2 Cho a, b, c là đ dài ba c nh c a m t tam giác th a mãn đi u ki n ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ủa một tam giác thỏa mãn điều
Trang 1UBND T NH B C NINHỈNH BẮC NINH ẮC NINH
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ỤC VÀ ĐÀO TẠO ẠO Đ THI TUY N SINH VÀO L P 10 THPT CHUYÊN Ề THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN ỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM H C 2014 – 2015 ỌC 2014 – 2015 ỚP 10 THPT CHUYÊN
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Th i gian làm bài: ời gian làm bài: 150 phút (Không k th i gian giao đ ) ể thời gian giao đề) ời gian giao đề) ề)
Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2014
2
1
1
x x
1) Rút g n ọn P.
2) Tìm s chính phố chính phương ương ng x sao cho
2
P là s nguyên.ố chính phương
1) Cho các s th c ố chính phương ực x, y, z, a, b, c th a mãn các đi u ki n ỏa mãn các điều kiện ều kiện ện 1
x yz
Ch ng minh r ng ức ằng
2 2 2
2 2 2 1
a b c 2) Tìm các s nguyên ố chính phương a đ phểu thức ương ng trình: x2 (3 2 ) a x40 a có nghi m0 ện
3 2
mx y m
v i ới x y, là n, ẩn, m là tham s Tìm ố chính phương m đ hểu thức ện
phương ng trình có nghi m duy nh t ện ất x y th a mãn ; ỏa mãn các điều kiện x2 2x y 0.
2) Cho a, b, c là đ dài ba c nh c a m t tam giác th a mãn đi u ki n ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ỏa mãn các điều kiện ều kiện ện 2c b abc
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị nhỏ nhất của biểu thức ỏa mãn các điều kiện ất ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện ểu thức ức
S
b c a c a b a b c
Cho tam giác ABC có ba góc nh n, n i ti p đọn ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ếp đường tròn ( ường tròn (ng tròn (O) (AB < AC) Các ti p tuy nếp đường tròn ( ếp đường tròn (
v i (ới O) t i ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện B và C c t nhau t i ắt nhau tại ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện N Vẽ dây AM song song v i ới BC Đường tròn (ng th ng ẳng MN c t đắt nhau tại ường tròn (ng
tròn (O) t i ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện M và P
1) Cho bi t ếp đường tròn ( 2 2
16
OB NC , tính đ dài đo n ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện BC
AC AB
3) Ch ng minh r ng ức ằng BC, ON và AP đ ng quy.ồng quy
đường tròn (ng tròn và có di n tích l n h n ho c b ng 1 Ch ng minh r ng đi m ện ới ơng ặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm ằng ức ằng ểu thức O n m trong ho cằng ặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm
n m trên c nh c a tam giác ằng ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện ABC.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 22) Cho t p ập A 1;2;3; ;16 Hãy tìm s nguyên dố chính phương ương ng k nh nh t sao cho trong m iỏa mãn các điều kiện ất ỗi
t p con g m ập ồng quy k ph n t c a ần tử của ử của ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện A đ u t n t i hai s phân bi t ều kiện ồng quy ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ố chính phương ện a b, mà a2 b2 là m t sộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ố chính phương nguyên t ố chính phương
-H t -
ết -(Đ này g m có 01 trang) ề) ồm có 01 trang)
H và tên thí sinh: ……… ……S báo danh: ……… ọ và tên thí sinh: ……… ……Số báo danh: ……… ố báo danh: ………
Trang 3UBND T NH B C NINHỈNH BẮC NINH ẮC NINH
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ỤC VÀ ĐÀO TẠO ẠO THI TUY N SINH VÀO L P 10 THPT CHUYÊN ỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN H ƯỚP 10 THPT CHUYÊN NG D N CH M ẪN CHẤM ỚP 10 THPT CHUYÊN ẤM
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Câ
u
m I.1
(1,
0
đi
ểm
m)
2
1
0,5
2
I.2
(1,
0
đi
ểm
m)
Ta có
2
1
x
II.
1
(1,
0
đi
ểm
m)
ĐK: xyzabc 0.
ayz bxz cxy 0
0,25
Trang 4Ta có
2
2 2 2
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
2 2 2
x y z cxy bxz ayz
2 2 2
2 2 2 1
II.
2
(1,
0
đi
ểm
m)
= 4a216a151 PT có nghi m nguyên thì ện = n2 v i ới n
Vì 167 là s nguyên t và ố chính phương ố chính phương 2a 4 n 2a 4 n nên ta có các trường tròn (ng h p:ợc
+)
+)
0,5
III.
1
(0,
5
đi
ểm
m)
III.
2
(1,
0
đi
ểm
m)
x y x y d u “=” x y ra khi và ch khi ất ảy ra khi và chỉ khi ỉnh xy
0,25
3 1 m
3 1 m
Trang 5T gi thi t ta có ừ đó tìm được ảy ra khi và chỉ khi ếp đường tròn ( a b c 0,b c a 0,c a b 0
Ta có
S
b c a c a b b c a a b c c a b a b c c b a
Mà
2 1
b c
nên
6
a
0,5
V y giá tr nh nh t c a ập ị nhỏ nhất của biểu thức ỏa mãn các điều kiện ất ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện S là 4 3 d u b ng x y ra khi và ch khi ất ằng ảy ra khi và chỉ khi ỉnh a b c 3. 0,25
IV.
1
(1,
0
đi
ểm
m)
Ta có NBNC (tính ch t hai ti pất ếp đường tròn (
tuy n c t nhau); ếp đường tròn ( ắt nhau tại OB OC R.
Do đó, ON là trung tr c c a ực ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện BC.
G i ọn K là giao đi m c a ểu thức ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện ON và BC
thì K là trung đi m c a ểu thức ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện BC.
P K≡Q O
M
N C
B A
0,5
Mà OBN vuông t i B, BK là đạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ường tròn (ng cao nên 2 2 2 2 2
OB NC OB NB BK
K t h p gi thi t suy ra ếp đường tròn ( ợc ảy ra khi và chỉ khi ếp đường tròn ( BK2 16 BK 4 BC8.
0,5
IV.
2
(1,
0
đi
ểm
m)
Ta có NBP NMB, đ ng d ng (g.g) ồng quy ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện
(1)
Tương ng t , ực NCP NMC, đ ng d ng (g.g) ồng quy ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện
(2)
0,25
Vì NCNB (3) nên t (1), (2) và (3) suy ra ừ đó tìm được
M t khác, ặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm AM / /BC T giác ức AMCB là hình thang cân MCAB MB, AC (5) 0,5
Trang 6T (4), (5) ừ đó tìm được .
PB PC
IV.
3
(1,
0
đi
ểm
m)
G i ọn Q là giao đi m c a ểu thức ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện AP và BC Ta ch ng minh ức BQ QC .
Vì BQP AQC, đ ng d ng (g.g) ồng quy ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện
(6)
0,25
Tương ng t ực CQP AQB, đ ng d ng (g.g) ồng quy ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện
K t h p (6), (7) và k t qu câu b) ta suy ra ếp đường tròn ( ợc ếp đường tròn ( ảy ra khi và chỉ khi
đi m c a ểu thức ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện BC Suy ra Q K V y ập BC ON AP, , đ ng quy t i ồng quy ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện K.
0,5
V.1
(0,
5
đi
ểm
m)
Gi s ảy ra khi và chỉ khi ử của O n m ngoài mi n tam giác ằng ều kiện ABC Không m t tính t ng quát gi s ất ổng quát giả sử ảy ra khi và chỉ khi ử của A và O
n m v hai phía c a đằng ều kiện ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện ường tròn (ng th ng ẳng BC
Suy ra đo n ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện AO c t đắt nhau tại ường tròn (ng th ng ẳng BC t i ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện K K ẻ AH vuông góc v i ới BC t i ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện H.
Suy ra, AH AK < AO < 1 suy ra AH < 1.
0,25
Suy ra,
1
ABC
AH BC
(mâu thu n v i ẫn với ới
gi thi t) Suy ra đi u ph i ch ng minh.ảy ra khi và chỉ khi ếp đường tròn ( ều kiện ảy ra khi và chỉ khi ức
K O
B
A
0,25
V.2
(1,
0
đi
ểm
m)
Trang 7N u ếp đường tròn ( a b, ch n thì ẵn thì a2b2 là h p s Do đó n u t p con ợc ố chính phương ếp đường tròn ( ập X c a ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện A có hai ph n tần tử của ử của
phân bi t ện a b, mà a2b2 là m t s nguyên t thì ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ố chính phương ố chính phương X không th ch ch a các sểu thức ỉnh ức ố chính phương
ch n Suy ra, ẵn thì k 9 Ta ch ng t ức ỏa mãn các điều kiện k 9 là giá tr nh nh t c n tìm Đi u đó có ýị nhỏ nhất của biểu thức ỏa mãn các điều kiện ất ần tử của ều kiện
nghĩa là v i m i t p con ới ọn ập X g m 9 ph n t b t kỳ c a ồng quy ần tử của ử của ất ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện A luôn t n t i hai ph nồng quy ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ần tử của
t phân bi t ử của ện a b, màa2b2 là m t s nguyên t ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ố chính phương ố chính phương
0,5
Đ ch ng minh kh ng đ nh trên ta chia t p ểu thức ức ẳng ị nhỏ nhất của biểu thức ập A thành các c p hai ph n t phânặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm ần tử của ử của
bi t ện a b, mà a2b2 là m t s nguyên t , ta có t t c 8 c p:ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ố chính phương ố chính phương ất ảy ra khi và chỉ khi ặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm
1; 4 , 2;3 , 5;8 , 6;11 , 7;10 , 9;16 , 12;13 , 14;15
Theo nguyên lý Dirichlet thì 9 ph n t c a ần tử của ử của ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện X có hai ph n t cùng thu c m t c pần tử của ử của ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm
và ta có đi u ph i ch ng minh.ều kiện ảy ra khi và chỉ khi ức
0,5
Trang 8CH ƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NG TRÌNH LUY N THI VÀO L P 10 CHUYÊN ỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ỚP 10 THPT CHUYÊN TRÊN H C247 ỌC 2014 – 2015
- Ch ương ng trình luy n thi đ ện ược c xây d ng dành riêng cho h c sinh gi i, các em yêu thích toán và mu n thi ực ọn ỏa mãn các điều kiện ố chính phương vào l p 10 các tr ới ường tròn ( ng chuyên.
- N i dung đ ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ược c xây d ng bám sát v i đ thi tuy n sinh l p 10 các tr ực ới ều kiện ểu thức ới ường tròn ( ng chuyên c a c n ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện ảy ra khi và chỉ khi ưới c trong
nh ng năm qua ững năm qua.
- Đ i ngũ giáo viên gi ng d y g m các th y n i ti ng có nhi u năm kinh nghi m trong vi c ôn luy n h c ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ảy ra khi và chỉ khi ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ồng quy ần tử của ổng quát giả sử ếp đường tròn ( ều kiện ện ện ện ọn sinh gi i ỏa mãn các điều kiện
- H th ng bài gi ng đ ện ố chính phương ảy ra khi và chỉ khi ược c biên so n công phu, t m , ph ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ỉnh ỉnh ương ng pháp luy n thi khoa h c, h p lý mang l i ện ọn ợc ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện
k t qu t t nh t ếp đường tròn ( ảy ra khi và chỉ khi ố chính phương ất
- L p h c qua m ng, t ới ọn ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ương ng tác tr c ti p v i giáo viên, hu n luy n viên ực ếp đường tròn ( ới ất ện
- H c phí ti t ki m, l ch h c linh ho t, tho i mái l a ch n ọn ếp đường tròn ( ện ị nhỏ nhất của biểu thức ọn ạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ảy ra khi và chỉ khi ực ọn
- M i l p t 5 đ n 10 em đ đ ỗi ới ừ đó tìm được ếp đường tròn ( ểu thức ược c h tr k p th i nh m đ m b o ch t l ỗi ợc ị nhỏ nhất của biểu thức ờng tròn ( ằng ảy ra khi và chỉ khi ảy ra khi và chỉ khi ất ược ng khóa h c m c cao nh t ọn ở mức cao nhất ức ất
- Đ c bi t, các em còn h tr h c t p thông qua c ng đ ng luy n thi vào l p 10 chuyên c a H C247 ặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm ện ỗi ợc ọn ập ộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện ồng quy ện ới ủa một tam giác thỏa mãn điều kiện ỌC247.
https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/