SKKN Tìm Hiểu Bài Toán Cực Trị Hình Học Giải Tích Trong Mặt Phẳng Oxy

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT VĂN GIANG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY BỘ MÔN TOÁN HỌC GIÁO VIÊN: ĐÀO QUANG BÌNH ĐƠN VỊ: TỔ TOÁN TIN – THPT VĂN GIANG Năm học 2013-2014 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xuất phát từ toán thực tế, toán cực trị mô hình đơn giản toán kinh tế sống Với tinh thần đổi giáo dục đề thi Đại học năm gần đây, toán cực trị đưa vào thường xuyên Điều đặt cho trình giảng dạy môn Toán học cần phải ý rèn luyện cho học sinh dạng toán này, nhằm đáp ứng với đòi hỏi thực tiễn đưa giáo dục nói chung Toán học nói riêng gần với sống Với lý với mong muốn nâng cao chất lượng giảng, chất lượng trình giáo dục mạnh dạn “Tìm hiểu toán cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích Nhiệm vụ nghiên cứu Đề xuất số phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích Khách thể đối tượng nghiên cứu Khách thể: Công tác dạy học môn Toán học trường phổ thông Đối tượng: Các phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích Giới hạn phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích giảng dạy trường THPT Văn Giang 02 năm học 2012-2013; 2013-2014 Giả thuyết khoa học Hiện việc giảng dạy học tập phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích gặp số khó khăn Nếu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tác giả cách phù hợp hiệu học tập giảng dạy chuyên đề cực trị hình học giải tích tốt Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp thống kê Toán học Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu Nội dung Kết luận Tài liệu tham khảo NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Các tính chất Bất đẳng thức Điều kiện c>0 c 2) Ta khảo sát hàm số f ( a ) miền a > f ( a) = / 2a ( 2a − ) − 2a ( 2a − ) a = f / ( a) = ⇔   a = 2 a − 8a ( 2a − ) ( l) ( t / m) Lại có: lim f ( a ) = lim a → 2+ = a → 2+ a2 = +∞ 2a − a2 lim f ( a ) = lim = +∞ a →+∞ a →+∞ 2a − Lập bảng biến thiên ta có: a f / ( a) +∞ − + +∞ +∞ f ( a) f ( 4) f ( a ) = f ( 4) = Suy ra: amin >2 a = 4; b = Với a = ⇒ b = Vậy giá trị cần tìm là:  Bình luận: Lời giải phức tạp, nhiên việc sử dụng đạo hàm vào toán cực trị cần ý công cụ mạnh chương trình toán phổ thông mà học sinh cần trang bị thành thạo b) Lời giải Gọi H chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB 10 Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông OAB ta có: 1 1 + = ≥ = số Dấu xảy M ≡ H 2 OA OB OH OM Tức OM ⊥ AB uuur uuuur −2a + b =   AB.OM =  a = ; ⇔ 2 ⇔ Vậy ta có hệ phương trình:  + =  M ∈ ∆  a b b = 5  a = ; Vậy giá trị cần tìm là:  b = Bình luận: Trong câu b) ta sử dụng kiến thức: độ dài đường chiếu nhỏ độ dài đường xiên Giống câu a) ta lại có câu hỏi: Còn lời giải khác không? Và học sinh có hứng thú định em trở thành nhà thám hiểm thực kho tàng kiến thức! 2 1 1 1 + =  ÷ +  ÷ gợi cho ta nhớ tới bất đẳng thức Để ý thấy: 2 OA OB  a   b  Bunhiacopxki? Do gợi ý cho ta lời giải thứ sau: b) Lời giải Theo M ∈ ∆ ⇒ + =1 a b Xét: 1   1  + ÷ ≤ ( + 1)  + ÷ b  a a b  ⇔ ( Bunhiacopxki ) 1 + ≥ Dấu xảy 2a = b a b2 5 b = 2a   a = ; ⇔ Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình:   a + b = b = 11  a = ; Vậy giá trị cần tìm là:  b = Bình luận: Thật gọn, đẹp! Còn có cách giải khác không? Đối với câu c) Giáo viên tránh cho học sinh sai lầm sử dụng bất đẳng thức AM-GM thông qua lời giải câu c) sau: c) Lời giải Ta có OA + OB = a + b ≥ ab ; Mặt khác = ( 3) (Theo bất đẳng thức AM-GM) 2 + ≥2 ⇔ ab ≥ 8; a b ab ( ) (Theo bất đẳng thức AM-GM) Từ suy ra: OA + OB ≥ = Dấu xảy hai a = b;  đánh giá ( 3) ; ( ) xảy dấu Điều tương đương với  1  a = b = Dễ nhận thấy hệ vô nghiệm Như lời giải sai! c) Lời giải Ta có OA + OB = a + b Mặt khác a + =1⇒ b = a b a−2 Do a > 0; b > ⇒ a > Ta OA + OB = a + a a2 − a = = f ( a) a−2 a−2 Ta khảo sát hàm số f ( a ) với a > Ta có f / 2a − 1) ( a − ) − a + a a − 4a + ( = ( a) = 2 ( a − 2) ( a − 2) f / ( a) = ⇔ a − 4a + = a = − ( l ) ; ⇔  a = + ( t / m ) 12 Lại có a2 − a lim f ( a ) = lim = +∞ a − a → +∞ a → +∞ a2 − a lim f ( a ) = lim = +∞ a−2 + + a→2 a→2 Ta có bảng biến thiên a ( a) f ( a) f / +∞ +∞ 2+ - + +∞ 3+ 2 a = + 2; Từ ta có kết luận: ( OA + OB ) = + 2  b = + Củng cố thuật toán em học sinh làm thêm số tập sau: Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( −1;3) cắt trục Ox, Oy M, N cho + đạt giá trị OM ON nhỏ nhất? Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2;5) , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm M, N khác gốc toạ độ cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất? Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm M ( 3;2 ) , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm A; B khác gốc toạ độ cho OA + 2OB đạt giá trị nhỏ nhất? Bài Bài toán góc sút khung thành 13 Cho hai điểm A, B nằm phía so với đường thẳng ∆ Tìm đường thẳng ∆ điểm M cho M nhìn xuống A, B góc lớn nhất? Nhận xét: Bài số lý thú, gây hứng thú tò mò cho người làm toán Dễ nhận thấy vài trường hợp đặc biệt ∆ tiếp tuyến đường tròn đường kính AB điểm M cần tìm tiếp điểm Vậy trường hợp lại ta xử lý nào? Dựng đường tròn qua A, B tiếp xúc ∆ N với ∆ M Ký hiệu đường tròn (C) Xét điểm N ∆ khác M I Gọi I giao (C) NB (Hình 2) Ta có ¼ AMB = ¼ AIB (cùng chắn cung AB) M Mặt khác: ¼ ¼ =¼ ANB + NAI AIB = ¼ AMB ⇒¼ AMB > ¼ ANB ∀N ≠ M A B Hình Vậy M điểm cần tìm Dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sử dụng phương pháp hình giải tích Bài 10 (Trích đề thi chọn HSG - lớp 11 Thành phố Hà Nội năm học 2008-2009) Cho x + y − x − y + 12 = Tìm: Max biểu thức A = x + y Lời giải Nhận xét: điều kiện đầu thoả mãn phương trình đường 2 tròn: ( C1 ) : ( x − ) + ( y − 3) = có tâm I1 ( 2;3) ; R1 = Gọi A0 giá trị biểu thức Dễ nhận thấy A0 > Do ta 2 đường tròn ( C2 ) : x + y = A0 có tâm I ( 0;0 ) ; R2 = A0 Vì A0 giá trị biểu thức điều tương đương với ( C1 ) & ( C2 ) phải có điểm chung (*) 14 ( 1) ( 2) ( 3)  I1I = R1 + R2  (*) ⇔  I1I = R1 − R2 R −R − 13 ⇔ 14 − 13 < A0 < 14 + 13 So sánh kết (1); (2) (3) ta có MaxA = 14 + 13 Bình luận: Như ta sử dụng phương pháp hình học giải tích để tìm Max biểu thức A nhờ nhận xét điều kiện đầu Sẽ tương đối khó khăn tìm phương pháp khác cho số 10! Với 10 ta khái quát hoá thành tập sau: Bài 11 Cho x; y thoả mãn điều kiện P Trong P biến đổi phương trình đường tròn ( C1 ) Yêu cầu tìm min, max biểu thức Q biểu thức Q biến đổi đưa phương trình đường tròn ( C2 ) Quay lại Bài 10 ta nhận thấy biểu thức A biến đổi nhờ điều kiện đầu Thực vậy: Từ giả thiết ta có A = x + y = x + y − 12 15 Như gọi A0 giá trị biểu thức A Điều chứng tỏ 2 đường thẳng ∆ : x + y − 12 − A0 = đường tròn ( C1 ) : ( x − ) + ( y − 3) = có tâm I1 ( 2;3) ; R1 = phải có điểm chung (**) ( **) ⇔ d ( I1 , ∆ ) ≤ ⇔ + 18 − 12 − A0 ≤1 16 + 36 ⇔ 14 − A0 ≤ 52 ⇔ − 52 ≤ 14 − A0 ≤ 52 ⇔ 14 − 13 ≤ A0 ≤ 14 + 13 Vậy Max A = 14 + 13 Bình luận: Với việc đưa biểu thức A dạng phương trình đường thẳng ta phải xử lý trường hợp so với việc đưa biểu thức A phương trình đường tròn Bài tập vận dụng Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A = x − y − với x2 y + = điều kiện: Bài 13 Cho đường tròn: ( C ) : x + ( y + 1) = & A ( 2; −3) ; B ( 1;3) Tìm điểm H đường tròn (C) cho tam giác HAB có diện tích lớn nhất, nhỏ Bài 14 Cho đường tròn: ( C ) : x + y − x + y − = 0; & M ( 5; −3) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn I tâm đường tròn (C) Bài 15 Cho đường thẳng: ∆ : x + y + = & A ( 2;3) ; B ( −4;1) Tìm M ∈ ∆ cho uuur uuur MA + MB có độ dài ngắn (Đ/s: M(-2;1)) 6 11  2MA2 + 3MB đạt giá trị nhỏ (Đ/s: M  ; − ÷) 5  16 III Kết vận dụng SKKN vào công tác giảng dạy Chuyên đề thực lớp 11A trường THPT Văn Giang năm học 2013-2014 Để đánh giá kết chuyên đề thực cho học sinh làm dạng chuyên đề trước sau giảng dạy kết thu khả quan Trước giảng dạy có số em làm sau giảng dạy chuyên đề đa số em định hình phương pháp làm thực thành thạo Kết cụ thể thống kê bảng sau KẾT QUẢ KIỂM TRA LỚP 11A → 10 Điểm Trước 3 15 10 Sau 15 5 Như nhìn vào bảng thống kê đa số học sinh hiểu vận dụng thực toán cực trị hình giải tích (Oxy) KẾT LUẬN Chuyên đề có giá trị thực tiễn công tác giảng dạy học tập học sinh giáo viên Phù hợp với khả nhận thức tiếp thu học sinh Chuyên đề mở rộng toán cực trị không gian Do trình độ nên chuyên đề số khiếm khuyết, mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để chuyên đề có giá trị cao Xin trân trọng cảm ơn! ĐÀO QUANG BÌNH TÀI LIỆU THAM KHẢO Hạ Vũ Anh - Phương pháp Vectơ phương pháp toạ độ hình học Nguyễn Minh Hà (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Bình - Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 Trần Văn Hạo (Chủ biên) - Đại số 10 17