Bài tập phần Dãy số (Nâng cao)

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Bài (T6/85) Cho a số nguyên dương tuỳ ý Đặt r = a + + a Chứng minh với số tự nhiên n, tồn số nguyên dương M n cho r n = M n + + M n Bài (T6/219) Dãy số { a n } xác định sau: a1 =  a = a + (n ≥ 1) n  n +1 a n  α a Tìm tất số thực α cho dãy { u n } xác định u n = n (n ≥ 1) hội tụ giới n hạn khác không Bài (Thi HSG QG 1995) Dãy số { a n } n∈¥ , xác định sau: a = 1,a1 = với n = 0,1,2,3… a + 9a n , n = 2k a n +2 =  n +1 ; k∈¥ 9a n +1 + 5a n , n = 2k + Chứng minh rằng: 2000 1) ∑ k =1995 a 2k chia hết cho 20 2) a 2n +1 không số phương với n ∈ ¥ Bài (T7/221) Cho dãy { a n } { b n } thoả mãn cáccông thức sau (n ∈ ¥ * ) n(1 + n) n n (1 + n n ) an = 1+ + + ∀n ∈ ¥ * 2n 1+ n 1+ n  a  n(n +1) bn =  n ÷ , ∀n ∈ ¥ *  n +1  bn Tìm nlim →+∞ Bài (T6/224) π xn Cho dãy { x n } thoả mãn: x = 2cos ; x n +1 = 3x n − Tìm nlim →+∞ Bài (T6/225) Chứng minh với số nguyên dương n cho trước, phương trình x 2n +1 = x + có xn nghiệm thực Gọi nghiêm x n Tìm nlim →+∞ Bài (T8/225) ∞ Cho dãy số { bn } n=1 xác định bởi: b1 = 0, b2 = 14, b3 = −18 b n +1 = 7bn −1 − 6b n −2 , n ≥ CMR với số nguyên tố p ta có b p chia hết cho p Bài (T7/226) Cho phương trình: x13 − x + 3x − 3x + = 1) Chứng minh phương trình có nghiệm thực −3/13 2) Đặt x1 = x n +1 = ( x n−7/3 + 1) với số nguyên dương n CMR dãy số { x n } có x n x nghiệm nói giới hạn đặt x = − nlim →+∞ 3) Dùng máy tính bỏ túi tính gần giá trị nghiệm Bài (T7/227) 2− Cho dãy số { a n } xác định sau: a = ,a n +1 = a n (4a n2 − 10a n + 5) , ∀n ≥ Tìm số hạng tổng quát a n Bài 10 (T8/228)  3n   m  m(m − 1) (m − s + 1) 3n S Tìm nlim n ÷ , đó:  ÷ = →+∞ 3k s 1.2 s k =0     n Giả sử Sn = ∑  Bài 11 (T6/229) Cho dãy số { x n } thoả mãn < x1 < x n +1 = + x n − x n2 ∀n ≥ CMR dãy { x n } hội tụ tìm giới hạn Bài 12 (T1/233) ∞ Cho dãy số nguyên { a n } n =0 thoả mãn: a n +2 + a n −1 = 2(a n+1 + a n ) (1) Chứng tỏ tồn số nguyên M không phụ thuộc vào n cho M + 4a n +1a n số phương với n ≥ Bài 13 (T1/236) Cho dãy { a n } 2a 3n − 2a n2 − ∀n ∈ ¢ + Chứng minh a ≥ thoả mãn: a1 = 1,a n +1 = 3a n − 4a n − dãy { a n } hội tụ Tính giới hạn dãy trường hợp Bài 14 (T6/237) Cho dãy { a n } thoả mãn: a1 = 1,a = 3,a n +1 = (n + 2)a n − (n + 1)a n −1 ∀n ≥ Tìm tất giá trị n để a n số phương Bài 15 (T6/238) Cho dãy số thực { x n } thoả mãn điều kiện: x1 = 2; x n +1 = x 4n + ∀n ≥ Chứng minh 5x n bất đẳng thức sau: < x n +1 < ∀n ≥ Bài 16 (T7/240) Xét dãy số thực { a n } thoả mãn: a n +1 = 3a n2 − ∀n ≥ Tìm tất số hữu tỉ a1 mà tồn m ≠ n cho a m = a n Bài 17 (T6/241) 1 2 ∞ Cho dãy số { bn } n=1 xác định bởi: b1 = , bn +1 =  b n + b n + { b n } dãy hội tụ tìm Bài 18 (T1/244) 1+ x 4n  ÷ ÷ ∀n ≥ CMR dãy  lim b n n →+∞ 1+ x 1+ x n −1 Xét dãy số x1; x = − x ; x = − x ; ; x n = − x x1 ≠ x1 ≠ ±1 Chứng n −1 minh x1997 = x1 Bài 19 (T7/244) Cho dãy số { p(n)} xác định sau: p(1) = 1; p(n) = p(n – 1) + 2.p(n – 2) + … + (n – 1).p(1), n ≥ Xác định p(n) với n ∈ ¥ * Bài 20 (Thi HSG QG 96 – 97 bảng A) Cho số tự nhên n >1 không chia hết cho 1997 Xét hai dãy số (a i ) (bi ) xác định sau: ni với i = 1,2,3,…,1996 1997 1997 j bj = j+ với j = 1,2,3,…,n – n = i + Xét tất số hai dãy thứ tự không giảm ta được: c1 ≤ c2 ≤ ≤ c1995+n CMR ck +1 − ck < với k = 1,2,…,1994 + n Bài 21 (Thi HSG QG 96 – 97 bảng A) Có hàm số f : ¥ * → ¥ * thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1) f(1) = 2) f (n)f (n + 2) = f (n + 1) + 1997 với n ∈ ¥ * Bài 22 (Thi HSG QG 96 – 97 bảng B) Cho dãy số nguyên (a n ) n∈¥ xác định sau: a = 1,a1 = 45,a n +2 = 45a n +1 − 7a n với n = 0,1,2,… a) Tính số ước dương a 2n +1 − a n a n +2 theo n b) Chứng ming 1997a 2n + 7n +1.4 số phương với n Bài 23 (T1/245) Cho x = , xét dãy số: x , x1 = + x0 + x1 + x n −1 , x2 = , , x n = Tính x1997 − 3x − 3x1 − 3x n −1 Bài 24 (T6/245) Cho dãy số { x n } xác định bởi: x = a, x1 = b với n > x n +1 = 5x n2 − 3x n−1 Chứng minh với cách chọn số nguyên a,b dãy số chia hết cho 1997 có vô số số chia hết cho 1997 Bài 25 (T6/247) Cho dãy số { u n } xác định bởi: u1 = 1, u = ; u n = u n −1 + u n −2 ( n ≥ ) Chứng minh dãy { x n } xác định bởi: n (n ≥ 1) hội tụ k =1 u k xn = ∑ Bài 26 (T6/251) Cho dãy số { x n } xác định sau: x1 = 7, x = 50 ; x n +1 = 4x n + 5x n −1 − 1975 ( n ≥ ) Chứng minh x1996 M1997 Bài 27 (T7/252) ∞ Cho số thực α > dãy số thực dương { a n } n =1 thoả mãn điều kiện: a αn = a1 + a + + a n −1 ∞ a  với n ≥ CMR dãy  n  có giới hạn hữu hạn n → ∞ tìm giới hạn  n n =1 Bài 28 (T7/253) +∞ Cho dãy { x n } n =0 xác định bởi: x = 1, x1 = ; x n +1 = 6x n − x n −1 ( ∀n ≥ ) Hãy tìm lim x n n →∞ { } 2x n (Kí hiệu { a} = a − [ a ] phần lẻ a) Bài 29 (T1/265) Xét dãy số a1 = 1,a = a n +2 = 2a n +1 − a n + với số nguyên dương n CMR số A = 4a n a n +2 + số phương Bài 30 (T8/267) ∞ Cho dãy số { u n } n =0 xác định bởi: u = 3, u1 = 11, u n+2 = 2u n +1 + 7u n với n = 0,1,2,… Tìm số nguyên dương lẻ a cho với số nguyên dương m n tuỳ ý, tìm số nguyên dương k thoả mãn u kn − a M2m Bài 31 (Đề thi HSG QG 98 – 99 bảng A) ∞ ∞ Cho hai dãy số { x n } n =0 { y n } n =0 xác định sau: x = 1, x1 = ; x n +2 = 3x n +1 − x n với n = 0,1,2,… y0 = 1, y1 = ; y n +2 = 3y n +1 − y n với n = 0,1,2,… 1) Chứng minh rằng: x 2n − 5y 2n + = với n = 0,1,2,… 2) Giả sử a, b số nguyên dương thoả mãn a − 5b + = CMR tồn số tự nhiên k cho x k = a y k = b Bài 32 (T6/268) Dãy số ( a n ) , n = 0,1, xác định bởi: a = a,a1 = b,a n +2 = da n +1 − a n với n = 0,1,2…, a, b hai số nguyên khác d số thực Tìm giá trị d để a n số nguyên với n = 0,1,2… Bài 33 (T7/228) n π Sn n → +∞ S = Tìm giới hạn , đó: n ∑ kcos k n k =1 Bài 34 (T7/270) Dãy số ( u n ) , n = 0,1, xác định bởi: u = 1, u1 = −1, u n +1 = ku n − u n −1 với n = 1,2,3… Tìm tất giá trị hữu tỉ k để dãy (u n ) dãy tuần hoàn Bài 35 (T1/271) Cho dãy số ( a n ) , n = 0,1, xác định bởi: a = 9,a n +1 = 27a n28 + 28a n27 với n = 0,1,2… Chứng minh số a11 viết hệ thập phân có tận nhiều 2000 chữ số Bài 36 (T7/271) Cho hai số thực dương a,b với a ≤ b Lập hai dãy số ( u n ) ( v n ) (n = 1,2,3…) sau: u1 = a , v1 = b , u n +1 = 2(u n + v n ) , v n +1 = (u n + v n )(u n2 + v n2 ) với n = 1,2,3… u n 3n Chứng minh rằng: 4n (a + b) ≤ u n+1 + v n +1 ≤ 22n +1  a+b  ab  ÷  ab  Bài 37 (T1/276) Lập dãy số nguyên (a n ) (n = 1,2,3…) sau: a1 = ; số a n tổng luỹ thừa bậc 10 tất chữ số a n −1 với n = 1,2,3…Chứng minh dãy số tồn hai số Bài 38 (T8/277) x không số hữu tỉ Đặt S1 = sinx,S2 = sinx+sin2x, , π số số hạng âm dãy S1 ,S2 , ,Sn Chứng Cho số thực x cho < x < π Sn = sinx+sin2x+ +sinnx Gọi t n tn x = minh rằng: nlim →+∞ n 2π Bài 39 (T6/278) Dãy số ( u n ) (n = 0,1,2,3…) xác định u = 0, u1 = , u n+2 = 1999u n +1 − u n Tìm tất số tự nhiên n cho u n số nguyên tố Bài 40 (Đề thi HSG QG 99 – 00 bảng B) Cho số thực c > Dãy số { x n } , n = 0,1,2… xây dựng theo cách sau: x = c , x n +1 = c − c + x n (n = 0,1,2…) biểu thức không âm xn Chứng minh dãy { x n } xác định với giá trị n tồn giới hạn nlim →+∞ Lưu ý: (Đề thi HSG QG 99 – 00 bảng A) Cho số thực dương c Dãy số { x n } , n = 0,1,2… xây dựng theo cách sau: x n +1 = c − c + x n (n = 0,1,2…) biểu thức không âm Tìm tất giá trị c để với giá trị ban đầu x ∈ (0;c) dãy { x n } xác định với giá xn trị n tồn giới hạn hữu hạn nlim →+∞ Bài 41 (T7/281) 11/2000 Xét dãy số nguyên dương { a n } (n = 0,1,2,…) thoả mãn điều kiện : a = a 2n > a n −1a n +1 với n = 1,2,3… a) Chứng minh a n > n với n ≥ b) Tìm lim n →∞ 1 n  + + + + ÷  n  a1 a a an  Bài 42 (T6/282) 12/2000 Cho hai dãy số { a n } , { bn } (n = 1,2,3…) xác định bởi: a1 = 3, b1 = , a n +1 = a n2 + 2bn2 b a a a b n+1 = 2a n b n với n = 1,2,3,… Tìm nlim n lim n →+∞ n →+∞ Bài 43 (T8/283) 1/2001 n n Xét dãy số thực a1 ,a , thỏa mãn điều kiện: < a n < a n +1 (1 − a n ) ≥ với n = 1,2,3… Chứng minh rằng: 1 − < a n ≤ với n = 1,2,3… 2n Bài 44 (T8/284) 2/2001 x (x n ln − 1) + Cho dãy số { x n } (n = 0,1,2,…) xác định bởi: x = a x n +1 = với x n n ln − n = 0,1,2,… Hãy tìm giới hạn theo a dãy Bài 45 (T6/285) 3/2001 Tìm số nguyên dương k cho dãy số sau gồm toàn số nguyên: a1 = , a n +1 = 5a n + ka n2 − với n = 1,2,3,… Bài 46 (T7/285) 3/2001 Xét dãy số { x n } (n = 1,2,3…) xác định bởi: x1 = a ≥ , x n +1 = x 2n − 2{x n }2 , [x n ]2 [x] phần nguyên x, {x} phần thập phân x Chứng minh dãy số { x n } có giới hạn, tìm giới hạn Bài 47 (T1/286) 4/2001 Dãy số u1, u , , u k xác định sau: u n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) với n = 1,2,3…,k Đặt S = u1 + u + + u k CMR 18 < ≤ 24 S Bài 48 (T6/286) 4/2001 Xét dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) xác định bởi: u1 = , u n = 3u n −1 + 2n − 9n + 9n − p −1 với n = 2,3,… Chứng minh với số nguyên tố p thì: 2000∑ u i chia hết cho p i =1 Bài 49 (T8/287) 5/2001 Giả sử phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm phân biệt Xét dãy số { x n } (n = 0,1,2,3,…) xác định số x cho trước điều kiện: x n (ax n−1 + b) + c = x n theo x với n = 1,2,3,… Hãy tìm nlim →+∞ Bài 50 (Đề thi HSG QG 00 – 01 bảng B) xn x n +1 = 2(2n + 1)x + với n * x n ∈ ¥ Hãy tính tổng 2001 số hạng dãy { n } Cho dãy số { x n } , n ∈ ¥ * xác định sau: x1 = Bài 51 (Đề thi HSG QG 00 – 01 bảng B) Cho số thực a, cho dãy số { x n } , n ∈ ¥ xác định bởi: x = a x n +1 = x n + sin x n với n ∈ ¥ Chứng minh dãy { x n } có giới hạn hữu hạn n → ∞ Hãy tính giới hạn theo a Bài 52 (Đề thi HSG QG 00 – 01 bảng A) Với cặp số thực (a,b), xét dãy số { x n } , n ∈ ¥ xác định bởi: x = a x n +1 = x n + bsinx n với n ∈ ¥ Cho b = Chứng minh với số thực a, dãy { x n } có giới hạn hữu hạn n → +∞ Hãy tính giới hạn theo a Chứng minh với số thực b > cho trước, tồn số thực a cho dãy { x n } tương ứng giới hạn hữu hạn n → +∞ Bài 53 (T7/293) 11/2001   Xét dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) xác định bởi: u1 = a > , u n+1 = u n +  u n  −  n  với 3 n = 1,2,3,… (kí hiệu [x] phần nguyên x) Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn Bài 54 (T7/294) 12/2001 u Dãy số { a n } (n = 1,2,3,…) xác định a n = n (n + 2) n + với n = 1,2,3,… Chứng minh rằng: a1 + a + + a n < 2 với n = 2,3,… Bài 55 (T7/295) 1/2002 Hỏi có tất đa thức Pn (x) bậc n chẵn thoả mãn điều kiện: 1) Các hệ số Pn (x) thuộc tập hợp M = { 0, −1,1} Pn (0) ≠ 2) Tồn đa thức Q(x) có hệ số thuộc M cho Pn (x) ≡ (x − 1)Q(x) Bài 56 (T7/296) 2/2002 π Giả sử < α < Xét dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) xác định bởi: u1 > 2002cos 2α u n +1 = u n sin α + với n = 1,2,3,… u ntan α Chứng minh dãy số { u n } có giới hạn n → +∞ tìm giới hạn Bài 57 (T8/298) 4/2002 Dãy số { x n } (n = 0,1,2,…) xác định x = 1, x1 = x n +1.x n x n +1 = với n = 0,1,2,… 2002x n +1 + 2001x n + 2000x n +1x n Hãy tìm công thức tổng quát x n theo n Bài 58 (Đề thi HSG QG 01 – 02 bảng B) Xét phương trình: 1 1 + + + + + + = n tham số 2x x − x − x−k x − n2 nguyên dương 1) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình nêu có nghiệm khoảng (0,1), kí hiệu nghiệm x n 2) Chứng minh dãy số { x n } có giới hạn n → +∞ Bài 59 (Đề thi HSG QG 01 – 02 bảng A) Xét phương trình: 1 1 + + + + + = n tham số nguyên x − 4x − k x −1 n x −1 dương 1) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình nêu có nghiệm lớn 1, kí hiệu nghiệm x n 2) Chứng minh dãy số { x n } có giới hạn n → +∞ Bài 60 (T6/301) 7/2002 Xét dãy số { a n } xác định bởi: a1 = 5,a = 11 a n +1 = 2a n − 3a n −1 với n = 2,3,… Chứng minh rằng: a) Dãy số có vô hạn số dương vô hạn số âm b) a 2002 chia hết cho 11 Bài 61 (T8/303) 9/2002 Dãy số thực dương { a n } (n = 1,2,3,…) thoả mãn điều kiện: a1 = 2n ∑a i = n +1 i ≤ 1  a i ÷ với n = 1,2,3,… Chứng minh ∑  n  i =1  n 2n ∑a i =1 i < với n Bài 62 (T7/304) Dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) xác định u n = n n 7n + 10 với n = 1,2,3,… (n + 1).3n Chứng minh u1 + u + + u n < với giá trị n Bài 63 (T10/308) −1 Xét dãy số { v n } (n = 0,1,2,…) xác định bởi: v0 = v n = + v 1,2,3,… Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn Bài 64 (T8/309) n −1 với n = Hãy xác định tất dãy số nguyên dương { x n } (n = 1,2,3,…) thoả mãn: x1 = 1, x > 1, x n +2 = + x 4n +1 với n = 1,2,3,… xn Bài 65 (T8/309) Dãy số thực { x n } (n = 0,1,2,…) xác định x = a x n +1 = 2x n2 − với n = 0,1,2,… Tìm tất giá trị a để x n < với n = 0,1,2,… Bài 66 (Đề thi HSG QG 02 – 03 bảng B) Cho số thực α ≠ , cho dãy số thực { x n } (n = 1,2,3,…) xác định bởi: x1 = x n +1 (x n + α) = α + với n = 1,2,3,… 1) Hãy tìm số hạng tổng quát dãy { x n } 2) Chứng minh dãy { x n } có giới hạn hữu hạn n → ∞ Hãy tìm giới hạn Bài 67 (T10/315) Các dãy số { u n } { v n } (n = 0,1,2,…) xác định bởi: u = 2001 , u1 = 2002 , un v0 = v1 = , u = 2002 v 2001 , v = 2002 u 2001 với n = 0,1,2,… n+2 n +1 n+2 n +1 Chứng minh tồn giới hạn sau tìm giới hạn đó: lim u 2n , lim u 2n +1 , lim v 2n , lim v 2n +1 n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ Bài 68 (T8/316) Với số tự nhiên k > 0, chứng minh số ( 2+ ) 2k viết dạng a k + b k với a k , b k nguyên dương Tìm hệ thức xác định dãy { a k } , { b k } với k = 1,2,3… Chứng minh với k ≥ a k −1a k +1 − 6b k2 số Bài 69 (T9/317) k Với số nguyên dương k, xét dãy số { x n } (n = 1,2,3,…) xác định bởi: x1k = , n x kn = ∑ i =1 ik với n = 2,3,… i! k 1) Chứng minh dãy số { x n } có giới hạn hữu hạn với số nguyên dương k E x nk Chứng minh rằng: y k = k số nguyên dương với số nguyên 2) Đặt E k = lim n →∞ E dương k Bài 70 (T9/318) Chứng minh dãy số sau có giới hạn n → ∞ tìm giới hạn n s n = ∑ k sin k =1 k (n = 1,2,3,…) n3 Bài 71 (T7/322) n với n = 1,2,3,… chứng k =1 (k!) Dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) xác định u n = ∑ minh dãy số có giới hạn giới hạn số vô tỉ Bài 72 (T5/THPT Cuộc thi kỉ niệm 40 năm THTT) Dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) thoả mãn điều kiện sau với n = 1,2,3,…: 1) u n = u n +2004 2n 2) ∑u 3) ∑u i =1 2n −1 i =1 i i ≤0 ≥0 Chứng minh u 2003 ≥ u 2004 Bài 73 (T10/THPT Cuộc thi kỉ niệm 40 năm THTT) Dãy số { x n } (n = 1,2,3,…) xác định theo công thức  x n = (n + 1) 2004  − n 2004  môt sô΄le’      &  %  x n = (n + 1) 2004  − n 2004  môt sô΄ chăn  & Trong [x] phần nguyên x Tính tổng 41 số hạng S = x1964 + x1965 + + x 2004 Bài 74 (Đề thi HSG QG 03 – 04 bảng A) Xét dãy số thực { x n } , n = 1,2,3,… xác định x1 = (2 + cos2α)x n + cos 2α x n +1 = với n = 1,2,3,… α tham số thực (2 − 2cos2α)x n + − cos2α n k =1 2x k + Hãy xác định tất giá trị α để dãy số { y n } với y n = ∑ , n = 1,2,3,… có giới hạn n → ∞ Hãy tìm giới hạn dãy số { y n } trường hợp Bài 75 (T8/327) Hai dãy số { x n } { y n } (n = 1,2,3,…) xác định bởi: x1 = −1, y1 = , x n +1 = −3x 2n − 2x n y n + 8y 2n , y n +1 = 2x n2 + 3x n y n − 2y n2 với n = 1,2,3,… Tìm tất số nguyên tố p cho x p + y p không chia hết cho p Bài 76 (T10/327) xm , x số thực dương n số nguyên dương m =0 m! n Xét hàm số f n (x) = e − x ∑ 1) Chứng minh với số thực dương k với < k < số nguyên dương n phương trình f n (x) = k có nghiệm 2) Gọi α n nghiệm phương trình nêu Tìm nlim →+∞ α n 10 Bài 77 (T8/329) Cho a, b hai số thực khác Xét dãy số { u n } (n = 0,1,2,…) xác định sau: u = , u1 = u n + = au n +1 − bu n với n = 2,3,… Chứng minh có bốn số hạng liên tiếp dãy số nguyên số hạng dãy số nguyên Bài 78 (T9/331) Xét dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) xác định u n = n với n = 1,2,3,… Đặt n xn = 1 + + + Chứng minh dãy số { x n } có giới hạn n tăng lên vô hạn u1 u un giới hạn số vô tỉ Bài 79 (T9/334) n k có giới hạn n tăng lên vô hạn tìm giới hạn k =0 C n Chứng minh tổng Sn = ∑ Bài 80 (T9/335) Xét dãy số { x n } (n = 1,2,…) xác định bởi: x1 = x n +1 = (x n2 + 1) với n = 1 1,2,3,… Đặt Sn = + x + + x + + + x Tính phần nguyên S2005 tính giới hạn n Sn n tăng lên vô hạn Bài 81 (T10/335) (  1− 1− a2 n Xét dãy số { a n } (n = 1,2,3,…) xác định bởi: a1 = a n +1 =   2  n = 1,2,3,… Chứng minh a1 + a + + a 2005 < 1,03 ) 1/2 1/2  ÷ ÷  với Bài 82 (Đề thi HSG QG 04 – 05 bảng B) Cho dãy số thực { x n } , n = 1,2,3,… xác định bởi: x1 = a x n +1 = 3x 3n − 7x n2 + 5x n với   n = 1,2,3,…, a số thực thuộc đoạn 0;  Chứng minh dãy số  3 { x n } có giới hạn hữu hạn n → +∞ Hãy tìm giới hạn Bài 83 (T10/338) Giả sử { Fn } , n = 1,2,3,… dãy Fibonacci ( F1 = F2 = 1;Fn +2 = Fn +1 + Fn với n = 1,2,3,…) F n +1 Chứng minh rằng, a ≠ − F với n = 1,2,3,… dãy số { x n } , n x1 = a, x n +1 = , n = 1,2,3,… xác định có giới hạn hữu hạn ntăng lên vô 1+ xn hạn Tìm giới hạn 11 Bài 84 (T9/339) (2n)! Xét dãy số { x n } n = 1,2,3… xác định x n = a an , a n = (n!)2 22n với n n = 1,2,3,… Chứng minh dãy { x n } có giới hạn n dần tới vô hạn tìm giới hạn Bài 85 (T9/342) Dãy số { x n } n = 1,2,3,… xác định sau: x1 = n x n +1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + với n = 1,2,… Đặt y n = ∑ i =1 , n = 1,2,3,… Tìm xi + lim y n n →∞ Bài 86 (T9/344) Xét dãy { f n (x)} (n = 0,1,2,…) hàm số xác định [0;1] thoả mãn f (x) = f n +1 (x) = f n (x) + n ∈ ¥ , x ∈ [0;1] nx ≤ f n (x) ≤ x với x − (f n (x)) với n = 0,1,2,… Chứng minh 2+n x ( ) 12 [...].. .Bài 77 (T8/329) Cho a, b là hai số thực khác 0 Xét dãy số { u n } (n = 0,1,2,…) được xác định như sau: u 0 = 0 , u1 = 1 u n + 2 = au n +1 − bu n với mọi n = 2,3,… Chứng minh rằng nếu có bốn số hạng liên tiếp của dãy là số nguyên thì mọi số hạng của dãy đều là số nguyên Bài 78 (T9/331) Xét dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) được xác định bởi u n = n 2 với... Chứng minh rằng dãy số { x n } có giới hạn khi n tăng lên vô hạn u1 u 2 un và giới hạn đó là một số vô tỉ Bài 79 (T9/334) n 1 k có giới hạn khi n tăng lên vô hạn và tìm giới hạn đó k =0 C n Chứng minh rằng tổng Sn = ∑ Bài 80 (T9/335) 1 Xét dãy số { x n } (n = 1,2,…) được xác định bởi: x1 = 2 và x n +1 = (x n2 + 1) với mọi n = 2 1 1 1 1,2,3,… Đặt Sn = 1 + x + 1 + x + + 1 + x Tính phần nguyên của S2005... Xét dãy số { x n } n = 1,2,3… được xác định bởi x n = a an , trong đó a n = (n!)2 22n với mọi n n = 1,2,3,… Chứng minh rằng dãy { x n } có giới hạn khi n dần tới vô hạn và tìm giới hạn đó Bài 85 (T9/342) Dãy số { x n } n = 1,2,3,… được xác định như sau: x1 = 1 và n x n +1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1 với n = 1,2,… Đặt y n = ∑ i =1 1 , n = 1,2,3,… Tìm xi + 2 lim y n n →∞ Bài 86 (T9/344) Xét dãy. .. rằng dãy số  3 4 { x n } có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ Hãy tìm giới hạn đó Bài 83 (T10/338) Giả sử { Fn } , n = 1,2,3,… là dãy Fibonacci ( F1 = F2 = 1;Fn +2 = Fn +1 + Fn với n = 1,2,3,…) F n +1 Chứng minh rằng, nếu a ≠ − F với mọi n = 1,2,3,… thì dãy số { x n } , trong đó n x1 = a, x n +1 = 1 , n = 1,2,3,… là xác định và nó có giới hạn hữu hạn khi ntăng lên vô 1+ xn hạn Tìm giới hạn đó 11 Bài 84... tăng lên vô hạn Bài 81 (T10/335) (  1− 1− a2 1 n Xét dãy số { a n } (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: a1 = và a n +1 =   2 2  mọi n = 1,2,3,… Chứng minh rằng a1 + a 2 + + a 2005 < 1,03 ) 1/2 1/2  ÷ ÷  với Bài 82 (Đề thi HSG QG 04 – 05 bảng B) Cho dãy số thực { x n } , n = 1,2,3,… xác định bởi: x1 = a và x n +1 = 3x 3n − 7x n2 + 5x n với mọi   n = 1,2,3,…, trong đó a là một số thực thuộc đoạn... định như sau: x1 = 1 và n x n +1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1 với n = 1,2,… Đặt y n = ∑ i =1 1 , n = 1,2,3,… Tìm xi + 2 lim y n n →∞ Bài 86 (T9/344) Xét dãy { f n (x)} (n = 0,1,2,…) các hàm số xác định trên [0;1] thoả mãn f 0 (x) = 0 và f n +1 (x) = f n (x) + n ∈ ¥ , x ∈ [0;1] nx 1 ≤ f n (x) ≤ x với x − (f n (x)) 2 với n = 0,1,2,… Chứng minh rằng 2+n x 2 ( ) 12 ... định u n = ∑ minh dãy số có giới hạn giới hạn số vô tỉ Bài 72 (T5/THPT Cuộc thi kỉ niệm 40 năm THTT) Dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) thoả mãn điều kiện sau với n = 1,2,3,…: 1) u n = u n +2004 2n... i =1 2n −1 i =1 i i ≤0 ≥0 Chứng minh u 2003 ≥ u 2004 Bài 73 (T10/THPT Cuộc thi kỉ niệm 40 năm THTT) Dãy số { x n } (n = 1,2,3,…) xác định theo công thức  x n = (n + 1) 2004  − n 2004  môt