đề thi thử đại học môn toán

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012, số 10 x +3 Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y = x−2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số đến đường tiệm cận số Câu II (2.0 điểm) Giải phương trình: 2cos2x + 3sinxcosx + 1= 3(sinx + 3cosx)  x4 − x3y + x2y2 = Giải bất phương trình   x3y − x2 + xy = Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân π ∫ (tan x + e sin x cos x)dx Câu IV (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Câu V (1.0 điểm) cho a, b số dương thỏa mãn ab + a + b = 3a 3b ab + + ≤ a2 + b2 + Chứng minh: b+ a+ a+ b Câu VI (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) : x2 y2 = Viết phương trình tiếp tuyến d (E) biết d + 64 cắt hai hai trục tọa độ Ox, Oy A, B cho AO = 2BO Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường  x = −1 − 2t x y z  = = thẳng d1 : d :  y = t ( t tham số ) 1 z = 1+ t  a) Xét vò trí tương đối d1 d2 b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d1 N thuộc d2 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : x − y + z = độ dài đọan MN = Câu VII (1.0 điểm) Giải phương trình tập số phức x + = - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - ĐÁP ÁNĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012, số 10 Câu I Câu II Giải phương trình: 2cos2x + 3sinxcosx + 1= 3(sinx + 3cosx) (1) (1) ⇔ + cos2x + 3sin2x = 3(sinx + 3cosx) 1  1  3 sin2x ÷ = 6 sinx + cosx ÷ ⇔ + 2 cos2x + ÷ 2 ÷ 2 2    π π   ⇔ + 2cos 2x − ÷ = 6cos x − ÷ 3 6   π π   ⇔ 1+ cos 2x − ÷ = 3cos x − ÷ 3 6   π π  2 ⇔ 2cos  x − ÷ = 3cos x − ÷ 6 6   π π   ⇔ cos x − ÷ = 0vcos x − ÷ = (loại) 6 6   π π 2π + kπ , k ∈ Z ⇔ x − = + kπ ⇔ x =  x4 − x3y + x2y2 = Giải hệ:  (I)  x3y − x2 + xy = (−x2 + xy)2 + x3y = (I) ⇔  (−x2 + xy) + x3y = Đặt u = − x2 + xy, v = x3y  u2 + v = v = − u +  u =  u = ⇔ ⇔ ∨ (I) thành   u + v =  u − u = v = v = Do hệ cho tương đương:  −x2 + xy = − x2 + xy = y = x y = ∨ ⇔  ∨   x y = x3y = x = x = −1(vn) x = x = −1 ⇔ ∨ y = y = −1 Câu III Tính I = sinx ∫0 ( tgx + e cosx) dx π/4 Ta có: I=∫ π/4 π / sinx π / sinx π / sinx e cosxdx = dx + e cosxdx 0 cosx tgxdx + ∫ ∫ sinx π / π/4 =  − ln( cosx)  + e o = ln + e ∫ −1 Câu IV Câu V Từ giả thiết a, b > ab + a + b = Suy ra: ab = − (a + b) , (a+1)(b+1) = ab +a +b + = bđt cho tương đương với 3a(a + 1) + 3b(b + 1) a + b2 + ≥ + −1 (a + 1)(b + 1) a+b ( ) 3 3 ≥ a + b2 + ( a + b) + −1 4 a+ b 12 ⇔ a2 + b2 + ≥ a2 + b2 + 3( a + b) + −4 a+ b 12 ⇔ a + b2 − ( a + b ) − + 10 ≥ (A) a+b Đặt x = a+b > ⇒ x = (a + b) ≥ 4ab = 4(3 − x) ⇔ a2 + b2 + ( ) ( ) ⇒ x + 4x − 12 ≥ ⇒ x ≤ −6 hay x ≥ ⇒ x ≥ ( x > 0) 2 2 x = a + b + 2ab ⇒ a + b = x − 2(3 − x) = x + 2x − Thế x , (A) thành 12 x − x − + ≥ , với x≥ x ⇔ x − x + 4x − 12 ≥ , với x≥ ⇔ ( x − ) ( x + x + ) ≥ , với x≥ (hiển nhiên đúng) Vậy bđt cho chứng minh Câu VI 1/ Do tính đối xứng elíp (E) Ta cần xét trường hợp x ≥ 0,y ≥ Gọi A ( 2m,0) ;B ( 0,m) giao điểm tiếp tuyến (E) với trục tọa độ ( m > 0) Pt AB: x y + = 1⇔ x + 2y − 2m = 2m m AB tiếp xúc với (E) ⇔ 64 + 4.9 = 4m2 ⇔ 4m2 = 100 ⇔ m2 = 25 ⇔ m = 5( m > 0) Vậy pt tiếp tuyến x + 2y − 10 = Vì tính đối xứng nên ta có tiếp tuyến x + 2y − 10 = 0,x + 2y + 10 = x − 2y − 10 = 0,x − 2y + 10 = r 2/ a/ d1 qua O ( 0,0,0) , VTCP a = ( 1,1,2) r d2 qua B ( −1,0,1) , VTCP b = ( −2,1,1) r r uuur a,b = ( −1,−5,3) , OB = ( −1,0,1)   r r uuur a,b OB = 1+ = ≠ ⇔ d1,d2 chéo   b/ M ∈ d1 ⇒ M ( t',t',2t') ; N ∈ d2 ⇒ N ( −1− 2t,t,1+ t) uuuu r MN = ( −2t − t'− 1,t − t',t − 2t'+ 1) uuuu r uur Vì MN // (P) ⇔ MN ⊥ np = ( 1, −1,1) uuuu rr ⇔ MN.np = ⇔ −2t − t'− 1− t + t'+ t − 2t'+ 1= ⇔ t = −t' MN = ( t'− 1) + 4t'2+ ( 1− 3t') = ⇔ 14t'2 − 8t'+ = ⇔ 2t'( 7t'− 4) = ⇔ t' = hayt' = * t’=0 ta có M ( 0,0,0) ≡ O ∈ ( P ) ( loại ) * t' =  4 8  3 ta có M  , , ÷;N  , − , ÷  7 7  7 7 Câu VII x + = ⇔ (x + 1)(x − x + 1) = ...ĐÁP ÁNĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012, số 10 Câu I Câu II Giải phương trình: 2cos2x + 3sinxcosx +... cosxdx 0 cosx tgxdx + ∫ ∫ sinx π / π/4 =  − ln( cosx)  + e o = ln + e ∫ −1 Câu IV Câu V Từ giả thi t a, b > ab + a + b = Suy ra: ab = − (a + b) , (a+1)(b+1) = ab +a +b + = bđt cho tương đương