
2 2
2 t t 2t t t 6t
2
4 t t 2t t t 6t
4 2
7t 14t t t
x y
8x6 x 1 2 x2x4 x 2 3
8 x x x x x
2 x 13 x 2 x 2 x 22 x 1
3 2
2 x x x 2 x
2 x 1 3 x 1 2 x 2 3 x 2
,
f t t t t
' 0,
f t t t
2; 3 f 2 x1 f 2 x2
3 2 x 1 x2 4x1 4 x 2 x
3x x
3x62 16x2 9x2 52x680
34
x y
x y
2; ; 39 39;
4
Bài toán 167
4
4 y + 4y =
x y x
(37)Giải : Phương trình (1)
, thay vào phương trình (2) ta :
(3)
Xét hàm số :
Bảng biến thiên :
4
4 + 4y - y =
x x y y
4
1 y + - y + =
x y y
4 1 =
x y y
4 2
4
y
x y
1
y
2
4 x 1 x 4 16x21 x242
4
8 0; 2
x x x x
4
4
2
1
1
4 1 1
4
2
x x
x y
y y
2
2 8y 6y 2 x 4 x 1
2
4 1, 1;1
f x x x x
2
4
'
1
x
f x x
x
42 22
' 2
1
x
f x x x
x x
2
0
1
1
x
x
2
0
1
x x
0
3,
1
x x
x loai
x
0 +
f(x) x f’(x)
1 -1
0 -
(38)Theo Bảng biến thiên ta có :
Xét hàm số :
Bảng biến thiên :
Theo Bảng biến thiên ta có :
Phương trình (3)
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện : Phương trình (1)
0 4, 1;1 f x f x
1
8 2, ;
2
g y y y y
' 24
g y y
' 24
2
g y y y
4, 1;
2 2
g y g y
0
1
2
x f x
f x g y
y g y
1
0; ; 0; ; 2; ; 2;
2
2
8
x y
3
1 12
x x y y y
3
3
1 12 1
x x y y y y
0 g(y)
y g’(y)
1/2 -1/2
-
-4
Bài toán 168.
3
2
12 8
8
x y x y y
x y x y
(39)(3) Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến Phương trình Thế : 2y – = x vào phương trình (2) ta :
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện :
Từphương trình (2) Đặt 3
3
1 2 1
x x y y
1,
f t t t t f ' t 3t2 1 0, t
3 f x f 2y1x2y1
2
2y1 8y 5 2y1 2y 8y34y24y 1 8y5
2
3
8
8 4
y
y y y y
5
8 60 76 24
y
y y y
5
6 11
1
1 ,
y
y x
y x
y loai
11; ; 1;1
1
3 3
5 4
5
y y
x
x
0
x y
2
2
2
; ,
4
u x y
u v x xy y v
Bài toán 169
2
2
3 3
4
2 2
3
y x xy y
x xy y
x y x y
(40)Phương trình (2) trở thành :
Thế : y = x vào phương trình (1) ta :
(3)
Vì Từ
2 2
2 2
2
2
2
3
2 2
4
2
u x y
v x xy y u xy
x xy y v
2
3
2
2v u xy
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
u u
xy xy x xyy v u v
2
3
2
u u v v
2
3u 2uv 5v
3u22uv2v23v2 0
2
2v u v u v
u v 3u5v0
3
u v
u v
u v
x22xyy2 0xy2 0x y
2
3x 1 5x4 3x x
3x x 5x x 3x 3x
2
2
3 1
3
3 1
x x x x
x x
x x x x
2
2
3
3 1
x x x x
x x
x x x x
2 1
3
3 1
x x
x x x x
2
0
1
3 0,
3 1
x x
VN
x x x x
0
x y
x y
3u 5v
(41)Hệphương trình có nghiệm :
Chú ý Đểcó phương trình (3) ta làm sau : Dùng máy tính ta biết phương trình có nghiệm : 1và cũng là nghiệm của phương trình : Ta biến đổi phương trình :
sau:
Ta phải có :
Giải : Phương trình (2) (3) Thếphương trình (3) vào phương trình (1) ta :
(4) 0;0 ; 1;1
2
0
x x
2
3x 1 5x4 3x x
2
3x 1 5x4 3x x
3x x a 5x x b 3x x x a x b
2
2
3
3 3
3
x x a x x b
x x a b
x x a x x b
2 2
2
3
3 3
3
x a x a x b x b
x x a b
x x a x x b
2 2
2 2
3
5
x a x a x x
x b x b x x
2
2
3
1
5 2
4
a
a a
b b
b
2
2 3
y x y x y x
2 2
2 5 2
x x y y y x y x
x 12 y 12 y 12 x 12
x 12 x 12 y 12 y 12
Bài toán 172
2
2
2 5 3
3
x x y y y x
y y x x
(42)Xét hàm số :
Hàm số f(t) đồng biến
,thế vào phương trình (2) ta :
,thế vào phương trình (2) ta :
Hệphương trình có nghiệm :
Giải Điều kiện :
Phương trình (1)
(3) Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến
Phương trình (4)
, 0;
f t t t t ' 1 0, 0;
2
f t t
t
0; 4 x12 y12
2
x y
x y
x y
3
4
4
y y x
2
x y
2
2 3 3 2 2
y y y y 3
2
y y x
1 3
; ; ;
2 4
3
2
3
2
8
0
2
y y
x
y y
y x
3
3
x x y y
3 3 3
x x x x y y
x 13 3x 1 y 33 y
3 , 1;
f t t t t f ' t 3t2 3 0, t 1;
1;
3 f x 1 f y3 x y3
Bài toán 173
3
2
3
3
x x y y
x y y
(43)Phương trình (2) (5) Thế(4) vàophương trình (5) ta :
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện :
Phương trình (1)
(4)
Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến
Thếphương trình (5) vào phương trình (2) ta :
9 x y 8y
9 y 3 y 8y y28y 9 y3
2
8 81
y y y
y416y382y263y1620
1 17 99 162
y y y y
3 2
17 99 162 0,
y x
y y y VN
3;1
3
1
1
y y
x x x x
x x 2 y y 12 2x x y y 1
x x y y 12 0
1
x x y y
3 1 1 1
x x y y
x x y13 y1
,
f t t t t
' 0,
f t t t
4 f 3 x f y1 x y1
3
0
x
x y
3
0
1
x
x y
Bài toán 174.
3
2 3
3
4
2
1 1
x y x x y y y x x
x x x x y
(44)
Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện : Phương trình (2) Từphương trình suy :
Phương trình (3)
Đặt :
(4)
Xét hàm số :
Hàm sốf(u) đồng biến
Phương trình
Hệphương trình có nghiệm :
4 3
1
x x x x x4x3 x3x2 1
3
3
3
1
1
x x x x
x x
2
3
1
1
1
x x x
x x
3
0
1
1
0, x
1
x y
x y
x VN
x x
0;1 ; 1; 2
2
x
2
2
2 2
x x y y y
x y 22 4y
0
y
1 x 3 x2 = y4 5 y
4 4
4 2, 0 2 3 5 3 5
t x t t x x t x t
4
3 t 5 t = y 5 y
5 , 0;
f u u u u
3
4
2
' 0, 0;
5
u
f u u
u
0;
3 f y f t y t y x2
0;1 ; 1; 2
Bài toán 175.
4
2
3 - = y
2
x x y
x x y y y
Bài toán 176.
3
3
2 3 10
6 13 10
x y x y x x y
x x x y y
(45)Giải Điều kiện :
Phương trình (2)
(3) Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến
Thếvàophương trình (1) ta : (4)
Xét hàm số :
Ta có :
Suy , hàm sốg(x) đồng biến
Và g(2) = 0, phương trình (4) có nghiệm x = Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện : Phương trình (1)
2
3
x y x y
3 6 12 8 2 10 10
x x x x y y
3
2 10 10
x x y y
10,
f t t t t f ' t 3t2 1 0, t
3 f x 2 f y y x
3
3x 3 2 x x 3x 10x26
3 10 26, 1;
2
g x x xx x x x
3
' 10, 1;
2
2 3
g x x x x
x x
2
3 10 0, 1;
2
x x x
' 0, 1;
2
g x x
5 1;
2
0
y
2;0
3x2y0
3 2
3 12
y x x y xy x x x
Bài toán 178.
3
3
7 12
4 =
x y xy x y x x
x y x y
(46)Thếvào phương trình (2) ta : (3) Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến
Phương trình (3) có nghiệm , thỏa điều kiện Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện : Phương trình (1)
(3) Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến Phương trình Thếvào phương trình (2) ta :
(4)
Do
Từphương trình (4), suy : ;
y x3 2x 13
xy3 2x13 x y 2x 1 y x
3
3x2 x2 4
3 2 4,
f x x x x
1 23
' 3 0,
3 2
f x x x
x
2; f 2 0
2
x y
2; 1
2
8
x y
6
3 3
x x y y y y
2 3
3 4
x x y y
3 4, t
f t t t f ' t 3t2 3 0, t
2
3 f x f y1 yx -1
2 x 1 x1 2x 7 + - x =
2x x x 2x
2 2
2x x x 4 x x 0, x
1
x 2
4 2x x x1 2x 7
4
2x 8x 12x 24x 18
x3x1 2 x260
Bài toán 179.
6
2
3
2 8+7 = x
x x y y y
y x x y
(47).Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện : Phương trình (1)
(3) Xét hàm số :
Hàm sốf(t) đồng biến
Phương trình
Thếvào phương trình (2) ta :
(4)
Xét hàm số :
Hàm sốf(x) đồng biến
Nên phương trình (4) có nghiệm : Hệphương trình có nghiệm :
3
1 0, ( thoa)
x y
x y loai khong
3;8
4 x
2 y 3y 3y y x x 1 x
3
2 y y x x x
2 ,
f t t t t f ' t 6t2 1 0, t
3 f 1x f y 1 1x y1 1 x y
3 2 x 4 1x x4 x4 1x 2 x 4
4, 4;1
f x x x x x
1
' 0, 4;1
2
f x x
x x x
4;1 f 3 0
3
x y
3;3
Bài toán 180.
3
2
2 3
2
y y x x x y
y y y x
Bài toán 185.
3
3 (1)
3 (2)
x x y y
x y x
(48)Giải : Điều kiện :
Phương trình (1)
(3)
Ta thấy :
Xét hàm số: Hàm sốf(t) đồng biến
Thay vào phương trình (2), ta :
Vậy hệphương trình có nghiệm là:
Giải Phương trình (1)
(3) Mặt khác, ta có :
3
3
3
3
2
x
x
y y
y x y x
3
3
x x y y
3
(x 1) 3(x 1) ( y 3) y
1
3
2 3
x
x x
y x y x y
3
( ) ,
f t t t t 2
'( ) 3 3 0,
f t t t
2;
3 f x( 1) f y3 x y3 x22x 2 y
2
3
x x x x24x 3 1,
3
x loai
x y
(3;1)
2
1
4 1
y y
x x
2
1 0,
x x x
2
4
y y x x
x x21y y241
2
4
1
4
x x
y y
2
4 0,
y y y
Bài toán 195.
2
3 3
1
2 5 10
x x y y
y y x x
(49)(4)
Lấy phương trình (3) trừphương trình (4), vế với vế, ta : (5)
Thế (5) vàophương trình (2) ta có phương trình : (6) Xét hàm số :
Hàm số đồng biến
Suy ra, phương trình (6) có nghiệm
Vậy hệphương trình có nghiệm
Giải : Điều kiện :
Phương trình (2)
4 x x y y
2
2y 3 x 1 x 4y6 x2 1 10 x
2y5335 2 y 4y
2 53 35 2 4 , f y y y y y
2
2
2
' 0,
2
f y y y
y
f y
2
f
3
y
2
3 x x
3 x2 1 x
2
2
3
9
x
x x
3
16 30
x
x x
0
x
3 0;
2
2
x x y
x y 2y 1 x y 2y
x y3 2y 4 x y x y 2y
Bài toán 205.
3
4 2
5
y y x x x
x y x y y
(50)
(3) Xét hàm số :
Hàm số : đồng biến Phương trình
Ta có hệphương trình :
Xét phương trình :
2y 4 x y 1 x y x y2 1
x y 2 y x y x y 1
4
x y x y
xy4 xy xy0
1 y y3 x2 x 2 x22
2 3 2
3
2 2 2
y y x x x x
2 3
3
3 2 2
y y x x x x
3
3
2
y y x x
,
f t t t t f ' t 3t2 1 0, t
f t 3 1 02
2
y
y x
x y y
2
1
2
y
x y y
4
1
2
x y x y
y
x y y
2
2
1 3
1
2
y y y y
y
x y y
2
1 3
y y y y
2
2 3
y y y y
2
2
3
2
1 3
y y
y y
y y
1 2 12 2
1 3
y y
y y
y y
1
2
1 3
y
y y
y y
(51)Vậy hệphương trình có nghiệm :
Giải Điều kiện :
Phương trình (1) (3)
Xét hàm số
(3) (4)
Thay (4) vào phương trình (2) ta :
.Hệphương trình có nghiệm nhất:
Giải Phương trình (1) (3) Phương trình (2)
Xét hàm số : Hàm sốf(t) đồng biến
(3) Thay vào phương trình (2) ta :
2
2
3 3
2
1 3
y y y y y
y
y y
2
y x
3; 2
0
x y
2 5
x x x y y y
f t t t t 0; 1 0, 0;
2 2
f t t
t t t
5 5
f x f y x y y x
2
2
5 44
x x x x
2
2 12 14
7,
x y
x x
x loai
1;6
3
3
3
x x y y
xy y2 x
x x
3 , 1;
f t t t t f ' t 3t2 3 0, t 1;
1;
f x f y x y
Bài toán 209.
2
2
44
x x x y y y
x y x y
Bài toán 210.
3
2 2
3
2
x x y y
x y y xy x
(52)Hệphương trình có nghiệm :
Giải : Phương trình
Xét hàm số :
Hàm số đồng biến Phương trình (3) Thay y=x+2 vào phương trình (2) ta có :
Vậy hệphương trình có nghiệm (-3;-1), (3;5)
Giải : Phương trình (2)
(3)
Xét hàm số
2 2
1 1
y y y y y y 1 0
1
y x
y y y y
y x
1;0 ; 2;1
3
(1)x 3x 4x 4 y 3y 4y
3
(x 1) x (y 1) y (3)
,
f t t t t f ' t 3t2 1 0, t
f t f x( 1) f y( 1) x y yx2
2
2
2 2(2 2) 18
x x x 2 18
3
x y
x
x y
3 2
7x 12x y 6xy y x y
3 2
8 12
y x x y xy x x y x
y 2x3 y 2x x3 x
,
f t t t t f ' t 3t2 1 0, t
Bài toán 216.
3 2
2
3( ) 4( )
( , )
2( ) 18
x y x y x y
x y
x y x y
Bài toán 220.
2
3 2
2
7 12
x y x y
x x y xy y x y
(53)Suy hàm số đồng biến Phương trình
Thếvào phương trình (1) ta :
Vậy hệphương trình có nghiệm
Giải : Điều kiện:
Nếu , để hệphương trình có nghiệm :
hệphương trình vơ nghiệm
Nếu y<0, từ (2) suy x>0
Ta có :
Xét hàm số
Suy hàm số đồng biến
Phương trình
Thế vào phương trình (1) ta có phương trình : (4)
Xét hàm số :
f t 3 y2x x x y
2
5
2
x
x x
x
2;2; 3;3
6
1
x y
x
y 0 0 y1
(1)
(1) (1)
(1) 1
VT x y
VT VP
VP y
2
9 1xxy 9y 0
2
2
3
9 y y (3)
x x
2
( ) , 0;
f t t t t
2
9
'( ) 0
9
t
f t t
t
f t 0;
2
3
(3) f f( y) y x
y
x x
2
9
2 y y
y
2
9
( )
g y y
y
;0
Bài toán 221.
2
2 (1)
9 (2)
x y y
x xy y
(54)Suy hàm số đồng biếntrên
Xét hàm số : có
Suy hàm số nghịch biến phương trình (4) có nghiệm y= -3, x =
Cách (Dùng lượng liên hợp)
Xét phương trình :
Vì phương trình vơ nghiệm có hệ số a = > 0, nên Do vế trái (*) ln dương, với y < 0, (*)vơ nghiệm Vậy hệphương trình có nghiệm (1;-3)
2
3
2
9
6 '
18
'( ) 0,
9
6
y
y y
g y y
y y y
y y
( )
g y ;0
h( )y 1 y ;0 h'( )y 1 0, y
h( )y ;0
2
9
2 y y
y
9
2 y y
y
2
2
9
6
2
9
6
y y
y y
y
3
2
2
2
9
6
y y
y
y y
y
2
3
2
9
6
y y y
y
y y
y
2
2
3
2
9
6
y y
y
y y
y
2
2
3
3
1
6
y x
y y
y y
y
2
3
(55)Giải : Điều kiện : Phương trình (1)
(3) Xét hàm số : Suy hàm sốđồng biến
Thế vào phương trình (2) ta :
Đặt với
Ta có
Khi đó, phương trình (2) trở thành :
Nghiệm hệphương trình :
1 x
2y y x x 1 x
3
3
2y y x x
2 ,
f t t t t f ' t 6t2 1 0, t
3 f y f 1x y 1x
2
1 x 2x 2x 1x
2
2x 2x x x
cos
x t 0; 0; sin2 sin
2 2
t t t
t
2
cos s in sin
2
t t
x t x
2
2 os cos sin sin
t
c t t t
1 os2 sin 2 sin
2
t
c t t
sin sin
4
t t
2
4
2
4
t
t k
t
t k
3
2
2
5
2
2
t k
t k
4
3
3
10
k t
k k
t
3
3
os sin
10
10
cos 2,
x c y
t
t x y loai
3
os ; sin
10
c
Bài toán 228.
3
2
2
1 2
y x x x y
y x xy x
(56)Giải : Điều kiện : Phương trình (1)
(3)
Xét hàm số:
Hàm số f t đồng biến 0;
Phương trình
Thay vào phương trình (2) ta được: (4) Xét hàm số :
nên g(y) đồng biến
Hơn g(6) = nên phương trình (4) có nghiệm
Vậy nghiệm hệphương trình :
Giải : Điều kiện:x 2 Phương trình: 3
2
x x y y y
1 2
x
y
3
2(2x 1) 2x (2y 1) y
3
2(2x 1) 2x y y y
3
3
2(2x 1) 2x y y
3
( ) , 0;
f t t t t f t'( )6t2 1 0, t 0;
3 f(2x1) f( y2)2x 1 y2
44y 8 2y4 6
4
( ) 6, 2;
g y y y y
4
1
'( ) 2;
4
g y y
y y 2;
1
2
y x
1 ;
Bài toán 229.
3
2(2 1) (2 3)
4 2
x x y y
x y
Bài toán 231.
3
3
3
3 2
x y y x y
x x x y
(57)(3)
Xét hàm số Ta có:
Suy hàm số đồng biến Phương trình
Thay vào phương trình (2) ta được:
Xét phương trình : (*)
Ta có
Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy hệphương trình cho có nghiệm
3
3
2 1
x x y y
2
f t t t 2; f ' t 3t2 1 0, t 2;
f t 2;
3 f x f y 1 x y 1 y x1
yx
3
3 2
x x x3 8 2 x22
2 2 2
2
2
x x
x x x
x
2 2
2
2
x
x x x
x
2
2
2
x x x
x
2
2
2
2
2
x
x x
x
2
x x y
2 2
2 4
2 2
x x x x
x x
2
2
2 3; 1, 2;
2
VT x x x VP x
x
2;3
Bài toán 245.
2 3 3
8 12 12 4 y + 3xy
8 2
3 1 4
1
x x xy xy y x
x x
xy x y
x y
(58)Giải : Hệphương trình
Điều kiện :
Phương trình (1)
(3)
Xét hàm số : Ta có :
Hàm số đồng biến Phương trình (3)
(4)
Thếvào phương trình (2) ta :
Đặt , phương trình trở thành :
2 3 3
8 12 12 4 y + 3xy 1
8 2
3 1 1 4 2
1
x x xy xy y x
x x
x y
x y
0
0
1 1 0
1 0
x
x x y
y y
3
3
8 12 12
4 + 3x
x x x x
x y y y
3
2 3
2 2 2 2
3 .1 3 .1 3 3 + 3x
x x x x
x
y y y y
3
3
2 2
1 3 1 + 3x
x x
x
y y
3 ,
f t t t t f t' 3t2 3 0, t
f t
2 2
1 1
x x
f f x x
y y
2
1
x x y
2 0
1
x y x
3 x1 y 1 4y 4 x 1
3 x 1 y 1 4 y 1 x 1 0
3 1 4 1 1 0
1 1
y y x x
1 0 1
y t
x
(59)
Thế vào phương trình (4) ta :
Vậy hệphương trình có nghiệm nhất:
Giải : Điều kiện :
Phương trình (1)
(3)
Xét hàm số : Hàm số đồng biến
Phương trình (3)
Ta có : Thế : y = x – vào phương trình (2) ta :
4t 3 0t
1 1
, 4
t
t loai
1
1 1 1
1
y
y x y x x
2 0 ,
2
2 0
1 1
x y loai x
x x x x
x y x
1;1
2 2 0
16
16 3 0
3
x x
y y
3
9 27 27 5 15 3 3 1 5 5
x x x x y y y y
x 33 5x 3 y 13 5y 1
5 ,
f t t t t f t' 3t2 5 0, t f t
3 1 3 1 2
f x f y x y y x
16 16 22
2
3 3 3
y x x
2
4 x 2 22 3 x x 8 4 x 2 2 22 3 x 4 x2 4 0
2 6 3
4 4 0
2 2 22 3 4
x x
x
x x
4 3
2 2 0
2 2 22 3 4
x x
x x
Bài toán 246.
3 2
2
3 32 9 + 8y+36 1
4 2 16 3 8 2
x y y x x
x y x
(60)Xét hàm số :
Hàm số nghịch biến , suy phương trình (*) có nghiệm
duy x = -1, y = -3 Vậy hệphương trình có nghiệm :
Giải : Điều kiện : Phương trình (1)
(3)
Xét hàm số : Ta có
Hàm số đồng biến Phương trình (3)
Thế vào phương trình (2) ta :
2 0
4 3
2
2 2 22 3 4
x y
x
x x
4 3 2,x 2;22
3
2 2 22 3 4
f x x
x x
2 2
2 9 22
' 1 0, x 2;
3
2 2 2 2 22 3 22 3 4
f x
x x x x
f x 2;22
3
f 1 0
2;0 ; 1; 3
2y 8 0 y 4
6 2 3
3 3 4 4 4
x x y x y y x y y y
3
4 4
x y x y y y
4t,t
f t t f t' 3t2 4 0, t
f t
2
2 , 0
f x y f y x y y y x y
2
2y x
Bài toán 249.
6 2
2
3 3 2 4 8 0 1
3 2 3 2 2 8 2
x x y x y y x y
y x y
(61)
Phương trình (*)
Vì
Phương trình (*) vơ nghiệm
Vậy hệphương trình có nghiệm :
3 2
3 x x 3 2 x 8 33 x2 1 x2 3 2 x2 8 3 0
2 2
3 2
1 1 1
3 0
1 3 2 8 3
x x x
x x x x
3 2
3 1 1
1 0
1 3 2 3
x
x x x x
3 2
1 1
2
3 1 1
0
1 3 2 8 3
x y
x x x x
3 2
3 1 1
: 0
1 3 2 8 3
x x x x
2 2
2
1 1
: 8 3 8 3 3 2
3 2 8 3
x x x x x
x x
3 2
3 1 1
0,
1 3 2 8 3
x
x x x x
1 1
1; ; 1;
2 2
(62)(63)(64)