Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên hưng yên năm học 2018 2019 (cả ba đề có đáp án)

Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn O A, B là các tiếp điểm.. Kẻ đường kính AC của đường tròn O.. OB b Gọi N là giao điểm của CM với OE.. Chứng mi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC Chuyên: Toán, Tin

Thời gian: 150 phút

Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh

Câu 1: Cho các biểu thức A x 1 : 2 1



    và B x 4 5x2 8x 2025 với x > 0, x ≠ 1 a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức T B 2A  2 đạt GTNN

Giải: a) Ta có



b) Ta có T B 2A  2 x4 5x2 8x 2025 2 x 1    2 x4 7x2 4x 2023

Do đó GTNN của T bằng 2003 Đặt được khi và chỉ khi x = 2 (TMĐK)

Câu 2: a) Tìm các giá trị của m để đồ thị hai hàm số y x 2 và y = x – m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A x ; y , 1 1 B x ; y sao cho  2 2 x1 x28y1 y28 162

b) Tìm các giá trị nguyên x để M x 4x 1 3 2x2 2x là số chính phương

Giải: a) Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số trên là nghiệm của phương trình

2

x  x m 0  (*) Để đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt, suy ra 0 1 4m 0 m 1

4

       Khi đó x1, x2 là 2 nghiệm của

phương trình (*) Theo Vi-et ta có 1 2

1 2









2 2







Do đó x1 x28y1 y28 162 2 x 1 x28 162 x1 x22  3

x1 x22 4x x1 2 3 1 4m 3 m 1

2

2

 thỏa mãn b) Ta có M x 4x3x2   x 1 4M 4x 4 4x34x24x 4

Xét 4x44x34x24x 4   2x2x2 3x24x 4 2x  2x 2 2 0

Xét 4x44x34x24x 4   2x2 x 22 5x2  0

Do đó 2x2x24M2x2 x 22 Vì M là số chính phương nên 4M cũng là số chính phương Nên xảy ra các trường hợp sau

TH1: 4M2x2 x 22 5x2  0 x 0

TH2: 4M2x2 x 12  x2 2x 3 0   x 1 x 3     0 x ; x = 3 1

Thử lại ta có x  1;0;3 thỏa mãn bài toán

Câu 3: a) Giải phương trình 2x3 108x 45 x 48x 20 3x    2

b) Giải hệ phương trình

   

2 2

1





Giải: a) ĐKXĐ: x 5

12

 Phương trình tương đương 2x33x2 3 12x 5 2x 12x 5 0   

2x 3 x  2 12x 5 0

2

Xét x2 12x 5 0   x4 12x 5  x44x2 4 4x212x 9  x222 2x 3 2 Với x2 2 2x 3   x22x 5 0  x 1 2  vô nghiệm 4 0

Với x2 2 2x 3   x2 2x 1 0   x 1 2  2 x 1  2(TMĐK)

Vậy phương trình có nghiệm x 1  2

b) ĐKXĐ: x, y ≠ -1 Từ phương trình thứ nhất ta có x x 1  y y 1    x 1 y 1    

1

y 1 x 1

y 1  ; y b

x 1 

Ta có hệ a b 12 2 a b2 2ab 1 ab 0

 







Với a = 0 thì b = 1 Với a = 1 thì b = 0





Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (0; 1), (1; 0)

Câu 4: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm) Kẻ đường kính AC của đường tròn (O) Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt đường thẳng AB tại E

a) Chứng minh rằng BE MB = BC OB

b) Gọi N là giao điểm của CM với OE Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của hai đoạn thẳng OM và CE vuông góc với đường thẳng BN

c) Tìm GTNN của dây AB khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d Biết R = 8cm và khoảng cách từ O tới đường thẳng d bằng 10cm

Giải: a) Ta có OBM EBC 90  0

BMO BAC BCE   OBM  EBC

b) Ta có OAM ECA 90  0

và OMA EAC  OAM  ECA

có ECO CAM 90  0 ECO  CAM

CEO ACM

  mà ECN ACM 90  0

ECN CEO 90

hay CM  OE tại N Gọi P, Q lần lượt

là trung điểm của OM và CE thì ta có

1

2

2

Do đó PQ là đường trung trực của BN  PQ  BN

c) Kẻ OK vuông góc đường thẳng d tại K Gọi H là giao điểm của OM với AB Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có OH.OM OA 2 R2 64(cm) không đổi Do đó dây AB nhỏ nhất khi OH lớn nhất, suy ra OM nhỏ nhất Mà OM  OK  OM  10cm không đổi Vậy dây AB nhỏ nhất khi OM = 10cm  OH = 6,4cm  AB 2BH 2 OB  2 OH2 2 82 6, 42 9,6 (cm)

Câu 5: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a > 0 và a + b  1

Tìm GTNN của biểu thức

2

2

4a



Giải: Ta có

d

K

N

H

E M

C O

A

B

2 2 2

Vậy GTNN của P bằng 3

2 Đạt được khi và chỉ khi

1

a b

2

 

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (1,0 điểm).

một điểm trên trục tung

Câu 2 (2 điểm).

a) Giải hệ phương trình (I) khi m = 1

Câu 3 (2,0 điểm).

Câu 4 (1,0 điểm).

Quãng đường AB dài 120 km Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc xác định Khi từ B trở

về A, ô tô chạy với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi từ A đến B là 10 km/h Tính vận tốc lúc về của

ô tô, biết thời gia về nhiều hơn thời gian đi là 24 phút

Câu 5 (3,0 điểm).

Cho 3 điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó Vẽ (O;R) bất kỳ đi qua B và C (BC < 2R) Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với (O) (M, N là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của BC

a) Chứng minh 5 điểm A, M, O, I, N cùng thuộc 1 đường tròn

b) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC, E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MJ với (O) Chứng minhL EB = EC = EJ

c) Khi (O) thay đổi, gọi K là giao điểm của OA và MN Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định

Câu 6 (1,0 điểm).

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 3xyz

Chứng minh rằng:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯNG YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

-Hết -Hướng dẫn Câu 4

Câu 5

b) ta có J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MBC => góc MBJ = góc JBC

góc JMB = góc JMC

mà góc EBC = góc EMC => góc EBC = góc BMJ

Xét tam giác BMJ có góc BJE = góc MBJ + góc BMJ = góc JBC + góc EBC = góc EBJ => tam giác EBJ cân tại E => BE = JE

Mà góc BMJ = góc EMC => cung BE = cung EC => BE = EC

=> BE = EC = EJ

c) Gọi F là giao điểm của MN và BC => tứ giác KOIF nội tiếp => đường tròn ngoại tiếp tam giác KOI là đường tròn ngoại tiếp tứ giác KOIF

lại có MN và BC là dây của (O) => FM.FN = FB.FC

tương tự AI và MN là dây của đường tròn đi qua 5 điểm câu a)

=> FM.FN = FA.FI

=> FB.FC = FA.FI=> F cố định (vì A,B,I,C cố định)

=> tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KOI nằm trên trung trực của FI cố định

Câu 6

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (1,0 điểm).

Câu 2 (2 điểm).

a) Giải phương trình (I) khi m = - 9

b) Tìm m để phương trình (I) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiệnx12x22 x x1 2 3

Câu 3 (2,0 điểm).

b) Giải hệ phưng trình

2x y 7 0







Câu 4 (1,0 điểm).

Một người đến cửa hàng mua hai sản phẩm A và B Nếu giá sản phẩm A tăng 10% và giá sản phẩm B tăng 20% thì người đó phải trả 232 000 đồng Nếu giá của cả hai sản phẩm cùng giảm 10% thì người đó phải trả 180 000 đồng Tính giá tiền của mỗi sản phẩm A và B

Câu 5 (3,0 điểm).

Cho (O) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là tiếp điểm) Lấy điểm C bất kỳ trên cung AB nhỏ (C khác A và B) Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của C trên AB, AM, BM

a) Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp.\

Câu 6 (1,0 điểm).

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3abc

-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯNG YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Hướng dẫn Câu 5

b) Ta có tứ giác AECD nội tiếp => góc CDE = góc CAE = góc CBA

c) Theo câu b ta có góc CDE = góc CBA

chứng minh tương tự ta có góc CDF = góc CAB

=> góc KCI + góc KDI = góc BCA + góc CBA + góc CAB = 1800 => tứ giác CIDK nội tiếp => góc CKI

= góc CDE = góc CBA => IK //AB

Lại có tứ giác ADCE và tứ giác BDCF nội tiếp => O1; O2 là trung điểm của AC và BC => O1O2 là đường trung bình của tam giác ABC => O1O2 //AB

Do đó O1O2 //IK

Câu 6