Suy ra góc AMN = góc AFE.. ất của chu vi ẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F.
Trang 1S GD&ĐT B C LIÊU Ở GD&ĐT BẠC LIÊU ẠC LIÊU KỲ THI TUY N SINH L P 10 NĂM H C 2015 – 2016 ỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2015 – 2016 ỚP 10 NĂM HỌC 2015 – 2016 ỌC 2015 – 2016
Đ THI CHÍNH TH CỀ THI CHÍNH THỨC ỨC Môn: Toán (Chuyên)
(G m 01 trang)ồm 01 trang) Ngày thi: 10/06/2015
Th i gian làm bài: 150 phútời gian làm bài: 150 phút
a Ch ng minh v i m i s n l thì n² + 4n + 5 không chia h t cho 8.ứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ố n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ết cho 8
b Tìm nghi m (x; y) c a phương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*.ng trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y v i x, y thu c N*.ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ộc N*
Cho phương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*.ng trình 5x² + mx – 28 = 0 (m là tham s ) Tìm các giá tr c a m đ phố n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ị của m để phương ểm) ương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*.ng trình có 2 nghi m phân bi t x1, x2 th a mãn đi u ki n 5xỏa mãn điều kiện 5x ều kiện 5x 1 + 2x2 = 1
a Cho phương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*.ng trình x4 – 2(m – 2)x² + 2m – 6 = 0 Tìm các giá tr c a m sao cho phị của m để phương ương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*.ng trình có 4 nghi m phân bi t
b Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Ch ng minh r ng aứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ằng a 5 + b5 + c5 +
1 1 1
a b c ≥ 6
Cho đười gian làm bài: 150 phútng tròn tâm O có hai đười gian làm bài: 150 phútng kính AB và MN Vẽ ti p tuy n d c a đết cho 8 ết cho 8 ười gian làm bài: 150 phútng tròn (O)
t i B Đại B Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F ười gian làm bài: 150 phútng th ng AM, AN l n lẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F ần lượt cắt đường thẳng d tại E và F ượt cắt đường thẳng d tại E và F ắt đường thẳng d tại E và F ười gian làm bài: 150 phútt c t đ ng th ng d t i E và F.ẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F ại B Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F
a Ch ng minh r ng MNFE là t giác n i ti p.ứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ằng a ứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ộc N* ết cho 8
b G i K là trung đi m c a FE Ch ng minh r ng AK vuông góc v i MN.ọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ểm) ứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ằng a ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8
Cho tam giác ABC vuông t i A Vẽ đại B Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F ười gian làm bài: 150 phútng th ng d đi qua A sao cho d không c t đo n BC ẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F ắt đường thẳng d tại E và F ại B Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F
G i H, K l n lọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ần lượt cắt đường thẳng d tại E và F ượt cắt đường thẳng d tại E và F.t là hình chi u vuông góc c a B và C trên d Tìm giá tr l n nh t c a chu vi ết cho 8 ị của m để phương ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ất của chu vi
t giác BHKC.ứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8
Trang 2H ƯỚP 10 NĂM HỌC 2015 – 2016 NG D N GI I ẪN GIẢI ẢI Câu 1.
a n² + 4n + 5 = (n + 2)² + 1
Vì n là s l suy ra n + 2 = 2k + 1, k là s nguyênố n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ố n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8
Ta có (n + 2)² + 1 = 4k² + 4k + 2 không chia h t cho 4ết cho 8
V y n² + 4n + 5 không chia h t cho 8ậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ết cho 8
b x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y
<=> x² + 2xy + xy + 2y² – 8(x + y) – (x + 2y) + 8 = 0
<=> x(x + 2y) + y(x + 2y) – 8(x + y) – (x + 2y) + 8 = 0
<=> (x + y – 1)(x + 2y) – 8(x + y – 1) = 0
<=> (x + y – 1)(x + 2y – 8) = 0 (a)
V i x ≥ 1, y ≥ 1 (vì thu c N*) suy ra x + y – 1 ≥ 1 > 0ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ộc N*
Do đó (a) <=> x + 2y = 8
Ta có 2y ≤ 8 – 1 = 7
Nên y ≤ 7/2
Mà y thu c N* suy ra y = 1; 2; 3ộc N*
L p b ng k t quậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ảng kết quả ết cho 8 ảng kết quả
V y t p h p b s (x, y) th a mãn là {(6; 1), (4; 2), (2; 3)}ậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ợt cắt đường thẳng d tại E và F ộc N* ố n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ỏa mãn điều kiện 5x
Câu 2 5x² + mx – 28 = 0
= m² + 560 > 0 v i m i m
Δ = m² + 560 > 0 với mọi m ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8
Nên phương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*.ng trình luôn có 2 nghi m phân bi t x1, x2
Ta có: x1 + x2 = –m/5 (1)
T (3) suy ra xừ (3) suy ra x 2 = (1 – 5x1)/2 (4)
Thay (4) vào (2) suy ra 5x1(1 – 5x1) = –56
<=> 25x1² – 5x1 – 56 = 0
<=> x1 = 8/5 ho c xặc x 1 = –7/5
V i xới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 1 = 8/5 → x2 = –7/2
Thay vào (1) ta có 8/5 – 7/2 = –m/5 <=> m = 19/2
V i xới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 1 = –7/5 → x2 = 4 → –7/5 + 4 = –m/5 suy ra m = –13
Câu 3.
a x4 – 2(m – 2)x² +2m – 6 = 0 (1)
Đ t t = x² (t ≥ 0)ặc x
(1) <=> t² – 2(m – 2)t + 2m – 6 (2)
’ = (m – 2)² – (2m – 6) = m² – 6m + 10 = (m – 3)² + 1 > 0 v i m i m
Δ = m² + 560 > 0 với mọi m ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8
Phương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*.ng trình (2) luôn có 2 nghi m phân bi t
ng v i m i nghi m t > 0 thì ph ng trình (1) có 2 nghi m phân bi t Do đó, ph ng trình
ỨC ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N* ương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*
(1) có 4 nghi m phân bi t khi ch khi phỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương ương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*.ng trình (2) có hai nghi m phân bi t dương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*.ng
<=> 2m – 6 > 0 và 2(m – 2) > 0 <=> m > 3
Trang 3V y m > 3 th a mãn yêu c u.ậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ỏa mãn điều kiện 5x ần lượt cắt đường thẳng d tại E và F.
b Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Ch ng minh r ng aứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ằng a 5 + b5 + c5 +
1 1 1
a b c ≥ 6
Áp d ng b t đ ng th c cô si: aụng bất đẳng thức cô si: a ất của chu vi ẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F ứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 5 + 1/a ≥ 2a²; b5 + 1/b ≥ b²; c5 + 1/c ≥ c²
Suy ra a5 + b5 + c5 +
1 1 1
a b c ≥ 2(a² + b² + c²)
M t khác a² + 1 ≥ 2a; b² + 1 ≥ 2b; c² + 1 ≥ 2cặc x
Suy ra a² + b² + c² ≥ 2a + 2b + 2c – 3 = 3
V y đpcm.ậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8
Câu 4.
a Tam giác ABE vuông t i B và BM vuông góc v i AEại B Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8
Nên ta có AM.AE = AB²
Tương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*.ng t AN.AF = AB²ự AN.AF = AB²
Suy ra AM.AE = AN.AF
Hay AM/AN = AE/AF
Xét AMN và AFE có góc MAN chungΔ = m² + 560 > 0 với mọi m Δ = m² + 560 > 0 với mọi m
Và AM/AN = AF/AE
Do đó AMN và AFE đ ng d ngΔ = m² + 560 > 0 với mọi m Δ = m² + 560 > 0 với mọi m ồm 01 trang) ại B Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F
Suy ra góc AMN = góc AFE
Mà góc AMN + góc NME = 180° (k bù)ều kiện 5x
Nên góc AFE + góc NME = 180°
V y t giác MNFE n i ti p đậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ộc N* ết cho 8 ười gian làm bài: 150 phútng tròn
b góc MAN = 90°
Nên tam giác AEF vuông t i A suy ra AK = KB = KFại B Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F
Do đó góc KAF = góc KFA
Mà góc AMN = góc KFA (cmt)
Suy ra góc KAF = góc AMN
Mà góc AMN + góc ANM = 90°
Suy ra góc KAF + góc ANM = 90°
V y AK vuông góc v i MNậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8
Câu 5.
Ta có BC² = AB² + AC² = BH² + AH² + AK² + CK²
Ta c n ch ng minh b t đ ng th c:ần lượt cắt đường thẳng d tại E và F ứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ất của chu vi ẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F ứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8
(ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²) (*)
Ta có: (*) <=> a²c² + 2acbd + b²d² ≤ a²c² + a²d² + b²c² + b²d²
<=> a²d² – 2abcd + b²c² ≥ 0 <=> (ad – bc)² ≥ 0 (đúng v i m i a, b, c, d)ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8
D u b ng x y ra khi ad = bc hay a/c = b/dất của chu vi ằng a ảng kết quả
Áp d ng (*) ta đụng bất đẳng thức cô si: a ượt cắt đường thẳng d tại E và F.c: 2(BH² + AH²) ≥ (BH + AH)² (1)
Tương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*.ng t ta có 2(AK² + CH²) ≥ (AK + CK)²ự AN.AF = AB² (2)
Suy ra 2BC² ≥ (BH + AH)² + (AK + CK)² (3)
Đ t BH + AH = m; đ t AK + CK = nặc x ặc x
Vì góc CAK + góc BAH = 90°; mà góc BAH + góc ABH = 90° nên góc CAK = góc ABH
K
N
F
B
C A
H
K
Trang 4D n đ n tam giác ABH đ ng d ng v i tam giác CAKẫn đến tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAK ết cho 8 ồm 01 trang) ại B Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8.
→ AH/CK = BH/AK = AB/AC = (AH + BH)/(CK + AK) = m/n
Nên AB²/m² = AC²/n² = (AB² + AC²)/(m² + n²) ≥ BC²/(2BC²) = 1/2
Hay m ≤ AB 2 và n ≤ AC 2
Chu vi t giác BHKC là BC + BH + AH + AK + KC = BC + m + n ≤ BC + (AB + AC)ứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 2
V y chu vi BHKC l n nh t là BC + (AB + AC)ậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ới mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 ất của chu vi 2