De thi olympic so cap 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SƠ CẤP KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC NĂM HỌC 2014-2015 (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu Cho số x1 , x2 , , xn cho xk ∈ {−1, 1} với minh k n Chứng P = x1 x2 x3 x4 + x2 x3 x4 x5 + · · · + xn−1 xn x1 x2 + xn x1 x2 x3 = n chia hết cho Câu Giải hệ phương trình √ x + y− √ x − 16 x− √ √ y = 4x − y √ = + y − 3x Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y + 2x + + Câu Cho dãy số (an )n x2 + y − 2x + + 3x2 + 3y − 12y + 12, x, y ∈ R thỏa mãn √ a1 = an+1 = a1 + a2 + · · · + an ; n Tính an n→∞ n lim Câu Cho AB dây cung cố định đường tròn (O) Tiếp tuyến A, B (O) cắt C P điểm cung nhỏ AB (P khác điểm cung nhỏ AB) Tiếp tuyến P (O) cắt hai đường thẳng CA, CB tương ứng M, N ; I giao điểm M B N A a) Chứng minh ba điểm C, P, I thẳng hàng b) Gọi K giao điểm AP với BC Chứng minh OK vuông góc với BM c) Gọi d đường thẳng qua O vuông góc với CP Chứng minh ba đường thẳng M N , AB, d đồng quy Câu Cho dãy hữu hạn số tự nhiên a0 , a1 , a2 , , an−1 có tính chất sau đây: với i ∈ {0, 1, 2, , n − 1} số số hạng nhận giá trị i dãy (chẳng hạn, dãy gồm số hạng a0 = 1, a1 = 2, a2 = 1, a3 = 0) Chứng minh n có dãy gồm n số hạng thỏa mãn tính chất n − 4, 2, 1, 0, , 0, 1, 0, 0, ———————————Hết——————————Chú ý: Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Lớp: