ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2016-2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH MÔN THI: TOÁN (không chuyên) (Thời gian 120 phút không kể thời gian phát đề) Ngày thi 04/6/2016 Bài 1: (1,0 điểm) Biết a b số dương, a b a a b b a a 4b b b 2a a a b b : ab ab 2016 a b a b a b Tính S a b Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình x x x x y x y x b) Giải hệ phương trình x2 y Bài 3: (2,0 điểm) Cho phương trình x 1 x mx 2m 14 x 1 a) Giải phương trình (1) m = –8 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho: x22 m 1 x2 2m 14 x1 Bài 4: (2,0 điểm) a) Ông An định cải tạo mảnh vườn hình chữ nhật, có chiều dài 2,5 chiều rộng Ông thấy đào hồ có mặt hồ hình chữ nhật chiếm 3% diện tích mảnh vườn, giảm chiều dài 5m tăng chiều rộng 2m mặt hồ hình vuông diện tích mặt hồ giảm 20m2 Hãy tính cạnh mảnh vườn b) Lớp 9A có 27 học sinh nam 18 học sinh nữ Nhân dịp sinh nhật bạn X (là thành viên lớp), bạn lớp có nhiều quà tặng X Ngoài bạn nam lớp làm thiệp bạn nữ xếp hạc để tặng bạn X Biết số thiệp số hạc nhau, hỏi bạn X nam hay nữ ? Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có tâm O, AB = 6a điểm M, N thuộc cạnh AB, AC mà AM = AN = 2a Gọi I, J, K trung điểm BC, AC MN a) Chứng minh điểm M, N, B, C thuộc đường tròn T Tính diện tích tứ giác BMNC theo a b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK Chứng minh đường tròn đường kính NC tiếp xúc với AI c) AE tiếp xúc với đường tròn T E (E, B phía AI) Gọi F trung điểm OE, tính số đo AFJ Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Bài 1: (1,0 điểm) a a 4b b b 2a a 2ab b a b Ta có: ab ab ab a b a ab b a a b b ab ab a ab b a b a b a a b b ab a b a b Do 2016 a b a ab b a b : a b S ab 2016 a b ab a ab b a b a b 2 a b : a b a b ab ab x 5 5 x x 5 x x Bài 2: (2,0 điểm) a) ĐK: x x x x x x x nhan Ta có: x x x x x x x x x ta có: x x x 20 x 25 x x 21x 20 x nhan x x x loai Vậy tập nghiệm phương trình cho S 0;4 b) ĐK: x 0, y y x I y x y x x y x2 y y x II x y y x x y Giải hệ (I): x y y y x x y y 1 y 1 (TMĐK) x y y x 3 y y 1 y 2 0 Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang Giải hệ (II): y x x y (vì x 0, y ) Mà x y không thỏa mãn x x 1 x y nên hệ (II) vô nghiệm Vậy hệ cho có hai nghiệm y 1 y Bài 3: (2,0 điểm) a) ĐK: x > Khi m = –8, phương trình (1) trở thành: x 1 x x x1 nhan x2 8x (Vì x nên x ) x x loai 2 b) ĐK x , ta có: (1) x mx 2m 14 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt dương m 2m 14 m 8m 56 7 m P 2 2m 14 m 7 * m 8m 56 m m0 S 2 x x m Khi đó, theo viét ta có: x1 x2 2m 14 Lại có x2 nghiệm (2) nên x22 mx2 2m 14 x22 m 1 x2 2m 14 x2 Do x22 m 1 x2 2m 14 x1 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 m 2m 14 2m 14 m 2m 14 m 2 2m 14 m m m 5 (thỏa mãn (*)) Vậy m 5 Bài 4: (2,0 điểm) a) Gọi x, y (m) chiều rộng mảnh vườn chiều rộng mặt hồ ( x 0, y ) Khi đó: Chiều dài mảnh vườn 2,5x (m); chiều dài hồ y + (m) Vì diện tích mặt hồ chiếm 3% diện tích mảnh vườn, nên có phương trình y y 3% x 2,5 x Vì giảm chiều dài 5m tăng chiều rộng 2m mặt hồ hình vuông diện tích mặt hồ giảm 20m2, nên có phương trình y y y 20 y y 3% x 2,5 x x 40 Ta có hệ phương trình Giải hệ ta x 0, y y y y 20 y 8 Vậy chiều rộng mảnh vườn 40m; chiều dài mảnh vườn 40.2,5 = 100m b) Gọi x số bạn nữ xếp hạc; y số bạn nữ xếp hạc (x, y nguyên dương) 2 x y 26 x4 (TMĐK) y 14 x y 18 x 2 x y 27 +) Nếu bạn X nữ, ta có hệ (không TMĐK) x y 17 y 47 +) Nếu bạn X nam, ta có hệ Vậy bạn X bạn nam Bài 5: (3,0 điểm) a) Chứng minh điểm M, N, B, C thuộc đường tròn T Tính diện tích tứ giác BMNC theo a Ta có AM AN 2a C (ABC đều) MN / / BC Tứ giác BMNC: MN // BC, B AB AC 6a Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang tứ giác BMNC hình thang cân tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp Nên điểm M, N, B, C thuộc đường tròn T (đpcm) Tam giác ABC đều, nên S ABC AB 6a 3a 4 AM 2a Tam giác AMN: AM = AN, A 600 AMN đều, nên S AMN 3a 4 A 2 Do S BMNC S ABC S AMN 3a 3a 3a (đvdt) b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK Chứng minh đường tròn đường kính NC tiếp xúc với AI Vì O tâm tam giác ABC, E BC AC , JA JC gt OI BC , OJ AC 2 OI OJ a IB IC Mặt khác AK MN (vì KM KN MN ), BC ), MN // BC (cmt) AI BC (vì IB IC A, K , O, I thẳng hàng K N M J F B O P C I AB 6a 3a (AI đường cao tam giác ABC) 2 AI 3a AI 3a OI 3a, OA 3a (O tâm tam giác ABC) 3 3 AM 2a Lại có: AK 3a (AK đường cao tam giác AMN) 2 OK OA AK 3a 3a 3a OK OI 3a b Nên AI Từ (a), (b) OI OJ OK O tâm đường tròn ngoại tiếp IJK bán kính đường tròn ngoại tiếp IJK OI 3a Tứ giác CNKI: KN // IC (MN // BC) nên tứ giác CNKI hình thang KI (cmt), nên OP đường trung bình hình thang KN IC a 3a 1 CNKI OP 2a 4a CN CN AB AN 6a 2a 4a 2 2 Gọi P trung điểm NC OK OI O thuộc đường tròn tâm P đường kính NC (c) Lại có OP // IC (OP đường trung bình hình thang CNKI) AI IC (cmt) AI OP O (d) Từ (c) (d) đường tròn đường kính NC tiếp xúc với AI (đpcm) c) Tính số đo AFJ BAC 300 (AI đường cao ABC đều) AOJ: AJO 900 OJ AC , OAJ AOJ 600 AE AM AE AM AB 2a 6a 12a AE 3a AB AE OE Do AE AO 3a , nên AEO cân A Lại có FE FO gt AF OE Tứ giác AFOJ có: AFO 900 AF OE , AJO 900 OJ AC nên tứ giác AFOJ nội tiếp AFJ AOJ 600 AEB AME (g.g) Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang