Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên năm 2015 2016 THPT chuyên hùng vương (sở GDĐT phú thọ)

Điểm ể thời gian giao đề A di đ ng trên cung l nộng trên cung lớn ớp chuyên Toán BC sao cho tam giác ABC nh n.. a Ch ng minh ứng minh rằng nếu số nguyên KA là phân giác trong góc BK

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ỤC VÀ ĐÀO TẠO ẠO

PHÚ THỌ TRUNG H C PH THÔNG CHUYÊN HÙNG V KỲ THI TUY N SINH VÀO L P 10 Ọ Ổ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG ỂN SINH VÀO LỚP 10 ỚP 10 ƯƠNG NG

MÔN: TOÁN

(Dành cho thí sinh thi vào l p chuyên Toán)ớp chuyên Toán)

Th i gian làm bài:ời gian làm bài: 150 phút, không k th i gian giao để thời gian giao đề ời gian làm bài: ề

Đ thi có 01 trang ề thi có 01 trang

a) Ch ng minh r ng n u s nguyên ứng minh rằng nếu số nguyên ằng nếu số nguyên ếu số nguyên ố nguyên n l n h n 1 tho mãn ớp chuyên Toán) ơn 1 thoả mãn ả mãn n  và 2 4 n 2 16 là các số nguyên nguyên t thì ố nguyên n chia h t cho 5.ếu số nguyên

b) Tìm nghi m nguyên c a phệm nguyên của phương trình: ủa phương trình: ươn 1 thoả mãn ng trình: x2  2 (y x y ) 2( x1).

Câu 2 (2,0 đi m) ểm)

a) Rút g n bi u th c: ọn biểu thức: ể thời gian giao đề ứng minh rằng nếu số nguyên



b) Tìm m đ phể thời gian giao đề ươn 1 thoả mãn ng trình:x 2 x 3 x4 x5  có 4 nghi m phân bi t.m ệm nguyên của phương trình: ệm nguyên của phương trình:

Câu 3 (2,0 đi m) ểm)

a) Gi i phả mãn ươn 1 thoả mãn ng trình: x2  x 4 2 x 1 1  x

b) Gi i h phả mãn ệm nguyên của phương trình: ươn 1 thoả mãn ng trình:







Cho đười gian làm bài:ng tròn (O; R) và dây cung BC R 3 c đ nh Đi m ố nguyên ịnh Điểm ể thời gian giao đề A di đ ng trên cung l nộng trên cung lớn ớp chuyên Toán)

BC sao cho tam giác ABC nh n G i ọn biểu thức: ọn biểu thức: E là đi m đ i x ng v i ể thời gian giao đề ố nguyên ứng minh rằng nếu số nguyên ớp chuyên Toán) B qua AC và F là đi m đ i x ngể thời gian giao đề ố nguyên ứng minh rằng nếu số nguyên

v i ớp chuyên Toán) C qua AB Các đười gian làm bài:ng tròn ngo i ti p các tam giác ại tiếp các tam giác ếu số nguyên ABE và ACF c t nhau t i ắt nhau tại ại tiếp các tam giác K (K không trùng A) G i ọn biểu thức: H là giao đi m c a ể thời gian giao đề ủa phương trình: BE và CF.

a) Ch ng minh ứng minh rằng nếu số nguyên KA là phân giác trong góc BKC và t giác ứng minh rằng nếu số nguyên BHCK n i ti p.ộng trên cung lớn ếu số nguyên

b) Xác đ nh v trí đi m ịnh Điểm ịnh Điểm ể thời gian giao đề A đ di n tích t giác ể thời gian giao đề ệm nguyên của phương trình: ứng minh rằng nếu số nguyên BHCK l n nh t, tính di n tích l n nh tớp chuyên Toán) ất, tính diện tích lớn nhất ệm nguyên của phương trình: ớp chuyên Toán) ất, tính diện tích lớn nhất

c a t giác đó theo ủa phương trình: ứng minh rằng nếu số nguyên R.

c) Ch ng minh ứng minh rằng nếu số nguyên AK luôn đi qua m t đi m c đ nh.ộng trên cung lớn ể thời gian giao đề ố nguyên ịnh Điểm

Cho 3 s th c dố nguyên ực dương ươn 1 thoả mãn ng x, y, z th a mãn: ỏa mãn: 2 2 2

1

x  y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi uịnh Điểm ỏa mãn: ất, tính diện tích lớn nhất ủa phương trình: ể thời gian giao đề

th c:ứng minh rằng nếu số nguyên

P

- H T -

ẾT -H và tên thí sinh: S báo danh: ố báo danh:

Thí sinh không đ ược sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm c s d ng tài li u Cán b coi thi không gi i thích gì thêm ệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ộ coi thi không giải thích gì thêm ải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC

S GIÁO D C VÀ Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI TUY N SINH VÀO L P 10 ỂN SINH VÀO LỚP 10 ỚP 10 TRUNG H C PH THÔNG CHUYÊN HÙNG V Ọ Ổ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG ƯƠNG NG

H ƯỚP 10 NG D N CH M MÔN: TOÁN ẪN CHẤM MÔN: TOÁN ẤM MÔN: TOÁN

(Dành cho thí sinh thi vào l p chuyên Toán)ớp chuyên Toán)

(H ướng dẫn chấm gồm ng d n ch m g m ẫn chấm gồm ấm gồm ồm 05 trang)

I M t s chú ý khi ch m bài ột số chú ý khi chấm bài ố chú ý khi chấm bài ấm bài

 Hướp chuyên Toán)ng d n ch m thi dất, tính diện tích lớn nhất ướp chuyên Toán)i đây d a vào l i gi i s lực dương ời gian làm bài: ả mãn ơn 1 thoả mãn ược của một cách, khi chấm thi, cán bộ ủa phương trình: c c a m t cách, khi ch m thi, cán bộng trên cung lớn ất, tính diện tích lớn nhất ộng trên cung lớn

ch m thi c n bám sát yêu c u trình bày l i gi i đ y đ , chi ti t, h p lô-gic và có th chiaất, tính diện tích lớn nhất ời gian làm bài: ả mãn ủa phương trình: ếu số nguyên ợc của một cách, khi chấm thi, cán bộ ể thời gian giao đề

nh đ n 0,25 đi m.ỏa mãn: ếu số nguyên ể thời gian giao đề

 Thí sinh làm bài theo cách khác v i Hớp chuyên Toán) ướp chuyên Toán)ng d n mà đúng thì t ch m c n th ng nh t choổ chấm cần thống nhất cho ất, tính diện tích lớn nhất ố nguyên ất, tính diện tích lớn nhất

đi m tể thời gian giao đề ươn 1 thoả mãn ng ng v i thang đi m c a Hứng minh rằng nếu số nguyên ớp chuyên Toán) ể thời gian giao đề ủa phương trình: ướp chuyên Toán)ng d n ch m.ất, tính diện tích lớn nhất

 Đi m bài thiể thời gian giao đề là t ng đi m các câu không làm tròn s ổ chấm cần thống nhất cho ể thời gian giao đề ố nguyên

a) Ch ng minh r ng n u s nguyên ứng minh rằng nếu số nguyên ằng nếu số nguyên ếu số nguyên ố nguyên n l n h n 1 tho mãn ớp chuyên Toán) ơn 1 thoả mãn ả mãn n  và 2 4 n 2 16 là các s ố nguyên nguyên t thì ố nguyên n chia h t cho 5.ếu số nguyên

b) Tìm nghi m nguyên c a phệm nguyên của phương trình: ủa phương trình: ươn 1 thoả mãn ng trình: x2  2 (y x y ) 2( x1).

m

Ta có v i m i s nguyên ớp chuyên Toán) ọn biểu thức: ố nguyên m thì m chia cho 5 d 0 , 1 ho c 4.2 ư ặc 4

+ N u ếu số nguyên n chia cho 5 d 1 thì 2 ư n2 5k 1 n2 4 5k5 5; k*.

nên n  không là s nguyên t 2 4 ố nguyên ố nguyên

0,25

+ N u ếu số nguyên n chia cho 5 d 4 thì 2 ư n2 5k 4 n216 5 k20 5; k*.

nên n 2 16 không là s nguyên t ố nguyên ố nguyên

V y ậy n  hay n chia h t cho 5.2 5 ếu số nguyên

0,25

Đ phể thời gian giao đề ươn 1 thoả mãn ng trình (1) có nghi m nguyên ệm nguyên của phương trình: x thì ' theo y ph i là s chính phả mãn ố nguyên ươn 1 thoả mãn ng

0,25

Ta có  ' y22y 1 2y2 2 y2 2y  3 4  y 12 4

'

 chính phươn 1 thoả mãn ng nên  ' 0;1;4

0,25

+ N u ếu số nguyên   ' 4  y 12  0 y thay vào ph ng trình (1) ta có :1 ươn 1 thoả mãn

 

4

x

x







 + N u ếu số nguyên   ' 1  y 12  3 y 

0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC

+ N u ếu số nguyên  

1

y y

y







 + V i ớp chuyên Toán) y  thay vào ph ng trình (1) ta có: 3 ươn 1 thoả mãn x2  8x16 0  x 42  0 x 4

+ V i ớp chuyên Toán) y  thay vào ph ng trình (1) ta có: 1 ươn 1 thoả mãn x2  0 x0.

V y phậy ươn 1 thoả mãn ng trình (1) có 4 nghi m nguyên : ệm nguyên của phương trình: x y ;   0;1 ; 4;1 ; 4;3 ; 0; 1         

0,25

a) Rút g n bi u th c: ọn biểu thức: ể thời gian giao đề ứng minh rằng nếu số nguyên



b) Tìm m đ phể thời gian giao đề ươn 1 thoả mãn ng trình: x 2 x 3 x4 x5  có 4 nghi m phân bi t.m ệm nguyên của phương trình: ệm nguyên của phương trình:

m

0,25

2

2

 

0,25

2

15 3 5 5 5 5 15 3 5 5 5 5 2

25 5



0,25

20

20

Phươn 1 thoả mãn ng trình x 2 x 3 x4 x5 m (x22x 8)(x22x 15)m 1 0,25

Đ t ặc 4 x2 2x 1 x12 y y 0 , phươn 1 thoả mãn ng trình (1) tr thành:ở thành:

 y 9  y 16 m y2 25y144 m0 (2)

Nh n xét: V i m i giá tr ậy ớp chuyên Toán) ỗi giá trị ịnh Điểm y  thì ph ng trình: 0 ươn 1 thoả mãn x12 y có 2 nghi m phân bi t, ệm nguyên của phương trình: ệm nguyên của phương trình:

do đó phươn 1 thoả mãn ng trình (1) có 4 nghi m phân bi tệm nguyên của phương trình: ệm nguyên của phương trình:  phươn 1 thoả mãn ng trình (2) có 2 nghi m ệm nguyên của phương trình:

dươn 1 thoả mãn ng phân bi t ệm nguyên của phương trình:

0,25

⇔

49

4

m



0,25

V y v i ậy ớp chuyên Toán)

49

144

thì phươn 1 thoả mãn ng trình (1) có 4 nghi m phân bi t.ệm nguyên của phương trình: ệm nguyên của phương trình: 0,25

Câu 3 (2,0 đi m) ểm

a) Gi i phả mãn ươn 1 thoả mãn ng trình: x2  x  4 2  x  1 1   x 

b) Gi i h phả mãn ệm nguyên của phương trình: ươn 1 thoả mãn ng trình:







Đi u ki n: ề ệm nguyên của phương trình: x  (*).1

Ta có: x2 x 4 2 x1 1  x  x22x x1  x 1 2(x x1) 3 0 

0,25

Đ t ặc 4 x x1y (Đi u ki n:ề ệm nguyên của phương trình: y 1 ** ), phươn 1 thoả mãn ng trình tr thành ở thành: y2 2y 3 0. 0,25

   

3

y

y







+V i ớp chuyên Toán) y  không th a mãn đi u ki n (**).1 ỏa mãn: ề ệm nguyên của phương trình:

+ V i ớp chuyên Toán) y  ta có ph ng trình:3 ươn 1 thoả mãn

3

5

x

x









th a mãn đi u ki n (*) V y phỏa mãn: ề ệm nguyên của phương trình: ậy ươn 1 thoả mãn ng trình có nghi m ệm nguyên của phương trình: x  2.

0,25





0,25

T phừ phương trình (1) ta có ươn 1 thoả mãn ng trình (1) ta có

0,25

2





 



0,25

+ Trười gian làm bài:ng h p 1: ợc của một cách, khi chấm thi, cán bộ

x xy y   x     x y

V i ớp chuyên Toán) x  không th a mãn ph ng trình (2).y 0 ỏa mãn: ươn 1 thoả mãn

+ Trười gian làm bài:ng h p 2: ợc của một cách, khi chấm thi, cán bộ x2y thay vào phươn 1 thoả mãn ng trình (2) ta có:





V y h phậy ệm nguyên của phương trình: ươn 1 thoả mãn ng trình có 2 nghi m ệm nguyên của phương trình: x y ;   2;1 ; 2; 1     

0,25

Cho đười gian làm bài:ng tròn (O; R) và dây cung BC R 3 c đ nh Đi m ố nguyên ịnh Điểm ể thời gian giao đề A di đ ng trên cung l nộng trên cung lớn ớp chuyên Toán)

BC sao cho tam giác ABC nh n G i ọn biểu thức: ọn biểu thức: E là đi m đ i x ng v i ể thời gian giao đề ố nguyên ứng minh rằng nếu số nguyên ớp chuyên Toán) B qua AC và F là đi m đ i x ngể thời gian giao đề ố nguyên ứng minh rằng nếu số nguyên

v i ớp chuyên Toán) C qua AB Các đười gian làm bài:ng tròn ngo i ti p các tam giác ại tiếp các tam giác ếu số nguyên ABE và ACF c t nhau t i ắt nhau tại ại tiếp các tam giác K (K không trùng A) G i ọn biểu thức: H là giao đi m c a ể thời gian giao đề ủa phương trình: BE và CF.

a) Ch ng minh ứng minh rằng nếu số nguyên KA là phân giác trong góc BKC và t giác ứng minh rằng nếu số nguyên BHCK n i ti p.ộng trên cung lớn ếu số nguyên

b) Xác đ nh v trí đi m ịnh Điểm ịnh Điểm ể thời gian giao đề A đ di n tích t giác ể thời gian giao đề ệm nguyên của phương trình: ứng minh rằng nếu số nguyên BHCK l n nh t, tính di n tích l n nh tớp chuyên Toán) ất, tính diện tích lớn nhất ệm nguyên của phương trình: ớp chuyên Toán) ất, tính diện tích lớn nhất

c a t giác đó theo ủa phương trình: ứng minh rằng nếu số nguyên R.

c) Ch ng minh ứng minh rằng nếu số nguyên AK luôn đi qua đi m c đ nh.ể thời gian giao đề ố nguyên ịnh Điểm

P Q

N M

I

K

F

E

C B

A

Ta có AKB AEB (vì cùng ch n cung ắt nhau tại AB c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ủa phương trình: ười gian làm bài: ại tiếp các tam giác ếu số nguyên AEB)

Mà ABEAEB(tính ch t đ i x ng) suy ra ất, tính diện tích lớn nhất ố nguyên ứng minh rằng nếu số nguyên AKB ABE (1)

AKC AFC (vì cùng ch n cung ắt nhau tại AC c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ủa phương trình: ười gian làm bài: ại tiếp các tam giác ếu số nguyên AFC)

ACF AFC(tính ch t đ i x ng) suy ra ất, tính diện tích lớn nhất ố nguyên ứng minh rằng nếu số nguyên AKC ACF (2)

0,5

M t khác ặc 4 ABEACF(cùng ph v i ụ với ớp chuyên Toán) BAC ) (3) T (1), (2) , (3) suy ra ừ phương trình (1) ta có AKB AKC

G i ọn biểu thức: P, Q l n lược của một cách, khi chấm thi, cán bột là các giao đi m c a ể thời gian giao đề ủa phương trình: BE v i ớp chuyên Toán) AC và CF v i ớp chuyên Toán) AB.

Ta có BC R 3 nên

2

Trong tam giác vuông ABP

có APB90 ;0 BAC600  ABP300 hay ABEACF 300

0,25

AQH APH 1800 PAQ PHQ 1800  PHQ 1200  BHC 1200 (đ i đ nh).ố nguyên ỉnh).

Ta có AKC ABE 300, AKB ACF ABE300 (theo ch ng minh ph n a).ứng minh rằng nếu số nguyên

Mà BKCAKC AKB AFC AEB   ACF ABE  600 suy ra BHC BKC 1800

nên t giác ứng minh rằng nếu số nguyên BHCK n i ti p.ộng trên cung lớn ếu số nguyên

0,25

G i (ọn biểu thức: O’) là đười gian làm bài:ng tròn đi qua b n đi m ố nguyên ể thời gian giao đề B, H,C, K Ta có dây cung BCR 3,

BKC BAC nên bán kính đười gian làm bài:ng tròn (O’) b ng bán kínhằng nếu số nguyên R c a đủa phương trình: ười gian làm bài:ng tròn

(O).

0,5

G i ọn biểu thức: M là giao đi m c a ể thời gian giao đề ủa phương trình: AH và BC thì MH vuông góc v i ớp chuyên Toán) BC, kẻ KN vuông góc v i ớp chuyên Toán) BC

(N thu c ộng trên cung lớn BC), g i ọn biểu thức: I là giao đi m c a ể thời gian giao đề ủa phương trình: HK và BC

BHCK

(do HM HI; KN KI ).

0,25

Ta có KH là dây cung c a đủa phương trình: ười gian làm bài:ng tròn (O’; R) suy ra KH 2R (không đ i)ổ chấm cần thống nhất cho

nên S BHCK l n nh t khi ớp chuyên Toán) ất, tính diện tích lớn nhất KH 2R và HM KN HK 2 R 0,25

Giá tr l n nh t ịnh Điểm ớp chuyên Toán) ất, tính diện tích lớn nhất

2 1

2

BHCK

Khi HK là đười gian làm bài:ng kính c a đủa phương trình: ười gian làm bài:ng tròn (O’) thì M, I, N trùng nhau suy ra I là trung

đi m c a ể thời gian giao đề ủa phương trình: BC nên ABC cân t i ại tiếp các tam giác A Khi đó A là đi m chính gi a cung l n ể thời gian giao đề ữa cung lớn ớp chuyên Toán) BC  . 0,25

Ta có BOC120 ;0 BKC 600suy ra BOC BKC  1800

nên t giác ứng minh rằng nếu số nguyên BOCK n i ti p động trên cung lớn ếu số nguyên ười gian làm bài:ng tròn

0,25

Ta có OB=OC=R suy ra OB OC   BKO CKO hay KO là phân giác góc BKC

theo ph n (a) KA là phân giác góc BKC nên K ,O, A th ng hàng hay ẳng hàng hay AK đi qua O c ố nguyên

đ nhịnh Điểm

0,25

Cho 3 s th c dố nguyên ực dương ươn 1 thoả mãn ng x, y, z th a mãn: ỏa mãn: 2 2 2

1

x  y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ịnh Điểm ỏa mãn: ất, tính diện tích lớn nhất ủa phương trình: ể thời gian giao đề ứng minh rằng nếu số nguyên

P

P

y



0,25

Đ t ặc 4.

x  y  z  thì , ,a b c  và 0 a2 b2 c2 1

P

0,25

Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 3 s dụ với ất, tính diện tích lớn nhất ẳng hàng hay ứng minh rằng nếu số nguyên ố nguyên ươn 1 thoả mãn ng ta có

 

3

2

2

2

3 3

a



Tươn 1 thoả mãn ng t : ực dương

T (1); (2); (3) ta có ừ phương trình (1) ta có 3 3 2 2 2 3 3

Đ ng th c x y raẳng hàng hay ứng minh rằng nếu số nguyên ả mãn 1

3

a b c

hay x  y z 3. V y giá tr nh nh t c a ậy ịnh Điểm ỏa mãn: ất, tính diện tích lớn nhất ủa phương trình: P là

3 3

2

0,25

- H T -