Bên ngoài tam giác ọ ABC d ng các hình vuông ự ABDE , ACFG và hình bình hành AEKG.
Trang 1S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Ở Ụ Ạ
PHÚ THỌ TRUNG H C PH THÔNG CHUYÊN HÙNG V KỲ THI TUY N SINH VÀO L P 10 Ọ Ổ Ể Ớ ƯƠ NG
NĂM H C 2016-2017 Ọ Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào l p Chuyên Toán)ớ
Th i gian làm bài: 150 phút, không k th i gian giao đ ờ ể ờ ề
Câu 1 (2,0 đi m) ể
a) Cho các s ố a, b th a mãn ỏ
2a +11ab−3b =0,b≠2 ,a b≠ −2a
Tính giá tr bi u th cị ể ứ
T
b) Cho các s nguyên dố ương x, y, z và bi u th c ể ứ
P
=
Ch ng minh r ng ứ ằ P là s nguyên chia h t cho 6.ố ế
Câu 2 (2,0 đi m) ể
a) Tìm các s nguyên ố
,
x y
th a mãn ỏ
2x +2x y x+ +2xy x= +10
b) Cho 19 đi m phân bi t n m trong m t tam giác đ u có c nh b ng ể ệ ằ ộ ề ạ ằ 3, trong đó không
có 3 đi m nào th ng hàng Ch ng minh r ng luôn tìm để ẳ ứ ằ ược m t tam giác có ộ 3 đ nh là ỉ 3 trong 19 đi m đã cho mà có di n tích không l n h n ể ệ ớ ơ
3 4
Câu 3 (2,0 đi m) ể
a) Gi i phả ương trình 2x+ −1 x− =3 2
b) Gi i h phả ệ ương trình
2
Câu 4 (3,0 đi m) ể
Cho đường tròn ( ; )O R và dây cung BCc đ nh G i ố ị ọ A là đi m di đ ng trên cung l nể ộ ớ
BC
sao cho tam giác ABC nh n Bên ngoài tam giác ọ ABC d ng các hình vuông ự ABDE
,
ACFG
và hình bình hành AEKG
a) Ch ng minh r ng AK = BC và ứ ằ AK ⊥BC
b) DC c t ắ BF t i ạ M Ch ng minh r ng ứ ằ
, ,
A K M
th ng hàng.ẳ c) Ch ng minh r ng khi ứ ằ A thay đ i trên cung l n ổ ớ BC c a ủ ( ; )O R thì Kluôn thu c m tộ ộ
đường tròn c đ nh.ố ị
Đ CHÍNH TH C Ề Ứ
Trang 2Câu 5 (1,0 đi m) ể
Cho các s dố ương
,
x y
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th cị ỏ ấ ủ ể ứ
(2 ) 1 1 ( 2 ) 1 1
P
x y
+
………… H T………… Ế
Trang 3H ƯỚ NG D N GI I Ẫ Ả Câu 1
a) Cho các s ố a, b th a mãn ỏ
2a +11ab−3b =0,b≠2 ,a b≠ −2a
Tính giá tr bi u th cị ể ứ
T
Ta có
2 2 3 ( 2 )(2 ) (2 3 )(2 ) 6 11
T
T gi thi t suy ra ừ ả ế
11ab= −2a +3b
, thay vào T ta được:
2
T
b) Ta có:
a + + −b c abc= + +a b c a + + −b c ab bc ca− −
Suy ra n u ế a b c+ + =0
thì
3 3 3 3
a + + =b c abc
Vì
(x −y ) (+ y −z ) (+ z −x ) 0=
nên
x y y z z x x y y z z x
Suy ra
TT
MT
Trong ba s nguyên dố ương
, ,
x y z
luôn có hai s ố cùng tính ch n l , gi s đó là ẵ ẻ ả ử x y, ⇒ −(x y) 2M
Vì P=3(x y y z z x− )( − )( − )
nên PM6
Câu 2 a) Tìm các s nguyên ố
,
x y
th a mãn ỏ
2x +2x y x+ +2xy x= +10 (1)
Ta có
2
(1) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 10
( ) 2( ) 1 10
Nh n xét:ậ
+) 10 1.10 2.5 ( 1)( 10) ( 2)( 5)= = = − − = − −
;
Trang 4+)
x + =x x x+
là s ch n; ố ẵ 2(x y+ ) 1−
là s l ;ố ẻ
+)
2
x + =x x+ − > − ⇒x + ≥x
T các nh n xét trên ta th y ch có các trừ ậ ấ ỉ ường h p (TH) sau:ợ
2( ) 1 1
x y
+ =
ho c ặ
2( ) 1 5
x y
+ =
TH1
2( ) 1 1
x y
+ =
Phương trình
x + =x
không có nghi m nguyênệ
H2
2
1 1
2 2
2
3
5
x x
y
x
x y
y
=
= −
V y có hai b s ậ ộ ố ( ; )x y th a mãn là: ỏ (1;2),( 2;5)−
b) Gi s 19 đi m n m trong tam giác đ u ả ử ể ằ ề ABC c nh b ng 3 Chia tam giác ạ ằ ABC thành 9
tam giác đ u, có c nh b ng 1 (g i là tam giác nh ) nh hình vẽ.ề ạ ằ ọ ỏ ư
F
E D
C B
A
M i tam giác nh có di n tích là ỗ ỏ ệ
3 4
S =
Vì có 19 đi m n m trong 9 tam giác nh nên có ít nh t 3 đi m cùng thu c m t hình tam ể ằ ỏ ấ ể ộ ộ giác nh Gi s 3 đi m đó là ỏ ả ử ể 1 2 3
, ,
I I I
.
Khi đó tam giác 1 2 3
I I I
∆
n m trong m t tam giác nh nên ằ ộ ỏ
1 2 3
3 4
I I I
Câu 3 a) Gi i phả ương trình sau:
2x+ −1 x− =3 2 (1)
Đi u ki n: ề ệ x≥3.
Trang 5Ta có
12
x
x
=
C hai nghi m trên đ u th a mãn đi u ki n ả ệ ề ỏ ề ệ
V y PT đã cho có hai nghi m ậ ệ x=4;x=12.
b) Gi i h phả ệ ương trình:
2
( )
I
Ta có
2 2
( )
I
t
ặ
u x= +x v= x y+
H đã cho tr thành: ệ ở
2 3 6
2
u v uv
v
= −
=
= −
V i ớ
2
H PT này vô nghi m.ệ ệ
V i ớ
Gi i h này đả ệ ược 2 nghi m:ệ
;
V y h đã cho có 2 nghi m ậ ệ ệ
Câu 4
Trang 6C' B'
M H
K
F
G
E
O
A
a) Ta có
L i có:ạ
EK = AG= AC EA= AB⇒ ∆AEK = ∆BAC⇒ AK =BC
Ta có
G i ọ H là giao đi m c a ể ủ KA và BC, ta có:
BAH +ABC BAH EAK= + = ⇒ AH ⊥BC
V y ậ AK ⊥BC
b) Vì
· · 90 ;0 · · 900
KAC KAG= + BCF = ACB+
mà
KAG = ACB⇒KAC BCF=
Vì
KA BC AC CF KAC= = =BCF⇒ ∆KAC = ∆BCF ⇒CKH =FBC
Ta l i cóạ
Tương t ta có ự
(2)
KB CD⊥
T (1)ừ
(2) suy ra M là tr c tâm ự ∆KBC
, suy ra M∈KH
V y ậ A, K, M th ng hàng.ẳ c) D ng hình vuông ự BCC B' ' trên n a m t ph ng b ử ặ ẳ ờ BC ch a cung l n ứ ớ BC, suy ra B C' ' cố
đ nh Ta có ị AKB’B là hình bình hành (vì BB KA', cùng vuông góc BC suy ra BB'PKA;
'
BB =KA BC=
) Do đó
B K BAP ⇒ B KA BAH=
Tương t ta có ự AKC C' là hình bình hành suy ra
KC PAC⇒ AKC =HAC
Suy ra
B KC =B KA AKC+ =BAH HAC BAC+ =
Vì
khi A thay đ i trên cung l n ổ ớ BC c a đủ ường tròn ( ; )O R thì K luôn nhìn đo n ạ B C' ' c đ nh ố ị
dưới m t góc không đ i ộ ổ α = ·BAC
Do đó K thu c quỹ tích cung ch a góc ộ ứ α
d ng trên đo nự ạ ' '
B C
c đ nh.ố ị
Trang 7Câu 5: Đ t 2x+y=a; 2y+x=b a,b >0 thì ặ
b a
ab b
a
P
+
− +
− +
+
− +
4 1 1
2 1
1
2
3 3
1 1 2
2 2
1 1
) 1 )(
1 ( 1
2 3
2 2
2
a a
a a a
a a a
1 1 2
2 2
1 1
) 1 )(
1 ( 1
2 3
2 2
2
b b
b b b
b b b
M t khác ặ a b a b a b a b
2 2 8
1 1
+
−
⇒ +
≤ +
V y ậ
1 2 4
2
2 3 2 4
2 2
2 2 2 4
4 4 2 2 2 4 1
4 1
4 2 2 4
4
4
3
2 2
2
2
=
−
≥
− + +
=
≥
=
−
−
− + +
≥
−
−
− +
+ +
+
=
−
− + +
≥
ab b a
ab b a
Q
P
Q b
a
ab b a b
a
ab b
a b a
ab b
a
P
3
2 2
4
2 2
1 4 4
1 1
1 1
1
)
2 2
=
=
⇒
=
=
⇒
=
=
=
=
=
+
−
= +
+
−
= +
⇔
b a
ab b a
a b
b b b
a a a
P
Min