Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính chất của tập hợp số hữu tỉ không âm

MỤC LỤC o0o Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN Chương .27 THIẾT KẾ HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ PHÂN SỐ 27 Chương .56 PHÂN TÍCH Ý KIẾN CỦA CHUYÊN GIA 56 VỀ HỆ THỐNG BÀI TẬP THIẾT KẾ 56 3.6 Nhận xét 59 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, giới đà phát triển mạnh thành tựu khoa học công nghệ tạo thuận lợi góp phần nâng cao chất lượng sống người Vì vậy, yếu tố trí tuệ giữ vai trò quan trọng phát triển kinh tế nước nhà Trong văn kiện Đại hội Đảng IX tiếp tục khẳng định “Phát triển giáo dục đào tạo động lực quan trọng thúc đẩy công nghiệp hóa, đại hóa, điều kiện để phát huy nguồn lực người – yếu tố để phát triển xã hội, tăng trưởng kinh tế nhanh bền vững” Đây chủ trương đắn mà Đảng coi “Giáo dục – Đào tạo nghiệp toàn Đảng, Nhà nước toàn dân” Trong giáo dục Tiểu học coi tảng hệ thống giáo dục phổ thông Ở giai đoạn này, em bước đầu tiếp cận kiến thức tương đối khó mẻ Các môn học trường Tiểu học trang bị cho học sinh lượng kiến thức sống Môn Toán giúp em có tảng kiến thức vững chắc, giúp học sinh nhận biết mối quan hệ số lượng hình dạng không gian giới thực Ngoài ra, tạo cho học sinh cần cù, chăm chỉ, làm việc có kế hoạch có tác phong khoa học Kiến thức toán học Tiểu học bao gồm mạch kiến thức số học, hình học, đo đại lượng, giải toán có lời văn Phân số không đóng vai trò quan trọng mạch kiến thức số học, mà giữ vai trò quan trọng đời sống thực tiễn Phân số giới thiệu cho học sinh làm quen lớp đưa vào dạy hoàn chỉnh từ lớp Hệ thống tập có vai trò quan trọng, công cụ phát huy nhu cầu, động cơ, hứng thú hoạt động học tập độc lập, sáng tạo học sinh Hệ thống tập chủ đề: “Phân số” kết cấu sách giáo khoa, nhằm cung cấp kiến thức, kỹ thực phép tính với phân số Trong thực tế, nhiều giáo viên trọng đến mục tiêu cung cấp kiến thức, mà chưa ý phát huy tính tích cực hoạt động học tập học sinh Việc sử dụng hệ thống tập trình dạy học giáo viên lúng túng, chưa phát huy tính tích cực, tự giác sáng tạo học sinh Xuất phát từ lý trên, lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Thiết kế hệ thống tập phân số lớp dựa vào tính chất tập hợp số hữu tỉ không âm” nhằm tạo điều kiện cho em hiểu sâu chất tập phân số Đồng thời, hội để thân học hỏi kinh nghiệm, tìm hiểu, tiếp cận gần chương trình Tiểu học để sau tự tin, vững vàng bục giảng Lịch sử vấn đề nghiên cứu Các nội dung số hữu tỉ không âm vấn đề thuộc học phần số học chương trình đào tạo giáo viên Tiểu học nên nhiều tác giả quan tâm, sâu nghiên cứu: Các giáo trình như: “Giáo trình lý thuyết số” (2003) Trần Diên Hiển, Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn Ngọc; “Giáo trình Toán học 2” (2015) Lê Mạnh Hà,… Đa số tài liệu cho thấy chất thể phân số, quan hệ tương đương, tính chất tập hợp số hữu tỉ không âm Tuy nhiên, kiến thức trình bày với tư cách phần chủ đề giáo trình nên chưa hiểu cách cụ thể, tường tận Mặt khác, vấn đề dạy học phân số nhiều tác giả sâu tìm hiểu trình bày như: Đỗ Trung Hiệu với “Các toán điển hình lớp 4, 5” nghiên cứu dạng toán với tập điển hình lớp 4, hay số đề tài nghiên cứu sinh viên khóa luận Dương Thị Diệu Thay “Các phép toán số học ứng dụng vào việc dạy học chủ đề phân số, số thập phân chương trình môn toán Tiểu học” (2012) đề cập đến phép toán số học, tập hợp số hữu tỉ, biện pháp ứng dụng phép toán số học vào dạy học chủ đề phân số, số thập phân chương trình Tiểu học Tuy nhiên, việc nghiên cứu ý đến tập hợp số hữu tỉ không âm, thể hiện, hệ thống phân loại dạng tập phân số, số lượng tập phân số dựa vào tính chất tập hợp số hữu tỉ chưa nhiều Do vậy, việc sâu tìm hiểu chất khoa học tập hợp số hữu tỉ không âm thể chủ đề phân số, từ thiết kế hệ thống tập phân số lớp công việc cần thiết, quan trọng có ý nghĩa Chúng chọn đề tài để nghiên cứu góp phần củng cố kiến thức, nâng cao tính sáng tạo, tích cực, chủ động cho học sinh Mục đích nghiên cứu Thiết kế hệ thống tập phân số lớp dựa vào tính chất tập hợp số hữu tỉ không âm nhằm góp phần nâng cao hiệu việc dạy học môn toán Tiểu học Nhiệm vụ nghiên cứu Với đề tài này, nhiệm vụ nghiên cứu là: - Nghiên cứu tập số hữu tỉ không âm Hệ thống hóa phân loại dạng tập phân số chương trình Tiểu học - Thiết kế hệ thống tập phân số lớp dựa vào tính chất tập hợp số hữu tỉ không âm - Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng hiệu hệ thống tập thiết kế Đối tượng nghiên cứu - Các kiến thức số hữu tỉ không âm chương trình Toán học cao cấp thể số hữu tỉ không âm nội dung dạy học phân số lớp - Nội dung hệ thống tập phân số lớp Phạm vi nghiên cứu - Chủ đề phân số chương trình môn Toán lớp tập hợp số hữu tỉ không âm - Nghiên cứu cách thiết kế hệ thống tập phân số lớp dựa vào tính chất số hữu tỉ không âm với mức độ phù hợp trường Tiểu học An Cựu Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu có liên quan số hữu tỉ không âm phân số chương trình Tiểu học - Phương pháp phân tích, tổng hợp, phân loại xử lí tài liệu: phân tích tổng hợp kiến thức, nội dung liên quan đến đề tài - Phương pháp điều tra: đưa phiếu điều tra hệ thống câu hỏi tập - Phương pháp thống kê toán học: thu thập, xử lí, đánh giá số liệu - Phương pháp chuyên gia: đánh giá giáo viên thiết kế hệ thống tập qua phiếu điều tra - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng kết, rút kinh nghiệm trình nghiên cứu Giả thuyết khoa học Nếu đề tài thiết kế hệ thống tập phân số lớp dựa vào tính chất số hữu tỉ không âm có tính khoa học, phù hợp hiệu nâng cao lực học tập giảng dạy học sinh giáo viên Cấu trúc đề tài Ngoài phần Mở đầu phần Kết luận, phần Nội dung phần trọng tâm đề tài gồm có chương sau: Chương 1: Một số kiến thức liên quan Chương 2: Thiết kế hệ thống tập phân số lớp dựa vào tính chất số hữu tỉ không âm Chương 3: Thực nghiệm sư phạm Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN Trong chương này, trình bày số kiến thức tập hợp số hữu tỉ không âm, phân số chương trình Tiểu học, hệ thống hóa phân loại tập phân số lớp Các nội dung trình bày chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4],… 1.1 Tập số hữu tỉ không âm 1.1.1 Sự cận thiết phải xây dựng tập hợp số hữu tỉ không âm Như biết tổng tích hai số tự nhiên số tự nhiên Trong đó, thương hai số tự nhiên số tự nhiên Chẳng hạn: : 17 : 9;… Trong tự nhiên, tập số tự nhiên không đủ để biểu diễn số đo nhiều phép đo đại lượng Chẳng hạn, chia cam cho người số cam người chia biểu diễn số tự nhiên đo chiều dài lớp học 6m2dm5cm dùng đơn vị mét biễu diễn số đo số tự nhiên Về phương diện toán học, nhiều tính chất phép cộng, trừ, nhân, chia phân số số thập phân đưa vào chương trình môn Toán trường phổ thông hầu hết công nhận chưa chứng minh chặt chẽ Vì vậy, cần phải xây dựng tập hợp số hữu tỉ không âm 1.1.2 Xây dựng tập hợp số hữu tỉ không âm 1.1.2.1 Quan hệ tương đương tập số ℕ× ℕ* Định nghĩa: Xét tập Đề các: ℕ× ℕ* = {(a,b)/a ∈ ℕ, b∈ ℕ*} Trên tập hợp ℕ× ℕ* ta xác định quan hệ hai ngôi, kí hiệu S sau: Với (a,b), (c,d) ∈ ℕ× ℕ*: (a,b)S(c,d) ⇔ ad = bc Quan hệ S xác định quan hệ tương đương Chứng minh : Cần chứng minh S có tính chất quan hệ tương đương a) Kiểm tra tính phản xạ: Với (a,b) ∈ ℕ× ℕ* ta có ab = ba (tính chất giao hoán phép nhân số tự nhiên) hay (a,b)S(a,b) Do đó: S có tính chất phản xạ b) Kiểm tra tính đối xứng: Với (a,b), (c,d) ∈ ℕ× ℕ*, ta có: (a,b)S(c,d) ⇔ ad = bc ⇔ bc = ad ⇔ cb = da (tính chất giao hoán) Suy ra: (c,d)S(a, b) Do đó: S có tính chất đối xứng c) Kiểm tra tính bắc cầu: Với (a,b), (c,d), (e,f) ∈ ℕ× ℕ , ta có: * Nếu (a,b)S(c,d) suy ad = bc (c,d)S(e,f) suy cf = de Từ ta suy ra: adcf = bcde + Nếu c = a = e = suy af = be = + Nếu c ≠ adcf = bcde ⇔ af = be Do đó: (a,b)S(e,f) Vậy, S quan hệ tương đương tập ℕ× ℕ* 1.1.2.2 Tập số hữu tỉ không âm Quan hệ tương đương S tập ℕ× ℕ* xác định tập hợp ℕ× ℕ* lớp tương đương tập hợp lớp tương đương gọi tập thương Kí hiệu ℚ+ = (ℕ× ℕ*)/S tập thương ℕ× ℕ* theo quan hệ tương đương S gọi tập số hữu tỉ không âm Mỗi phần tử tập ℚ+ số hữu tỉ không âm 1.1.2.3 Quan hệ thứ tự tập số hữu tỉ không âm a) Định nghĩa: Cho hai số hữu tỉ không âm với phân số đại diện a c Ta b d nói a nhỏ c , kí hiệu a ≤ c ad < bc a < c b d b d b d a c a c ≠ ≤ b d b d b) Tính chất quan hệ thứ tự:  Quan hệ thứ tự xác định định nghĩa quan hệ thứ tự toàn phần ℚ+ - Tính chất phản xạ: Với a a a c , ∈ ℚ+ ta có: ab ≤ ba hay ≤ b d b b - Tính chất phản xứng: Với a c a c c a , ∈ ℚ+, ta có: ≤ ⇔ ad ≤ bc ≤ ⇔ cb ≤ da b d d b b d Từ suy ra: ad = bc hay a c = b d - Tính chất bắc cầu: Với a c e c e a c , , ∈ ℚ+, ta có: ≤ ⇔ ad ≤ bc ≤ ⇔ cf ≤ de b d f d f b d Từ suy ra: abcf ≤ bcde Vì d ≠ nên acf ≤ bce + Nếu c ≠ af ≤ be hay a e ≤ b f + Nếu c = af = be = hay a e a e = ⇒ ≤ b f b f - Tính chất toàn phần: Từ tính toàn phần quan hệ thứ tự tập số tự nhiên ta suy rằng: xảy ba quan hệ ab < bc ad = bc ad > bc Điều chứng tỏ xảy ba quan hệ a c < b d a c a c = > b d b d  Tiền đề Acsimet: * Định lí: Với x, y ∈ ℚ, x > tồn n∈ ℕ cho nx > y Chứng minh: Nếu y ≤ đặt n = nx = x > y Nếu y > đặt x = a y = c b d Vì x > 0, y > nên xem a, b, c, d số nguyên dương Lấy n = b(c + 1), n ∈ ℕ, ta có: nx = a (c + 1) ≥ c + > c ≥ c = y (đpcm) d Vậy tập hợp số hữu tỉ có tính chất gọi tập thứ tự Acsimet  Giá trị tuyệt đối: a) Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ x, kí hiệu x xác định sau: x = x x ≥ –x x < b) Tính chất: Với x, y hai số hữu tỉ bất kỳ: i) x = − x iv) x + y ≤ x + y ii ) x ≥ x ≥ x v) x − y ≤ x − y iii ) xy = x y  Tính đơn điệu: - Quan hệ thứ tự “ ≤ ” tương thích với phép toán cộng tập ℚ+, nghĩa là: Với a e c e a c a c , ∈ ℚ+, ta có: ≤ ⇔ + ≤ + b f d f b d b d Từ tính chất ta kết sau: 3.6.2 Đánh giá giáo viên tập Từ việc phân tích số liệu kết khảo sát có kết cụ thể sau: Bài toán 10 Số HS Tỉ lệ phần trăm Đánh giá làm (%) giáo viên 57 95% Tương đối dễ 43 72% Vừa sức 45 75% Vừa sức 49 82% Vừa sức 52 87% Vừa sức 47 78% Vừa sức 43 72% Vừa sức 58 97% Tương đối dễ 46 77% Vừa sức 39 65% Khó Bảng 2: Mức độ vừa sức toán Qua kết bảng ta thấy tập đưa theo quan điểm giáo viên vừa sức với học sinh, đảm bảo quan điểm nêu thiết kế phù hợp với trình độ nhân thức học sinh, có mức độ từ dễ đến khó, nội dung học phân số chương trình Tiểu học, 58 3.6 Nhận xét * Một số làm học sinh làm Bài 2: Học sinh biết cách so sánh phân số với 1, hai phần bù với 1, phần với Từ nắm kiến thức như: so sánh hai phân số có tử số, phân số có mẫu số lớn phân số bé ngược lại; so sánh hai phân số với 1,… Bài 3: Thực phép tính cộng, trừ, nhân, chia qua tập tìm x, biết ghi nhớ cách tìm thành phần chưa biết 59 Bài 5: Biết cách tìm số cộng thêm tử số mẫu số cách đưa dạng tìm hai số biết hiệu tỉ số hai số Bài 4: Học sinh biết cách tìm phân số nằm hai phân số cách đưa hai phân số có mẫu số tìm phân số Bài 6: Như cách làm với 5, học sinh đưa dạng tìm hai số biết tổng tỉ số hao số Bài 8: Học sinh biết cách tìm hai số biết tổng hiệu hai số * Một số làm học sinh làm chưa hoàn thiện 60 Đây số làm học sinh dự đoán kêt tập Vì mang tính chất dự đoán nên dẫn đến kết làm sai Bài làm với bước sai kết cần cẩn thận tính toán 61 Bài làm thiếu bước cuối cùng, chưa trả lời câu hỏi toán cần đọc kỹ đề Bài 7: Học sinh phân tích đề chưa kỹ, hiểu sai kiện tính toán sai Đây dạng có lời văn trung bình cộng Rèn cho học sinh khả suy luận, thực hành cách tính trung bình cộng hai hay nhiều số - Tìm tổng số, tổng số thứ số thứ 2, tổng số thứ số thứ theo công thức trung bình cộng là: a+b a+b+c hay - Từ ta việc tìm số thứ (tổng số – tổng số thứ số thứ 3), số thứ (tổng số – tổng số thứ số thứ 3), số thứ (tổng số – số thứ – số thứ 3) 62 Bài 10: Học sinh đa số chưa nhận dạng toán tìm hai số biết hiệu tỉ số hai số Đây dạng tìm hai số biết hiệu tỉ số hai số (hiệu ẩn tỉ số ẩn) - Tìm hiệu số tuổi chị Huệ Thư là: 28 – = 20 tuổi - Lập luận để xem tuổi Thư phần tuổi chị Huệ phần Ta tìm hiệu số phần nhau: – = phần - Ta tìm tuổi chị Huệ tuổi Thư 35 tuổi 15 tuổi - Bước cuối ta tìm sau năm 1 tuổi Thư tuổi chị Huệ cách: 15 – = năm (hay 35 – 28 = năm) Như vậy, qua làm học sinh ta thấy tập đảm bảo tính phù hợp với trình độ nhận thức, có phân loại học sinh, có tính khoa học sáng tạo,… thông qua tập góp phần nâng cao khả tư duy, sáng tạo, lực giải toán cho học sinh, đồng thời tạo nên động lực giúp học sinh ham thích, hứng thú với môn học 63 KẾT LUẬN Qua việc nghiên cứu đề tài này, nhận thấy chủ đề phân số nội dung toán học khó học sinh Tiểu học Những vấn đề phân số không học riêng Tiểu học mà phát triển cấp học cao Trung học sở, Trung học phổ thông,… Trong chương một, nghiên cứu số kiến thức liên quan đến phân số số hữu tỉ không âm, hệ thống hóa phân loại dạng tập phân số lớp Trong chương hai, tiến hành thiết kế hệ thống tập phân số lớp dựa vào tính chất số hữu tỉ không âm Trong chương 3, thực nghiệm khảo sát mức độ phù hợp hệ thống tập thiết kế dựa vào phiếu điều tra dành cho giáo viên học sinh lớp trường Tiểu học An Cựu Từ việc nghiên cứu đề tài: “Thiết kế hệ thống tập phân số lớp dựa vào tính chất số hữu tỉ không âm” tích lũy thêm nhiều kiến thức hay, bổ ích cho công tác giảng dạy sau Tôi nhận thấy rằng, thông qua hệ thống thiết kế tập giúp em phát triển tư trí tuệ cách giải toán học tốt Nhưng hạn chế đề tài nên hệ thống thiết kế số dạng toán Nếu có điều kiện phát triển hơn, sâu phân tích tìm hiểu thêm dạng tập điển hình phân số Tiểu học 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hoài Anh (2013), Bài giảng Toán học 3, NXB Đại học Huế Trần Thị Kim Cương (2005), Giải nhiều cách toán 4, NXB Tổn hợp Lê Mạnh Hà (2015), Giáo trình Toán học 2, NXB Đại học Huế PTS Trần Diên Hiển – Nguyễn Tiến Tài – Nguyễn Văn Ngọc (1997), Giáo trình lý thuyết số, NXB Giáo Dục Trần Diên Hiển (2002), 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4, – tập 1, NXB Giáo Dục Đỗ Trung Hiệu, Các toán điển hình lớp 4, 5, NXB Giáo Dục Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) – Nguyễn Ánh (2012), Toán 4, NXB Giáo Dục Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) – Nguyễn Ánh – Đỗ Trung Hiệu – Phạm Thanh Tâm (2007), Bài tập Toán 4, NXB Giáo Dục Đặng Thị Lập, Võ Thị Thu Lan, Phương pháp giải toán nâng cao chọn lọc lớp 4, NXB Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh 10 Tô Hoàng Phong, Huỳnh Minh Chiến, Trần Huỳnh Thống (2000), Tuyển chọn 400 toán lớp bồi dưỡng học sinh giỏi, NXB Đà Nẵng 11 Dương Thị Diệu Thay, KLTN Các phép toán số học ứng dụng vào việc dạy học chủ đề phân số, số thập phân chương trình môn toán Tiểu học, - Khóa luận tốt nghiệp, Khoa Giáo dục Tiểu học - Trường Đại học Sư phạm Huế khóa 2008 – 2012 12 Vũ Dương Thụy (chủ biên) – Đỗ Trung Hiệu – Nguyễn Danh Ninh (2005), Toán nâng cao lớp – tập 1, 2, NXB Giáo Dục 13 Đình Thực, Toán chọn lọc Tiểu học, NXB Giáo Dục (2003) 65 PHỤ LỤC PHIẾU ĐÁNH GIÁ (Dành cho giáo viên) Hiện nay, nghiên cứu đề tài: “Thiết kế hệ thống tập phân số lớp dựa vào tính chất tập hợp số hữu tỉ không âm” Dưới toán thiết kế theo tinh thần nói Để đánh giá mức độ phù hợp toán này, mong quý thầy cô vui lòng đánh dấu (x) vào mức độ đưa Trong đó: 1: Dễ 2: Tương đối dễ 3: Vừa sức 4: Khó 5: Rất khó Bài toán Bài 1: Điền dấu >, ,