Đang tải... (xem toàn văn)
Các dạng bài tập cơ bản chương Hàm số lớp 12Dành cho GV dạy thêm LTĐH và học sinh lớp 12
BI TP TNH N IU V CC TR CA HM S I TNH N IU CA HM S 1) nh ngha: Cho hm s y = f ( x) xỏc nh trờn K Hm s y = f ( x) ng bin trờn K nu " x1 , x2 ẻ K : x1 < x2 ị f ( x1 ) < f ( x2 ) Hm s y = f ( x) nghch bin trờn K nu " x1 , x2 ẻ K : x1 < x2 ị f ( x1 ) > f ( x2 ) Chỳ ý: K l mt khong hoc on hoc na khong 2) nh lý: Cho hm s y = f ( x) xỏc nh trờn K a) Nu f Â( x) > 0, " x ẻ K thỡ hm s f ( x) ng bin trờn K b) Nu f Â( x) < 0, " x ẻ K thỡ hm s f ( x) nghch bin trờn K nh lý m rng: Gi s hm s y = f ( x) cú o hm trờn K a) Nu f Â( x) 0, " x ẻ K v f Â( x) = ti mt s hu hn im thỡ hm s ng bin trờn K b) Nu f Â( x) Ê 0, " x ẻ K v f Â( x) = ti mt s hu hn im thỡ hm s nghch bin trờn K c) Nu f Â( x) = 0, " x ẻ K thỡ f ( x) khụng i trờn K 3) Hai dng toỏn c bn Dng Tỡm cỏc khong n iu ca hm s Quy tc tỡm: Tỡm xỏc nh ca hm s Tớnh o hm f Â( x ) Tỡm cỏc im xi (i = 1, 2, , n) m ti ú o hm bng hoc khụng xỏc nh Lp bng bin thiờn Nờu kt lun v cỏc khong ng bin v nghch bin ca hm s Dng Tỡm cỏc giỏ tr m hm s n iu (ng bin, nghch bin) trờn khong cho trc Phng phỏp: Xột hm s y = f ( x) trờn K Tỡm xỏc nh ca hm s (nu cn) Tớnh f Â( x) Nờu iu kin ca bi toỏn: + Hm s ng bin trờn K f Â( x) 0, " x ẻ K + Hm s nghch bin trờn K f Â( x) Ê 0, " x ẻ K T iu kin trờn s dng cỏc kin thc v du ca nh thc bc nht, tam thc bc hai tỡm m Chỳ ý: Cho hm s f ( x) = ax + bx + c ( a ) a > a < f ( x) 0, x Ă f ( x) 0, x Ă II CC TR CA HM S 1) nh lớ Gi s hm s y = f ( x) liờn tc trờn khong K = ( x0 h; x0 + h) v cú o hm trờn K hoc K \ { x0 } (h > 0) a) f Â( x) > trờn ( x0 h; x0 ) v f Â( x) < trờn ( x0 ; x0 + h) thỡ x0 l mt im C ca f ( x) b) f Â( x) < trờn ( x0 h; x0 ) v f Â( x) > trờn ( x0 ; x0 + h) thỡ x0 l mt im CT ca f ( x) Nhn xột: Hm s cú th t cc tr ti nhng im m ti ú o hm khụng xỏc nh Qui tc tỡm cc tr hm s (da vo nh lý 1) Tỡm xỏc nh Tớnh f Â( x) Tỡm cỏc im ti ú f Â( x) = hoc f Â( x) khụng xỏc nh Lp bng bin thiờn T bng bin thiờn da vo nh lý suy cỏc im cc tr 2) nh lớ Gi s y = f ( x) cú o hm cp ( x0 h; x0 + h) ( h > 0) a) Nu f Â( x0 ) = 0, f ÂÂ( x0 ) > thỡ x0 l im cc tiu b) Nu f Â( x0 ) = 0, f ÂÂ( x0 ) < thỡ x0 l im cc i Qui tc tỡm cc tr hm s (da vo nh lý 2) Trang Tỡm xỏc nh Tớnh f Â( x) Gii phng trỡnh f Â( x) = v kớ hiu xi l nghim Tỡm f ÂÂ( x) v tớnh f ÂÂ( xi ) Da vo du ca f ÂÂ( xi ) suy tớnh cht cc tr ca xi 3) Cỏc dng toỏn thng gp Dng Tỡm cc tr ca hm s cho trc Phng phỏp: Da vo quy tc hoc quy tc Dng iu kin hm s t cc tr Phng phỏp: Tỡm xỏc nh D ca hm s Tớnh f Â( x) Hm s t cc tr ti x0 ẻ D f Â( x ) i du qua x0 Mt s chỳ ý: Hm s y = ax3 + bx + cx = d , a cú cc tr (cc i v cc tiu) y Â= cú hai nghim phõn bit Xột hm s trựng phng y = ax + bx + c, a ộx = y Â= ờ2ax + b = (1) + Hm s cú ba cc tr (1) cú hai nghim phõn bit khỏc ab < + Hm s cú mt cc tr (1) cú nghim kộp hoc vụ nghim hoc cú nghim x = ộab > ờ ởb = y Â= 4ax3 + 2bx = x (2ax + b), Trang B MT S V D MINH HA VD1 Cho hm s y = x3 + x Tỡm cỏc khong n iu v cc tr ca hm s GII TX: D = Ă ộx = ởx = 2 y Â=- x + x ; y Â= - x + x = ờ lim y = +, lim y = Gii hn: x x + Bng bin thiờn: Hm s ng bin trờn (0; 2); hm s nghch bin trờn ( ;0) v (2; +) Hm s t cc i ti x = 2, yC = 3; hm s t cc tiu ti x = 0, yCT =- VD2 Cho hm s y = x + 3x + Tỡm cỏc khong n iu v cc tr ca hm s GII TX: D = Ă ộx = y Â=- 4x3 + 6x ; y Â= - x + x = ờx = Gii hn: lim y = , lim y = x x + Bng bin thiờn 6 ;0 ữ v ; + ữ ữ v 0; ữ; nghch bin trờn 13 Hm s t cc i ti x = , y , Hm s t cc tiu ti x = 0, yCT = = C Hm s ng bin trờn ; VD3 Cho hm s y = x Tỡm cỏc khong n iu v cc tr ca hm s x GII Tp xỏc nh D = Ă \ { 1} y Â=- ( x - 1) < 0, " x ẻ D lim y = lim y = ; Gii hn: xđƠ xđ+Ơ lim y =- Ơ ; lim y = +Ơ + xđ1 x đ1 Trang BBT Hm s nghch bin trờn cỏc khong ( ;1 ) v ( 1; ) Hm s khụng cú cc tr x3 VD4 Cho hm s y = m - +( m +1) x + 3x + Tỡm m hm s ng bin trờn Ă ( GII TX: D = Ă ( ) ) 2 o hm: y Â= m - x + ( m +1) x + Nu m = thỡ y Â= x + 3 ( loi so vi yờu cu bi toỏn) Nu m =- thỡ y Â= > " x ẻ Ă Hm s ng bin trờn Ă (nhn so vi ycbt) (1) Nu m thỡ hm s ng bin trờn Ă v ch ỡù a = m - > ù y  " x ẻ Ă ùớ ùù D = ( m +1) - m - Ê ùợ ỡù m ỡù m ộm nờn (1) a x + x - = g ( x ) x +1 Xột hm s g ( x) trờn khong ( 0;3) Cú g Â( x ) = 2x2 + 2x +8 ( x +1) > 0, " x ẻ ( 0;3) BBT: T BBT suy a g ( x), " x ẻ ( 0;3) a 12 Vy, hm s ng bin trờn khong ( 0;3) a 12 VD7 Tỡm m hm s y = x3 + x +( m +1) x + 4m Nghch bin trờn khong ( - 1;1) GII TX: D = Ă o hm: y Â= x + x + m +1 Hm s nghch bin trờn khong ( - 1;1) y ÂÊ 0, " x ẻ ( - 1;1) x + x + m +1 Ê 0, " x ẻ ( - 1;1) (1) Xột BPT (1): (1) m Ê - x - x - = g ( x) Xột hm s g ( x), x ẻ ( - 1;1) Cú: g Â( x) =- x - Ê 0, " x ẻ ( - 1;1) BBT: T BBT suy m Ê g ( x), " x ẻ ( - 1;1) m Ê - 10 Vy, hm s ng bin trờn khong ( - 1;1) m Ê - 10 VD8 Tỡm iu kin ca m hm s y = x3 - 3( m + 2) x + ( m +1) x - 3m + ng bin trờn khong ( 5;+Ơ ) GII TX: D = Ă o hm: y Â= x - ( m + 2) x + ( m +1) Hm s ng bin trờn khong ( 5; Ơ ) y  0, " x ẻ ( 5; +Ơ ) x - ( m + 2) x + ( m +1) 0, " x ẻ ( 5; +Ơ ) (1) Xột BPT (1): (1) x - 12 x + 6m ( x - 1) Trang Vỡ x ẻ ( 5; +Ơ ) nờn x - > ú: x - x +1 (1) m Ê , " x ẻ ( 5; +Ơ ) m Ê x - = g ( x ) , " x ẻ ( 5; +Ơ ) x- Xột hm s g ( x) , x ẻ ( 5;0) ta cú: g Â( x ) = > 0, " x ẻ ( 5; +Ơ ) BBT: T BBT suy m Ê g ( x), " x ẻ ( 5; +Ơ ) m Ê Vy, hm s ng bin trờn khong ( 5; +Ơ ) m Ê VD9 Cho hm s: y = ( m - 2) x3 - mx - Vi giỏ tr no ca m thỡ th ca hm s khụng cú im cc i v im cc tiu GII TX: D = Ă o hm: y Â= 3( m - 2) x - m Hm s khụng cú cc tr thỡ phng trỡnh y Â= vụ nghim hoc cú nghim kộp D Ê + 4.3m ( m - 2) Ê Ê m Ê ( ) 2 VD10 Cho hm s: y = x - mx + m - m +1 x +1 Tỡm m hm s b) t cc i ti im x = a) Cú cc i v cc tiu GII TX: D = Ă o hm: y Â= x - 2mx + m - m +1 a) Tỡm m hm s cú cc i v cc tiu Hm s cú cc i v cc tiu y Â= cú nghim phõn bit ỡù ùớù m - > m >1 ùù ( - m) - m - m +1 > ùợ b) Tỡm m hm s t cc tiu ti im x = y Â= x - 2mx + m - m +1 v y ÂÂ= x - 2m ỡù y Â( 1) = ùỡù m - 3m + = ùỡù m = m = ù m=2 Hm s t cc i ti x = ùù y ÂÂ( 1) < ùù - 2m < ùùợ m > ợ ợ Vy m = hm s t cc i ti x = 1 VD11 Cho hm s y = mx - ( m - 1) x + 3( m - 2) x + Tỡm m hm s t cc i, cc tiu ti 3 x1 , x2 tha x1 + x2 = ùỡ a y Âạ ùớ ùù D  > ùợ y  ( ) TX: D = Ă GII o hm: y Â= mx - ( m - 1) x + 3( m - 2) Trang ùỡ a y Âạ ùỡ m ù ù Hm s cú cc tr ớ ùù D  > ùù D Â= ( m - 1) - 3m ( m - 2) >  y ùợ ợ ỡù m ỡù m ùù ùớ (*) ùù 1- < m ợ ùùợ 2 Vỡ x1 , x2 l nghim ca phng trỡnh y Â= nờn: x1 + x2 = (1) ùỡù b ( m - 1) (2) ùù x1 + x2 =- = a m ù v v ùù c 3( m - 2) ùù x1.x2 = = (3) a m ùợ T (1) v (2) ị x1 = - , x2 =- + m m ộm = ( N ) ổ ổ m ( ) ữ ỗ - 1+ ữ = m m + = Thay vo (3) ị ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữỗ ữ ỗ ờm = ( N ) ố ố mứ mứ m Vy: m = 2, m = tha yờu cu bi toỏn Trang C/-BI TP P DNG BI TP C BN Bi Tỡm cỏc khong n iu v cc tr ca cỏc hm s: 1) y = x3 - x + x - 2) y = x3 - x + x + 3) y = x3 + x + x - 4) y =- x3 + x + 5) y =- x + x2 - x + 6) y =- x3 + x - x + 7) y = x - x + 8) y = x + x - 9) y =- x + x + 10) y = x - x +1 Trang 11) y = x - x 12) y =- x - x +1 13) y = x- x +1 14) y = x +1 x- 15) y = x +1 x2 +8 x2 - x + 16) y = x- 17) y = x - x 18) y = x - x + Trang 19) y = x +1 20) y = x - x +1 x2 x2 - 22) y = x x - 21) y = - x + x - BI TP NNG CAO Loi Tớnh n iu ca hm s Bi Tỡm m hm s y =- x3 +( m + 2) x - ( 2m - 1) x + nghch bin trờn Ă 3 Bi Tỡm m hm s y = x + mx + x - 10 ng bin trờn Ă Bi Cho hm s y = x3 - 2mx + 4mx + Xỏc nh m : a) Hm s ng bin trờn xỏc nh Trang 10 b) Hm s ng bin trờn khong ( - Ơ ;0) x3 Bi Cho hm s y =+ x - mx +1 Xỏc nh m : a) Hm s nghch bin trờn trờn xỏc nh ca nú b) Hm s nghch bin vi mi x > Bi Tỡm m hm s y = 1- m x - 2(2 - m) x + 2(2 - m) x + nghch bin trờn Ă Bi Tỡm m hm s y = x3 + (m +1) x - (m +1) x +1 ng bin trờn ( 1;+Ơ ) Trang 11 Bi Tỡm m hm s y = x3 - 3(2m +1) x + (12m + 5) x + ng bin trờn ( 2;+Ơ ) Bi Tỡm m hm s y = mx - luụn ng bin trờn tng khong xỏc nh x +2 Bi Tỡm m hm s y = x +m ng bin trờn (1; +) x- m Bi 10 Tỡm m hm s y = x3 + x + mx + m nghch bin trờn khong cú di bng Trang 12 Loi C tr ca hm s Bi Tỡm m cỏc hm s sau cú cc i v cc tiu: 1) y = x3 + x + mx - 10 2) y = x3 - 3mx - 3(m - 2) x +1 3) y = x3 - (2m +1) x + (m - 3m + 2) x + 4) y = ( m + 2) x + x + mx + m 3 2 Bi Tỡm hm s y = x + (m - m + 2) x + (3m +1) x + m t cc tiu ti x =- Bi Tỡm m hm s y = mx3 + (m - 2) x - x +1 t cc i ti x = Bi Cho hm s y = x - mx + n Tỡm m, n hm s t cc tr bng ti x = x3 + (m +1) x + (6 - 2m) x + m Tỡm m th hm s cú hai im cc tr nm v hai phớa i vi trc Oy Bi Cho hm s y = Trang 13 Bi Cho hm s y = x3 - 3(m +1) x + 3m(m + 2) +1 Tỡm m hm s t cc tr ti hai im cú honh dng Bi Cho hm s y = x3 - x - 3m(m + 2) x - Tỡm m hm s cú hai cc tr cựng du m x - (m - 1) x + 3(m - 2) x + Tỡm m hm s cú cc i v cc tiu ng 3 thi honh cỏc im cc i v cc tiu ca th l x1 , x2 : x1 + x2 = Bi Cho hm s y = Bi Cho hm s y = x3 + 2(m - 1) x + ( m - 4m +1) x - 2(m +1) Tỡm m hm s cú cc tr ti x1; x2 : 1 + = ( x1 + x2 ) x1 x2 Trang 14 Bi 10 Cho hm s y = x3 + mx - 12 x - 13 Tỡm m th hm s cú im cc i v im cc tiu v cỏc im ny cỏch u trc tung Bi 11 Cho hm s y = x3 + 3mx + 3(m - 1) x + m - 3m Tỡm m hm s cú cc i v cc tiu vi honh x1; x2 tha món: x12 + x22 = 10 Bi 12 Tỡm m th hm s y = x3 - 3(2m +1) x + 6m( m +1) x +1 cú hai im cc tr i xng qua ng thng D : y = x + Trang 15 Trang 16 ... Trang 11) y = x - x 12) y =- x - x +1