Đồng dư thức

Đồng Dư Thức 1.Định nghĩa: Cho số nguyên dương n > Hai số nguyên a, b gọi dồng dư theo modulo n chúng cho số dư chia cho n Kí hiệu: a ≡ b (mod n) 2.Tính chất: a)Các tính chất: +Nếu a ≡ a ' (mod n)  b ≡ b' (mod n) Thì ta có : a + b ≡ a'+b' (mod n) a − b ≡ a '−b' (mod n) a.b ≡ a'.b' (mod n) a k ≡ b k (mod n) Như ta có thề cộng, trừ, nhân, nâng lên lũy thừa đồng dư thức theo modun b)Luật giản ước: +Nếu a.c ≡ a '.c (mod n ) (c, n ) = a ≡ a ' (mod n) Bây vào số vấn đề đồng dư thức có nhiều ứng dụng giải toán số học 3.Hệ thặng dư đầy đủ Định nghĩa: Mỗi tập hợp A gọi hệ thăng dư đầy đủ (mod n) vớI số x∈Z tồn tạI a∈A để x ≡ a(mod n) Chẳng hạn A= {0,1,2, , n − 1} hệ thặng dư đầy đủ theo mod n Dễ thấy : Một tập A= {a1 , a , , a n } gồm n số hệ thăng dư đầy đủ theo modun n Khi ≅ a j (mod n) (ta tạm kí hiệu “không đồng dư” ≅ ) với i ≠ j i,j∈ {1,2, , n} Thí dụ 1: k (k + 1) (k=1,2…) Chứng minh n = s (s>1) dãy Xét dãy U k = chọn hệ thăng dư đầy đủ modun n Giải:Xét n số U k −1 (k = 1,2, , n) Ta cần chứng minh với ≤ i < j ≤ n U 2i −1 ≅ U j −1 (mod n) Giả sử ngược lại ∃ ≤ i < j ≤ n mà U 2i −1 ≡ U j −1 (mod n) ⇔ (2i − 1)i ≡ (2 j − 1) j (mod n) ⇔ ( j − i )(2 j + 2i − 1) ≡ 0(mod n)(1) Do n = s (s>1) nên n ước lẻ Từ (1) ⇒ j ≡ i (mod n) (Vô lý) Thí dụ 2: Cho hệ thặng dư đầy đủ modun n A = {a1 , a , , a n } B = {b1 , b2 , , bn } Chứng minh rằng: Nếu n số chẵn tập A + B = {a1 + b1 , a + b2 , , a n + bn } không hệ thặng dư đầy đủ modulo n Giải: Nếu A hệ thặng dư đầy đủ n(n + 1) (mod n) a1 + a + + a n ≡ + + + n ≡ n(n + 1) Vì n chẵn ( n, n + 1) = nên ≅ (mod n ) Nếu A + B hệ thặng dư đầy đủ vớI n chẵn (a1 + b1 ) + (a + b2 ) + + (a n + bn ) ≅ 0(mod n) (a1 + b1 ) + (a + b2 ) + + (a n + bn ) = (a1 + a + + a n ) + (b1 + b2 + + bn ) n(n + 1) n(n + 1) + ≡ = n(n + 1) ≡ 0(mod n) 2 Đây điều vô lý Định lý Fermat: Cho số nguyên tố p.Khi với số nguyên a ta có: a p ≡ a(mod p ) Ngoài (a,p)=1 a p −1 ≡ 1(mod p ) Chứng minh: Định lý Fermat có nhiều cách chứng minh, giới thiệu đến bạn cách chứng minh ngắn nhất, nhiên ý tưởng cách chứng minh nên học hỏi Nếu a  p ta có điều phải chứng minh Nếu a / p ⇒ ( a, p ) = Trước hết nhắc lại tính chất số nguyên tố “ Cho p số nguyên tố, tập số ai, i = 1, p − hệ thặng dư thu gọn modulo p , ( a, p ) = ” Từ tính chất ta suy p −1 p −1 i =1 i =1 ∏ ≡ ∏ i ⇒ a p −1 ≡ 1(mod p) ⇒ a p ≡ a (mod p ) Tóm lại trường hợp ta có điều cần chứng minh 5 Định lý Euler: Cho số nguyên dương n.Gọi ϕ (n) số số nguyên dương không vượt n nguyên tố với n Khi với số nguyên dương n,ta có: a ϕ ( n ) ≡ 1(mod n) Ý tưởng chứng minh định lý Euler tương tự so với định lý Fermat, bạn thử sức xem J Định lý Wilson Cho số nguyên tố p ta có định lý sau : ( p − 1)!+1 ≡ 0(mod p) Chứng minh: Nhận thấy định lý với p = Trong trường hợp p số nguyên tố lẻ Xét phương trình đồng dư: ( x − 1)( x − ) ( x − p + 1) − ( x p −1 − 1) Nhận thấy phương trình có p − nghiệm theo modulo p Mà bậc đa thức bé p − nên đa thức chia hết cho p với x Như hệ số đa thức chia hết cho p Xét hệ số tự do: (−1) p −1 ( p − 1)! +  p ⇒ ( p − 1)! +  p ( p − chẵn p số nguyên tố lẻ) 7.Bài tập ví dụ: Bài 1:Cho p số nguyên tố có dạng 4k+3 Cho số nguyên x y Biết x2+y2  p Chứng minh rằng: x y chia hết cho p Giả sử (x,p)=1 ta thấy (y,p)=1 Ta có x2 ≡ − y (mod p) ⇔ x k + ≡ − y k + (mod p) ⇔ ≡ −1(mod p) (Theo định lý Fermat) Do (x,p) ≠ nên x chia hết cho p dễ thấy y chia hết cho p Bài 2:Chứng minh rằng: với n > + 13 n +1 Theo nhị thức Newton: n 23 + = (3 − 1)3 + = 3n+1 A Từ ta suy đpcm n n Bài tập luyện tập Bài 1: Cho ( a, b ) = Chứng minh ước lẻ A = a + b có dạng 2n +1 k + Bài 2:  (n − 1)!  Chứng minh ∀n ∈ N , n ≥   số chẵn  n(n + 1)  Bài 3: Cho x ∈ N * : x + 1 x n n Chứng minh rằng: x = Gợi ý: dùng ví dụ Bài 4: Cho p, q số nguyên tố Hãy tính tổng:  p  2 p   (q − 1) p    +   + +   q  q   q  Bài 5: Chứng minh rằng:  x2 + y = z  2  6x + y = t nghiệm nguyên Bài 6: Chứng minh 1!+ 2!+ + n ! số phương n =