Đại số tuyến tính ma trận tích phân vp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ThS LÊ HOÀNG TUẤNS GIẢI TÍCH Chương – Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP TỔNG QUAN dạng ẩn Phương trình vi phân (PTVP)  chứa hàm ( vd: y(x), u(x),v(x),… ) Ví dụ Ví dụ y '+2 y =  cấp y"+2 y ' =  cấp xdx − y dy =  cấp Tìm hàm y(x) thỏa y ' ( x) = x GIẢI TÍCH dạng pt chứa đạo hàm (vi phân) Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Pt có nguyên hàm x3 , nghiệm tổng quát pt cho x3 +C , với C số GIẢI TÍCH Lưu ý  gọi nghiệm riêng Pt vi phân cấp n nghiệm tổng quát chứa n số (n số C) PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Là pt vi phân mà ta tách x y vế riêng biệt Ví dụ giải pt Ta có y '+2 y = dy dy ⇒ + 2y = y' = dx dx dy ⇔ = −2dx y Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Lấy nguyên hàm vế ta dy ∫ y = ∫ − 2dx ⇒ ln | y |= −2 x + ln C Sau đó, lấy tiếp e mũ vế ( không cần ý đến dấu | | ln ) e ln| y| =e −2 x + ln C ⇒ y = Ce −2 x ⇒ y=e −2 x e ln C nghiệm tổng quát pt cho GIẢI TÍCH ( có ln vế trái vế phải ghi lnC ) Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CÁC DẠNG PHÂN LY BIẾN SỐ THƯỜNG GẶP dy y ' = f ( x) g ( y ) ⇒ = f ( x)dx g ( y) y ' = f ( x) y' = g ( y) Ví dụ giải pt Ta có: pt (*) y y '− = x (*) dy y ⇔ = dx x dy dx ⇔ = y x ⇔ ln | y |= ln | x | + ln C ⇔ y = Cx nghiệm cần tìm GIẢI TÍCH M ( x) N1 ( y )dx + M ( x) N ( y )dy = Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Ví dụ giải pt Ta có: (**) xydx − ( y + 1)( x + 1)dy = (**) ⇔ xydx = ( y + 1)( x + 1)dy  1 x ⇔∫ dx = ∫ 1 + dy x +1  y ⇔ y + ln | y |= ln | x + | + ln C Đến đây, lnC số, nên ta nhân thêm hệ số 1/2 cho lnC Lúc này, (***) 1 ⇔ y + ln | y |= ln | x + | + ln C 2 GIẢI TÍCH xdx ( y + 1)dy ⇔ = x +1 y (***) Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP ⇔ y + ln | y |= ln | x + | + ln C ⇔ y + ln | y |= ln | x + | + ln C Tiếp theo, lấy e mũ vế ta =e ln| x +1|+ ln C ⇔ y e y = C ( x + 1) nghiệm cần tìm PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN Ví dụ giải pt Hướng giải quyết: ydx + ( x + y + 1)dy = tìm hàm u = u ( x, y ) du = ydx + ( x + y + 1)dy (*) cho vế trái pt (*) GIẢI TÍCH e y + ln| y | Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Lúc này, ta có u ' x = y  u ' y = x + y + Đến đây, toán cho trở thành: tìm hàm u(x,y) biết ⇒ u ( x, y ) = ∫ u ' x dx + g ( y ) = ∫ ydx + g ( y ) = yx + g ( y ) Lấy tiếp đạo hàm vế theo y hàm u(x,y) này, ta u' y = x + g ' ( y) GIẢI TÍCH Do vậy, u ' x  u ' y Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP u' y = x + y + Đồng với biểu thức , ta có x + g ' ( y) = x + y + ⇒ g ( y ) = ∫ g ' ( y )dy = ∫ (2 y + 1)dy = y + y Như vậy, ta có u ( x, y ) = xy + y + y thỏa pt du = ⇒ u = xy + y + y = C nghiệm cần tìm pt (*) GIẢI TÍCH ⇒ g ' ( y) = y + Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Tổng quát, bắt đầu ta có lưu đồ sau P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = vi phân toàn phần? ∂P ∂Q = ∂y ∂x Đ cách khác kết thúc tìm hàm u(x,y) thỏa nghiệm u = C u ' x = P  u ' y = Q GIẢI TÍCH S Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Dạng đặc trưng pt lúc k − 2k + = ⇒ k = 1± 2i nghiệm pt đặc trưng GIẢI TÍCH Do vậy, nghiệm tổng quát pt y = eαx [C1 cos β x + C2 sin β x] = e x [C1 cos x + C2 sin x] Tiếp theo, ta tìm nghiệm riêng cho pt (*) ban đầu Ta thấy đại lượng bậc α + iβ = 1+ 2i (trùng với nghiệm đơn pt đặc trưng) , vế phải pt (*) e x [2 cos x + x sin x] bậc Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Lúc này, l = max(0,1) = Nên nghiệm riêng toán yr = xe x [( ax + b) cos x + (cx + d ) sin x] GIẢI TÍCH đa thức bậc  Tiếp theo, ta nghiệm yr vào pt ban đầu để tìm hệ số a,b,c,d Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT y"+ py '+ qy = Pm ( x) TH1: ( nghĩa α =β =0 ) GIẢI TÍCH đa thức bậc m Cho nên, nghiệm riêng lúc yr = Qm (x) hay  số “0” không nghiệm pt đặc trưng yr = x r Qm (x)  số “0” nghiệm bội cấp r pt đặc trưng Ví dụ pt vi phân y"−3 y '+2 y = có nghiệm riêng yr = C Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP y"+ py '+ qy = eαx Pm ( x) TH2: β = ⇒ α + iβ = α ( nghĩa ) yr = eαx Qm (x) hay  α không nghiệm pt đặc trưng yr = x r eαx Qm (x)  α ≡ nghiệm bội cấp r pt đặc trưng Ví dụ pt vi phân y"−3 y '+2 y = xe x ⇒ yr = xe x (ax + b) ≡ với nghiệm bội pt đặc trưng GIẢI TÍCH Cho nên, nghiệm riêng lúc Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Ví dụ pt vi phân y"−3 y '+2 y = xe x không nghiệm pt đặc trưng ⇒ yr = e3 x (ax + b) y"+ py '+ qy = Pm ( x) cos βx + Qn ( x) sin βx ( nghĩa α = ⇒ α + iβ = iβ ) Cho nên, nghiệm riêng lúc yr = M l ( x) cos β x + N l ( x) sin βx  iβ , với không nghiệm pt đặc trưng l = max( m, n) GIẢI TÍCH TH3: Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP hay yr = x r [ M l ( x) cos βx + N l ( x) sin βx]  pt vi phân pt đặc trưng iβ nghiệm pt đặc trưng y"+4 y = cos mx k +4=0 β = m ⇒ iβ = mi Do vậy, yr = A cos mx + B sin mx hay  yr = x[ A cos mx + B sin mx] m ≠ ±2  m = ±2 GIẢI TÍCH Ví dụ l = max( m, n) , với Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Ví dụ y"−4 y '+3 y = x + xét pt vi phân Pt có nghiệm yr = ax + bx + c Nghiệm riêng xét pt vi phân y"−4 y ' = x + y = C1 + C2 e x Pt có nghiệm Nghiệm riêng lúc vế phải có α = β = ⇒ α + iβ = trùng với nghiệm pt đặc trưng , nên ⇒ yr = x[ax + bx + c] GIẢI TÍCH Ví dụ y = C1e x + C2 e x Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Ví dụ xét pt vi phân y"−4 y '+3 y = sin x ⇒ iβ = i nghiệm pt đặc trưng Do vậy, nghiệm riêng Ví dụ xét pt vi phân k − 4k + = yr = A sin x + B cos x y"+ y = x sin x α =  β = ⇒ iβ = i ≡ nghiệm đặc trưng pt k +1 = ⇒ yr = x[( ax + b) sin x + (cx + d ) cos x] GIẢI TÍCH α =  β = Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Trường hợp vế phải dạng: đa thức, lượng giác, mũ,…  dùng pp biến thiên số y"+ py '+ qy = f ( x) Bước 1: Bước 2: y"+ py '+ qy = tìm nghiệm riêng C1 = C1 ( x)  C2 = C2 ( x) C '1 =  ⇒ C '2 =  ⇒ y = C1 y1 + C2 y2 , C '1 y1 + C '2 y2 = ⇒ C '1 y '1 +C '2 y '2 = f ( x) C1 =  ⇒ C2 =  GIẢI TÍCH (không dạng đa thức, lượng giác, mũ,…) Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Ví dụ giải pt y"−5 y '+6 y = ln x k − 5k + = Pt có dạng ⇒ y = C1e x + C2 e x nghiệm tổng quát pt C '1 e + C '2 e = ⇒ 2x 3x C ' e + C ' e = ln x  C1 =  ⇒ C2 =  2x 3x ln x  C ' = − 2x  e ⇒ ln x C '2 = x e  GIẢI TÍCH Tiếp theo, ta biến thiên số, nghĩa xem C1 = C1 ( x)  C2 = C2 ( x) Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH EULER a0 x y"+ a1 xy '+ a2 y = Là pt có dạng Ví dụ 3x y"+7 xy '+ y = giải pt nên (*)  y ' = αxα −1 ⇒ α −2 y " = α ( α − ) x  (*) ⇔ 3α (α − 1) + 7α + = ⇔ 3α + 4α + = α = −1 ⇔ α = −1 / ⇒ y = C1 x −1 + C2 x −1/ nghiệm tổng quát cần tìm GIẢI TÍCH y = xα  Ta tìm nghiệm dạng (thuần nhất) Chương – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH EULER ax y"+bxy '+ cy = PP GiẢI TỔNG QUÁT PTVP CÓ DẠNG  Đặt y = xm ⇒ am + (b − a )m + c = ∆>0 ⇒ y = C1 x m1 + C2 x m2 TH2: ∆=0 ⇒ y = C1 x m + C2 x m ln x TH3: ∆