Lượng giác hoá để chứng minh BĐT

Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức P= a b 3c + + + a + b2 1+ c Lời giải Từ điều kiện a, b, c dương thỏa mãn ab + bc + ca = ta đặt A B C , b = tan , c = tan , 2 với A, B, C ba góc tam giác Khi a = tan 1 C A+ B A−B C P = sin A + sin B + 3sin = sin cos + 3sin 2 2 2 C C ≤ cos + 3sin ≤ 10 2 A− B  cos = a = b = 10 − ⇔ Dấu đẳng thức xảy  c =  tan C =  Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức xyz x y + + x + yz y + xz z + xy P= Lời giải Giải phương pháp lượng giác hóa xy 1 z + + Ta có P = yz xz xy 1+ 1+ 1+ x y z Đặt yz A = tan , x zx B = tan , y 1= x + y + z = xy C = tan , với < A, B, C < π Khi z xy zx + z y yz xy + x z zx yz y x A B B C C A tan + tan tan + tan tan 2 2 2 Suy A, B, C ba góc tam giác ⇔ = tan P= 1 + tan A + 1 + tan B + tan C + tan C =1 + (cos A + cos B + sin C ) = cos A A + cos + sin C 2 Mặt khác π π C− cos 2 C+ π A+ B A− B = 2cos cos + 2sin 2 π π C− A+ B+C − A+ B ≤ 4cos = cos π = ≤ 2cos + 2cos 2 cos A + cos B + sin C + sin 1 3 3 =1+ Dấu đẳng thức xảy Do P ≤ +  − ÷ ÷ 2  π  A+ B = A = B    ⇔ ⇔  π π C + = π  C =  yz = x zx π = tan = − 3, y 12 xy π = tan = z ⇔ x = y = − 3, z = − Nhận xét Để tìm giá trị lớn biểu thức P = + (cos A + cos B + sin C ) ta thực nhiều cách khác C C C Cách Ta có P = + (cos A + cos B + sin C ) ≤ + sin + sin − sin 2 2 Đặt t = sin C với < t < Khi P ≤ + t + t − t Xét hàm số f (t ) = + t + t − t (0; 1) Ta có f '(t ) = − t + − 2t 1− t2 dương sang âm t qua ; f '(t ) = ⇔ − t = 2t − ⇔ t = f '(t ) đổi dấu từ  3 3 = + nên max f (t ) = f  ÷ ÷ (0; 1)   C C C Cách Ta có P = + (cos A + cos B + sin C ) ≤ + sin + sin − sin 2 2 C C C C = + sin + sin − 3sin ≤ + sin + 2 2 3 sin C C + − 3sin 2 2 C C 3  C 3 3 =− sin + sin + + =1+ − ≤1+  sin − ÷ ÷ 2 2  3 Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + c = b Tìm giá trị lớn biểu thức P= 2 − + a +1 b +1 c +1 (Học sinh giỏi Quốc gia, 2002) Lời giải Ta có abc + a + c = b ⇔ ac + a = tan a c + = Từ ta đặt b b A B C , = tan , c = tan , với A, B, C ba góc tam giác b 2 Khi P = 2cos = 2sin A B C C  − 2sin + 3cos = cos A + cos B + 1 − sin ÷ 2 2  C C C  A− B  C cos  + ≤ 2sin − 3sin + ÷− 3sin 2 2   10  C  10 = −  sin − ÷ ≤ 3  A = B 1  , b = 2, c = Dấu đẳng thức xảy  C ⇔ a = sin = 2  3