Hàm Gamma P-adic và các đồng dư thức liên quan đến hệ số Newton

Bài viết nghiên cứu hàm Gamma P-adic và các đồng dư thức từ đó, suy ra được một số đồng dư thức trong số học liên quan đến hệ số Newton. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết nội dung kiến thức.

Mỵ Vinh Quang tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ HÀM GAMMA P-ADIC VÀ CÁC ĐỒNG DƯ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HỆ SỐ NEWTON MỴ VINH QUANG*, PHAN DUY NHẤT** TÓM TẮT Trong báo, chứng minh đồng dư thức hàm gamma p-adic đây: ⎡ x( x -1) r p 1⎤ 5r p ∑ (1) Γ p ( p x) ≡ Γ p ( p ) ⎢1 + ⎥ (mod p ) k =1,( k , p ) =1 k ⎥ ⎢⎣ ⎦ đó: Γ p : Z p → C p hàm gamma p-adic; p số nguyên tố, p > ; r ≥ ; x∈Zp r r r x Từ đó, suy số đồng dư thức số học liên quan đến hệ số Newton Từ khóa: hàm gamma p-adic, đồng dư thức, hệ số Newton ABSTRACT P-adic gamma function and congruences related to the Newton coefficients In the paper, we prove a congruence of the p-adic gamma function follows: ⎡ x( x -1) r p 1⎤ 5r p ∑ (1) Γ p ( p x) ≡ Γ p ( p ) ⎢1 + ⎥ (mod p ) k =1,( k , p ) =1 k ⎥ ⎢⎣ ⎦ Where: Γ p : Z p → C p is the p-adic gamma function; p is a prime, p > ; r ≥ ; x∈Zp r r r x Since then, we deduce some congruences in arithmetic relating to the Newton coefficients Keywords: p-adic gamma function, congruence, Newton coefficient Giới thiệu ⎛ p − 1⎞ Đồng dư thức ⎜ ⎟ ≡ (mod p) chứng minh đơn giản Năm 1819, ⎝ p −1 ⎠ Babbage chứng minh đồng dư thức mạnh hơn, với số nguyên tố p ≥ * ** PGS TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM Số 36 năm 2012 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ ⎛ 2p −1⎞ ⎛2p−1⎞ (mod p ) Năm 1862, Wolstenholme chứng minh ≡ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≡1 (mod p ) ⎝ p −1 ⎠ ⎝ p −1 ⎠ ⎛ np + p − 1⎞ với số nguyên tố p ≥ Năm 1899, J Glaisher với kết ⎜ ⎟ ≡ (mod ⎝ p −1 ⎠ ⎛ np ⎞ ⎛ n ⎞ p ) năm 1990, D.F Bailey với kết ⎜ ⎟ ≡ ⎜ ⎟ (mod p ) cho số nguyên ⎝ rp ⎠ ⎝ r ⎠ tố p ≥ Khi giải tích p-adic đời mở nhiều hướng nghiên cứu Tương tự hàm gamma giải tích phức, ta có hàm gamma p-adic giải tích p-adic với tính chất sau: Γ p (n) = (−1) n n −1 ∏ i i =1,( i , p ) =1 ta thấy mối liên hệ hàm gamma p-adic hệ số nhị thức Newton sau: Γ p ( np + p ) ⎛ np + p − 1⎞ ⎜ ⎟= ⎝ p −1 ⎠ Γ p ( np )Γ p ( p ) viết lại đồng dư thức J Glaisher sau: Γ p (np + p ) Γ p (np )Γ p ( p ) ≡ (mod p ) Từ đây, tạo động lực cho nghiên cứu đồng dư thức hàm gamma p-adic Trong báo này, chứng minh đồng dư thức (1) sử dụng kết để suy số đồng dư thức số học liên quan đến hệ số Newton Các kết sử dụng báo 2.1 Hàm gamma p-adic Trường số thực R khơng đóng đại số, bao đóng đại số R trường số phức C Làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối p ta trường Q p , Q p đầy đủ khơng đóng đại số Kí hiệu bao đóng đại số Q p Q p Giá trị tuyệt đối Q p xác định sau: Với a ∈ Q p a phải phần tử đại số Q p , tồn đa thức Irr ( a, Q, x ) ∈ Q p [x] có dạng Irr ( a, Q, x ) = x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 bất khả quy Q p , nhận a làm nghiệm Mỵ Vinh Quang tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Ta chứng minh a p = n a0 giá trị tuyệt đối Q p Trường Q p đóng p đại số lại khơng đầy đủ theo p vừa xây dựng Nếu tiếp tục làm đầy đủ Q p ∧ theo p ta trường số phức p-adic Kí hiệu C p = Q p Trường số phức p- adic C p đóng đại số, đầy đủ đóng vai trò tương tự trường số phức C giải tích phức Mệnh đề 2.1 { } Tập hợp Z p = a ∈ Q p : a p ≤ phép toán cộng phép toán nhân Q p tạo thành vành gọi vành số nguyên p-adic Định nghĩa 2.2 Dãy a1 , a2 , a3 , , an , C p gọi dãy nội suy p-adic tồn hàm số liên tục f : Z p → C p cho f (n) = an ∀n ∈ N Định lí 2.3 n −1 Cho p số nguyên tố Khi dãy {an } với an = (−1) n ∏ ' i dãy nội i =1 suy p-adic Trong ∏ ' tích lấy theo tất i nguyên tố với p Từ định nghĩa dãy nội suy p-adic tồn hàm Γ p : Z p → C p liên tục Z p thỏa n −1 Γ p (n) = (−1) n ∏ ' i i =1 Hàm Γ p xác định gọi hàm gamma p-adic 2.2 Một số đồng dư thức pr Chúng ta kí hiệu ∑ ' thay cho ∑ k =1,( k , p ) =1 Định lí 2.1 Cho p số nguyên tố lớn Chúng ta có đồng dư thức sau: (i) (ii) ∑' k 2s ∑' k ≡ (mod p r ) (p-1) không chia hết 2s s +1 ≡ (mod p 2r ) (p-1) không chia hết 2(s + 1) Số 36 năm 2012 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ pr (iii) ∑ ' ≡ − k (iv) 1 ∑' k ∑ ' km ≡ − ∑ ' k k m ' r ⎛ n ' ⎞ ⎛ np ⎞ ⎛ n ' ⎞⎛ n ⎞ n ' m '(n '− m ') ⎜ ⎟ ⎜⎜ r ⎟⎟ − n ' m '(n '− m ') ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ m ' ⎠ ⎝ mp ⎠ ⎝ m ' ⎠⎝ m ⎠ r ⎛ n ⎞⎛ n' p ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n ' ⎞ ≡ nm(n − m) ⎜ ⎟ ⎜⎜ − − nm ( n m ) (mod p r ) ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ r ⎟ ⎝ m⎠⎝ m' p ⎠ ⎝ m ⎠⎝ m ' ⎠ Từ định lí 5.1, chọn n, m, n ', m ' thích hợp, số đồng dư thức sau 12 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang tgk _ ⎛ p2 ⎞ ⎛ p2 ⎞ ⎜ ⎟ ≡ 12 + ⎜ ⎟ (mod p10 ) ⎜p ⎟ ⎜p ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ p2 ⎞ ⎛ p2 ⎞ 24 ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ 42 + ⎜⎜ ⎟⎟ (mod p10 ) ⎝p ⎠ ⎝2p ⎠ ⎛ p2 ⎞ ⎛ p2 ⎞ ⎜ ⎟ ≡ 12 + ⎜ ⎟ (mod p10 ) ⎜p ⎟ ⎜p ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Theo D.F Bailey, có định lí sau: Định lí 5.2.[4] Nếu N , M , n, m ∈ N , p số nguyên tố lớn 3, giả sử n, m < p ⎛ Np + n ⎞ ⎛ N ⎞⎛ n ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟ (mod p ) ⎝ Mp + m ⎠ ⎝ M ⎠⎝ m ⎠ Trong báo này, có kết qủa mở rộng sau Định lí 5.3 Nếu N , M , n, m ∈ N , p số nguyên tố lớn 5, r ≥ , giả sử n ≤ m < p ⎛ Np r + n ⎞ ⎛ N ⎞⎛ n ⎞ r 2r ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎡⎣1 + c ' p ⎤⎦ (mod p ) r M m ⎝ Mp + m ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ n Trong c ' = H (n) N − H (m) M − H (n − m)( N − M ) với H (n) = ∑ , H (0) = k =1 k Từ định lí 5.3., chọn N, M, n, m, r thích hợp với p số nguyên tố lớn 5, có số đồng dư thức sau: ⎛ p3 + ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ + p (mod p ) ⎝ p +2 ⎠ ⎛ p3 + ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ 30(2 + p ) (mod p ) ⎝3p +1 ⎠ ⎛ p3 + ⎞ ⎛ p3 + ⎞ ≡ + 30 ⎜⎜ 120 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ (mod p ) ⎝ p +2 ⎠ ⎝3p +1 ⎠ 13 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 _ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bailey, D.F (1990), “Two p variations of Lucas’s theorem”, J Number Theory 35, pp 208- 215 Dupare, H and Peremans, W (1955), “On theorem of Wolstenholme and Leudesdodrf”, Pro Ned Akad Wet., 58, pp 459 – 465 Hardy, G and Wright, E (1954), An introduction to the theory of numbers (Third Edition), Oxford, Clarendon Press Koblitz N (1977), P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zenta – Function, Springer Veriag Schikhof W H (1984), Ultrametric calculus, An introduction to p-adic analysis, Cambridge University Press Wolstenholme, J.(1862), “On certain properties of prime numbers”, Quart J Math., Oxford Series 5, pp 35- 39 Zhao, J (2006), “Bernoulli Numbers, Wolstenholme’s theorem, and p variations of Lucas’s theorem”, arxiv:math/0303332v3[math.N1] (Ngày Tòa soạn nhận bài: 13-02-2012; ngày chấp nhận đăng: 24-4-2012) 14 ... sử dụng kết để suy số đồng dư thức số học liên quan đến hệ số Newton Các kết sử dụng báo 2.1 Hàm gamma p-adic Trường số thực R khơng đóng đại số, bao đóng đại số R trường số phức C Làm đầy đủ... Tương tự hàm gamma giải tích phức, ta có hàm gamma p-adic giải tích p-adic với tính chất sau: Γ p (n) = (−1) n n −1 ∏ i i =1,( i , p ) =1 ta thấy mối liên hệ hàm gamma p-adic hệ số nhị thức Newton. .. viết lại đồng dư thức J Glaisher sau: Γ p (np + p ) Γ p (np )Γ p ( p ) ≡ (mod p ) Từ đây, tạo động lực cho nghiên cứu đồng dư thức hàm gamma p-adic Trong báo này, chứng minh đồng dư thức (1)