đồng dư và các ứng dụng của đồng dư

SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG MỤC LỤC CƠ SỞ LÝ THUYẾT A ĐỊNH NGHĨA ĐỒNG DƢ CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ ĐỒNG DƢ CÁC ĐỊNH LÝ ĐỒNG DƢ 4 HỆ THẶNG DƢ ĐẦY ĐỦ - HỆ THẶNG DƢ THU GỌN ỨNG DỤNG B C TÌM SỐ DƢ CỦA PHÉP CHIA TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG 10 CHỨNG MINH SỰ CHIA HẾT 11 PHÂN VÙNG BỘ NHỚ 14 KÝ SỐ KIỂM TRA ( CHECK DIGITS) 15 ỨNG DỤNG TRONG MÃ HĨA THƠNG TIN 18 TRÒ CHƠI ĐỒNG DƢ 21 MỘT SỐ TRỊ CHƠI CĨ LỜI GIẢI: 21 MỘT SỐ TRÒ CHƠI THAM KHẢO VÀ THỬ THÁCH ĐỘC GIẢ 25 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG A CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA ĐỒNG DƢ Kí hiệu Z tập hợp số nguyên Định nghĩa Cho m số nguyên dương, a b hai số nguyên Ta nói a b đồng dư với theo môđun m phép chia a b cho m ta số dư, nghĩa có số nguyên p1, p2, r với  r < m cho a = mq1 + r b = mq2 + r Khi a b đồng dư với theo môđun m, ta viết a ≡ bmod m Nếu a không đồng dư với b theo mơđun m ta viết a  bmod m Định lý Các mệnh đề sau tương đương i a b đồng dư với theo môđun m; ii a – b chia hết cho m (kí hiệu m|(a-b)); iii Tồn số nguyên t cho a = b+mt Chứng minh i  ii Ta có a ≡ bmod m  a = mq1 + r b = mq2 + r, với q1 , q2 , r  Z ,  r < m Suy a  b  m(q1  q2 ) Do q1 , q2  Z nên m|(a - b) ii iii Giả sử m|(a-b) Khi tồn số t Zsao cho a-b  mt, tức a = b + mt iii i Giả sử có số t  cho a = b + mt Gọi r số dư phép chia a cho m, nghĩa a  mq1  r với q1 , r  Z ,  r < m Khi ấy: b  mt  a  mq1  r hay b  m(q1  t )  r (q1  t )  Z ,  r < m Chứng tỏ số dư phép chia b cho m r, tức a ≡ b mod m CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ ĐỒNG DƢ a) Quan hệ đồng dư quan hệ tương đương tập Z: i Phản xạ: Với a  Z : a ≡ a mod m; ii.Đối xứng: Với a ,b  Z: a ≡ b mod m b ≡ amod m; iii.Bắc cầu: Với a, b, c  Z : a  b mod m , b  c mod m  suy a  c mod m SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chứng minh i Vì a – a chia hết cho m nên a  a mod m  ii Từ a  b mod m  ta có m|(a - b) Do m|(b – a ) b ≡ a mod m iii Ta có a ≡ bmod m b ≡ cmod m nên m|( a - b)và m|(b - c) Khi m|((a- b )+(b- c)) hay m|(a- c) Vậy a ≡ c mod m b) Ta cộng trừ vế nhiều đồng dư thức theo môđun Cụ thể là, a1  b1 (mod m) a2  b2 (mod m) ta có: a1a2  b1  b2 (mod m) Chứng minh Từ a1  b1 (mod m) , a2  b2 (mod m) suy tồn t1 , t2  Z cho a1  b1  mt1 , a2  b2  mt2 Do a1  a2  b1  b2  m(t1  t2 ) với t1 , t2  Z Vậy a1a2  b1  b2 (mod m) c) Ta nhân vế nhiều đồng dư thức theo môđun Cụ thể là, a1  b1 (mod m) , a2  b2 (mod m) a1a2  b1b2 (mod m) Chứng minh Từ a1  b1 (mod m) , a2  b2 (mod m) suy tồn t1 , t2  Z cho a1  b1  mt1 , a2  b2  mt2 Do a1a2  b1b2  m(b2t1  b1t2  mt1t2 ) , với b2t1  b1t2  mt1t2 Vậy a1a2  b1b2 (mod m) d) Hệ i a ≡ b mod m a ± c ≡ b ± cmod m Chứng minh Thật vậy, ta có a ≡ bmod m c ≡ c mod m Vậy a ± c ≡ b ± cmod m ii a + c ≡ bmod m Chứng minh Thật vậy, ta có a +c ≡ bmod m, c ≡ c mod m Vậy iii a  b mod m a ± km ≡ bmod m với k  Z Chứng minh Thật vậy, a ≡ bmod m, km ≡ 0mod m Vậy a ± km ≡ bmod m iv a ≡ bmod m an ≡ bn mod m  n Z+ Chứng minh Ta có a ≡ bmod m ; a ≡ bmod m; a n  b n (mod m) SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG v Giả sử f(x) đa thức với hệ số nguyên   mod m Khi f(α) ≡ f(β)mod m Đặc biệt, f(α) ≡ 0mod m f(α + km) ≡ 0mod m với k Z Chứng minh: Thật vậy, giả sử f(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn Từ giả thiết α ≡ βmod m suy ai i   i (mod m) với i = 1, 2, , n Do đó: nghĩa f(α) ≡ f(β) mod m  k Z nên f(α)≡ f(α + km)mod m Đặc biệt, Nhưng f(α) ≡ 0modm nên ta có f(α + km) ≡0mod m với k  Z vi Ta chia hai vế đồng dư thức cho ước chung chúng nguyên tố với môđun m: ac ≡ bc mod mvà UCLN(c, m)=1  a ≡ bmod m Chứng minh Ta có ac ≡ bcmod m  m (ac - bc) hay m|c(a - b) Nhưng m , c 1nên ta có m|(a - b)  a ≡ bmod m vii Có thể chia hai vế mơđun đồng dư thức cho ước chung dương chúng: m|(a – b),   , |UCLN a, b ,m   a   b  (mod m  ) Chứng minh Từ giả thiết δ|(a, b, m), ta đặt a  a1 , b  b1 , m  m1 với a1 , b1 , m1  Z , m1  Mặt khác, a ≡ bmod m  a = b + mt, tZ Ta có: a1  b1  m1  a1  b1  m1t  a1  b1 (mod m1 ) hay a   b  (mod m  ) viii Nếu hai số đồng dư với theo mơđun chúng đồng dư theo mơđun ước môđun ấy: a ≡ b mod m, δ|m, δ >  a ≡ bmod δ  Chứng minh Từ a ≡ bmod m  m|(a - b), mà δ|m  δ|(a - b) a ≡ b(mod δ) ix Nếu hai số đồng dư với theo nhiều mơđun chúng đồng dư với SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG theo môđun bội chung nhỏ môđun ấy: a  b(mod mi ) với i 1, , k a ≡ bmod m với m=BCNN (m1 , m2 , , mk ) Chứng minh Ta có mi|(a – b) với i = 1, ,k Đặt M = m1m2 mk => M|(a – b) Vì m|M nên ta có m|(a-b) Vậy a ≡ bmod m x Nếu hai số đồng dư với theo môđun chúng có UCLN với mơđun ấy: a ≡ bmod m UCLN(a, m) = UCLN(b, m) Chứng minh Ta có a ≡ bmod m => tồn số nguyên k cho: a = km + b => b = a – km Đặt d=UCLN(a,m) ; d’ = UCLN(b,m) Lúc : d|a d|m => d| a – km hay d|b => d|d’ d’|b d’|m => d’|km + b hay d’|a => d’|d Vậy d’ = d CÁC ĐỊNH LÝ ĐỒNG DƢ a) Định lý Fermat: Với p số nguyên tố, ta có a p  a(mod p) Đặc biệt (a, p) =1 a p1  1(mod p) b) Định lý Euler:  Hàm số phi Euler- (m)  Hàm nhân tính số học : Một hàm xác định tập hợp số nguyên dương gọi hàm số học Hàm số học f gọi nhân tính với cặp số nguyên m, n mà (m, n) = f(m.n) = f(m).f(n)  Cho hàm số (m) xác định sau: m = ta có: (m) = m > (m) số tự nhiên không vượt m – nguyên tố với với m SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG  Cơng thức tính (m)  m = pα ( p số nguyên tố, α số tự nhiên khác 0) Ta có: (m) = (pα) = pα (1   2   m = p1 p2 p3 pn khác ) Ta có: n ) p (pi số nguyên tố, α1 số tự nhiên (m) = m (1  1 1 )(1  )(1  )…(1  ) p1 p2 p3 pn  Định lý Euler Nếu m số nguyên dương số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m thì: N  ( m)  1(mod m) với số nguyên N nguyên tố với m c) Định lý Wilson: Cho p số nguyên tố ta có : ( p  1)!1  0(mod p) d) Định lí Bezout Hai số nguyên a, b nguyên tố tồn số nguyên x, y cho ax + by = Kí hiệu : a, b ℤ, (a, b) =  ℤ : ax + by = HỆ THẶNG DƢ ĐẦY ĐỦ - HỆ THẶNG DƢ THU GỌN a Hệ thặng dư đầy đủ Cho m số nguyên dương Tập H gồm nhũng số nguyên lấy lớp thặng dư Z m số gọi hệ thặng dư đầy đủ môđun m.Như vậy: Tập hợp H gồm số nguyên hệ thặng dư đầy đủ môđun m khi: - Các phần tử H đôi không đồng dư với theo môđun m - Mỗi số nguyên đồng dư theo mơđun m với số thuộc H - Mỗi số nguyên H gọi thặng dư Ví dụ với m = ta có: Z8  {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} hệ thặng dư đầy đủ môđun 8, gọi hệ thặng dư đầy đủ khơng âm nhỏ Còn hệ {3,2,1, 0,1, 2, 3} hệ thặng dư môđun 8, hệ gọi hệ thặng dư đầy đủ giá trị tuyệt đối nhỏ SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG Tổng quát  H ={0, 1, ., m - 1} hệ thặng dư đầy đủ mơđun m hệ thặng dư đầy đủ không âm nhỏ  Với m số lẻ, ta có H  m 1 m 1 m 1 ;  1; ; hệ thặng dư đầy đủ môđun m 2 gọi hệ thặng dư đầy đủ giá trị tuyệt đối nhỏ  Với m số chẵn, ta có H   m m m ;  1; ; hệ thặng dư đầy đủ 2 giá trị tuyệt đối nhỏ  Tính chất Mỗi hệ thặng dư đầy đủ môđum m gồm m phần tử Chứng minh Hiển nhiên tập m có m phần tử  Tính chất Mỗi hệ gồm m số nguyên đôi không đồng dư với theo môđun m hệ thặng dư đầy đủ mơđun m  Tính chất Giả sử a số nguyên tố với m b số nguyên tùy ý Khi xét x chạy qua hệ thặng dư đầy đủ môđun m ax  b chạy qua hệ thặng dư đầy đủ môđun m b Hệ thặng dư thu gọn  Cho m số nguyên dương Tập hợp K gồm số nguyên lấy lớp nguyên tố với môđun m số gọi hệ thặng dư thu gọn môđun m Vậy tập hợp K gồm số nguyên gọi hệ thặng dư thu gọn môđun m nếu: - Các phần tử thuộc K đôi không đồng dư với theo môđun m - Các phần tử thuộc K nguyên tố với môđun m - Mỗi số nguyên tùy ý nguyên tố với mơđun m đồng dư với 1số thuộc K Nhận xét Mỗi hệ thặng dư đầy đủ chứa hệ thặng dư thu gọn SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG Hệ thặng dư thu gọn không âm nhỏ {r1 , r2 , , r ( m) } thu gọn gồm phần tử  ri  m , {r1 , r2 , , r ( m) } nguyên tố với m Ta có khái niệm hệ thặng dư thu gọn mơđun m có trị tuyệt đối nhỏ  Tính chất hệ thặng dƣ thu gọn  Tính chất Mỗi hệ thặng dư thu gọn môđun m gồm φ(m) phần tử  Tính chất Mỗi hệ gồm m số nguyên tố với m đôi không đồng dư với theo môđun m lập nên hệ thặng dư thu gọn mơđun m  Tính chất Giả sử a số nguyên tố với m Khi x chạy qua hệ thặng dư thu gọn mơđun m ax chạy qua hệ thặng dư thu gọn môđun m  Tính chất Giả sử b số nguyên Khi x chạy qua hệ thặng dư thu gọn mơđun m x + b chạy qua hệ thặng dư thu gọn môđun m SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG B ỨNG DỤNG Đồng dƣ khái niệm toán học bản, đơn giản sơ cấp quan trọng số học Lý thuyết đồng dư thường giảng dạy chương trình trung học sở, làm khn khổ để phát biểu chứng minh định lý toán học thực mà học sinh học, định lý Fermat nhỏ Lý thuyết đồng dư cho ta phương pháp đồng dư (phương pháp mô – đu – lơ) , phương pháp có tính kỹ thuật giúp giải số toán với số nguyên Sau đây, xin đề cập đến dạng tốn giải dễ dàng phương pháp đồng dư Đồng thời phần đề cập đến nhiều ứng dụng động dư thực tế TÌM SỐ DƢ CỦA PHÉP CHIA  MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1: Tìm số dƣ phép chia cho 11 Giải: Ta có: 2002 11 => 2004 – 11 => Do đó, Theo định lí Euler: => Vậy chia 11 dƣ Bài 2: Tìm số dƣ A = chia Ta có => Theo định lí Euler: SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG => chia dƣ Vậy Bài 3: Tìm số dƣ A = chia cho chia cho 5? + Tìm số dư A chia cho Ta có: => Theo định lí Euler: => Ta có: => Ta có: =>  chia dư Vậy A = + Tìm số dư A chia Ta có: => Ta có: => Theo định lí Euler: Ta có: => => Theo định lí Euler: => =>  Vậy A= chia dư  MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 4: Tìm số dƣ phép chia Bài 5: Tìm số dƣ B = Bài 6: Tìm số dƣ C = chia cho 14? chia cho 111? chia cho 11 13? Tài liệu tham khảo: Nguyễn Duy Đông , Chuyên đề BDHSG THCS 2014- THCS Yên Lạc SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG Và 2003 Do đó: (mod 2003)  (mod 2003) (có 2007 số)    (đpcm) http://d3.violet.vn/uploads/previews/51/49203/preview.swf Bài 2: Chứng minh : chia hết cho Ta có 2222 + => 2222 ≡ - (mod 7) => 5555 - => 5555 ≡ (mod 7) => ≡ ≡ (mod 7) (mod 7) => ≡ Ta lại có : ≡ 1(mod 7) => (mod 7) ≡ (mod 7)  ≡ (mod 7) Nên => chia hết cho (đpcm) Nguyễn Duy Đông , Chuyên đề BDHSG THCS 2014- THCS Yên Lạc Bài : Chứng minh rằng: chia hết cho 11 12 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG Theo định lí Fermat, ta có: Nếu p số nguyên tố a số nguyên Theo định lí Fermat, ta có:    Mà 1991 Suy ra: Do đó: Vậy http://dethi.violet.vn/present/show/entry_id/6091851/cm_id/3153671 Bài 4: Chứng minh Đặt A= Ta chứng minh A Ta có: => Suy ra: http://www.vietmaths.net/2015/05/xem-ly-thuyet-ong-du-va-ung-dung-trong.html  MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 5: Cho số nguyên dƣơng n >1 Chứng minh không chia hết cho (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên) Bài 6: Tìm tất số tự nhiên n để chia hết cho Bài 7: (Russia MO 1997) Cho m, n hai số nguyên dƣơng cho cho Chứng minh n chia hết cho m( chia hết 13 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG https://julielltv.wordpress.com/category/so-hoc/su-chia-het-dong-du/ PHÂN VÙNG BỘ NHỚ Giả sử hồ sơ khách hàng công ty bạn gán chuỗi số có độ dài 10 ký số Để truy xuất liệu hồ sơ khách hàng cách nhanh chóng, ta khơng muốn phải tìm kiếm hồ sơ Vì tìm kiếm thời gian.Để tránh tình trạng ta sử dụng số nguyên nhỏ để liên kết với chuỗi mã Việc làm giống việc ta phân loại đồ dùng có tính chất vào tủ Vì việc tìm kiếm trở nên dễ dàng Vậy để phân loại chuỗi mã ? Bằng việc ứng dụng lý thuyết động dư ta thấy Với k chuỗi mã hồ sơ khách hàng Xét hàm : h(k) = k mod m ( m số lượng vùng nhớ có sẵn) Với cách làm ta phân chuỗi mã vào lớp thặng dư modulo m Nói cách khác chuỗi mã số phân vào vùng nhớ đánh số từ đến m-1.Ta thấy toàn ánh, nghĩa chuỗi mã phân vào lớp thặng dư Vì thế, thay tìm kiếm chuỗi mà ban đầu ta tìm kiếm thơng qua vùng nhớ mà không cần quan tâm đến chuỗi vùng lại Việc làm tiết kiệm nhiều thời gian Ví dụ: Tìm vùng nhớ hồ sơ khách hàng có mã số 0987654321 0123456789 Biết hồ sơ phân theo hàm h(k) = k mod 113 Giải Ta có : h(0987654321) = 0987654321 mod 113 = 82 h(0123456789) = 0123456789 mod 113 = 108 Vậy hồ sơ khách hàng có mã số 0987654321 0123456789 lần phân vào vùng nhớ số 82 108 14 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG KÝ SỐ KIỂM TRA ( CHECK DIGITS) Các mã nhận diện thấy khắp nơi sống ngày Từ loại sản phẩm, hàng hóa, thẻ ATM đến giấy phép lái xe, tiền tệ Một ứng dụng phổ biến đồng dư tạo ký số kiểm tra cho loại mã Thông qua ký số người ta có kiểm tra xem mã gán cho loại sản phẩm hàng hóa hay sai Để từ có điều chỉnh, thay phù hợp Một kỹ thuật phổ biến cho việc dò lỗi sai loại mã thêm vào ký số bổ sung vào phía cuối chuỗi Ký tự kiểm tra tính hàm cụ thể loại mã khác Sau số mã phổ biến Mã UPCs ( Universal Product Codes – mã sản phẩm chung) Đây mã in loại sản phẩm bán lẻ với dạng thơng dụng có 12 ký số Gọi số mã UPCs x1,x2, ,x12 Ký số kiểm tra xác định đồng đư thức: 3( x1 + x3 + x5 + x7 + x9 + x11 ) + x2 + x4 + x6 + x8 + x10 + x12 ( mod 10) Ví dụ : Cho 11 ký số mã UPC 79357343104 Tìm ký số i kiểm tra ii Chuỗi 041331021641 có mã UPC hợp lệ không ? Giải i Thay 11 ký số 79357343104 vào đồng dư thức bên ta có: 15 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG Rút gọn lại, ta có : Do Vậy ký số kiểm tra ii Để kiểm tra liệu 041331021641 có hợp lệ khơng, ta thay ký số vào đồng dư thức để kiểm tra Rút gon ta có : Vậy mã không hợp lệ Mã ISBNs (international standard book number – mã sách chuẩn quốc tế) Đây mã in loại sách ấn định nhà xuất Có hai loại ISBN-10 ISBN-13 tương ứng có 10 13 ký số Với ký số kiểm tra đặt cuối có dạng chữ số chữ X (thay cho chữ số 10) Ở tìm hiểu dựa mã ISBN-10 Gọi ký số mã ISBNs x1, x2, , x10 Ký số kiểm tra tính đồng dư thức sau : ∑ 16 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG Hoặc ∑ Ví dụ : Chín ký số mã ISBN-10 sách 007288008 i Hãy tìm ký số kiểm tra mã ii Mã 084930149X có phải mã ISBN-10 hợp lệ khơng? Giải i Ký số kiểm tra tính cơng thức: ∑ Ta có x10 1.x1 + 2.x2 + 3.x3 + 4.x4 + 5.x5 + 6.x6 + 7.x7 + 8.x8 + 9.x9 1.0 + 2.0 + 3.7 + 4.2 + 5.8 + 6.8 + 7.0 + 8.0 + 9.8 189 Vậy ký số kiểm tra ii Thay mã 084930149X vào cơng thức: ∑ Ta có 1.x1 + 2.x2 + 3.x3 + 4.x4 + 5.x5 + 6.x6 + 7.x7 + 8.x8 + 9.x9 + 10.x10 1.0 + 2.8 + 3.4 + 4.9 + 5.3 + 6.0 + 7.1 + 8.4 + 9.9 + 10.10 Vậy mã 084930149X không mã ISBN hợp lệ Một số mã khác 17 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG  Mã USPS ( Bưu hoa kỳ) Ký số kiểm tra :  ∑ Mã ISSN ( Mã số tạp chí quốc tế) Ký số kiểm tra: ∑ Nếu x8 ta ký hiệu x8 chữ X ỨNG DỤNG TRONG MÃ HĨA THƠNG TIN Mã hóa toán người đặt cách hàng ngàn năm Mật mã đưa Julius Caesar cách 4000 ngàn năm Mã hóa ngày có bước phát triển vượt bậc Đây chủ đề rộng lớn Trong phần giới thiệu số loại mật mã việc ứng dụng lý thuyết đồng dư vào việc tạo chúng Một số ứng dụng phổ biến loại mã tìm thấy trò chơi giải mật thư, trò chơi trạm tổ chức đoàn thể, dịp cắm trại Mật mã thay ( Shift Cipher ) Mã xây dựng mơ hình mà Caesar đưa Ông tạo thư bí mật cách thay chữ cách ba vị trí phía sau bảng chữ alphabet Ví dụ A thay D, B thay E Đối với ba chữ cuối X, Y, Z thay A, B, C Một cách tổng quát Biểu diễn chữ chữ alphabet phần tử Z26: A = 0, B = 1, , Y = 24, Z = 25.Ánh xạ f biến số nguyên không âm p < 26 thành số nguyên f(p) tập {0,1,2, ,25} với f (p) = ( p + k ) mod 26 ( k gọi khóa) Trong văn mã hóa, chữ biểu diễu p thay chữ biểu diễn ( p + k ) mod 26 18 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG Với k = ta có phương pháp mã hóa Caesar Ví dụ : Cho cụm từ sau : “ NHOM TIEU LUAN ” Hãy mã hóa cụm từ với khóa k = Giải Biểu diễn cụm từ số nguyên Ta có : 14 15 13 20 21 12 21 14 Thay p f ( p ) = ( p + ) mod 26 Ta : 17 11 18 16 23 12 24 15 24 17 Chuyển đổi thành chữ ta có văn mã hóa sau: QKRP WLHX OXDQ  Để chuyển từ văn mã hóa thành văn gốc ta sử dụng ánh xạ ngược hàm f, biến p Z26 thành f-1 Nói cách khác để tìm văn gốc chữ thay chữ cách k vị trí phía trước Ví dụ: Giải mã cụm từ sau : “AVHU OVJ CBP” Với khóa k = Giải Biểu diễn cụm từ số nguyên Ta có : 22 21 15 22 10 16 Thay p f ( p ) = ( p - ) mod 26 Ta : 20 15 14 15 22 21 Chuyển đổi thành chữ ta có văn gốc sau: TOAN HOC VUI  Mật mã Affine ( Affine cipher) Mật mã affine xem thể tăng cường mã thay ( Shift Cipher) Bằng cách sử dụng ánh xạ có dạng : f(p) = (a.p + b) mod 26 Với a 26 hai số nguyên tố Biến phần tử p Z26 thành phần tử f(p) Z26 Ví dụ : 19 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chữ O biểu diễn 15 Bằng cách sử dụng ánh xạ f(p) = (3.p + ) mod 26 Ta có f(15) = (3.15 + ) mod 26 = 24 Vậy ta thay O X văn mã hóa  Tiếp theo,ta thực việc giải mã văn mã hóa cách sau: Đặt c = (a.p + b) mod 26 với p, c chữ văn gốc văn mã hóa Để giải mã ta cần cách biểu diễn p theo c Vì a 26 nguyên tố Nên tồn phần tử nghịch đảo a modulo 26 ( phần tử nghịch đảo theo định lý Bezout tìm theo thuật chia Euclide mở rộng) Nghĩa có ̅ cho ̅ c c–b ̅(c – b) Vậy p Ta có ap + b (mod 26) ap (mod 26) ̅ p (mod 26) ̅(c – b) (mod 26) Điều cho thấy p thuộc tập Z26  Và cuối ta chứng minh tồn phần tử nghịch đảo Vì a 26 nguyên tố Theo định lý Bezout tồn hai số nguyên s,t sau cho: a.s + 26.t = Suy ra, a.s + 26.t (mod 26) Tương đương a.s (mod 26) Vậy s phần tử nghịch đảo a 20 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG C TRÒ CHƠI ĐỒNG DƢ Phương pháp mô – đu – lô phương pháp tuyệt vời để giải số toán liên quan đến số nguyên Bên cạnh ứng dụng kĩ thuật vào giải toán, nhận thấy phương pháp thú vị thông qua số trò chơi Tốn học Chúng tơi xin đề cập đến số tốn phát biểu ngơn ngữ trò chơi hấp dẫn có mặt kì thi Tốn Nga, Canada,… MỘT SỐ TRỊ CHƠI CĨ LỜI GIẢI: Trò chơi 1: (Vơ địch Moscow lần thứ 34, 1971, lớp 10, vòng 1) Một đống gồm tỉ que diêm Hai người chơi trò chơi sau Mỗi bước người chơi lấy từ đống diêm p số ngun tố, (thí dụ, người thứ lấy 25 = que, người thứ lấy = que, que, người thứ hai lấy = que, người thứ hai lấy que, người thứ lấy 49 = que, ) Người lấy que diêm cuối người thắng Hỏi người chiến thắng? Giải: - Vì người chơi thứ có quyền chọn số que diêm số 1, 2, 3, = , tỉ chia cho dư nên bước lấy que diêm Số que diêm lại chia hết cho Theo qui tắc chơi, người thứ hai buộc phải lấy số diêm que Số không chia hết cho p số ngun tố, tức số diêm lại khơng chia hết cho - Do người thứ lại lấy số que diêm số dư (theo mod 6, số 1, 2, 3, = , 5) để lại số diêm cho người thứ hai bội số 6, không phụ thuộc vào chiến lược người thứ hai - Sau số bước người thứ để lại cho người thứ hai que diêm Sau người thứ hai buộc phải để lại số que diêm số 1, 2, 3, = , 5, người thứ bước cuối cách lấy tất que diêm thắng - Như vậy, chiến lược, người thứ thắng Người thứ hai “vớt vát” cách thua lâu bước lấy que, luật chơi Trò chơi 2: (Annual Maritine Mathematics Competition-Thi toán hàng năm miền duyên hải Canada, 2001) A B tiến hành chơi với 2001 hạt đậu A trước, sau đến B luân phiên Một nước lần lấy khỏi đống hạt đậu 1, hay hạt Người 21 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG nước cuối (lấy hết đậu đống) người thắng Vậy người có chiến thuật để ln thắng chiến thuật sao? Giải: - A trước thắng Chiến thuật sau: Nước lấy hạt đậu, nước sau lấy − x hạt, x số hạt đậu mà B vừa lấy ( x số 1, 2, 3) - Như vậy, sau bước đầu tiên, số hạt đậu lại 2000 hạt Tiếp theo, lần B xong lại lấy − x nên kết số bội - Vì số hạt đậu giảm dần nên cuối bốn hạt Đến lượt B phải lấy 1, hạt A lấy nốt thắng Lời bình: - Vì chiến lược người thứ không phụ thuộc vào cách người thứ hai (lấy 1, hạt) nên người thứ thắng sau 501 bước Trò chơi 3: Hai đứa trẻ chơi trò chơi sau với hai đống kẹo Đống thứ có 12 đống thứ hai có 13 Mỗi đứa trẻ lấy hai viên kẹo từ đống (để ăn) chuyển viên từ đống thứ sang đống thứ hai Đứa trẻ không chuyển thua Hãy đứa trẻ thứ hai khơng thể thua Hỏi cậu ta có thắng khơng? Giải: - Gọi S hiệu số kẹo đống thứ hai trừ đống thứ Lúc đầu Sau lần chuyển, hiệu S giảm (khi lấy viên kẹo đống thứ hai) tăng lên (lấy hai viên kẹo từ đống thứ chuyển viên kẹo từ đống thứ bỏ sang đống thứ hai) - Như theo mod 1, 3, 1, 3, (bất biến!) Vì lúc đầu nên lần sau đứa trẻ thứ lấy kẹo, số S theo mod ln - Vì bước đầu đứa trẻ thứ hai ln lấy hai kẹo đống thứ nên đứa trẻ thứ hai làm giảm số kẹo đống thứ xuống Nếu bước (nếu đứa trẻ thứ ăn hai kẹo đống thứ hai) đứa trẻ thứ hai chuyển nốt kẹo đống thứ sang đống thứ hai Vậy cuối đứa trẻ thứ hai làm cho số kẹo đống thứ 22 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG - Khi lấy số kẹo đống thứ hai S ≡ (mod 4) đến lượt đứa trẻ thứ hai nên cuối ba kẹo đống thứ hai, cậu ta lấy trò chơi phải kết thúc cậu bé thứ không ăn (phải ăn 2) không chuyển cậu bé thứ hai thắng Trò chơi 4: Hai người A B chơi trò chơi Lúc đầu bàn có 100 viên kẹo Hai người thay phiên bốc kẹo, lần bốc k viên với k {1, 2,6} Hỏi người có chiến thuật thắng? Giải: - Ta sử dụng lập luận tính ngược từ cuối: Giả sử ban đầu có 1, 2, viên kẹo Khi người thứ thắng từ bước - Nếu n = người thứ hai thắng người thứ bốc viên, lại viên đến lượt người thứ hai bốc nốt thắng - Với n = người thứ bốc viên, viên Người thứ hai bốc viên người thứ thắng - Với n = người thứ bốc viên viên sau thắng - Với n = người thứ hai thắng ba cách dẫn đến 6, viên kẹo + Nếu viên kẹo người thứ hai thắng + Nếu viên kẹo người thứ hai thắng sau bước (lấy hai viên kẹo, ba viên Người thứ buộc phải lấy hai viên kẹo, người thứ hai lấy nốt thắng) - Suy luận tương tự, ta có bảng sau: n 10 11 12 13 14 15 16 17 mod 6 Thắng 1 1 1 1 1 - Từ ta phát (dự đoán) qui luật sau: người thứ hai thắng Trong trường hợp lại ( khả năng) người thứ thắng Chứng minh (quy nạp): Gọi số kẹo n Đặt n = 7k + r với r = 0,1,2, ,6 Ta chứng minh dự đoán qui nạp theo k 23 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG - Với k = khẳng định theo phân tích Giả sử qui nạp n = 7k + r với r = 1, 2, , 5, người thứ thắng r = r = người thứ hai thắng - Xét n = 7(k+1) + r = 7k +7 + r + Nếu r = , tức n = 7(k + 1) ba cách bốc dẫn đến người thứ thua Thật vậy, người thứ bốc tương ứng 1, viên, lại 7k + , 7k + 7k + viên Đến lượt người thứ hai (trở thành người đầu tiên) Người thứ hai thắng theo qui nạp + Nếu r = 1, 2, người thứ lấy r viên kẹo Còn lại n = 7(k + 1) Người thứ hai lấy 1, viên Còn lại 7k + 6, 7k + 7k + viên, đến lượt người thứ Người thứ hai thua theo qui nạp + Nếu r = ba cách bốc dẫn đến người thứ thua Thật vậy, người thứ bốc viên lại (k + ) + viên Người thứ hai bốc viên, lại (k + ), đẩy người thứ vào thua chứng minh Nếu người thứ bốc viên lại 7(k + ) +1 viên Người thứ hai bốc viên, lại 7(k + 1), lại đẩy người thứ vào thua Nếu người thứ bốc viên lại 7k + viên Người thứ hai bốc viên, lại 7k + viên ( Người thứ hai thắng theo qui nạp  Vậy r = ba cách bốc dẫn đến người thứ thua + Nếu r = (hoặc r = ) ba cách bốc dẫn đến người thứ thắng Thật vậy, người thứ bốc viên (tương ứng, viên) lại viên 7(k + ) + viên ( , đẩy người thứ hai (đến lượt đi) vào thua chứng minh  Vậy r = r = người thứ thắng  Kết luận: Người thứ thua n ≡ (mod 7) n ≡ (mod 7) Các trường hợp khác người thứ thắng Lời bình: - Phương pháp mơđulơ lợi hại tốn với biến ngun, đưa tập hợp vô hạn số nguyên hữu hạn lớp đồng dư Ngồi ra, ta sử dụng phương pháp qui nạp phương pháp tính ngược từ cuối 24 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG MỘT SỐ TRÒ CHƠI THAM KHẢO VÀ THỬ THÁCH ĐỘC GIẢ Trò chơi 5: (Vơ địch Moscow lần thứ 32, 1969, lớp 9, vòng 2) Hai người chơi trò chơi sau Mỗi người chơi gạch số 1, 2, 3, , 27 hai số Nếu tổng hai số chia hết cho người thứ thắng, khơng chia hết cho 5, người thứ hai thắng Hỏi người thắng cuộc? Trò chơi 6: (Vơ địch Moscow lần thứ 31, 1968, lớp 10) Hai người chơi trò chơi sau với hai đống kẹo Luật chơi sau: Mỗi người chơi ăn kẹo từ đống, sau chia đống khác thành hai phần (khơng thiết nhau) Nếu khơng thể chia nữa, tức kẹo, người ăn nốt thắng Lúc đầu đống thứ có 33 đống thứ hai có 35 Hỏi người thắng cuộc, chiến lược chơi để thắng? Trò chơi 7: (Vơ địch Moscow lần thứ 40, 1977, lớp 7, vòng 2) Có 1977 đinh đóng bảng Hai người chơi trò chơi sau đây: Mỗi người nối hai đinh sợi dây Nếu cuối đóng kín đường nối người thắng Hỏi thắng (khơng cho phép nối lại hai đinh nối)? 25 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG D TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách tham khảo Rosen, H 2011, Discrete Mathematics and Its Applications, 7th edn, McGraw-Hill, New York Nguyễn Duy Đông , Chuyên đề BDHSG THCS 2014- THCS n Lạc Tạ Duy Phượng, Tốn trò chơi: phân loại, công cụ phương pháp giải Trang web tham khảo https://julielltv.wordpress.com/category/so-hoc/su-chia-het-dong-du/ http://www.vietmaths.net/2015/05/xem-ly-thuyet-ong-du-va-ung-dung-trong.html http://dethi.violet.vn/present/show/entry_id/6091851/cm_id/3153671 http://www.vietmaths.net/2015/05/xem-ly-thuyet-ong-du-va-ung-dung-trong.html 26 ... số nguyên Khi x chạy qua hệ thặng dư thu gọn mơđun m x + b chạy qua hệ thặng dư thu gọn môđun m SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG B ỨNG DỤNG Đồng dƣ khái niệm toán học bản, đơn...SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG A CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA ĐỒNG DƢ Kí hiệu Z tập hợp số nguyên Định nghĩa Cho m số nguyên dư ng, a b hai số nguyên Ta nói a b đồng dư với... 79357343104 vào đồng dư thức bên ta có: 15 SỐ HỌC VÀ LOGIC Tiểu luận: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ỨNG DỤNG Rút gọn lại, ta có : Do Vậy ký số kiểm tra ii Để kiểm tra liệu 041331021641 có hợp lệ khơng, ta thay ký số vào