Ứng dụng của đồng dư thức

Cô cũng làngười đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trongsuốt thời gian được làm việc cùng cô.Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ đại số khoaToán, trư

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI - 2016

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Nguyễn Thị KiềuNga , người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiếnthức nền tảng để em có thể hoàn thành bài khóa luận này Cô cũng làngười đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trongsuốt thời gian được làm việc cùng cô.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ đại số khoaToán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi để

em có thể hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiệnthuân lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thâncòn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, em rất mongnhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên đểkhóa luận của tôi được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Trần Thị Hường

Em xin cam đoan khóa luận "Ứng dụng của đồng dư thức" đượchoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga và sự

nỗ lực của bản thân Khóa luận không trùng với bất kỳ đề tài nghiêncứu nào khác

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã thừa kế những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Trần Thị Hường

Lời mở đầu 1

Chương 1: Đồng dư thức 4 1.1 Đồng dư thức 4

1.1.1 Định nghĩa đồng dư thức 4

1.1.2 Các điều kiện tương đương với định nghĩa 4

1.1.3 Các tính chất của đồng dư thức 5

1.2 Một số định lý cơ bản về đồng dư thức 9

1.2.1 Hàm Ơ-le 9

1.2.2 Hệ thặng dư đầy đủ 10

1.2.3 Hệ thặng dư thu gọn 12

1.2.4 Định lý Ơ-le 13

1.2.5 Định lý Phec-ma 13

1.2.6 Định lý Vin-sơn 14

Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC 15 2.1 Ứng dụng của đồng dư thức tìm số dư trong phép chia 15

2.1.1 Sử dụng tính chất của đồng dư thức 15

2.1.2 Sử dụng các định lý Ơ-le, định lý Phec-ma 16

2.1.3 Sử dụng định lý Vin-sơn 18

2.2 Ứng dụng của đồng dư thức chứng minh tính chia hết 20

2.2.1 Sử dụng tính chất của đồng dư thức 20

2.2.2 Sử dụng định lý Ơ-le và Phec-ma chứng minh tính chia hết 23

2.3 Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa 262.3.1 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa 302.3.2 Tìm ba chữ số tận cùng của một lũy thừa 342.4 Ứng dụng của đồng dư thức nhận biết dấu hiệu chia hết 372.4.1 Các dấu hiệu chia hết đơn giản 372.4.2 Một số dấu hiệu chia hết khác 392.5 Ứng dụng của đồng dư thức giải phương trình nghiệm nguyên 432.6 Ứng dụng của đồng dư thức giải phương trình đồng dư và

phương trình vô định 452.6.1 Giải phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn 452.6.2 Giải phương trình vô định ax + by = c 47Kết luận 51Tài liệu tham khảo 52

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một bộ môn khoa học trừu tượng, có suy luận lôgic

và là nền tảng cho việc nghiên cứu các bộ môn khoa học khác Đại số

là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong toán học Nó góp phầnthúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại Số học là một phầnkhông thể thiếu và nó chiếm một vai trò khá quan trọng trong bộmôn này.Các bài toán số học luôn hấp dẫn và cuốn hút mọi người

Từ các nhà toán học lỗi lạc của mọi thời đại đến đông đảo các bạntrẻ yêu toán Thế giới các con số quen thuộc đối với chúng ta trongcuộc sống hàng ngày, nhưng nó cũng là một thế giới hết sức kỳ lạ vàđầy bí ẩn Loài người đã phát hiện trong đó biết bao tính chất, quyluật đồng thời cũng gặp khó khăn khi chưa thể chứng minh đượcmột số các dự đoán toán học

Các bài toán số học luôn có mặt trong các đề thi chọn học sinhgiỏi toán ở tất cả các cấp học và đối với hầu hết các nước trên thếgiới Là một phần kiến thức của số học, đồng dư thức có vai trò rấtquan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng Sử dụng đồng dưthức có thể giải quyết dễ dàng nhiều bài toán trong các môn họckhác và nhiều bài toán trong thực tiễn cuộc sống

Với lòng yêu thích, niềm say mê muốn được nghiên cứu và tìmhiểu sâu hơn về số học nói chung và đồng dư thức nói riêng, em đãchọn đề tài "Ứng dụng của đồng dư thức" để nghiên cứu

Nội dung khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản về lý thuyết đồng dư, cácđịnh lý cơ bản của đồng dư thức là Định lý Ơ-le, định lý Phec-ma,định lý Vin-sơn, Hệ thặng dư đầy đủ - Hệ thặng dư thu gọn.

Chương 2: Trình bày một số ứng dụng của đồng dư thức qua các

ví dụ và bài tập áp dụng như: Tìm số dư trong phép chia, chứngminh tính chia hết, tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa, tìm cácdấu hiệu chia hết, giải phương trình vô định, nghiệm nguyên

+ Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình

3 Cơ sở lý luận

Lý thuyết đồng dư được xây dựng trên nền tảng là phép chia trênvành số nguyên Đồng dư là một nội dung được suy luận một cáchlôgic, chặt chẽ Trên cơ sở các tính chất, các định lý rất nổi tiếngcủa hai nhà bác học Ơ-le và Phec-ma thì đồng dư thức có tính ứngdụng rất cao trong việc giải quyết các bài toán số học

4 Cơ sở thực tiễn

Đồng dư là một phương pháp có kĩ thuật Nó có thể coi là một công

cụ giúp ta đạt được những kết quả sâu sắc (ví dụ như trong vấn

đề chia hết hay trong vấn đề phương trình nghiệm nguyên) mà nếudùng phương pháp khác thì việc giải quyết sẽ rất cồng kềnh

Đề tài này giúp cho các học sinh phổ thông có phương pháp và địnhhướng cũng như kĩ năng cần thiết trong quá trình giải quyết các bàitoán số học trong chương trình phổ thông

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống lý thuyết, phân loại, đưa ra bài tập chi tiết liên quan đếnĐồng dư thức

6 Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu

- Trong môn toán có nhiều dạng bài tập có thể giải bằng phươngpháp đồng dư thức Tuy nhiên trong khóa luận này em chỉ đưa

ra một số ứng dụng sau:

+ Tìm số dư trong một phép chia

+ Chứng minh sự chia hết

+ Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa

+ Tìm dấu hiệu chia hết

+ Giải phương trình nghiệm nguyên

+ Giải phương trình vô định

7 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập và đọc các tài liệu tìm được từ nhiều nguồn khác nhau

để phân tích, nghiên cứu

• Phương pháp quan sát, đọc sách

• Trao đổi với thầy cô, bạn bè

Đồng dư thức

1.1 Đồng dư thức

1.1.1 Định nghĩa đồng dư thức.

Định nghĩa 1.1.1

Cho m là một số nguyên dương Ta nói hai số nguyên a và b đồng

dư với nhau theo môđun m nếu trong các phép chia a và b cho m tađược cùng một số dư

Khi a và b đồng dư với nhau theo môđun ta viết

a ≡ b(mod m)

Hệ thức a ≡ b(modm) được gọi là một đồng dư thức

1.1.2 Các điều kiện tương đương với định nghĩa

Các khẳng định sau đây là tương đương:

i) a và b đồng dư với nhau theo môđun m

ii) m chia hết a − b

iii) tồn tại số nguyên t sao cho a = b + mt

1.1.3 Các tính chất của đồng dư thức

Tính chất 1.1.2

Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập hợp sốnguyên Z, nghĩa là nó có:

Với mỗi số tự nhiên m 6= 0 cho trước ta có

i) Với mọi a ∈ Z thì a ≡ a(mod m)

ii) Với mọi a, b ∈ Z nếu a ≡ b(mod m) thì b ≡ a(mod m)

iii) Với mọi a, b, c ∈ Z nếu a ≡ b(mod m) và b ≡ c(modm) thì

εiai ≡

kXi=1

εibi(mod m)

với ε = ±1

Tính chất 1.1.4

Ta có thể nhân từng vế nhiều đồng dư thức theo cùng một môđun

m với nhau, cụ thể là nếu

ai ≡ bi(mod m), i = 1, , k

thì ta cũng có:

kYi=1

ai ≡

kYi=1

bi(mod m)

aixn−i ≡

nXi=0

biyn−i(mod m)

Tính chất 1.1.6

Ta có thể chia hai vế của một đồng dư thức cho một ước chung nguyên

tố với mođun, cụ thể là nếu δ|a, δ|b và (δ, m) = 1 thì từ đồng dư thức

a ≡ b(mod m)

thì với mọi số nguyên dương c, ta có:

Nếu hai số đồng dư với nhau theo nhiều môđun thì chúng cũng đồng

dư với nhau theo môđun là bội chung nhỏ nhất của các môđun đã cho,

1.2 Một số định lý cơ bản về đồng dư thức

1.2.1 Hàm Ơ-le

Định nghĩa 1.2.1 Cho m là một số tự nhiên khác 0 Hàm Ơ-le của m

ký hiệu là ϕ(m) xác định như sau:

• Với m = 1 ta qui ước ϕ(m) = 1

• Với m > 1 ta có ϕ(m) = | {a ∈ N |a < m, (a, m) = 1} |

Nhận xét 1.2.2 ϕ(m) là số các phần tử khả nghịch của vành các lớpthặng dư môđun m

Định lý 1 Với hai số tự nhiên m1, m2 6= 0, (m1, m2) = 1 ta có:

1 Nhưng ta có (z, m1) = (m1x + y, m1) = (y, m1)cho nên ta được

(z, m1) = 1 khi và chỉ khi (y, m1) = 1 Ta có ϕ(m1) số y như vậy.Khi đó các số:

{m1x + y|x = 0, 1, , m2 − 1}

đều nguyên tố với m1 và lập thành một hệ thặng dư đầy đủ môđun

m2, do đó trong này có ϕ(m2) số nguyên tố với m2, nghĩa là có

ϕ(m2) số nguyên tố đồng thời với m1, m2 Ta biết rằng có ϕ(m1) số

y như vậy nên tạo nên trong Sm ϕ(m1) hệ như trên, do đó có tất cả

ϕ(m1)ϕ(m2) số z = m1.x + y nguyên tố đồng thời với m1 và m2 do

Nhận xét 1.2.5.

Vậy một bộ phận H của vành số nguyên Z là một hệ thăng dư đầy

đủ môđun m khi và chỉ khi H thỏa mãn các điều kiện sau đây:

i) Nếu a, b ∈ H và a 6= b thì a 6≡ b(mod m)

ii) Với mọi x ∈ H thì ta có a ∈ H sao cho a ≡ x(mod m)

Tính chất 1.2.6

i) Mỗi hệ thặng dư đầy đủ môđun m đều gồm m số

ii) Mọi hệ H gồm m số nguyên đôi một không đồng dư với nhau theomôđun m đều lập thành một hệ thặng dư đầy đủ môđun m

iii) Cho (a, m) = 1 và b là một số nguyên tùy ý và x chạy qua một hệthặng dư đầy đủ môđun m, thế thì ax + b cũng chạy qua một hệthặng dư đầy đủ môđun m

Ví dụ 1.2.7 Với m = 8 ta có {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} là một hệ thặng dưđầy đủ môđun 8, nó được gọi là hệ thặng dư đầy đủ không âm nhỏ nhất;

{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} là một hệ thặng dư đầy đủ môđun 8 và gọi là

hệ thặng dư đầy đủ giá trị tuyệt đối nhỏ nhất

làmột hệ thặng dư đầy đủ môđun m và được gọi là hệ thặng dư đầy

đủ giá trị tuyệt đối nhỏ nhất

• Nếu m là một số chẵn thì hệ thặng dư đầy đủ môđun m với giá trịtuyệt đối nhỏ nhất sẽ là

o

ii) Nếu a, b ∈ K và a 6= b thì a 6≡ b(mod m).

iii) Với mỗi x ∈ Z mà (x, m) = 1, thì tất có a ∈ K sao cho

a ≡ x(mod m)

Tính chất 1.2.9

i) Mỗi hệ thặng dư thu gọn môđun m đều gồm ϕ(m) số

ii) Mọi hệ K gồm ϕ(m) số nguyên, nguyên tố với m và đôi một khôngđồng dư với nhau theo môđun m đều lập thành một hệ thặng dưthu gọn môđun m

iii) Cho (a, m) = 1 và x chạy qua một hệ thặng dư thu gọn môđun mkhi đó ax cũng chạy qua một hệ thặng dư thu gọn môđun m

Ví dụ 1.2.10 Với m = 8 ta có {1, 3, 5, 7} là hệ thặng dư thu gọn không

âm nhỏ nhất và {−3, −1, 1, 3} là hệ thặng dư thu gọn giá trị tuyệt đốinhỏ nhất



là hệ thặng dư thu gọn giá trịtuyệt đối nhỏ nhất

Chứng minh • Trước tiên ta chứng minh Nếu r1, r2, , rϕ(m) là các

số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m, a

là một số nguyên dương và (a, m) = 1 thì các số ar1, ar2, , arϕ(m)

cũng nguyên tố cùng nhau với m.Thật vậy, ta giả sử ngược lại là

(ari, m) > 1 với i nào đó i = 1, ϕ(m) Khi đó tồn tại ước nguyên tố

p của ari và m Do đó p|a hoặc p|ri tức là hoặcp|a và p|m hoặc p|ri

và p|m Tuy nhiên, không thể có p|ri và p|m vì ri và m nguyên tốcùng nhau Tương tự không thể có p|a và p|m vì (a, m) = 1

Vậy điều giả sử là sai Do đó (ari, m) = 1 với mọi i = 1, 2, , ϕ(m)

• Giả sử r1, r2, , rϕ(m) là các số nguyên dương không vượt quá m vànguyên tố cùng nhau với m.Khi đó theo chứng minh trên ta có các

số ar1, ar2, , arϕ(m) cũng nguyên tố cùng nhau với m do (a, m) = 1

Như vậy, các số ar1, ar2, , arϕ(m) khi chia cho m sẽ có số dư là

2 Nếu p là số nguyên tố, a là số nguyên tùy ý thì:

Phương trình g(x) ≡ 0(mod p) có p − 1 nghiệm là 1, 2, , p − 1

Theo định lý Phec-ma ta có xp−1 − 1 ≡ 0(mod p) có p − 1 nghiệm là

1, 2, , p − 1.Vậy phương trình f (x) ≡ 0(mod p) cũng có p − 1 nghiệm

là 1, 2, , p − 1 Mặt khác đa thức f(x) có bậc nhỏ hơn p − 1 Do đótheo định lý Lagrange các hệ số của f(x) đồng dư với 0 theo môđun p

Hệ số tự do của f(x) là (p − 1)! + 1 nên ta ⇒ (p − 1)! + 1 ≡ 0(mod p).Hay (p − 1)! ≡ −1(mod p)

Vậy định lý được chứng minh

Ta có 2945 ≡ 2(mod 9) suy ra 29455 − 3 ≡ 25 − 3(mod 9).

Mà 25− 3 ≡ 2(mod 9) Vậy số dư trong phép chia 29455 − 3 cho 9 là 2

Ví dụ 2.1.2 Tìm số dư trong phép chia A = 776776 + 777777 + 778778

777 ≡ 0(mod 3) nên 777777 ≡ 0(mod 3)

778 ≡ 1(mod 3) nên 778778 ≡ 1(mod 3)

Suy ra 32005 = 340.50+5 ≡ 35(mod 100) ≡ 43(mod 100)

Vậy 32005 chia cho 100 dư 43

Ví dụ 2.1.4 Tìm số dư trong phép chia 109345 cho 14

Giải

Ta có 109 ≡ −3(mod 14) nên 109345 ≡ −3345(mod 14)

Ta lại có (3, 14) = 1, ϕ(14) = 6

Theo định lý Ơ-le ta có

(−3)6 ≡ 1(mod 14)

Mà(−3)345 = (−3)57.6.(−3)3 suy ra(−3)345 ≡ (−3)3(mod 14) ≡ 1(mod 14)

Vậy số dư trong phép chia 109345 cho 14 là 1

Ví dụ 2.1.5 Tìm số dư trong phép chia 321996 cho 11

Suy ra (32)1996 = 310l+6 ≡ 36(mod 11) ≡ 3(mod 11)

Vậy dư trong phép chia (32)1996 cho 11 là 3

Ví dụ 2.1.6 Tìm dư trong phép chia 19971997 cho 13

Giải

Ta có 1997 ≡ 8(mod 13) ⇒ 19971997 ≡ 81997(mod 13)

Theo định lý Phec-ma ta có 812 ≡ 1(mod 13) và 1997 = 12.166 + 5

Suy ra 81997 = 812.166+5 ≡ 85(mod 13) ≡ 8(mod 13)

Vậy dư trong phép chia 19971997 cho 13 là 8

Ví dụ 2.1.7 Cho m = p2, p ∈ P, a ∈ Z, (a, p) = 1, n ∈ N Tìm dư trong

Ta có a(p−1) ≡ 1(mod p) ⇒ a(p−1).k ≡ 1(mod p) với k = 0, p − 1

Bài 1) Tìm số dư trong phép chia

Bài 4) Biết a100 ≡ 2(mod73), a101 ≡ 69(mod73)

Tìm số dư trong phép chia a cho 73

Đáp số Số dư là 71

Bài 5) Cho m là số tự nhiên lẻ Hãy tìm

a, Số dư trong phép chia 2ϕ(m)−1 cho m

b, Số dư trong phép chia 4ϕ(m)−1 cho m

Đáp số a, Ta có (2, m) = 1 áp dụng định lý Ơ-le ta suy ra số dư là m + 1

+ Nếu m = 4k + 1 thì 3m + 1 chia hết cho 4, suy ra số dư là

Vì 25 ≡ 1(mod 6) nên 58n = (25)4.8n−1 ≡ 1(mod 6).

Mặt khác 5 ≡ 5(mod 6) suy ra 58n+5 ≡ 0(mod 6) Do đó 58n + 5 6

Trường hợp đặc biệt n = 2009 ta được 582009+5 6

Ví dụ 2.2.4 Cho a1, a2, , an ∈ Z và Pn

i=1ai 6 Chứng minh rằng:n

Xi=1

a3i 6

Giải

Ta cần chứng minh n3 ≡ n(mod 6)

Thật vậy, n3 − n = n.(n2 − 1) = (n − 1).n.(n + 1)

Vì n − 1, n, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2

và có một số chia hết cho 3 nên tích của chúng sẽ chia hết cho 6

Thay n = ai ta được a3i ≡ ai(mod 6)

a, 62n+1 + 5n+2 chia hết cho 31, với mọi n ∈ N

b, 42n+1+ 3n+2 chia hết cho 13, với mọi n ∈ N

Bài 3) Chứng minh với mọi n ∈ N∗ ta có:

2.2.2 Sử dụng định lý Ơ-le và Phec-ma chứng minh tính chia hết

Mặt khác a lẻ nên a4 − 1 = (a − 1)(a + 1)(a2 + 1) 24

Vì tích của 3 số chẵn trong đó có 2 số chẵn liên tiếp nên a4 − 1 chia hếtcho 24 hay a4 ≡ 1(mod 24) (2)

Do a2, (a2− 1), (a2+ 1) là 3 số nguyên liên tiếp nên một trong 3 số phảichia hết cho 3

Mà a lẻ suy ra(a2 − 1)(a2 + 1) 3

suy ra a4 − 1 ≡ 0(mod 3) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.2.6 a, Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 7 thì:

Ta có điều phải chứng minh.

b,Ta chứng minh 2210n+1 + 19 23 , với mọi n ≥ 1

Thật vậy, theo định lý Phec-ma 210 ≡ 1(mod 11)

suy ra 210n+1 ≡ 2(mod 22)

suy ra 210n+1 = 22k + 2, k ∈ N

Theo định lý Phec-ma ta có: 222 ≡ 1(mod 23)

suy ra 2210n+1 ≡ 222k+2 ≡ 4(mod 23)

suy ra 2210n+1 + 19 23 và 2210n+1 + 19 > 23 với mọi n ≥ 1

Vậy 2210n+1 + 19 là hợp số với mọi số tự nhiên n > 0

Ví dụ 2.2.7 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:

224n+1 + 7 11

Giải

Ta có 11 là số nguyên tố và (2, 11) = 1 Theo định lý Phec-ma ta có

210 ≡ 1(mod 11) Ta tìm dư trong phép chia 24n+1 cho 10

Áp dụng định lý Ơ-le ta có (3, 10) = 1 nên 3ϕ(10) ≡ 1(mod 10)

⇔ 34 ≡ 1(mod 10) suy ra 34n+1 ≡ 3(mod 10)

234n+1 + 324n+1 + 5 là hợp số với mọi số tự nhiên n > 0.

Hướng dẫn: Ta chứng minh 234n+1 + 324n+1 + 5 11 với mọi n ≥ 1 Sử dụng định

lý Phec-ma tìm dư trong phép chia 24n+1 và 34n+1 cho 10

Bài 5) Chứng minh rằng 12002+ 22002+ · · · + 20082002− 4 2003

Hướng dẫn: Sử dụng định lý Phec-ma với 2003 là số nguyên tố