Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên năm 2015 2016 sở GDĐT hà nam

Cho nửa đường tròn O ;R, đường kính AD cố định.. Vẽ tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn O ;R.. a Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK.. d Xác định vị trí điểm B để bán k

UBND TỈNH HÀ NAM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1(2,0 điểm)

Cho biểu thức: P x y x y : 1 x y 2xy

1 xy



(với x0, y0, xy1) a) Rút gọn biểu thức P

b) So sánh P và P

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 10x 1  3x 5  9x4 2x2

b) Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho điểm I  2;1  Tìm tọa độ các điểm A B , tương ứng thuộc các tia Ox, Oy sao cho tổng IA IB AB có độ dài nhỏ nhất

Câu 3 (1,0 điểm)

Tìm số nguyên n 2008 sao cho: 22008220122201322014220162n là số chính phương

Câu 4 (4,0 điểm)

Cho nửa đường tròn (O ;R), đường kính AD cố định Vẽ tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O ;R) Gọi I là giao điểm của AC và BD; K là hình chiếu của I trên AD

a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK

b) Gọi F là giao điểm của CK và BD Chứng minh: BI.DF = BD.IF

c) Gọi E là trung điểm của ID Chứng minh: 2



ED EB EF

d) Xác định vị trí điểm B để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó theo R

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2a 3b 4c 2015 Chứng minh:

15

-HẾT -

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Giám thị 1: Giám thị 2:

UBND TỈNH HÀ NAM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán)

( Hướng dẫn chấm này gồm 3 trang )

Câu 1

a)

1,25

điểm

1 xy



0,5



 

  



b)

0,75

điểm

Lại có x 1 2 x  với x  0 nên P 2 x 2 x 1

x 1 2 x

Câu 2

a)

1,0

điểm

ĐK: x 5

3

 phương trình ban đầu trở thành:

 10x 1  9x4  3x 5  2x20

0,25

0

3 10x 1  9x4 9x4 2x2    Vậy phương trình có tập nghiệm S  3

0,25

b)

1,0

điểm

Gọi K đối xứng với I qua tia Oy, suy ra K( -2;1)

Gọi H đối xứng với I qua tia Ox, suy ra H(2; -1) 0,25

Ta có:AI  AH BI, BK suy ra IA IB ABAHABBK HK 0,25 Dấu "="  H A B K, , , thẳng hàng hay A, B là giao điểm của đường thẳng HK

phương trình : 1

2





HK y x, suy ra ABO0;0 0,25

Câu 3

1,0

điểm

Ta có:

369

là số chính phương khi và chỉ khi 369 2 n2008b2 với *

 

b

0,25

Đặt an 2008 là số nguyên dương , ta có phương trình: 2

369 2 a b

Xét trong hệ đồng dư mod 3 ta có:

     2   

369  0 3 ; 2a  1; 2 3 ;  0;1 3

0,5

Suy ra 2a  1mod3suy ra alà số chẵn hay *

2

a c c Phương trình trở thành: 2 2   2 

369b 2 c 41.3.3 b2c b 2c

Do b2c  b 2csuy ra:

     

2 ; 2 41;9 ; 369;1 ; 41.3;3

; 2 25;16 ; 185;184 ; 63; 60

c

b

b c

Vậy na 2008  2c 2008  2016 là số cần tìm

0,25

Câu 4

a)

1,0

điểm

E

F K

I

B

C

Ta có  0

90



ABD (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  0

90



AKI (gt)

Suy ra tứ giác ABIK nội tiếp IBKCAD

0,25

Lại có   1 

sđ 2

IBC CAD CD Suy ra IBKIBC  BI là phân giác góc CBK 0,25

Chứng minh tương tự có CI là phân giác BCK 0,25

Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK 0,25

b)

1,0

điểm

Ta có CI là đường phân giác trong của BCF BI  CB

IF CF (1) (t/c đường phân giác của tam giác)

0,25

Lại có  0

90

suy ra:BD  CB (2)

DF CF ( t/c đường phân giác của tam giác) 0,25

Từ (1) và (2), có: BI  BD BI DF BD IF.

c)

1,0

điểm

Ta có KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tam giác IKD

2

KEED ID  tam giác KED cân tại E BEK2BDA ( t/c góc ngoài

của tam giác)

Mà BDABCA (2 góc nội tiếp cùng chắn AB)Suy ra BEK2BCA (3)

0,25

Mặt khác CI là phân giác BCK ( chứng minh trên)BCK 2BCA 4 

Từ (3) và (4) suy ra BEKBCK , suy ra tứ giác BCEK nội tiếp 0,25

EKC EBC EBK EKF EBK EK EB EF 0,25

Mà EK ED ( chứng minh trên)Suy ra: 2



d)

1,0

điểm

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABD vuông tại B, suy

ra:rABBDAD ABBD 2R

Suy ra r lớn nhất ABBD lớn nhất

0,25

 ABBD2 2R ( dấu " =" xảy ra khi ABBDR 2 )

0,25

Suy ra r ABBD2R2 22R 0,25 Vậy maxr2R 2 1  khi và chỉ khi ABBDABBDB là điểm chính

Câu 5

1,0

điểm

Đặt x2a1;y3b1;z4c1 thì bất đẳng thức trở thành: cho x y z, , là các số

thực dương thỏa mãn xy z 2018chứng minh:

15

0,25

Ta có:

 

0,5

Dấu “=” 2018 2015; 2015; 2015

Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương

-HẾT -

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 1

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên

Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247

- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào lớp 10 các trường chuyên

- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những năm qua

- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh giỏi

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết quả tốt nhất

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất

- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247

 https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/