Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính chất của tập hợp số hữu tỉ không âm

Việc sử dụng hệ thống bài tập trong quá trình dạy học của giáo viên cònlúng túng, chưa phát huy được tính tích cực, tự giác và sáng tạo của học sinh.Xuất phát từ những lý do như trên, ch

MỤC LỤC

-o0o -MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Lịch sử vấn đề nghiên cứu 2

3 Mục đích nghiên cứu 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Đối tượng nghiên cứu 3

6 Phạm vi nghiên cứu 4

7 Phương pháp nghiên cứu 4

8 Giả thuyết khoa học 4

9 Cấu trúc của đề tài 4

Chương 1 6

MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 6

1.1 Tập số hữu tỉ không âm 6

1.1.1 Sự cận thiết phải xây dựng tập hợp số hữu tỉ không âm 6

1.1.2 Xây dựng tập hợp số hữu tỉ không âm 6

1.1.2.1 Quan hệ tương đương trên tập số ℕℕ* 6

1.1.2.2 Tập số hữu tỉ không âm 7

1.1.2.3 Quan hệ thứ tự trên tập số hữu tỉ không âm 8

1.1.3 Các phép toán trên ℚ 11

1.1.3.1 Phép cộng 11

1.1.3.2 Phép nhân 11

1.1.3.3 Phép trừ 13

1.1.3.4 Phép chia 13

1.2 Phân số trong chương trình môn Toán trường Tiểu học 14

1.2.1 Khái niện phân số 14

1.2.3 Các phép toán trên phân số 15

1.2.3.1 Phép cộng 15

1.2.3.2 Phép trừ 16

1.2.3.3 Phép nhân 16

1.2.3.4 Phép chia 17

1.2.4 Tính chất các phép toán trên phân số 17

1.3 Hệ thống và phân loại các bài tập về phân số ở lớp 4 18

1.3.1 Các bài toán về cấu tạo phân số 18

1.3.2 Các bài toán về so sánh phân số 19

1.3.2.1 Phân số bằng nhau 19

1.3.2.2 Rút gọn phân số 20

1.3.2.3 So sánh hai phân số cùng mẫu 21

1.3.2.4 So sánh hai phân số khác mẫu 21

1.3.3 Các bài toán về thực hành 4 phép tính trên phân số 22

1.3.3.1 Phép cộng phân số (cùng mẫu, khác mẫu) 22

1.3.3.2 Phép trừ phân số (cùng mẫu, khác mẫu) 23

1.3.3.3 Phép nhân phân số 23

1.3.3.4 Phép chia phân số 23

1.3.4 Các bài toán có lời văn điển hình 24

1.3.4.1 Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó 24

1.3.4.2 Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó 25

1.3.4.3 Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó 26

1.3.4.4 Bài toán về trung bình cộng 27

Chương 2 28

THIẾT KẾ HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ PHÂN SỐ 28

2.1 Quan điểm thiết kế bài tập 28

2.1.1 Hệ thống bài tập cho học sinh 28

2.1.1.1 Yêu cầu khi thiết kế hệ thống bài tập về phân số phải đáp ứng mục đích yêu cầu bài dạy 28

2.1.1.2 Thiết kế hệ thống bài tập phải đáp ứng nội dung bài học 28

2.1.1.3 Nội dung bài tập thiết kế phải đảm bảo tính chính xác, tính khoa học và tính thực tiễn 28

2.1.1.4 Thiết kế hệ thống bài tập phải phù hợp với trình độ nhận thức và trình độ tư duy của học sinh tiểu học 28

2.1.1.5 Thiết kế hệ thống bài tập phải đảm bảo tính logic và hệ thống 29

2.1.1.6 Thiết kế bài tập phải phân loại được các đối tượng học sinh 29

2.1.2 Định hướng thiết kế 29

2.2 Quy trình thiết kế 29

2.2.1 Xác định nội dung kiến thức 29

2.2.2 Xác định mục tiêu thiết kế 29

Sau khi lựa chọn được kiến thức, cần xác định các năng lực cần hình .29

thành và phát triển cho học sinh như: năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo, năng lực ngôn ngữ, năng lực hợp tác, năng lực tính toán,… 30

2.2.3 Thiết kế hệ thống bài tập theo mục tiêu 30

2.2.3.1 Xây dựng các bài tập tương tự các bài tập đã có 30

2.2.3.2 Xây dựng bài tập hoàn toàn mới 30

2.2.4 Xây dựng đáp án cho bài tập 30

2.2.5 Kiểm tra thử 30

3.1 Các thiết kế cụ thể 30

3.1.1 Dạng bài tập về cấu tạo phân số 30

3.1.2 Dạng bài tập so sánh phân số 33

3.1.3 Dạng bài tập thực hiện bốn phép tính về phân số 36

3.1.4 Dạng bài tập có lời văn liên quan đến tỉ số 44

3.1.4.1 Dạng toán về trung bình cộng 44

3.1.4.2 Dạng tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó 46

3.1.4.3 Dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó 48

3.1.4.4 Dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó 50

3.1.5 Dạng bài tập về tính chất trù mật 52

3.1.6 Dạng bài tập về tính đơn điệu 54

Chương 3 56

PHÂN TÍCH Ý KIẾN CỦA CHUYÊN GIA 56

VỀ HỆ THỐNG BÀI TẬP THIẾT KẾ 56

3.1 Mục đích thực nghiệm 56

3.2 Nội dung thực nghiệm 56

3.3 Đối tượng thực nghiệm 56

3.4 Phương pháp thực nghiệm 56

3.5 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 56

3.6 Kết quả thực nghiệm 57

3.6.1 Kết quả học sinh làm bài tập ở phiếu điều tra 57

3.6.2 Đánh giá của giáo viên về các bài tập 58

3.6 Nhận xét 59

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Ngày nay, thế giới trên đà phát triển mạnh những thành tựu khoa học vàcông nghệ đã tạo ra những thuận lợi góp phần nâng cao chất lượng cuộc sốngcon người Vì vậy, yếu tố trí tuệ giữ vai trò quan trọng trong sự phát triển nềnkinh tế nước nhà

Trong văn kiện Đại hội Đảng IX tiếp tục khẳng định “Phát triển giáo

dục và đào tạo là một trong những động lực quan trọng thúc đẩy công nghiệp hóa, hiện đại hóa, là điều kiện để phát huy nguồn lực con người – yếu tố cơ bản để phát triển xã hội, tăng trưởng kinh tế nhanh và bền vững”.

Đây là chủ trương hết sức đúng đắn mà Đảng coi “Giáo dục – Đào tạo

là sự nghiệp của toàn Đảng, của Nhà nước và của toàn dân” Trong đó giáo

dục Tiểu học được coi là nền tảng của hệ thống giáo dục phổ thông

Ở giai đoạn này, các em bước đầu tiếp cận những kiến thức tương đốikhó và mới mẻ Các môn học ở trường Tiểu học trang bị cho học sinh mộtlượng kiến thức cơ bản trong cuộc sống Môn Toán giúp các em có nền tảngkiến thức vững chắc, giúp học sinh nhận biết những mối quan hệ về số lượng

và hình dạng không gian của thế giới hiện thực Ngoài ra, tạo cho học sinh sựcần cù, chăm chỉ, làm việc có kế hoạch và có tác phong khoa học Kiến thứctoán học ở Tiểu học bao gồm các mạch kiến thức như số học, hình học, đo cácđại lượng, giải toán có lời văn

Phân số không chỉ đóng vai trò quan trọng trong mạch kiến thức số học,

mà nó còn giữ vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn Phân số được giớithiệu cho học sinh làm quen bắt đầu từ lớp 2 và được đưa vào dạy hoàn chỉnh

từ lớp 4

Hệ thống bài tập có vai trò quan trọng, là công cụ phát huy nhu cầu,động cơ, hứng thú và hoạt động học tập độc lập, sáng tạo của học sinh Hệ

thống bài tập về chủ đề: “Phân số” được kết cấu trong sách giáo khoa, nhằm

cung cấp kiến thức, kỹ năng thực hiện các phép tính với phân số

Trong thực tế, nhiều giáo viên chú trọng đến mục tiêu cung cấp kiến thức,

mà chưa chú ý phát huy được tính tích cực trong hoạt động học tập của họcsinh Việc sử dụng hệ thống bài tập trong quá trình dạy học của giáo viên cònlúng túng, chưa phát huy được tính tích cực, tự giác và sáng tạo của học sinh.Xuất phát từ những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn và nghiên cứu đề

tài: “Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính chất của tập

hợp số hữu tỉ không âm” nhằm tạo điều kiện cho các em hiểu được sâu hơn

bản chất và các bài tập về phân số Đồng thời, đây cũng là cơ hội để bản thânđược học hỏi kinh nghiệm, được tìm hiểu, tiếp cận gần hơn chương trình Tiểuhọc để sau này có thể tự tin, vững vàng hơn trên bục giảng

2 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

Các nội dung về số hữu tỉ không âm là một trong những vấn đề cơ bảnthuộc học phần số học của chương trình đào tạo giáo viên Tiểu học nên nó đãđược nhiều tác giả quan tâm, đi sâu nghiên cứu:

Các giáo trình như: “Giáo trình lý thuyết số” (2003) của Trần Diên Hiển, Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn Ngọc; “Giáo trình Toán học 2” (2015) của Lê

Mạnh Hà,… Đa số các tài liệu này đã cho thấy được bản chất cũng như sự thểhiện của phân số, quan hệ tương đương, các tính chất của tập hợp số hữu tỉkhông âm Tuy nhiên, kiến thức này chỉ được trình bày với tư cách là mộtphần của các chủ đề chính ở giáo trình nên chúng ta vẫn chưa hiểu được mộtcách cụ thể, tường tận nhất

Mặt khác, vấn đề dạy học phân số cũng được nhiều tác giả đi sâu tìm

hiểu và trình bày như: Đỗ Trung Hiệu với cuốn “Các bài toán điển hình lớp 4,

5” nghiên cứu các dạng toán với các bài tập điển hình ở lớp 4, 5 hay một số

đề tài nghiên cứu của sinh viên như khóa luận của Dương Thị Diệu Thay

“Các phép toán số học và ứng dụng vào việc dạy học chủ đề phân số, số thập

phân trong chương trình môn toán ở Tiểu học” (2012) đề cập đến phép toán

số học, tập hợp số hữu tỉ, các biện pháp ứng dụng của phép toán số học vàodạy học chủ đề phân số, số thập phân trong chương trình Tiểu học

Tuy nhiên, việc nghiên cứu chỉ chú ý đến tập hợp số hữu tỉ không âm, sựthể hiện, hệ thống và phân loại các dạng bài tập của phân số, còn số lượng cácbài tập về phân số dựa vào tính chất của tập hợp số hữu tỉ chưa nhiều Dovậy, việc đi sâu tìm hiểu bản chất khoa học của tập hợp số hữu tỉ không âm và

sự thể hiện trong chủ đề phân số, từ đó thiết kế hệ thống bài tập về phân số ởlớp 4 là một công việc cần thiết, quan trọng và có ý nghĩa Chúng tôi đã chọn

đề tài này để nghiên cứu góp phần củng cố kiến thức, nâng cao tính sáng tạo,tích cực, chủ động cho học sinh

3 Mục đích nghiên cứu

Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính chất của tậphợp số hữu tỉ không âm nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy vàhọc môn toán ở Tiểu học

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với đề tài này, nhiệm vụ nghiên cứu của chúng tôi là:

- Nghiên cứu về tập số hữu tỉ không âm Hệ thống hóa và phân loại cácdạng bài tập về phân số trong chương trình Tiểu học

- Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính chất của tậphợp số hữu tỉ không âm

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng hiệu quả của hệ thốngbài tập thiết kế

5 Đối tượng nghiên cứu

- Các kiến thức về số hữu tỉ không âm trong chương trình Toán học cao cấp

và sự thể hiện của số hữu tỉ không âm trong nội dung dạy học phân số ở lớp 4

- Nội dung hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4

7 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu có liên quan

về số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình Tiểu học

- Phương pháp phân tích, tổng hợp, phân loại và xử lí tài liệu: phân tích

và tổng hợp các kiến thức, nội dung liên quan đến đề tài

- Phương pháp điều tra: đưa ra các phiếu điều tra bằng hệ thống câu hỏi

và bài tập

- Phương pháp thống kê toán học: thu thập, xử lí, đánh giá số liệu

- Phương pháp chuyên gia: đánh giá của các giáo viên về thiết kế hệthống bài tập qua phiếu điều tra

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng kết, rút ra những kinhnghiệm trong quá trình nghiên cứu

8 Giả thuyết khoa học

Nếu đề tài này thiết kế được hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vàotính chất của số hữu tỉ không âm có tính khoa học, phù hợp và hiệu quả thì sẽnâng cao được năng lực học tập và giảng dạy của học sinh và giáo viên

9 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, phần Nội dung là phần trọng tâmcủa đề tài gồm có 3 chương sau:

Chương 1: Một số kiến thức liên quan

Chương 2: Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính

chất của số hữu tỉ không âm

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về tậphợp số hữu tỉ không âm, về phân số trong chương trình Tiểu học, hệ thống hóa

và phân loại các bài tập về phân số ở lớp 4 Các nội dung trình bày trongchương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [4],…

1.1. Tập số hữu tỉ không âm

Như chúng ta đã biết tổng và tích của hai số tự nhiên bất kỳ là một số tựnhiên Trong khi đó, thương của hai số tự nhiên không phải khi nào cũng làmột số tự nhiên Chẳng hạn: 4 : 5 hoặc 17 : 9;…

Trong tự nhiên, tập số tự nhiên không đủ để biểu diễn số đo của nhiềuphép đo đại lượng Chẳng hạn, khi chia đều 5 quả cam cho 4 người thì số quảcam mỗi người được chia không thể biểu diễn bằng một số tự nhiên hoặc khi

đo chiều dài của một lớp học 6m2dm5cm thì dùng đơn vị là mét không thểbiễu diễn số đo bằng một số tự nhiên

Về phương diện toán học, nhiều tính chất của phép cộng, trừ, nhân, chiatrên phân số và số thập phân được đưa vào chương trình môn Toán ở trườngphổ thông hầu hết là được công nhận chứ chưa được chứng minh chặt chẽ

Vì vậy, cần phải xây dựng tập hợp số hữu tỉ không âm

Chứng minh : Cần chứng minh S có 3 tính chất của một quan hệtương đương.

a) Kiểm tra tính phản xạ:

chất giao hoán của phép nhân các số tự nhiên) hay (a,b)S(a,b)

Do đó: S có tính chất phản xạ

b) Kiểm tra tính đối xứng:

Với mọi (a,b), (c,d) ℕℕ*, ta có:

 bcad  cbda (tính chất giaohoán)

Suy ra: (c,d)S(a, b)

Do đó: S có tính chất đối xứng

c) Kiểm tra tính bắc cầu:

Với mọi (a,b), (c,d), (e,f)  ℕℕ*, ta có:

Nếu (a,b)S(c,d) thì suy ra ad bc và (c,d)S(e,f) thì suy ra cfde

Từ đó ta suy ra: adcf  bcde

+ Nếu c0 thì a 0 hoặc e 0 suy ra afbe0

= be

Do đó: (a,b)S(e,f)

Vậy, S là một quan hệ tương đương trên tập ℕℕ*

Quan hệ tương đương S trên tập ℕℕ* sẽ xác định trên tập hợp ℕℕ*

các lớp tương đương và tập hợp các lớp tương đương đó gọi là tập thương Kíhiệu là ℚ+(ℕℕ*)/aS và tập thương của ℕℕ* theo quan hệ tương đương

S và được gọi là tập các số hữu tỉ không âm Mỗi phần tử của tập ℚ+là một sốhữu tỉ không âm

a

, ℚ+ta luôn có: ab  ba hay

b

a b

a

,  ℚ+, ta có:

d

c b

a

da cb

Từ đó suy ra: ad  bchay

d

c b

a

  ad  bc và

de cf

Từ đó suy ra: abcf  bcde

Vì d  0 nên acf  bce

 1)1 (đpcm)Vậy tập hợp các số hữu tỉ có tính chất trên gọi là tập sắp thứ tự Acsimet

a) Định nghĩa:

Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu là x được xác định như sau:

ii )  và 0  x ) xv   y yx

yx xy iii ) 

- Quan hệ thứ tự “ ” tương thích với phép toán cộng trên tập ℚ+, nghĩa là:Với mọi b a,d c ℚ+, ta có: b a d c  f

e d

c f

e b

a







Từ tính chất này ta được các kết quả sau:

+ Với mọi b a,d c ℚ+, ta luôn có: b a b ad c

Từ tính chất này ta suy ra các kết quả sau:

+ Với mọi b a,d c, e f ℚ+, nếu

d

c b

c b

a

, , ℚ+, nếu

d

c b

c f

e b

thì b a.e f d c.e f

Tính trù mật:

Với mọi cặp số hữu tỉ x và y với x  y, luôn tồn tại số hữu tỉ z sao cho:

y z

x 

Chứng minh:

Từ giả thiết x  y, ta suy ra

2 2

y x

Theo tính đơn điệu của quan hệ thứ tự ta suy ra:

y y y y x x x

x      

2 2 2 2 2



 là số cần tìm, ta được điều phải chứng minh

Như vậy giữa hai số hữu tỉ không âm phân biệt bất kì bao giờ cũng tồntại vô số hữu tỉ không âm xen giữa chúng Đây là sự khác biệt căn bản giữatập số hữu tỉ không âm (thì trù mật) và tập số tự nhiên (thì rời rạc)

1.1.3. Các phép toán trên ℚ

a) Định nghĩa :

Cho x, y là hai số hữu tỉ không âm tùy ý Khi đó, x và y là các lớp tương

đương nên ta chọn cho chúng lần lượt các phần tử đại diện là ( ba ), và ( d c , )

 ℕℕ* Ta định nghĩa phép cộng trên ℚ+ như sau:

+: ℚ+  ℚ+  ℚ+

(x,y)  x  y

Sao cho: xy (a,b)  (c,d)  (adbc,bd)

b) Nhận xét:

Định nghĩa phép toán cộng nói trên không phụ thuộc vào việc lựa chọncác phần tử đại diện.

a) Định nghĩa:

Cho x, y là hai số hữu tỉ không âm tùy ý Khi đó, x và y là các lớp tương

đương nên ta chọn cho chúng lần lượt các phần tử đại diện là ( b a , ) và c ,(d ) ℕℕ* Ta định nghĩa phép nhân trên ℚ+ như sau:

c) Định lí về tính chất phép toán nhân:

Tập hợp tất cả các số hữu tỉ dương (ℚ+\{0}) cùng với phép toán nhân làmột nhóm aben Nghĩa là phép nhân trên ℚ+\{0} thỏa mãn các tính chất:(i)Tính chất giao hoán:

Dễ thấy, f là đơn ánh; hơn nữa f bảo toàn các phép toán cộng và nhân

Nghĩa là: f(a+b) = f(a)+f(b) và f(ab)=f(a)f(b)

Suy ra: f là đơn cấu

Vì vậy, ta có thể nhúng toàn bộ tập ℕ vào hoàn toàn trong tập ℚ+ bằng

cách đồng nhất mỗi số tự nhiên a với ảnh của nó là f(a)  (a )1,

Cho x và y là hai số hữu tỉ không âm tùy ý, hiệu của x và y, kí hiệu là

x – y là một số hữu tỉ được xác định bởi tổng của x với số đối của y.

Như vậy, ta có: x – y = x + (–y)

Việc tìm hiệu của hai số hữu tỉ được gọi là thực hiện phép trừ

) , ( ) , ( ) , ( ) ,

Cho x và y là hai số hữu tỉ không âm tùy ý, y0, ta nói thương của x và

nghịch đảo của y

- Vì mọi số hữu tỉ khác 0 luôn có phần tử nghịch đảo nên phép chia một sốhữu tỉ không âm cho một số hữu tỉ dương luôn thực hiện được.

- Theo định nghĩa trên, chọn cho x, y lần lượt các phần tử đại diện là ( b a , ) và

)

,(d

c Khi đó ta có:

) , ( ) , ( ) , ( : ) , (

1.2 Phân số trong chương trình môn Toán trường Tiểu học

Nội dung phân số được đưa vào môn Toán trường Tiểu học tương đối

hoàn chỉnh, bao gồm: hình thành khái niệm, quan hệ so sánh, bốn phép tính

cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia) và tính chất của bốn phép tính trên phân số.

1.2.1 Khái niện phân số

Phân số

b

a

, trong đó b là mẫu số, được hiểu là số

phần bằng nhau mà đơn vị được chia ra, a là tử số được hiểu là số phần bằng nhau được lấy đi.

Mặt khác, phân số

b

a

còn có thể hiểu là kết quả của phép chia a cho b

Hai phương pháp trên đây được vận dụng để hình thành khái niệm phân sốcho học sinh tiểu học Dạy hình thành khái niệm phân số ở tiểu học bao gồm:dạy đọc, viết, cấu tạo phân số và một số phân số có dạng đặc biệt (phân số cómẫu số bằng 1, có tử số bằng 0, có tử số bằng mẫu số,…)

Hai phân số bằng nhau

Mỗi số hữu tỉ không âm được đại diện bởi vô số các phân số bằng nhau.Nếu ( b a , )= ( dc ), thì (a, b) S (c, d) hay ad = bc

Theo cách viết phân số ta có:

b

a

=

d c

Như vậy, hai phân số bằng nhau khi chúng biểu diễn cùng một số hữu tỉ

không âm Nghĩa là: b a = d c  ad = bc

1.2.2 Quan hệ so sánh

Quan hệ so sánh trên các phân số ở Tiểu học gồm hai dạng: “so sánh

bằng” (hai phân số bằng nhau) và “so sánh hơn” (phân số này nhỏ hơn phân

số kia)

Bằng những ví dụ trực quan, sách giáo khoa đã hình thành cho học sinh

khái niệm phân số bằng nhau Đồng thời sách giáo khoa cũng giới thiệu cho

học sinh một quy tắc, để dựa vào đó các em có thể nhận biết hai phân số bằngnhau hay không bằng nhau Quy tắc đó phát biểu như sau:

Nếu ta nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một

số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.

Quy tắc trên đây là sơ cở để học sinh thực hiện phép rút gọn phân số.Khi hai phân số bằng nhau, để nhận biết phân số nào lớn hơn, học sinhdựa vào quy tắc sau:

Trong hai phân số có cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số của hai phân số

đó rồi so sánh cả tử số với nhau (tử số nào lớn hơn thì phân số tương ứng sẽ lớn hơn).

Đặc biệt, nhờ quy tắc này học sinh nhận biết được khi nào một phân sốnhỏ hơn, bằng hay lớn hơn 1

1.2.3 Các phép toán trên phân số

Nhìn chung, mỗi phép tính cộng, trừ, nhân và chia phân số ở Tiểu họcđược trình bày theo quy trình sau đây: hình thành phép tính, kết hợp và phânphối của các phép toán đó

Mỗi phép tính đều được hình thành từ một bài toán đơn rất gần gũi vớiđời sống thực tế Rồi từ đó rút ra quy tắc thực hành tính toán

- Cộng hai phân số cùng mẫu số:

20 25

812 25

8 25

21 16 56

21 56

16 8

3 7

5 7 11

5 11

51 104 136

51 136

104 8

3 17

+ Muốn trừ hai phân số cùng mẫu số, ta trừ tử số của phân số thứ nhất

cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.

+ Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, trước hết ta quy đồng mẫu số rồi trừ hai phân số đó như trừ hai phân số cùng mẫu số.

5 3 7

5 4

- Quy tắc thực hành nhân phân số:

Muốn nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

7 7

3 7

5 : 7

a b

a k b

a





 1 1

- Quy tắc thực hành phép chia phân số:

Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai nghịch đảo.

1.2.4 Tính chất các phép toán trên phân số

- Tính chất giao hoán:

b

a d

c d

c b

a





Khi đổi chỗ các phân số trong một tổng (hoặc tích) thì tổng (hoặc tích)không thay đổi

c b

a n

m d

c b a

Muốn cộng (hoặc nhân hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể cộng(hoặc nhân) phân số thứ nhất với tổng (hoặc tích) của hai phân số còn lại

c a

. với c  ℕ*

c a

:

: với c  ℕ*

1.3 Hệ thống và phân loại các bài tập về phân số ở lớp 4

1.3.1 Các bài toán về cấu tạo phân số

Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu 5 phần

Ta nói: Đã tô màu năm phần sáu hình tròn.

- Phân số có tử số lớn hơn mẫu số, phân số đó lớn hơn 1

- Phân số có tử số bằng mẫu số, phân số đó bằng 1

- Phân số có tử số bé hơn mẫu số, phân số đó bé hơn 1

 Bài tập:

Bài 1: Viết các phân số: (bài 3 – trang 107)

a) Hai phần năm;

b) Mười một phần mười hai;

c) Bốn phần chín;

d) Chín phần mười;

e) Năm mươi hai phần tám mươi tư

Bài 2: Viết theo mẫu: (bài 2 – trang 107)

19

; 10

6

; 5

7

; 14

9

; 4

3

(bài 3 – trang 110)

a) Phân số nào bé hơn 1?

b) Phân số nào bằng 1?

c) Phân số nào lớn hơn 1?

1.3.2 Các bài toán về so sánh phân số

Quy tắc:

- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên

khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

- Nếu nhân cả từ số và mẫu số của một phân số cùng chia hết cho một số

tự nhiên khác 0 thì sau khi chia ta được một phân số bằng phân số đã cho.

Bài tập:

Bài 1: Viết số thích hợp vào chỗ chấm: (trang112 – lớp 4)

3 5

3 2

2 4 7

3 8

Bài 3: Viết số thích hợp vào chỗ trống: (trang 112 – lớp 4)

- Khi rút gọn phân số ta làm như sau:

+ Xem xét tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1 + Chia cả tử số và mẫu số cho số đó.

Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

không thể rút gọn được nữa Ta nói rằng

phân số 43 là phân số tối giản và phân số 86 đã được

rút gọn thành phân số tối giản

4

3

Bài tập:

Bài 1: Rút gọn các phân số (bài 1 – trang114)

a)

36

75

; 10

36

; 22

11

; 25

15

; 8

15

; 300

48

; 50

25

; 28 14

Bài 3: Trong các phân số:

73

72

; 36

30

; 12

8

; 7

4

; 3

1

: (bài 2 – trang 114)

a) Phân số nào tối giản? Vì sao?

b) Phân số nào rút gọn được? Hãy rút gọn phân số đó

Quy tắc:

Trong hai phân số cùng mẫu số:

- Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.

- Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.

- Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.

2 c)

8

7

và 8

5 d) 11

2

và 11 9

Bài 2: So sánh các phân số sau với 1: (bài 2 – câu b – trang 119)

7

12

; 9

9

; 5

6

; 3

7

; 5

4

; 2 1

Bài 3: Viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn: (bài 3 – Luyện tập –

5

; 9 8

3 3 4

3

và 12 6

Bài 2: So sánh phân số bằng hai cách: (bài 2 – Luyện tập – trang 122)

5

9

và 8

5 c) 16

12

và 21 28

9

; 20 6

1.3.3 Các bài toán về thực hành 4 phép tính trên phân số

Quy tắc:

- Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và

giữ nguyên mẫu số.

- Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số,

rồi cộng hai phân số đó.

3

7 8 3

25

7 525

9

 ; c) 7

4 5 2

3

4 5

4

 ; c)

21

6 25

15



Quy tắc:

- Muốn trừ hai phân số cùng mẫu số, ta trừ mẫu số của phân số thứ nhất

cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.

- Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số,

rồi trừ hai phân số đó.

 ; c)

5

3 5

9

49

12 49

7

 ; c)

8

4 2

3

 ; d)

8

6 4

Bài 1: Tính: (bài 1 – trang 133)

2

 ; c)

3

8 2

1

 ; d) 7

1 8 1

11

 ; c)

8

6 9

3



Bài 3: Tính rồi so sánh kết quả: (bài 3 – Luyện tập – trang 133)

3 5

2

 và 5

2 5 2 5 2



Quy tắc:

Để thực hiện phép chia hai phân số, ta làm như sau:

Lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

Bài tập:

Bài 1: Viết phân số đảo ngược của mỗi phân số sau: (bài 1 – trang 136)

7

10

; 4

9

; 5

3

; 7

4

; 3 2

Bài 2: Tính rồi rút gọn: (bài 1 – Luyện tập – trang 136)

2

; 4

3 : 8

9

1

; 10

1 : 5

1

Bài 3: Tìm x: (bài 2 – Luyện tập – trang 136)

a)

7

4 5

8

1



x

1.3.4. Các bài toán có lời văn điển hình

1.3.4.1 Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó

Bài toán: Tổng của hai số là 70 Hiệu của hai số đó là 10 Tìm hai số đó.

Bài giải:

Ta có sơ đồ: ?

Số lớn:

Số bé: 10 70

?Hai lần số bé là:

Bài 1: Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi Bố hơn con 38 tuổi

Hỏi bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi? (bài 1 – trang 47)

Bài 2: Một lớp học có 28 học sinh Số học sinh trai hơn số học sinh gái

là 4 em Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh trai, bao nhiêu học sinh gái?

(bài 2 – trang 47)

Bài 3: Hai phân xưởng làm được 1200 sản phẩm Phân xưởng thứ nhấtlàm được ít hơn phân xưởng thứ hai 120 sản phẩm Hỏi mỗi phân xưởng làm

được bao nhiêu sản phẩm? (bài 4 – Luyện tập – trang 48)

1.3.4.2 Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó

Bài toán: Tổng của hai số là 96 Tỉ số của hai số đó là 5

3

Tìm hai số đó.Bài giải:

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:

1.3.4.3 Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó

Bài toán: Hiệu của hai số là 24 Tỉ số của hai số là

5

3 Tìm hai sốđó

Số lớn: 60

Bài tập:

Bài 1: Số thứ nhất kém hơn số thứ hai là 123 Tỉ số của hai số đó là 52

Tìm hai số đó (bài 1 – trang 151)

Bài 2: Mẹ hơn con 25 tuổi Tuổi con bằng

Muốn tìm số trung bình cộng của nhiều số, ta tính tổng của các số đó, rồi chia tổng của các số đó cho số các số hạng.

Bài tập:

Bài 1: Tìm số trung bình cộng của các số sau: (bài 1 – trang 27)

a) 42 và 52 c) 34; 43; 52 và 39

b) 36; 42 và 57 d) 20; 25; 37; 65 và 73

Bài 2: Bốn em Mai, Hồng, Hưng, Thịnh lần lượt cân nặng 36kg, 38kg,

40kg, 34kg Hỏi trung bình mỗi em nặng bao nhiêu ki-lô-gam ? (bài 2 –

Ở LỚP 4 DỰA VÀO CÁC TÍNH CHẤT CỦA TẬP HỢP

SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM

2.1 Quan điểm thiết kế bài tập

2.1.1 Hệ thống bài tập cho học sinh

2.1.1.1 Yêu cầu khi thiết kế hệ thống bài tập về phân số phải đáp ứng mục đích yêu cầu bài dạy

Việc xác định yêu cầu bài học có ý nghĩa rất quan trọng trong quá trìnhdạy học nói chung và thiết kế bài tập nói riêng Các bài tập có tác dụng củng

cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng cho học sinh Do đó hệ thống bài tập khi thiết

kế phải đáp ứng được mục đích yêu cầu bài dạy Điều này giúp giáo viên chủđộng trong việc hướng dẫn học sinh và sử dụng bài tập đúng lúc, đúng chỗ

2.1.1.2 Thiết kế hệ thống bài tập phải đáp ứng nội dung bài học

Nội dung bài học cũng tác động đến quá trình thiết kế hệ thống bài tập.

Do đó, giáo viên phải nghiên cứu kỹ lưỡng nội dung chương trình Khi thiết

kế cần phải lấy nội dung chương trình làm cơ sở cho việc thiết kế phù hợp vớiđối tượng học sinh

2.1.1.3 Nội dung bài tập thiết kế phải đảm bảo tính chính xác, tính khoa học và tính thực tiễn

Nguồn thông tin, nội dung kiến thức trong bài tập chính xác và vừa sức.Học sinh phải nắm chắc các kiến thức về phân số như quy tắc quy đồng, rútgọn, so sánh phân số, thực hiện các phép tính,…

2.1.1.4 Thiết kế hệ thống bài tập phải phù hợp với trình độ nhận thức và trình độ tư duy của học sinh tiểu học

Khi thiết kế bài tập ngoài việc nghiên cứu nội dung chương trình, giáoviên chú ý đến từng đối tượng học sinh để thiết kế cho phù hợp Điều này giúpgiáo viên lường trước được các khó khăn mà học sinh có thể mắc phải để tìmcách khắc phục

2.1.1.5 Thiết kế hệ thống bài tập phải đảm bảo tính logic và hệ thống

Bài tập thiết kế từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp để giúp học sinhphát triển được tư duy và ham thích môn học

2.1.1.6 Thiết kế bài tập phải phân loại được các đối tượng học sinh

Các bài toán khi thiết kế cần phù hợp với đối tượng học sinh, bám sátchương trình học để đánh giá đúng năng lực học tập của học sinh qua các mực

độ của bài tập Ngoài ra, giáo viên cần hướng dẫn học sinh lựa chọn cácphương pháp giải khác nhau, phù hợp với từng đối tượng

2.1.2 Định hướng thiết kế

Kiến thức về tập hợp số hữu tỉ không âm ở chương trình Tiểu học làmảng kiến thức rộng và khá trừu tượng, các bài tập đưa ra dựa vào các địnhnghĩa và tính chất của tập hợp số hữu tỉ không âm

Để thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính chất của tậphợp số hữu tỉ không âm cần xác định được các dạng bài tập Cụ thể: dạng bài

tập cấu tạo phân số, dạng bài tập so sánh phân số, dạng bài tập rèn kỹ năngthực hiện các phép tính về phân số, dạng bài tập có lời văn về tỉ số (tìm trungbình cộng, tìm hai số khi biết hiệu và tổng, tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ

số của hai số đó) và dạng bài tập dựa vào tính chất trù mật (tìm phân số nằmgiữa hai phân số) và tính chất đơn điệu

2.2 Quy trình thiết kế

2.2.1 Xác định nội dung kiến thức

Nội dung kiến thức là các tính chất, quy tắc thực hiện các phép tính, cách

so sánh các phân số, các dạng bài tập có lời văn điển hình như tìm trung bìnhcộng, tìm hai số khi biết tổng và hiệu, tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ sốcủa hai số đó,… và các bài tập có lời văn về phân số có liên quan trongchương trình môn Toán ở Tiểu học

2.2.2 Xác định mục tiêu thiết kế

Sau khi lựa chọn được kiến thức, cần xác định các năng lực cần hìnhthành và phát triển cho học sinh như: năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn

đề và sáng tạo, năng lực ngôn ngữ, năng lực hợp tác, năng lực tính toán,…

2.2.3 Thiết kế hệ thống bài tập theo mục tiêu

2.2.3.1 Xây dựng các bài tập tương tự các bài tập đã có

Dựa trên các bài tập đã có trong chương trình sách giáo khoa hiện hành,giáo viên có thể tạo ra những bài tập tương tự theo các cách như:

- Giữ nguyên nội dung, yêu cầu chỉ thay đổi số liệu

- Giữ nguyên nội dung, số liệu thay đổi cách hỏi

- Giữ nguyến số liệu, cách hỏi, thay đổi mối quan hệ

2.2.3.2 Xây dựng bài tập hoàn toàn mới

Thiết kế bài tập với những ý tưởng, nội dung và các mối quan hệ hoàntoàn mới

2.2.4 Xây dựng đáp án cho bài tập

Sau khi thiết kế, giáo viên cần xây dựng bài giải hay đáp án, gợi ý chobài tập đã thiết kế

nhiên ta được phân số

số đó không thay đổi

- Áp dụng 2: Nếu ta cộng thêm (hoặc bớt đi) ở tử, đồng thời đồng thờibớt đi (hoặc thêm vào) ở mẫu số của một phân số cùng với một số tự nhiên tađược phân số thì tổng giữa cả tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi

* Trình tự giải:

+ Bước 1: Tìm hiệu (hoặc tổng) giữa tử số và mẫu số của phân số đã cho.+ Bước 2:

 Trường hợp thêm vào:

Tìm tử số mới: m  )(: pc (m là hiệu phân số đã cho)

 Trường hợp bớt đi:

Mẫu số mới: m  )(: qd(hoặc n : ( d  c )  c  k với n là

tổng phân số đã cho)

+ Bước 3: Số tự nhiên cần tìm:

r a

- Ví dụ minh họa:

+ Ví dụ 1: Khi cộng thêm vào cả tử số và mẫu số của phân số

7

3 với

cùng một số tự nhiên, ta được một phân số

103

101 Tìm số tự nhiên đó

Giải:

Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số

7

3 là:

Giải:

Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số 4973 là:

73 – 49 = 24Mẫu số mới của phân số là:

24 : (7 – 4)  4 = 32

Số tự nhiên cần tìm là:

49 – 32 = 17Đáp số: 17

Thiết kế bài tập:

Bài 1: Cho phân số

151

79 Hỏi phải cùng thêm vào cả tử số và mẫu số bao

nhiêu đơn vị để được phân số mới có giá trị bằng

7

4 (ĐA: 17)

Bài 2: Cho phân số

98

47 Tìm một số sao cho tử số cộng với số đó, mẫu

số trừ đi số đó thì được phân số mới bằng 32 (ĐA: 11)

Bài 3: Cho phân số 16749 Hỏi phải bớt ở tử số và thêm vào mẫu số bao

nhiêu đơn vị để được phân số bằng

7

2 (ĐA: 119)

Nếu a = c thì

b

a

= b c

Nếu b > c thì b

a

<

c a

Nếu b < c thì

b

a

> c a

- Dạng so sánh hai phần bù với 1 của mỗi số:

- Dạng so sánh hai phần hơn với 1 của mỗi phân số:

- Dạng so sánh hai phân số khác mẫu số: b a và d c

Ta quy đồng để đưa về dạng cùng mẫu số hoặc cùng tử số rồi so sánh.Khi quy đồng áp dụng quy tắc sau:

+ Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ 1 nhân với mẫu số của phân

* So sánh phân số với 1: Tính chất bắc cầu (phương pháp này áp dụng

cho dạng bài so sánh hai phân số trong đó một phân số bé hơn 1 và một phân

Cách giải: Ta thấy

7

6 < 1 mà 1 <

8 9