phép thế Ravi trong chứng minh bất đẳng thức tam giác

Phép thế Ravi trong chứng minh bất đẳng thức tam giác1.. Phép thế Ravi Xét tam giác ABC với độ dài các cạnh là a, b, c.. Phép thế Ravi rất hiệu quả khi thiết lập các bất đẳng thức liên q

Phép thế Ravi trong chứng minh bất đẳng thức tam giác

1 Phép thế Ravi

Xét tam giác ABC với độ dài các cạnh là a, b, c Tâm đường tròn nội tiếp, các đỉnh và

ba tiếp điểm tạo thành ba cặp tam giác bằng nhau Do đó tồn tại các số dương x, y, z sao cho

y x c x z b

z

y

a= + , = + , = + Chúng ta cũng có thể xuất phát từ các bất đẳng thức trong tam giác a+b−c>0,b+c−a>0,c+a−b>0 Đặt

2

, 2

, 2

c b a z b a c y a c b

Khi đó x, y, z>0,a= y+z,b=z+x,c=x+y và x= p−a,y= p−b,z= p−c với

2

c

b

a

p= + +

là nửa chu vi tam giác ABC.

Phép thế trên được gọi là phép thế Ravi (mang tên nhà toán học Ravi, người Canada) Phép thế Ravi rất hiệu quả khi thiết lập các bất đẳng thức liên quan đến độ dài ba cạnh tam giác Lúc này ta không quan tâm đến các bất đẳng thức giữa các cạnh tam giác

2 Một số ví dụ áp dụng

Ví dụ 1 (Bất đẳng thức Padoa) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh

rằng

) )(

)(

(a b c b c a c a b

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều

Lời giải Sử dụng phép thế Ravi, Bất đẳng thức Padoa tương đương với

xyz x

z z y y

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có điều phải chứng minh

Nhận xét Ta cũng dễ dàng chứng minh được BĐT

) )(

)(

(a b c b c a c a b

với giả thiết a, b, c là các số thực dương

Đặc biệt hơn nữa, BĐT (1) tương đương với

0 ) )(

( ) )(

( ) )(

(a−b a−c +b b−a b−c +c c−a c−b ≥

a

hay a3+b3+c3+3abc≥a2b+b2a+b2c+c2b+c2a+a2c

là BĐT Schur bậc 3

Ví dụ 2 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi Chứng minh rằng

p c p b p a p

9 1 1

−

+

−

+

Lời giải Sử dụng phép thế Ravi bất đẳng thức đã cho tương đương với

z y x z y

9 1

1 1

Đây là một hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy

Nhận xét Với hai BĐT trong Ví dụ 1 và Ví dụ 2, chúng ta chưa thấy được hiệu quả thực sự

của phép thế Ravi Bởi vì các BĐT đó chúng ta có thể chứng minh trực tiếp không mấy khó

a

b c

A

A

y

z z

Ví dụ 3 (IMO 1983) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

0 ) ( ) ( )

2b a−b +b c b−c +c a c−a ≥

Lời giải Đặt a= y+z,b=z+x,c= x+ y với x, y,z>0 Khi đó BĐT trở thành

0 ) )(

( ) ( ) )(

( ) ( ) )(

( ) (y+z 2 z+x y−x + z+x 2 x+ y z−y + x+y 2 y+z x−z ≥

Khai triển ta có BĐT tương đương với

xy3+yz3+zx3 ≥xyz(x+y+z)

z y x y

x x

z z

BĐT cuối cùng đúng theo BĐT Cauchy Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

z

y

x= = hay a=b=c.

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC có p là nửa chu vi, R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại

tiếp và nội tiếp Chứng minh rằng

Rr r

p2 +5 2 ≥16

Lời giải Ta có BĐT

p

S S

abc p

S

4 16

5 2

2

abc c

p b p a p

p3+5( − )( − )( − )≥4

Đặt a= y+z,b=z+x,c=x+y với x, y,z>0 Khi đó BĐT trở thành

) )(

)(

( 4 5

) (x+y+z 3+ xyz≥ x+y y+z z+x

⇔(x+y+z)3 +9xyz≥4(x+ y+z)(xy+ yz+zx) BĐT cuối cùng đúng theo BĐT Schur Suy ra đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều

Ví dụ 5 (Korea MO 1998) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c và I là tâm đường

tròn nội tiếp Chứng minh rằng

) (

3

2 2

Lời giải Đặt a=y+z,b=z+x,c=x+y Khi đó x, y, z > 0 và

2 2 2 2 2 2 2 2

Suy ra

z y x

xyz z

y x p

S z y x r z y x IC IB

IA

+ + + + +

= + + +

= + + +

= +

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

1

2 2

z y x

xyz z

y

+ + + + +

⇔

) )(

( 4 9

) (x+y+z 3+ xyz≥ x+y+z xy+yz+zx

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Ví dụ 6 (Rumani 1999) Cho tam giác ABC có độ dài các là cạnh a, b, c Chứng minh rằng

) (

) (

) )(

( ) )(

(a+b−c b+c−a + b+c−a c+a−b + c+a−b ≤ abc a+ b+ c

Lời giải Đặt a=y+z,b=z+x,c=x+y Khi đó x, y, z > 0 và BĐt trở thành

) (

)(

)(

( ) (

4 xy+yz+zx ≤ x+y y+z z+x x+ y+ y+z + z+x

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có

xy yz xz xy y x yz xz

z xy y x z x z y y x y x x z z y y x

2 )

(

) )(

( ) )(

( ) ( )

)(

)(

(

+ +

≥ +

+ +

=

+ +

≥ + + +

= + +

+ + Tương tự với hai biểu thức còn lại Sau đó cộng 3 BĐT ta có đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Ví dụ 7 Cho tam giác ABC có độ dài các là cạnh a, b, c thỏa mãn a2 +b2 +c2 =3 Chứng minh rằng

abc ca

bc

ab+ + ≥1+2

Lời giải Thuần nhất hai vế của BĐT ta có

BĐT ⇔ 3(ab+bc+ca)−3≥6abc

abc c

b a ca bc ab c b a

6 )]

( ) (

3 [ 3

2 2 2 2

2 2

≥ + +

− + + +

+

Để chứng minh BĐT (*) ta chỉ cần chứng minh

abc c

b a ca bc ab c b

Đặt a= y+z,b=z+x,c=x+y Khi đó BĐT trở thành

) )(

)(

( 9 )]

( 7 )[

(x+y+z x2 +y2 +z2+ xy+yz+zx ≥ x+y y+z z+x

⇔ x3+y3+z3+3xyz≥x2y+y2z+z2x+x2z+z2y+y2x,

đúng theo BĐT Schur

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

3 Một số bài tập tự luyện

Để rèn luyện phương pháp sử dụng phép đổi biến Ravi, bạn đọc hãy giải các bài tập sau

Bài 1 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c Chứng minh các BĐT sau đây

i) a3+b3 +c3+3abc−2a2b−2b2c−2c2a≥0

ii) 3a2b+3b2c+3c2a−3abc−2b2a−2a2c−2c2b≥0

Bài 2 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c và bán kính các đường tròn nội tiếp,

bàng tiếp cạnh a, b, c lần lượt là r,r a,r b,r c Chứng minh rằng

r

abc r

c r

b r

a

c b a

≤ +

3