1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Đại số tuyến tính ma trận tích phân Chuong02 pps

42 292 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 42
Dung lượng 3,26 MB

Nội dung

Chương – TÍCH PHÂN BỘI ThS LÊ HOÀNG TUẤN Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Định nghĩa Cách tính : SGK I = ∫ ∫f ( x, y )dxdy D Định lý Fubini a/ Nếu D xác định f ( x)  f2 ( x)  ⇒ I = ∫  ∫ f ( x, y )dy  dx  a   f1 ( x ) b D a a ≤ x ≤ b   f1 ( x) ≤ y ≤ f ( x) f1 ( x) b b f2 ( y ) a f1 ( x ) = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP c ≤ y ≤ d   g1 ( y ) ≤ x ≤ g ( y ) b/ Nếu D xác định d g1 ( y ) c Ví dụ D Tính g ( y) d g2 ( y) c g1 ( y ) ⇒ I = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx I = ∫ ∫( xy + y )dxdy D , với D miền phẳng xác định y = x D: y = − x Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Lúc này, miền D biểu diễn lại 2− x ⇒ I = ∫ dx ∫ ( xy + y )dy −2 x2 − ≤ x ≤ D: x ≤ y ≤ − x 2− x  xy y  = ∫ +  dx  x2 −2   (2 − x) (2 − x) ( x )3 ( x )  = ∫ x + −x − dx 3  −2  = Ví dụ Tính I = ∫ ∫( xy + y)dxdy D , với D tam giác OAB O(0,0) , A(1,1) B (2,0) Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Cách ( nhìn theo phương đứng ) lúc 0 ≤ x ≤ D: 0 ≤ y ≤ ? nên ta tách D thành 0 ≤ x ≤ D1 :  0 ≤ y ≤ x D = D1  D2 , O A D1 D2 B 1 ≤ x ≤ D2 :  0 ≤ y ≤ − x ⇒ I = ∫ ∫( xy + y )dxdy + ∫ ∫( xy + y )dxdy D1 D2 Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Hay ta có Cách x 2− x 0 I = ∫ dx ∫ ( xy + y )dy + ∫ dx ∫ ( xy + y )dy ( nhìn theo phương ngang ) Lúc này, ta có 0 ≤ y ≤ D: y ≤ x ≤ − y 2− y A O B 2− y x y  ⇒ I = ∫ dy ∫ ( xy + y )dx = ∫  + xy  dy y  y Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Phương pháp đổi biến a/ Tọa độ cực M (r , ϕ ) tọa độ cực r ϕ M , với Ví dụ x = r cos ϕ y = r sin ϕ Từ phương trình r Do r = sin ϕ = sin ϕ ta tìm ngược lại miền D ⇒ r = r sin ϕ ⇒ x + y = r sin ϕ = y 1  ⇒ x + y−  = 2  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP ϕ − ϕ1 Như vậy, ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ D: r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ ) ⇒ I = ∫ ∫f ( x, y )dxdy D Lưu ý Ví dụ ϕ2 ϕ2 r2 (ϕ ) ϕ1 r1 ( ) = ∫ dϕ ϕ1 ∫ϕ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdr Ta áp dụng công thức D có dạng , hình tròn hay phần hình tròn 2 Tính I =∫ D ∫x + y dxdy , với x + y ≤ D:  y ≥ 0; y ≥ x Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Lúc này, ta có Dùng PP đổi biến:  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ π ≤ϕ ≤π ⇒ D:4 0 ≤ r ≤ ⇒I= = π π /4 π π /4 d ϕ r ∫ ∫ rdr d ϕ r ∫ ∫ dr 8 π =  π −  = 2π 3 4 Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Ví dụ Tính I = ∫ ∫(2 x + y )dxdy D , với 1 ≤ x + y ≤  D :  y ≥ 3x x ≥  Lúc này, miền D tương đương với π π  ≤ϕ ≤ D:3 1 ≤ r ≤ π 2 ⇒ I = ∫ dϕ ∫ (2 cos ϕ + sin ϕ )r dr π Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH BA PHÂN BỘI a, b Trong số y1 ( x), y2 ( x) hàm số theo biến x Lúc này, I =∫ Ω b y2 ( x ) z2 ( x , y ) a y1 ( x ) z1 ( x , y ) ∫ f∫( x, y, z )dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x, y, z )dz ( phụ thuộc nhiều tính trước ) ( ngang cấp xét biến trước ) Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BỘI BA Ví dụ Tính I = ∫ ∫ zdxdydz ∫ , với Ω y2 xy ( ) y ≤ x ≤ y2  Ω : 1 ≤ y ≤ 0 ≤ z ≤ xy  ⇒ I = ∫ dy ∫ dx ∫ zdz = ∫ y − y dy 61 y 1y y  =  −  6 1 Ví dụ Tính I = ∫ ∫ xdxdydz ∫ Ω , với 1 ≤ x ≤  Ω : − ≤ y ≤  x + y ≤ z ≤ 2( x + y )  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BA Suy BỘI 2( x + y ) −1 x2 + y2 I = ∫ dx ∫ dy Ω b/ Trường hợp miền  z = z ( x, y )   z = z1 ( x, y ) ∫ xdz miền xác định mặt cong , D hình chiếu Ω xuống mp Oxy z2 ( x , y ) Lúc ∫ ∫ f∫( x, y, z )dxdydz = ∫ ∫dxdy ∫ f ( x, y, z )dz Ω Ví dụ Tính I = ∫ ∫ zdxdydz ∫ Ω D z1 ( x , y ) , với z = − x2 − y  2 z = x + y  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BỘI BA Trước hết, ta xác định giao tuyến mặt cong z = − x − y  t = x + y ≥  2 ⇔  z = x + y  − t =t   ⇔ t = ⇔ z = ⇔ x2 + y2 = x +y Vậy giao tuyến mặt cong đường tròn Suy : hình chiếu Ω lên mp Oxy hình tròn 2 x2 + y ≤ D: z = ⇒ I = ∫ ∫dxdy D 2− x − y ∫ zdz x2 + y2 =1 Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH BA PHÂN BỘI [( ) ( 2 ⇒ I = ∫ ∫dxdy − x − y − x + y 2 D )] 0 ≤ r ≤ Đổi sang tọa độ cựcD :  0 ≤ ϕ ≤ 2π 1 11  ⇒ I =  = ⋅ 2π  − +  = ⋅ π 6 12  Ví dụ Tín h I =∫ Ω ∫ 2 x + z dxdydz ∫ , với x2 + z ≤  Ω : y = y =  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BỘI BA Vì Ω bị giới hạn y = 0; y , nên hình chiếu =2 Ω x2 + z ≤ D: y = ⇒ I = ∫ ∫dxdz ∫ x + z dy D lên mp Oxz hình tròn Suy = 2∫ D ∫ x + z dxdz 0 ≤ r ≤ Đổi sang tọa độ cựcD :  ≤ ϕ ≤ 2π  2π 32π ⇒ I = ∫ dϕ ∫ r dr = 0 Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BiẾN I =∫ Xét tích phân Đặt Ω u = u ( x, y, z )  v = v( x, y, z ) w = w( x, y, z )  ∫ f∫( x, y, z )dxdydz x'u x 'v x'w ⇒ J = y 'u y 'v y 'w z 'u z 'v z 'w ⇒ J = x'u y 'v z 'w + x'v y 'w z 'u + x'w y 'u z 'v − ( x'w y 'v z 'u + x'v y 'u z 'w + x'u y 'w z 'v ) Khi I =∫ ∫ f∫( x(u, v, w), y(u, v, w), z (u, v, w)) J dudvdw Ω1 Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BỘI BA Ví dụ Tính I = ∫ ∫ 2∫dxdydz , với Ω Đặ t x 3 = u  y  =v 2 z = w   x2 y2 z2  + + ≤1 Ω:  z ≥ x'u x 'v x'w 0 ⇒ J = y 'u y 'v y 'w = z 'u z 'v z 'w 0 = 3.2.1 = 12  4πr  1  = 8π ⇒ I = ∫ ∫ 2∫.6dudvdw = 12 V =  2  2 Ω Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BA a/ Tọa độ trụ BỘI ( miền có dạng trụ tròn hay trụ ellipse ) Lúc này, tọa độ trụ M  M ( x, y , z ) M (r , ϕ , z ) ϕ r  cách đặt x 'r ⇒ J = y 'r z 'r x'ϕ y 'ϕ z 'ϕ x' z y'z = r z'z  x = r cos ϕ = x(r , ϕ , z )   y = r sin ϕ = y (r , ϕ , z ) z = z  Sau đó, ta xét tiếp Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH BA PHÂN Nếu BỘI ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ  r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ )  z (r , ϕ ) ≤ z ≤ z (r , ϕ )  Ví dụ r2 z2 ϕ1 r1 z1 prjOxy Ω I = ∫ dϕ ∫ dr ∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ , z )rdr Lưu ý ϕ2 suy từ hình chiếu Nếu hình trụ tròn chạy dọc theo Tính Ox I = ∫ ∫( x∫ + y )dxdydz Ω đặ t x = x   y = r cos ϕ  z = r sin ϕ  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH BA PHÂN Với BỘI x2 + y =  Ω : z = x2 + y  z = 2( x + y )  Ta đặt  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ z = z  prjOxy Ω = x + y ≤ Mặt khác, nên cận chạy z 0 ≤ ϕ ≤ 2π D: 0 ≤ r ≤ x + y = r ≤ z ≤ r = 2( x + y ) 2π 2r 0 r2 ⇒ I = ∫ dϕ ∫ dr ∫ (r cos ϕ + r cos ϕ )rdr Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BỘI BA Ví dụ Tính I = ∫ ∫( x∫ + 1)dxdydz Ω , với Ta có x2 + z =  2 x + z = Ω: y =1  y = + x + z 0 ≤ ϕ ≤ 2π  Ω : 1 ≤ r ≤ 1 ≤ y ≤ + r   x = r cos ϕ   z = r sin ϕ y = y  2π 1+ r 2π 1 ⇒ I = ∫ dϕ ∫ dr ( r cos ϕ + ) rdy = d ϕ r ∫ ∫ ∫ (r cos ϕ + 1)dr Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BA b/ Tọa độ cầu θ ϕ BỘI OM = r ≥ θ góc  M ( x, y , z ) M 1M = r cos θ OM = r sin θ  M1 ϕ  x = r sin θ cos ϕ   y = r sin θ sin ϕ  z = r cos θ  OM chiều dương Oz góc OM ≤θ ≤π lệch tâm chiều dương Ox  x − x0 = r sin θ cos ϕ   y − y0 = r sin θ sin ϕ  z − z = r cos θ  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH BA PHÂN BỘI Lúc Và miền Ω θ2 ϕ2 r2 θ1 ϕ1 r1 x'ϕ x'θ x 'r J = y 'ϕ z 'ϕ y 'θ z 'θ y 'r = r sin θ z 'r θ1 ≤ θ ≤ θ  Ω : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ r (ϕ , θ ) ≤ r ≤ r (ϕ , θ ) 1 viết lại thành ⇒ I = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ f (r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ )r sin θdr Ví dụ I = ∫ ∫ zdxdydz ∫ Ω , với x2 + y + z ≤ Ω: 2 z ≥ x + y  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH BA PHÂN BỘI Đặt  x = r sin θ cos ϕ   y = r sin θ sin ϕ  z = r cos θ  π  0 ≤ θ ≤  0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ r ≤   vớ i π 2π 0 ⇒ I = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ r cos θr sin θdr

Ngày đăng: 01/09/2017, 13:46

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w