Đại số tuyến tính ma trận tích phân Chuong01 pps

GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG ThS LÊ HOÀNG TUẤN Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Bài toán Cho hình thang cong,  yêu cầu tính diện tích hình thang y y = f ( x) ≥ 0; lt f (ξ i ) O a xi xi +1 b x Ta chia đoạn[ a, b] thành n phần a ≡ x0 < x1 <  < xi < xi +1 <  < xn ≡ b ξi [ xi , xi +1 ] điểm nằm đoạn ∆xi = xi +1 − xi chiều dài [ xi , xi +1 ] Lúc Si ≈ f (ξ i )∆xi diện tích hình chữ này: nhật , với f (ξ i ) chiều ∆xi chiều cao rộng ξi Gọi Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Suy diện tích hình thang n −1 n −1 i =0 i =0 S = ∑ Si ≈ ∑ f (ξ i )∆xi Đặt tiếp λ = max ∆xi i n −1 ⇒ S = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ →0 i =0 Định nghĩa Cho hàm f xác định [ a, b] → R Ta gọi phân hoạch (cách chia) ( đoạn π a ////////[ đoạn[ a, b] [a, b] ) cho: Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin ]//////// b điểm chia http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG a ≡ x0 < x1 <  < xi < xi +1 <  < xn ≡ b , ký hiệu π , π ' đoạn[a, b] Xét phân hoạch a ////////[ | | | | || | | | π (a, xi , b) π | | ]///////// b π' π ' (π ⊂ π ' ) Ta nói π ' mịn π điểm chia π nằm Lưu ý Khi cho phân hoạch khác π π có phân π mịn π π l hoạch π = π1  π Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG π , với chiều dài cực Cho phân hoạch đại f Xét hàm λ = max ∆xi i λ gọi đường kính phân hoạch có phân hoạchπ : ξ i ∈ [ xi , xi +1 ] tổng tích phân Riemann σ π n −1 = ∑ f (ξ i )∆xi i =0 Định nghĩa ∃ lim σ = I λ →0 ∀ε > 0, ∃δ > : ∀π , λ < δ ⇒ σ − I < ε , ∀ξ i Lúc ta gọiI đoạn[ a, b] = lim σ tích phân xác định λ →0 hàm , ký hiệu f b I = ∫ f ( x )dx Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin a http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Lúc này, ta gọif hàm khả tích trên[ a, b] Định lý [a, b] ⇒ f bị chặn (bị chận) khả tích trên Tổng tổng (tổng Darboux) Giả sử f hàm bị chặn [ a, b] → R π [a, b] Ta lấy phân hoạch Nếu f (nghĩa [ a, b] a /////////[ [ a, b] chia thành đoạn [ xi , xi +1 ] ) nhỏ i = 0,1,2,  , n − | x1 x2 | | x3 || | | Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin xn −1 | ]///////// b http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Lúc này, ta gọi mi = inf f ( x ) ∆xi chận M i = sup f ( x) chận ∆xi Suy mi ≤ f (ξ i ) ≤ M i ; ∀ξ i ∈ ∆xi tổng Darboux S ⇒ mi ∆xi ≤ f (ξ i )∆xi ≤ M i ∆xi n −1 n −1 n −1 i =0 i =0 i =0 ⇒ ∑ mi ∆xi ≤ ∑ f (ξ i )∆xi ≤ ∑ M i ∆xi Đến đây, gọi tổng Darboux dưới, kí hiệu Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin s http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Như vậy, phân hoạch Một số tính chất cần lưu ý 1) Với phân hoạch π π cho trước 2) Khi ta lập định phân hoạch + tổng tăng + tổng giảm π : s, S π ' ⊃ π : s' , S ' s ≤σ ≤ S , π s = inf σ  S = sup σ ta làm mịn s | | s' S ' ≤ S ⇒ s ' ≥ s Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin π (thêm điểm chia) S' | | S http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tính chất (tt) 3) ∀s, ∀S ta có s≤S Định lý (điều kiện khả tích) Cho hàm Lưu ý Tập chận Tập chận f xác định f khả tích [a, b] Lúc này, [a, b] ⇔ lim( S − s ) = λ →0 () { s} bị chặn S ⇒ ∃ sup{ s} = I* ≤ S { S } bị chặn chận ⇒ ∃ inf { S } = I * ≥ I * s ≤ I* ≤ I * ≤ S Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Như vậy, Nếu tích phân I* với tích phân n −1 trênn −1 I* ⇒ S − s = ∑ M i ∆xi − ∑ mi ∆xi i =0 hàm khả tích i =0 n −1 = ∑ ( M i − mi )∆xi i =0 Lúc này, M i − mi gọi dao độ hàm , kí hiệu ωi f đoạn ∆xi n −1 ⇒ S − s = ∑ ωi ∆xi i =0 Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Định nghĩa Giả sử f [a,+∞) cho hàm xác định f khả tích điểm hữu hạn [a, b] b Nếu giới hạn lim b → +∞ +∞ ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx a (a < b < +∞) a tồn +∞ ta nói tích phân suy rộng ∫ f ( x)dx hội tụ a Ngược lại, không tồn ta nói tích phân suy rộng phân kỳ Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tính chất Cauchy b φ (b) = ∫ f ( x)dx Xét b → +∞ , với a Lúc +∞ ∫ f ( x)dx hội tụ ⇔ ∀ε > 0, ∃A0 ≥ a : ∀b, b' ≥ A0 a φ (b) − φ (b' ) = Định lý b ∫ f ( x)dx < ε b' +∞ Nếu ∫ a f ( x) dx hội tụ ⇒ +∞ ∫ f ( x)dx a Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin hội tụ http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Định nghĩa +∞ Nếu ∫ f ( x) dx a +∞ hội tụ , ta nói +∞ ∫ f ( x)dx Nguợc lại, a ∫ f ( x)dx a hội tụ tuyệt đối +∞ hội tụ , mà ∫ f ( x) dx phân kỳ a , ta gọi bán hội tụ (hay hội tụ có điều kiện) Tương tự, Xét hàm f : (−∞ , b] → R , lúc khả tích Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin [ a, b] http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG b Nếu ∃ lim a → −∞ ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx a Ngược lại, +∞ Xét dạng b −∞ ta nói tích phân (ở vế trái) hội tụ không tồn lim , ta nói tích phân phân kỳ c +∞ ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx −∞ −∞ , c , suy tích phân vế trái hội Khi tích phân vế phải hội tụ tụ ( ngược lại, tích phân vế trái phân kỳ ) Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng hàm dương Xét f : [ a,+∞) → R , f ( x) ≥ b Lúc này, φ (b) = ∫ f ( x)dx a Định lý khả tích [a, b] hàm tăng , nên có giới hạn bị chặn +∞ ∫ f ( x)dx a (1 ) hội tụ ∃M > ⇔ φ (b) cho bị chặn , nghĩa b φ (b) = ∫ f ( x)dx ≤ M a Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Định lý (định lý so sánh 1) g : [a,+∞) → Xét thêm hàm R thỏa g ( x) ≥ +∞ Giả sử ∫ g ( x)dx (2) a Lúc này, i) (2) hội tụ tồn ⇒ ⇒ , cho f ( x) ≤ g ( x) (1) hội tụ ii) (1) phân (2) phân kỳ kỳ Định lý (định lý so sánh Xét k 2) Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin f ( x) = lim x → +∞ g ( x ) http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Khi (2) hội ⇒ (1) hội tụ tụ < k < +∞ (1) (2) hội tụ ( phân kỳ ) (1) hội ⇒ (2) hội tụ iii) Nếu k = +∞ tụ (2) phân kỳ ⇒ (1) phân kỳ +∞ i) Nếu ii) Nếu Ví dụ k =0 dx ∫a xα , với a > 0; α ≠ Trước hết, ta xét Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin b dx ∫a xα http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Ta có b −α +1 b b dx x −α ∫a xα = ∫a x dx = − α a [ = b1−α − a1−α 1−α ] α > ⇒ − α < Do vậy,  α < ⇒ − α > 1−α ⇒ lim b b → +∞ b Khi 0 = + ∞ hội , tụ phân kỳ , α >1 α Tổng tụ α ∫ phân kỳ , α ≤ x quát a Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Ví dụ +∞ +∞ x x x ∫0 + x dx = + x dx + + x dx Ta có Suy ∫ ∫ x dx ~ x ∫ 3/ , nên ta đặt g ( x) = x 3/ ( x ≥ 1)  x  f ( x) 3/ lim = lim  × x  = x → +∞ g ( x ) x → +∞ + x   ⇒ +∞ ∫x 1 3/ +∞ dx hội tụ x ⇒ ∫ dx 1+ x Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin hội tụ http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG +∞ ∫ f ( x) g ( x)dx Xét tích phân (3 ) a Định lý (dấu hiệu Albel) Nếu i) (1) hội tụ ii) g(x) đơn điệu, bị chặn Định lý (dấu hiệu b Dirichlet) i) f ( x)dx bị chặn , có nghĩa a ∫ ii) ⇒ (3) hội tụ b ∃M > : ∫ f ( x)dx ≤ M a g (x) giảm đơn điệu đến (khi x → +∞) ⇒ (3) hội tụ Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng loại b ∫ f ( x)dx a  lim− f ( x) = ∞  x →b ( hàm dấu tích phân không bị chặn ) ( điểm kỳ dị trái – cận ) (*) b ∫ f ( x)dx a  lim+ f ( x) = ∞  x→a ( điểm kỳ dị phải – cận ) (**) b ∫ f ( x)dx a lim f ( x) = ∞ ( a < c < b)  x →c Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin (***) http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG c Nếu b ∃ lim− ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx c →b a ⇒ Tích phân (*) hội tụ a Ngược lại, không tồn lim ⇒ b ∫ f ( x)dx = εlim ∫ f ( x)dx Ngoài ra, người ta viết →0 + a b Tương tự, Tích phân (*) phân kỳ b −ε a b b ∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx = εlim ∫ε f ( x)dx c →a + a , →0 + c b c b a a c a+ ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Định lý b ∫ hội ⇒ Tích phân (*) hội tụ tụ a ( lúc ta gọi tích phân hội tụ tuyệt đối ) Tích phân suy rộng loại (của hàm dương) [ a, c ] ( a ≤ c < b) Xét f : [ a, b) → R , f ( x ) ≥ khả tích với điều lim− f ( x) = ∞ x →b kiện c Nếu Lúc f ( x) dx φ (c) = ∫ f ( x)dx a Định lý (*) hội tụ hàm tăng ⇔ φ (c) bị chặn Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG b Xét ∫ g ( x)dx (**) a Định lý so sánh Giả sử Lúc này, f ( x) ≤ g ( x) lân cận trái b i) (**) hội tụ ii) (*) phân kỳ Định lý so sánh ⇒ ⇒ ( x → b− ) (*) hội tụ (**) phân kỳ Xét ( kết luận hoàn toàn tương tự ) Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin f ( x) k = lim x → +∞ g ( x ) http://www.uit.edu.vn GIẢI TÍCH Chương – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG Công thức NewtonLebnitz Giả f có nguyên hàm sử +∞là b Lúc ∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx = lim [ F (b) − F (a)] a b → +∞ a b → +∞ +∞ = F (+∞) − F (−∞ ) = F ( x) a b , F (x) c ∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx = lim [ F (c) − F (a)] a c →b − a − c →b − b− = F (b ) − F (a ) = F ( x) a Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin http://www.uit.edu.vn