Thiết kế hệ thống bài tập hình học ở tiểu học áp dụng phép biến hình

Các tác giả đã hệ thống các líthuyết về các phép biến hình đồng thời chỉ rõ các ứng dụng của phép biếnhình để giải các bài toán chứng minh, tìm tập hợp điểm, dựng hình.. Tuy nhiêntrong t

MỤC LỤC -o0o -

Hình 1.9 Ảnh qua phép đối xứng tâm

Hình 1.10 Phép dời hình của đối phép xứng tâm

Hình 2.10 Cắt ghép hình

Hình 2.11 Dựng hình

Hình 2.12 Hình bình hành

Hình 2.13 Xác định vị trí cắt ghépHình 2.14 Cắt ghép hình

Hình 2.15 Cắt ghép hình

Hình 2.16 Cắt ghép hình

Hình 2.17 Hình thoi

Hình 2.18 Xác định điểm cắt ghépHình 2.19 Cắt ghép hình

Hình 2.20 Cắt ghép hình

Hình 2.21 Hình thang

Hình 2.22 Xác định vị trí cắt ghépHình 2.23 Cắt ghép hình

Hình 2.24 Xác định vị trí cắt ghépHình 2.25 Cắt ghép hình

Hình 2.36 Cắt ghép hình Hình 2.37 Cắt ghép hình Hình 2.38 Cắt ghép hình Hình 2.39 Cắt ghép hình Hình 2.40 Cắt ghép hình Hình 2.41 Cắt ghép hình Hình 2.42 Cắt ghép hình Hình 2.43 Cắt ghép hình Hình 2.44 Cắt ghép hình Hình 2.45 Cắt ghép hình Hình 2.46 Cắt ghép hình Hình 2.47 Cắt ghép hình Hình 2.48 Cắt ghép hình Hình 2.49 Cắt ghép hình Hình 2.50 Cắt ghép hình Hình 2.51 Cắt ghép hình Hình 2.52 Cắt ghép hình Hình 2.53 Cắt ghép hình Hình 2.54 Cắt ghép hình Hình 2.55 Cắt ghép hình Hình 2.56 Cắt ghép hình Hình 2.57 Cắt ghép hình Hình 2.58 Cắt ghép hìnhHình 2.59 Cắt ghép hình Hình 2.60 Cắt ghép hình

Hình 2.61 Cắt ghép hình Hình 2.62 Cắt ghép hình Hình 2.63 Cắt ghép hình Hình 2.64 Cắt ghép hình Hình 2.65 Cắt ghép hình Hình 2.66 Cắt ghép hình Hình 2.67 Cắt ghép hình Hình 2.68 Cắt ghép hình Hình 2.69 Cắt ghép hình Hình 2.70 Cắt ghép hình Hình 2.71 Cắt ghép hình Hình 2.72 Cắt ghép hình Hình 2.73 Cắt ghép hình Hình 2.74 Cắt ghép hình Hình 2.75 Cắt ghép hình Hình 2.76 Cắt ghép hình Hình 2.77 Cắt ghép hình Hình 2.78 Cắt ghép hình Hình 3.1 Bài 1

Hình 3.8 Bài 6Hình PL1 Bài 1Hình PL2 Bài 6Hình PL3 Bài 1Hình PL4 Bài 6

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Báo cáo chính trị của Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt

Nam tại Đại hội đại biểu toàn quốc thứ VIII của Đảng đã khẳng định: "Giáo dục và Đào tạo là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài".

Giáo dục Tiểu học luôn giữ một vị trí quan trọng trong hệ thống giáo dục

ở mỗi quốc gia, đặt cơ sở vững chắc cho toàn bộ hệ thống giáo dục TrongQuyết định số 2957/QĐ-ĐT của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chỉ rõ:

"Tiểu học là cấp học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát triển toàn diện nhân cách con người, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục phổ thông và cho toàn hệ thống giáo dục quốc dân" Vì vậy ở Tiểu học, các

em luôn được tạo điều kiện để phát triển toàn diện

Trong các môn ở Tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có vị trí

vô cùng quan trọng Môn Toán được dạy xuyên suốt từ lớp 1 tới lớp 5 - Toánhọc với tư cách là khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới hiện thực, có

hệ thống kiến thức và phương pháp nhận thức cơ bản rất cần thiết cho đờisống và sinh hoạt Những tri thức toán học, những kĩ năng giải toán cùng cácphương pháp toán học đã trở thành công cụ để học tốt những môn học khác Ởtrường tiểu học bên cạnh mục tiêu trang bị kiến thức toán học còn có nhiệm

vụ hình thành cho học sinh các năng lực toán học Trong đó, hoạt động giảitoán được xem là hình thức chủ yếu để hình thành phẩm chất và năng lực toánhọc cho học sinh vì thông qua hoạt động giải toán giúp học sinh nắm vữngđược tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và phát triển toán học Nó có vai tròquan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy luận, phương pháp giảiquyết vấn đề căn cứ vào khoa học, nó có nhiều tác dụng trong việc hình thành

và rèn luyện trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người, góp phần giáo dục ýchí và những đức tính cần cù, nhẫn nại, ý thức vượt khó khăn

7

Bản thân dạy học giải toán mang trong mình các chức năng: chức nănggiáo dưỡng, chức năng giáo dục, chức năng phát triển và kiểm tra Vì vậy hoạtđộng giải toán là điều kiện thực hiện tốt các mục tiêu dạy học toán và tổ chức

có hiệu quả việc dạy học giải toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạyhọc toán

Trong môn Toán ở Tiểu học, nội dung và phương pháp dạy các yếu tốhình học ngày càng được quan tâm Hình học là một bộ phận được gắn bó mậtthiết với các kiến thức về số học, yếu tố đại số, đo lường và giải toán có lờivăn Trong chương trình Toán, các yếu tố hình học được sắp xếp từ dễ đếnkhó, từ trực quan cụ thể, tư duy trừu tượng đến khái quát và đặc biệt chú trọngđến vấn đề bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh Trên thực tế, chất lượngdạy học giải toán có nội dung yếu tố hình học ở các lớp vẫn còn chưa đạt kếtquả cao Đặc biệt học sinh vẫn còn gặp khó khăn trong việc giải các dạng toánnội dung hình học áp dụng phép biến hình, nhận biết đặc điểm của hình hìnhhọc chưa nhanh Hệ thống bài tập trong sách giáo khoa còn hạn chế, khuônkhổ, chưa phát huy tư duy tích cực tối đa của người học.Phép biến hình đã

được đề cập đến trong các tài liệu như:"Giáo trình cơ sở toán học" của Nguyễn Gia Định NXB Đại học Huế, 2005; tài liệu "Toán sơ cấp" của

Nguyễn Trọng Chiến, Nguyễn Thị Kim Thoa Các tác giả đã hệ thống các líthuyết về các phép biến hình đồng thời chỉ rõ các ứng dụng của phép biếnhình để giải các bài toán chứng minh, tìm tập hợp điểm, dựng hình Tuy nhiêntrong tài liệu vẫn chưa nêu rõ các ứng dụng của phép biến hình trong dạy họcnội dung yếu tố hình học ở tiểu học, chưa đưa ra các bài toán vận dụng chohọc sinh tiểu học

Xuất phát từ những lí do đó, chúng tôi quyết định chọn và nghiên cứu đề

tài: "Thiết kế hệ thống bài tập hình học ở Tiểu học áp dụng phép biến

hình" nhằm góp phần bổ sung hệ thống bài tập hình học phong phú đa dạng

cho học sinh và nâng cao kĩ năng thiết kế bài toán cho giáo viên, từng bước

8

phát triển năng lực giải toán cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học mônToán trong trường tiểu học.

2. Lịch sử vấn đề

Hình học là một môn Khoa học cổ, đặc biệt phép biến hình đã đượcnhiều nhà khoa học nghiên cứu Các trường phái Toán học của Talet, Moohet

và các trường phái triết học của Platon, Aristo và Đêmoclit đã chuẩn bị cơ sở

để môn hình học đạt được nội dung và hình thức như hiện giờ nó đang có.Những công trình nghiên cứu của các nhà bác học cổ đại, cho đến nay, cácnhà khoa học hiện đại đã xây dựng nên hệ thống hình học hoàn chỉnh và đầy

đủ nhất Các công trình nghiên cứu đã chỉ ra được đặc điểm của phép biếnhình và vai trò của chúng trong nhiều ngành khoa học, ứng dụng trong cáchiện tượng tự nhiên và kĩ thuật

Mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu về các phép biến hình, tuynhiên vẫn còn mang tính chung chung, bao quát, chưa đi sâu vào cụ thể Vàhơn nữa những công trình nghiên cứu chủ yếu phục vụ cho bậc trung học phổthông, còn ở bậc tiểu học thì chưa có bài nghiên cứu đi sâu vào ứng dụngtrong việc thiết kế bài tập hình học dựa vào phép biến hình như: cắt ghép hình,hình thành công thức tính diện tích và tính các đại lượng hình học…

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu một số vấn đề lí luận có liên quan đến đặc điểm tư duy hình

học của học sinh tiểu học

9

- Khảo sát hệ thống bài tập ở SGK liên quan đến phép biến hình và thựctiễn thiết kế bài toán hình học dựa vào phép biến hình.

-Tìm hiểu và phân tích một số vấn đề lí luận có liên quan đến phép biến

hình và việc áp dụng dạy học phép biến hình vào trong những nội dung dạyhọc yếu tố hình học ở tiểu học

- Tìm hiểu một số vấn đề lí luận có liên quan đến giải toán hình học ởtiểu học về mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học

- Xây dựng nguyên tắc và thiết kế hệ thống bài tập và thử nghiệm

5. Đối tượng nghiên cứu

- Phép biến hình và các bài toán ở tiểu học chứa đựng yếu tố biến hình

- Những bài toán hình học áp dụng phép biến hình ở tiểu học

6. Phạm vi nghiên cứu

- Chương trình sách giáo khoa Toán tiểu học hiện hành và một số tài liệu

sách bài tập toán có liên quan khác

- Tài liệu hình học về phép biến hình.

7. Phương pháp nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học Toán ở trường tiểuhọc, các tài liệu sách báo có liên quan đến đề tài

- Tìm hiểu nội dung hình học trong chương trình môn Toán ở Tiểu học

- Tìm hiểu các kiến thức liên quan đến dạy học các yếu tố hình học ởTiểu học, các hệ tiên đề và phép biến hình

7.2 Phương pháp phân tích, tổng hợp

- Tìm hiểu, phân tích tổng hợp học các bài toán hình học áp dụng phépbiến hình trong chương trình Toán Tiểu học và trong các tài liệu có liên quan

10

7.3 Phương pháp điều tra

- Thử nghiệm các hệ thống bài tập và kiểm tra kết quả trên đối tượng họcsinh lớp 5 trường tiểu học Lý Thường Kiệt và trường tiểu học Ngự Bình

7.4 Phương pháp phỏng vấn chuyên gia

- Khảo sát và phỏng vấn để lấy ý kiến của các thầy cô trường Tiểu học

Lý Thường Kiệt và trường Tiểu học Ngự Bình về hệ thống bài tập thiết kế

8. Giả thuyết khoa học

- Nếu đề tài thành công, người nghiên cứu sẽ nắm vững về phép biếnhình, chỉ ra được sự thể hiện và ứng dụng của nó trong chương trình sách giáokhoa tiểu học hiện hành, nhận thức rõ cơ sở toán học của việc dạy học yếu tốhình học ở tiểu học Từ đó, nắm vững các dạng toán hình học đồng thời biếtthiết kế một số bài toán áp dụng phép biến hình làm phong phú thêm hệ thốngbài tập toán, học sinh có cơ hội tiếp xúc nhiều hơn với các dạng toán và rènluyện kĩ năng giải toán từ đó nâng cao năng lực giải toán của mình

9. Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của

đề tài gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức liên quan

Chương 2: Thiết kế hệ thống bài tập hình học ở Tiểu học dựa vào phépbiến hình

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

11

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Trong chương này chúng tôi đề cập đến một số kiến thức về hình hìnhhọc, các đại lượng hình học; phép biến hình; mục tiêu, nội dung dạy học yếu

tố hình học trong chương trình Toán ở tiểu học và ứng dụng của phép biếnhình vào dạy học yếu tố hình học ở tiểu học Nội dung chương này được tham

khảo trong các tài liệu Toán sơ cấp - Nguyễn Trọng Chiến, Nguyễn Thị Kim Thoa (2008), NXB Giáo dục và Giáo trình cơ sở toán học, Nguyễn Gia Định

(2005), NXB Đại học Huế

1.1 Một số vấn đề có liên quan

1.1.1 Hình hình học và các đại lượng hình học

1.1.1.1 Khái niệm hình hình học, đoạn thẳng, đường gấp khúc

Định nghĩa 1: Hình hình học (hay đơn giản là hình) là một tập hợp điểm

bất kì không rỗng

Định nghĩa 2: Một hình được gọi là hình lồi nếu nó chứa mỗi đoạn thẳng

nối hai điểm bất kì thuộc nó Ví dụ: Hình 1 là một hình lồi, Hình 2 khôngphải là hình lồi

Ví dụ: Đoạn thẳng định hướng AB có điểm gốc là A và điểm ngọn là B.

Định nghĩa 4: Ta gọi là đường gấp khúc, tập hợp của một số hữu hạn các

đoạn thẳng có hướng A0A1, A1A2, , An-1An được cho theo một thứ tự xácđịnh và sắp xếp trong không gian sao cho điểm ngọn của mỗi đoạn (trừ đoạnsau cùng) trùng với điểm gốc của đoạn đi liền sau đó

- Đường gấp khúc tạo bởi các đoạn thẳng A0A1, A1A2, , An-1An được kíhiệu là A0A1 A2 An Đường gấp khúc được gọi là đóng nếu các điểm gốc và điểm ngọn của nó trùng nhau: A0 trùng với An

1.1.1.2 Định nghĩa và tính chất độ dài của đoạn thẳng

Định nghĩa: Cho ánh xạ d: σ → R

từ tập hợp σ các đoạn thẳng của

không gian vào tập hợp số thực R

Với mỗi đoạn thẳng AB, số thực d(AB)

sẽ được gọi là độ dài của nó nếu ánh xạ d nói trên thỏa mãn các tính chất sauđây:

13

d(AB) > 0 với mọi đoạn thẳng AB ∈

σNếu điểm C ở giữa A và B thì d(AB) = d(AC) + d(CB)

Nếu AB = CD thì d(AB) = d(CD)

Tồn tại OE ∈

σ sao cho d(OE) = 1

Tính chất độ dài của đoạn thẳng:

1) Tính đơn điệu: Cho hai đoạn thẳng AB và CD, nếu AB < CD thì

d(AB) < d(CD)

2) Tính cộng được: Nếu A1, A2, An theo thứ tự ấy n là điểm ở giữa haiđiểm A, B thì d(AB) = d(AA1) + d(A1A2) + + d(AnB)

1.1.1.3 Định nghĩa của hình đa giác

Định nghĩa 1: Ta gọi hình đa giác hợp của một đường gấp khúc đơn

đóng với miền trong của nó

- Cạnh của đường gấp khúc được gọi là cạnh của hình đa giác

- Đỉnh của đường gấp khúc được gọi là đỉnh của hình đa giác

- Đoạn thẳng nối hai đỉnh không thuộc cùng một cạnh của hình đa giác

được gọi là đường chéo của hình đa giác đó.

Định nghĩa 2: Hai đa giác được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh

tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau

1.1.1.4 Định nghĩa và tính chất diện tích của hình đa giác

Định nghĩa: Cho một ánh xạ S: P→ R

từ tập hợp P các hình đa giác

của không gian vào tập hợp các số thực R

Với mỗi đa giác F, số thực S(F)được gọi là diện tích của nó nếu ánh xạ S thỏa mãn các tính chất sau đây:1) S(F) > 0, ∀

F ∈

P

2) Nếu F1 = F2 thì S(F1) = S(F2)

14

3) Nếu F1 và F2 không có điểm trong chung thì:

S(F1

∪

F2) = S(F1) + S(F2);

4) Tồn tại hình vuông đơn vị F0 sao cho S(F0) = 1

Tính chất của diện tích hình đa giác

1) Tính đơn điệu: Cho hai hình đa giác F1 và F2, nếu F1

⊂

F2 thì S(F1) <S(F2)

2) Tính cộng được: Nếu hình đa giác F = 1

n

Fi

U trong đó Fi, Fj

là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, có nghĩa là với x1≠ x2

thuộc A thì f(x1) ≠ f(x2) và với mọi y ∈ B luôn có x ∈ A để f(x) = y

Phép biến hình của mặt phẳng là một song ánh từ tập hợp các điểm của

mặt phẳng vào chính nó

Ánh xạ đồng nhất của tập hợp các điểm của mặt phẳng là một phép biếnhình và phép biến hình này gọi là phép biến hình đồng nhất

15

Cho một phép biến hình f tức là cho một quy tắc, nhờ đó với mỗi điểm

M của mặt phẳng ta xác định được một điểm duy nhất M’, ảnh của điểm Mqua phép biến hình f

1.1.2.2 Ảnh của một hình qua phép biến hình

Ta biết rằng hình là một tập hợp điểm Như vậy mỗi hình là một tập concủa tập hợp các điểm của mặt phẳng Ảnh của hình H qua phép biến hình f làhình H’ = f(H) được định nghĩa như ảnh của một tập hợp con qua ánh xạ f, cónghĩa là:

1.1.2.3 Tích của hai phép biến hình

Cho hai phép biến hình f và g Tích của hai phép biến hình f và g là mộtphép biến hình ký hiệu là gof và được xác định bởi:

(gof) (M) = g(f(M))

Như vậy, ảnh của điểm M qua phép biến hình gof được xác định theo haibước sau: Trước tiên ta dựng ảnh M1 của điểm M qua phép biến hình f sau đódựng ảnh của điểm M1 qua phép biến hình g

f o Id = Id o f = f

16

1.1.3 Phép dời hình

1.1.3.1 Định nghĩa và tích chất của phép dời hình

Phép dời hình là một phép biến hình f bảo toàn khoảng cách của haiđiểm bất kỳ, có nghĩa là nếu A’ = f(A), B’ = f(B) thì A’B’ = AB

Ký hiệu: f:

' '

b) Định lý 2: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.

Chứng minh: Giả sử f là một phép dời hình và A' = f(A), B’ = f(B), C’

=f(C); A, B, C là ba điểm thẳng hàng và B ở giữa A và C Khi đó ta có: A’B’ =

AB, A’C’ = AC, B’C’ = BC Do ba điểm A, B, C thẳng hàng nên AC =

AB + BC

Từ đó A’C’ = A’B’ + B’C’ Chứng tỏ rằng A’, B’, C’ thẳng hàng

Từ hai định lý trên dễ dàng chứng minh các tính chất sau đây của phépdời hình

c) Hệ quả

1) Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng

17

2) Phép dời hình biến tia thành một tia.

3) Phép dời hình biến góc thành một góc bằng nó

4) Phép dời hình biến hình tam giác thành hình tam giác bằng nó

5) Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn bằng nó

d) Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép dời hình.

Giả sử A và B là hai điểm phân biệt của d và

thì AP PB AB + =

.Tức là:

'

P d∈ ⇒ ∈N d

.Vậy ta đã chứng minh được ảnh

e Khái niệm hình bằng nhau

Định nghĩa: Hai hình H và H’ được gọi là bằng nhau nếu có một phép

dời hình biến hình này thành hình kia Khi đó ta ký hiệu H = H’

Cũng từ tính chất của phép dời hình ta có các tính chất sau đây của cáchình bằng nhau:

Tính chất: Với mọi hình H, H’, H’’ ta có:

H = H

19

H = H’ thì H’ = H

H = H’ và H’ = H’’ thì H = H’’

1.1.3.2 Phép đối xứng trục

1.1.3.2.1 Định nghĩa

Cho một đường thẳng d Phép đối xứng trục d là phép biến hình của mặt

phẳng sao cho với mỗi điểm M và ảnh M’ của nó, ta có d là đường trung trựccủa đoạn thẳng MM'

Ký hiệu: S d :

' '

d Đồng thời mọi điểm M thuộctrục đối xứng đều có ảnh là chínhnó

20Hình 1.4 Phép đối xứng trục

d '

AA

1.1.3.2.2 Tính chất

a Định lý: Phép đối xứng trục là một phép dời hình.

- Chứng minh: Thật vậy, giả sử A’, B’ là ảnh của A, B qua phép đối xứng

trục d Trên hình vẽ bên, dễ thấy ∆

ABI = ∆

A’B’I (vì có hai cặp cạnh bằngnhau xen giữa là hai góc bằng nhau) Do đó AB = A’B’, chứng tỏ rằng phépđối xứng trục là phép dời hình

c Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép đối xứng trục

1) Đường thẳng a có ảnh là đường thẳng a’ qua phép đối xứng trục d

a d

Trong trường hợp a//d thì a’//d và d là đường thẳng song song cách đều a

và a’ Nếu a cắt d tại A thì a’ đi qua A và tạo với d một góc bằng góc giữa a vàd

Hình 1.6 Ảnh Qua phép đối xứng trục2) Vì phép đối xứng trục d là phép dời hình nên ảnh của đường tròn tâm

O bán kính R là đường tròn tâm O’ bán kính R, trong đó O’ là ảnh của O quaphép đối xứng trục Vì mọi điểm nằm trên trục biến thành chính nó nên nếutâm O của đường tròn nằm trên d thì đường tròn tâm O bán kính R có ảnh làchính nó qua phép đối xứng trục d

O

Hình1.7 Phép dời hình

Cho một điểm I Phép đối xứng tâm I là phép biến hình của mặt phẳng

sao cho với mỗi điểm M và ảnh M’ của nó, ta có I là trung điểm của đoạnthẳng MM'

Ký hiệu: I

S

:M a M' ⇔{uuuurIM' = −IMuuur

Hình 1.8 Phép đối xứng tâmNhư vậy nếu M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I thì M cũng là ảnhcủa M’ Đồng thời khi điểm M trùng với tâm I thì ảnh M’ cũng trùng với I

1.1.3.3.2 Tính chất

a Định lý: Phép đối xứng tâm là một phép dời hình.

- Chứng minh: Thực vậy, giả sử A’, B’ là ảnh của A, B qua phép đối xứng

tâm I Trên hình vẽ bên, dễ thấy ∆ABI = ∆A’B’I vì có IA = IA’, IB = IB’ và

·AIB= · ' 'A IB Do đó AB = A’B’, chứng tỏ rằng phép đối xứng tâm là phép dờihình

b Hệ quả: Phép đối xứng tâm có mọi tính chất của phép dời hình.

+ Biến đường thẳng thành đường thẳng cùng phương, ngược chiều.+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, cùng phương, ngược chiềuvới nó

+ Biến tia thành tia cùng phương, ngược chiều

+ Phép đối xứng tâm O biến tâm O thành chính nó

I

A

A' B'

B

+ Biến đường tròn (O,R) thành đường tròn (

'

O ,R)

c Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép đối xứng tâm.

1)Đường thẳng a có ảnh là đường thẳng a’ qua phép đối xứng tâm I.Trong trường hợp a không thuộc I thì a’// a Nếu a thuộc I thì a’ sẽ trùng với a

Hình 1.9 Ảnh qua phép đối xứng tâm2) Vì phép đối xứng tâm I là phép dời hình nên ảnh của đường tròn tâm O bánkính R là đường tròn tâm O’ bán kính R, trong đó O’ là ảnh của O qua phépđối xứng tâm I Vì tâm O là trung điểm của mọi đường kính của đường trònnên khi O trùng với I thì đường tròn tâm O bán kính R có ảnh là chính nó quaphép đối xứng tâm I

I O

M

O' N'

M' N

Hình 1.10 Phép dời hình của đối phép xứng tâm

1.1.3.4 Phép tịnh tiến

1.1.3.4.1 Định nghĩa:

Phép tịnh tiến theo vectơ vr

là một phép biến hình sao cho với mỗi điểm

N'

là phép dời hình

Hệ quả: Phép tịnh tiến có mọi tính chất của phép dời hình Phép tịnh tiến

theo vectơ v

r

:+ Biến đường thẳng thành đường thẳng cùng hướng

+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng và cùng hướng với nó

+ Biến tia thành tia cùng hướng với nó

M’

M

Hình 47

+ Biến đường tròn tâm O, bán kính R thành đường tròn tâm O' bán kính

R Trong đó O' được xác định bởi

'

OO v =

uuuur r

.Như vậy điểm cần chú ý qua phép tịnh tiến theo vectơ là tính cùnghướng

c Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép tịnh tiến

1) Ảnh của đường thẳng a là đường thẳng a’, nhưng theo chứng minhtrên về tính chất của phép tịnh tiến ta còn rút ra được rằng a’//a Như vậy, đểdựng ảnh a’ của a thì ngoài cách dựng ảnh của hai điểm tùy ý thuộc a đã trìnhbày trong phần ảnh của đường thẳng qua phép dời hình ta còn có cách thứ hai

Đó là, chỉ cần dựng ảnh A’ của một điểm A tùy ý thuộc a, sau đó qua A’ kẻđường thẳng song song với a, đường thẳng đó chính là a’

Nếu trong mặt phẳng đã cho hệ tọa độ Oxy và vr

= (a1, a2), M (x, y) thì'

là một phép dời hình nên ảnh của đường tròn tâm O bán kính R

là đường tròn tâm O’ bán kính R, trong đó O’ được xác định bởi OOuuuur r'=v

.1.1.3.5 Phép quay

1.1.3.5.1 Định nghĩa:

Cho góc định hướng α và một điểm O của mặt phẳng Phép quay tâm O góc α là một phép biến hình sao cho với mỗi điểm M và ảnh M’ của nó ta có:

Hình 1.13 Phép quay

OM = OM’

(OM, OM’) = α

trong đó (OM, OM’) ký hiệu góc định hướng

có tia thứ nhất là OM và tia thứ hai là OM’

Điểm O gọi là tâm quay còn α gọi là góc quay

Ký hiệu: Q Oα :M a M'

hay

' ( , ) : '

1.1.3.5.2 Tính chất

a Định lý: Phép quay là một phép dời hình.

Thực vậy, giả sử A’ và B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép quay tâm Ogóc α Dễ thấy ∆OAB = ∆OA’B’, do đó AB = A’B’ Trường hợp nếu A hoặc Btrùng với O thì theo định nghĩa ta luôn có AO = OA’

A'

O

B' A

BHình 1.14 Phép dời hình của phép quay

Vậy phép quay tâm O góc α là một phép dời hình.

Hệ quả:Phép quay tâm O góc quay α có mọi tính chất của phép dời hình.Phép quay tâm O góc α

:+ Biến đường thẳng a thành đường thẳng a': góc (a,a’) = α

.+ Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A'B': AB=A'B' và (A'B', AB) =

α

+Biến tia Mx thành tia M'x': góc (Mx, M'x') = α

+ Biến đường tròn tâm I bán kính R thành đường tròn tâm I' bán kính R:

'

và góc (OI, OI') = α

c Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép quay

1) Ảnh của đường thẳng a là đường thẳng a’ và cách dựng a’ đã đượctrình bày trong phần ảnh của đường thẳng qua phép dời hình Song đối vớiphép quay tâm O điểm O biến thành chính nó nên nếu a đi qua O thì đườngthẳng a’ cũng đi qua O và góc tạo bởi a và a’ đúng bằng góc α Đối với đườngthẳng không đi qua O ta còn có cách dựng ảnh a’ của a như sau: Kẻ OH ⊥ a,dựng ảnh H’ của H, a’ là đường thẳng đi qua H’ vuông góc với OH’

Nếu trong mặt phẳng cho một hệ tọa độ xoy và O(a, b), M(x, y) thì tọa

độ của ảnh M’(x’,y’) của M do quy tắc trên được xác định bởi :

x’ = xcosα - ysinα + 2ay’ = xsinα + ycosα + 2bNếu góc quay α = ± 1800 thì OMuuuuur' = −OMuuuur và trong trường hợp này phép quay

là phép đối xứng tâm O và biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là :

x’ = -x + 2a

y’ = -y + 2b2) Vì phép quay là phép dời hình nên ảnh của đường tròn tâm I bán kính R là đường tròn tâm I’ bán kính R, trong đó OI = OI’ và góc (OI, OI’) =

α Nếu I ≡ O thì ảnh của đường tròn tâm O bán kính R là chính đường tròn ấy,tuy rằng mỗi điểm của đường tròn không biến thành chính nó

1.1.4 Phép đồng dạng

1.1.4.1 Phép vị tự

1.1.4.1.1 Định nghĩa:

Cho điểm O và một số thực k khác 0 Phép vị tự tâm O tỉ số k là một

phép biến hình sao cho với mỗi điểm M và ảnh M’ của nó, ta có: OMuuuuur' =kOMuuuur.

Ký hiệu: V O k:M a M'⇔OMuuuuur'=kOMuuuur

- Theo định nghĩa trên thì ba điểm O, M, M’ thẳng hàng và |k| = OM

OM '

.Đồng thời ta thấy phép đối xứng tâm O là một phép vị tự với tỷ số vị tự k =-1

- Nếu k >0 thì tâm O nằm ngoài hai điểm M, M’, trong trường hợp này

- Chứng minh: Theo giả thiết A’ = V O k (A), B’ = V O k (B) ta có: OAuuuur' =kOAuuur

và OBuuuur' =kOBuuur Khi đó OB OAuuuur uuuur'− '=k OB OA(uuur uuuur− ) Chứng tỏ rằng uuuuurA B' '=k ABuuur.

b Định lý 2: Phép vị tự tâm O tỷ số k biến đoạn thẳng AB thành đoạn

thẳng A’B’ sao cho A’B’ = k AB

- Chứng minh: Cho đoạn thẳng AB và phép vị tự V O k Gọi A'= V O k(A),

B’= V O k(B) Từ định lý 1 và tính chất của vectơ ta có A’B’ = k AB, ví vậy chỉcần chứng minh rằng V O k(AB) = A'B' Thật vậy, cho M bất kỳ thuộc AB vàgọi M' = V O k(M) Khi đó: AM + MB =AB Mặt khác, theo định lý 1 ta có: A'M'

= k AM, M'B' = k MB và A’B’ = k AB nên A'M' + M'B' = k (AM + MB) =

k AB = A’B’, tức là A'M' + M'B' = A'B' Điều này chứng tỏ rằng M' thuộcA'B' Ngược lại, với mối M' thuộc A'B' ta cũng chứng minh được có một điểm

M thuộc AB sao cho V O k(M) = M' Chứng tỏ rằng V O k(AB) = A'B'

c Định lý 3 : Phép vị tự V O k biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểmthẳng hàng

- Chứng minh: Giả sử V O k là một phép đồng dạng và A' = V O k (A), B’ =

k

O

V (B), C’ = V O k (C); A, B, C là ba điểm thẳng hàng và B ở giữa A và C Khi

đó ta có: A’B’ = k AB, A’C’ = k AC, B’C’ = k BC Do ba điểm A, B, Cthẳng hàng nên AC = AB + BC Từ đó A’C’ = k AC = k (AB + BC) = k AB+ k BC = A’B’ + B’C’, tức là A’C’ = A’B’ + B’B’ Chứng tỏ rằng A’, B’, C’thẳng hàng và B’ ở giữa A’ và C’

d Hệ quả:

1) Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng cùng phương

2) Phép vị tự biến tia thành một tia cùng phương

3) Phép vị tự biến góc thành một góc bằng nó

4) Phép vị tự biến hình tam giác thành hình tam giác đồng dạng với nó.

5) Phép vị tự biến đường tròn C(O,R) thành đường tròn C’(O’,R’) sao

cho R’ = k R

1.1.4.1.3 Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép vị tự

1) Cho đường thẳng d và phép vị tự V O k Để xác định ảnh d’ của d quaphép vị tự V O k ta chỉ cần dựng ảnh A’, B’ của hai điểm tùy ý A, B của d vàđường thẳng d’ hoàn toàn được xác định khi biết hai điểm A’, B’ thuộc nó 2) Cho đường tròn C tâm O bán kính R, ký hiệu C(O,R) và phép vị tự V O k

Theo trên, ảnh của C qua phép vị tự V O k sẽ là đường tròn C' tâm O' bán kínhR’ với R’ =k R Để xác định C' ta chỉ việc dựng ảnh O’ của O qua phép vị tự

ta cững chứng minh được có một điểm M thuộc AB sao cho Zk(M) = M'.Chứng tỏ rằng Zk(AB) = A'B' và theo định nghĩa ta có A'B' : AB = k

b Định lý 2: Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm

thẳng hàng

Chứng minh: Giả sử Zk là một phép dời hình và A' = Zk(A), B’ = Zk(B),C’ = Zk(C); A, B, C là ba điểm thẳng hàng và B ở giữa A và C Khi đó ta có:A’B’ = k.AB, A’C’ = k.AC, B’C’ = k.BC Do ba điểm A, B, C thẳng hàng nên

AC = AB + BC Từ đó A’C’ = k.AC = k(AB + BC) = kAB + k.BC = A’B’ +B’C’, tức là A’C’ = A’B’ + B’C’ Chứng tỏ rằng A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ ởgiữa A’ và C’

Từ hai định lý trên dễ dàng chứng minh các tính chất sau đây của phépđồng dạng

c Hệ quả:

1) Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng

2) Phép đồng dạng biến tia thành một tia

3) Phép đồng dạng biến góc thành một góc bằng nó

4) Phép đồng dạng biến hình tam giác thành hình tam giác đồng dạngvới nó

5) Phép đồng dạng biến đường tròn C(O,R) thành đường tròn C’(O’,R’)

sao cho R’= kR

d Định lý 3:Tích của một phép dời hình với một phép vị tự là một phép

đồng dạng Đồng thời mỗi phép đồng dạng bao giờ cũng biểu diễn được thànhtích của một phgép dời hình với một phép vị tựhay tích của một phép vị tự vớimột phép dời hình

'.

1.1.4.2.3 Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép đồng dạng

- Ảnh của đường thẳng qua phép đồng dạng

1) Cho đường thẳng d và phép đồng dạng Zk Để xác định ảnh d’ của dqua phép phép đồng dạng Zk ta chỉ cần dựng ảnh A’, B’ của hai điểm tùy ý A,

B của d và đường thẳng d’ hoàn toàn được xác định khi biết hai điểm A’, B’thuộc nó

2) Cho đường tròn C tâm O bán kính R, ký hiệu C(O,R) và phép đồngdạng Zk Theo trên, ảnh của C qua phép đồng dạng Zk sẽ là đường tròn C' tâmO' bán kính R’ với R’ = k.R Để xác định C' ta chỉ việc dựng ảnh O’ của Oqua phép đồng dạng Zk, và đường tròn C' hoàn toàn dựng được khi biết tâm O’

và bán kính R’ = k.R

* Khái niệm hình đồng dạng: Hai hình H và H’ được gọi là đồng dạng

với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia Khi đó ta

2) H : H’ thì H’ : H

3) H : H’ và H’ : H’’ thì H : H’’

1.2 Mục tiêu và nội dung dạy học yếu tố hình học trong chương trình Toán ở tiểu học

1.2.1 Mục tiêu yếu tố hình học trong chương trình Toán ở tiểu học

Dạy học các yếu tố hình học ở tiểu học nhằm:

Giúp cho học sinh có được những biểu tượng chính xác về một số hìnhhình học đơn giản và một số đại lượng hình học thông dụng

+ Nhận biết một số hình hình học, từ nhận biết tổng thể tiến lên nhận biếttheo đặc điểm, tính chất và các yếu tố của hình để có biểu tượng ngày càngchính xác, đầy đủ về hình

+ Có khái niệm về đại lượng hình học như độ dài đoạn thẳng, chu vi,diện tích, thể tích một số hình hình học thường gặp, có khái niệm ban đầu vềphép đo các đại lượng hình học

Rèn luyện cho học sinh một số kĩ năng thực hành, phát triển cho học sinhmột số năng lực trí tuệ

+ Bước đầu hình thành và rèn luyện kĩ năng thực hành như: đo độ dàiđoạn thẳng, vẽ hình, cắt ghép hình Đặc biệt có kĩ năng tính toán với các số đođại lượng hình học (chu vi, diện tích, thể tích)

+ Bước đầu làm quen với các thao tác phân tích, tổng hợp hình, pháttriển trí tưởng tượng không gian

Tích lũy những hiểu biết cần thiết cho đời sống sinh hoạt và học tập củahọc sinh

+ Các kiến thức hình học ở tiểu học được dạy thông qua các hoạt độngthực hành để tích lũy những hiểu biết cần thiết cho học sinh Song những kiếnthức, kĩ năng hình học được thu lượm như vậy qua con đường thực nghiệm lạirất cần thiết trong cuộc sống, rất hữu ích cho việc học tập các tuyến kiến thức

khác trong môn Toán tiểu học như Số học, Đo đại lượng, Giải toán, cũng nhưcho việc học tập các môn Vẽ, Viết tập, Tự nhiên và Xã hội, Thủ công…

+ Ngoài ra, các yếu tố hình học giúp cho học sinh phát triển được nhiềunăng lực trí tuệ, rèn luyện được nhiều đức tính và phẩm chất tốt như: cẩn thận,cần cù, chu đáo, khéo léo, ưa thích sự chính xác, làm việc có kế hoạch… Nhờ

đó mà học sinh có thêm tiền đề để học các môn khác ở tiểu học, để học tiếpcác giáo trình toán học có hệ thống ở bậc Trung học cơ sở và thích ứng tốt hơnvới môi trường tự nhiên và xã hội xung quanh

1.2.2 Nội dung dạy học các yếu tố hình học ở tiểu học

- Định hướng trong không gian:

+ Trên, dưới

+ Trước, sau

+ Bên phải, bên trái, ở giữa

- Các hình hình học

+ Điểm, đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn

+ Hình vuông, hình tròn, hình tam giác, hình chữ nhật, hình tứ giác, hìnhthang

+ Góc: góc vuông, góc nhọn, góc tù, góc bẹt

+ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình trụ

- Một số quan hệ hình học

+ Dài hơn, ngắn hơn, bằng nhau

+ Hai đường thẳng song song

+ Hai đường thẳng vuông góc

- Vẽ hình

+ Vẽ nét thẳng, nét cong, đường thẳng vuông góc, song song

+ Dùng chữ để ghi hình

+ Sử dụng thước thẳng, ê ke và compa để vẽ những hình đơn giản.

+ Vẽ (và đọc) biểu đồ: hình đoạn thẳng, hình cột, hình quạt

+ Gióng và đo đoạn thẳng trên mặt đất, vẽ thu nhỏ đoạn thẳng trên giấy(kèm theo khái niệm “tỉ lệ xích”)

- Các đại lượng hình học thông dụng

+ Độ dài, chu vi, diện tích, thể tích

+ Tính chu vi, diện tích, thể tích các hình đơn giản

- Cắt, ghép, xếp hình đơn giản.

- Giải các bài toán có lời văn chứa đựng nội dung hình học.

1.2.3 Sự phân bố của tuyến kiến thức các yếu tố hình học theo lớp

+ Nhận ra hình vuông, hình tam giác,hình tròn ở những vị trí khác nhau.+ Tham gia các hoạt động xếp, ghéphình

Nhận biết bước đầu về điểm, đoạn thẳngBiết nối hai điểm để có đoạn thẳngNhận biết bước đầu về điểm ở trong,điểm ở ngoài một hình

Biết vẽ đoạn thẳng có độ dài không quá10cm

Biết tính độ dài đường gấp khúc khi chosẵn độ dài mỗi đoạn thẳng của nó, tính

Khái niệm ban đầu về chu

Biết tính chu vi diện tích hình chữ nhật,hình vuông

Thực hành xác định tính chất hình họcmỗi hình bằng ê ke, compa

Biết vẽ: đường cao của hình tam giác;hai đường thẳng vuông góc, hai đườngthẳng song song, hình chữ nhật, hìnhvuông khi biết độ dài các cạnh

Biết tính chu vi, diện tích của hình bìnhhành, hình thoi

5 Hình tam giác, diện tích

Diện tích xung quanh và

diện tích toàn phần của

Biết tính chu vi, diện tích hình tam giác,hình thang, hình tròn

Biết tính diện tích xung quanh, diện tíchtoàn phần, thể tích hình hộp chữ nhật,hình lập phương

1.3 Ứng dụng phép biến hình vào dạy học yếu tố hình học ở tiểu học

Phép biến hình là một cơ sở toán học quan trọng trong dạy học yếu tố hìnhhọc ở tiểu học, nó là cơ sở để học sinh cắt, ghép, xếp hình Đồng thời là cơ sở

để hình thành nên các công thức tính diện tích các hình: hình thành công thứctính diện tích hình thang từ công thức tính diện tích hình tam giác, hình thànhcông thức tính diện tích hình tam giác từ cách tính diện tích hình chữ nhật,hoặc phân chia hình chưa biết thành các hình quen thuộc, đã biết để tính toán,

…

Ví dụ: Hình thành công thức tính diện tích hình thang ở lớp 4

Hình 1.15 Ứng dụng của phép biến hìnhLấy điểm chính giữa M của cạnh bên CD của hình thang ABCD

Nối AM rồi cắt hình thang theo đường AM để được tam giác ADM.Ghép tam giác ADM vào vị trí tam giác ECM ta được tam giác ABE

1.4 Ý nghĩa của việc giải toán hình học đối với học sinh tiểu học

Giải toán hình học là điểm xuất phát, tạo động cơ để hình thành kiến thứcmới về các biểu tượng, khái niệm, quy tắc và các tính chất toán học,… chứa yếu

tố hình học

Giải toán giúp học sinh luyện tập, củng cố, vận dụng và khắc sâu kiếnthức đã học, rèn luyện kĩ năng thực hành Đồng thời, giúp giáo viên dễ dàngphát hiện những ưu điểm hoặc “lỗ hổng” kiến thức của học sinh

Giải toán còn là phương tiện để rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức và

kĩ năng thực hành vào thực tiễn (học tập, đời sống)

Giải toán là phương tiện phát triển năng lực tư duy, rèn luyện phươngpháp và khả năng suy luận, tập dượt khả năng quan sát, phỏng đoán, tìm tòicủa học sinh

Giải toán còn là phương tiện góp phần giáo dục nhân cách toàn diện chohọc sinh, rèn luyện cho các em những đức tính, phẩm chất tốt

Hệ thống bài tập là “công cụ” để phát triển kĩ năng giải toán cho họcsinh

Giúp học sinh rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo, phương pháp học tậpkhoa học hiệu quả.