Chương 3: Động lực chất lỏng

Hay nói cách khác chuyển động của chất lỏng được phản ánh qua quỹ đạo của các phân tố cấu thành thông qua hàm số Phương pháp mô tả này thuận tiện khi muốn theo dõi các chuyển động riêng

Chương 3 ĐỘNG HỌC CHẤT LỎNG

Động học chất lỏng nghiên cứu đơn thuần về sự chuyển động của chất lỏng và cácthông số đặc trưng của nó mà không quan tâm đến nguyên nhân gây ra chuyển động, đó làlực

I Hai phương pháp nghiên cứu

1 Phương pháp Lagrange

Trong một hệ trục tọa độ đã được xác lập

Chuyển động của lưu chất được mô tả bằng vị trí

các phân tố lưu chất – có kích thước vô cùng bé

– theo thời gian Vị trí của một phân tố lưu chất

được xác định qua các điểm M(a 0,b0,c0,t) thuộc

quỹ đạo (hình 3.1) Hay nói cách khác chuyển

động của chất lỏng được phản ánh qua quỹ đạo

của các phân tố cấu thành thông qua hàm số

Phương pháp mô tả này thuận tiện khi muốn theo dõi các chuyển động riêng biệt củatừng phân tố lưu chất hoặc quá trình lan tỏa vật chất trong chuyển động của khối lưu chấtđó…Tuy nhiên, phương pháp này thường gặp khó khăn khi tính đạo hàm trong không giancủa trường vận tốc Chẳng hạn khi tính ứng suất tiếp do lực ma sát giữa các lớp chất lỏnghoặc lực ma sát giữa vật rắn và lưu chất khi có chuyển động trượt tương đối với nhau Khi

đó ta phải tính gradient vận tốc theo phương pháp tuyến (công thức Newton – chương 1).Một phương pháp khác có thể khắc phục những khó khăn trên đó là phương pháp Euler

2 Phương pháp Euler

Trong một hệ trục tọa độ xác định, chuyển động

của khối lưu chất được mô tả bằng vận tốc của các

phần tử lưu chất tại mỗi vị trí không gian theo thời

Vì u u x y z tr r= ( , , , ) không phải là vận tốc của một chất điểm M tại thời điểm t (trong quátrình khảo sát các thông số động học của chính chất điểm M này tại từng thời điểm khác

nhau) mà là vận tốc của lưu chất tại điểm có toạ độ xác định (x,y,z) tại thời điểm t Do đó,

đại lượng ∂u t

∂

r

không phải là gia tốc của M Gia tốc ar

của phần tử chất lỏng tại điểm xr

được gọi là gia tốc cục bộ Thành phần này tương ứng với sự thay

đổi cục bộ của vận tốc do các thông số của dòng chảy biến thiên theo thời gian (dòng khôngdừng) Đối với dòng dừng thì thành phần này bằng không

tương ứng với sự thay đổi vận tốc do sự dịch

chuyển trong trường của dòng chảy, được gọi là gia tốc đối lưu, thành phần này khác không

trong trường vận tốc dừng Chẳng hạn nó có thể bị sinh ra do sự thay đổi tiết diện của dòngchảy dừng

Sử dụng toán tử Nabla (còn gọi là toán tử Hamilton hay toán tử del):

i y k t

u

z j x u

ty k y

u

x j z

rr

3 Mối quan hệ giữa hai phương pháp

Mối quan hệ giữa hai phương pháp Euler và Lagrange được thể hiện ở phương trìnhsau:

Phương trình (3.4) cho phép tính vận tốc của phân tố lưu chất tại thời điểm t nếu biết

quỹ đạo của phần tử lưu chất đó, và ngược lại, dựa vào trường vận tốc của cả khối lưu chất

sẽ xác định được quỹ đạo của các phần tử cấu thành

II Một số khái niệm

1 Một số đặc trưng của dòng chảy

a/ Tiết diện ướt (ω): là tiết diện vuông góc với vector dòng chảy, tiết diện ướt có thể

mặt phẳng hay mặt cong

Hình 3.3 Tiết diện ướt

b/ Chu vi ướt ( C ): là đường tiếp xúc giữa tiết diện ướt và thành rắn giới hạn dòng

Hình 3.4 Chu vi ướt

d/ Lưu lượng Q: là lượng chất lỏng qua mặt cắt ướt trong một đơn vị thời gian

Lưu lượng có thể tính theo thể tích, khối lượng hoặc trọng lượng

Nếu phân bố vận tốc trên tiết diện ướt là u thì ta có:

e/ Vận tốc trung bình trên tiết diện ướt (V): là một giá trị tưởng tượng mà mỗi phần

tử chất lỏng phải chảy theo vận tốc đó để đảm bảo cho lưu lượng đi qua tiết diện ướt đượcgiữ nguyên như trong trường hợp dòng chảy thực tế

Khi nghiên cứu chuyển động của dòng chất lỏng theo phương

pháp Euler, người ta quan tâm đến trường phân bố vận tốc tại các

điểm khác nhau Để thuận tiện nghiên cứu người ta đưa ra các khái

niệm sau:

- Đường dòng: là đường mà tiếp tuyến tại mọi điểm trùng với

vector vận tốc của phần tử chất lỏng tại điểm đó (hình 3.6) Hình 3.5

Theo định nghĩa ta có thể dễ dàng viết phương trình đường dòng Nếu ta gọi vector

cung phân bố trên đường dòng là dS r

, tại mỗi thời điểm ta

có u dSr// r

, do đó phương trình đường dòng có dạng:

u dS r × r r = 0; (3.8)hoặc chúng ta có thể viết dưới dạng khai triển như sau:

(3.9)

Phương trình (3.9) được gọi là phương trình vi phân đường dòng

Các đường dòng biểu thị sự phân bố vận tốc của

các phần tử chất lỏng tại cùng một thời điểm, chất lỏng

được giả thiết là đứng yên tại thời điểm này Tại mỗi

điểm chỉ có một vector vận tốc nên đường dòng không

cắt nhau, do tính chất của mình, đường dòng cho ta biết

xu hướng chung của dòng chảy

- Ống dòng: tập hợp các đường dòng tựa trên một

đường cong kín cho ta hình ảnh một ống dòng (hình

3.7) Khi tiết diện ngang của ống dòng là vô cùng bé, ta

có ống dòng nguyên tố.

- Dòng nguyên tố (sợi dòng): dòng chảy trong ống dòng nguyên tố cho ta sợi dòng hay

dòng nguyên tố

2 Các dạng chuyển động cơ bản của chất lỏng

- Chuyển động phẳng: là chuyển động chỉ phụ thuộc vào hai tọa độ.

- Dòng không dừng, dòng dừng:

Các thông số đặc trưng của dòng chất lỏng chuyển động như vận tốc, áp suất, khối

lượng riêng… biến đổi theo thời gian và không gian Tính chất dừng (hay ổn định) củachuyển động được đánh giá trên mức độ phụ thuộc vào thời gian của các thông số này

- Nếu các thông số đặc trưng của dòng chảy biến đổi theo thời gian dòng được gọi làdòng không dừng

Ví dụ, xét dòng chảy qua vòi ở hình 3.8a, nếu độ cao của mặt thoáng thay đổi thì vận

tốc dòng chảy cũng như lưu lượng của dòng chảy qua vòi là những hàm số thay đổi theothời gian Như vậy trong trường hợp này dòng chảy là dòng không dừng

- Nếu các thông số này không phụ thuộc vào thời

gian dòng được gọi là dòng dừng (hay ổn định)

Cũng ở ví dụ trên nhưng nếu duy trì H=const, nhiệt

độ chất lỏng không thay đổi, ngoài ra, chất lỏng là đồng

chất thì ta có thể xem dòng chảy là dòng dừng Hình 3.8a.

- Nếu dòng chảy có các thông số đặc trưng của

dòng chảy phụ thuộc vào thời gian nhưng các giá trị

trung bình trong thời gian đủ dài không đổi, thì dòng

được gọi là dòng dừng trung bình thời gian (hình 3.8b).

Hình 3.7 Hình 3.6

Hình 3.8b

- Dòng đều: dòng chảy là đều nếu trong dòng chảy có sự phân bố vận tốc trên mọi mặt

cắt ướt dọc theo dòng chảy đều giống nhau

Điều kiện cần để có dòng chảy đều: dòng dừng, hình dạng tiết diện ướt và vận tốctrung bình tiết diện dọc theo dòng chảy là không đổi

- Chuyển động xoáy: các phần tử chất lỏng ngoài chuyển động tịnh tiến còn có thể

chuyển động quay quanh trọng tâm của chính nó, trong trường hợp này chuyển động đượcgọi là chuyển động xoáy

- Chuyển động thế: chuyển động của các phần tử chất lỏng mà chỉ có duy nhất một

thành phần tịnh tiến được gọi là chuyển động không xoáy hay chuyển động thế

- Chuyển động tầng: Các phần tử chất lỏng chuyển động theo lớp, không có mạch

động vận tốc, không có sự xáo trộn

- Chuyển động rối: Các phần tử chất lỏng chuyển động xáo trộn hỗn loạn, có mạch

động vận tốc và áp suất

- Chuyển động không áp: là chuyển động có mặt thoáng tự do.

- Chuyển động có áp: là chuyển động không có mặt thoáng tự do.

3 Lưu số của vector vận tốc dọc một đường cong

Cho một đường cong bất kỳ đi qua hai điểm A và B trong trường vector vận tốc ur

(hình 3.8c) Lưu số vận tốc tố Γ dọc theo đường cong AB được biểu diễn như sau:

Nếu trường vận tốc cho lưu số chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm lấy tích phân mà không

phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân ta nói rằng trường vận tốc đó là trường có thế.

Trong trường có thế, ta có thể viết:

Γ = ∫ r ur = ∫ ϕ ϕ = − ϕ (3.11)

trong đó, ϕ được gọi là hàm thế vận tốc.

Để thỏa mãn điều kiện tích phân không phụ thuộc đường đi, hàm dưới dấu tích phânphải là một hàm vi phân toàn phần Khi đó ta có:

5 Vector xoáy của vận tốc Chuyển động có quay và chuyển động không quay

Các phần tử chất lỏng ngoài chuyển động tịnh tiến còn có thểchuyển động quay quanhtrọng tâm của chính nó, trong trường hợp này chuyển động lưu chất được gọi là chuyểnđộng xoáy

Đặc trưng cho chuyển động xoáy là vector xoáy:

Ω = r rot u uuur ( ) r ≠ 0

Vector xoáy Ωr của vận tốc ur

được xác định dựa vào một trong các dạng sau:

Hình 3.8c Lưu số vận tốc

Ý nghĩa vật lý của vector xoáy:

- Vector xóay phản ánh tính chất của dòng chảy Nếu Ω ≠ur 0 thì chuyển động của dòng

chảy là chuyển động có quay hay chuyển động xoáy

- Nếu Ω =ur 0 thì chuyển động của dòng chảy là chuyển động không quay Trong trường hợp này, trường vận tốc được gọi là trường thế.

là một trường thế là vector xóay Ω = ∇×ur r u Mr( )=rot u M( ( )) 0r = ∀M

III Phương trình liên tục của mội trường chất lỏng chuyển động

Quy luật bảo toàn khối lượng đối với hệ cô lập được thể hiện qua sự không thay đổi vềkhối lượng của hệ trong suốt thời gian chuyển động:

dm dt / = 0

Nếu hệ không cô lập nhưng có thể tích V không đổi thì chất lỏng sẽ vào ra qua bề mặt

với những lượng không giống nhau làm thay đổi khối lượng riêng của khối lưu chất Do đó,

sự thay đổi khối lượng của thể tích này trong một đơn vị thời gian phụ thuộc vào sự thay dổikhối lượng riêng:

1 Phương trình vi phân liên tục dạng tổng quát

Xét một dòng vector ρur qua một bề mặt kín của một thể tích không đổi V có S là diện tích kín bao quanh thể tích giới nội V (hình 3.10) Ở đây, S là mặt kín định hướng, chọn hướng vector pháp tuyến dương là hướng ra ngòai khối V Chia S thành các phân tố diện

tích nhỏ ∆S i Trong một đơn vị thời gian, khối lượng lưu chất qua ∆S i là:

.

m ; ∆ S u (3.18)

Với u n là hình chiếu của vector vận tốc u u u u r ( , , )x y z

của phân tố ∆S i lên phương pháptuyến đơn vị nr

(có các cosin chỉ hướng là cos ,cos ,cos α β γ ):

un = uxcos α + uycos β + uzcos γ

α β γ

Nếu lượng chất lỏng ra khỏi bề mặt S

không bằng lượng chất lỏng chảy vào bề

mặt S thì sự thay đổi khối lượng của V

trong một đơn vị thời gian được xác định

như sau:

lim n1 i

n S

Do thể tích của khối chất lỏng là không đổi nên sự thay đổi khối lượng của V chính là

sự thay đổi khối lượng riêng của khối chất lỏng trong V, nghĩa là:

Lưu ý: Theo cách chọn hướng pháp tuyến dương đơn vị nr

như trên, dựa vào (3.18) ta thấy rằng nếu lưu chất đi ra khỏi V thì mi>0; ngược lại, nếu lưu chất đi vào V thì m i<0, do

đó tồn tại dấu (-) trong (3.19) để thể hiện dấu của δm ngược dấu với của độ biến thiên khối lượng riêng ∂ρ.

Mặt khác, theo Ostrogradsky – Gausse ta có:

Phương trình (8) được gọi là phương trình vi phân liên tục dạng tổng quát của chất

lỏng viết trong hệ tọa độ Đề các

Nhận xét:

- Trong chuyển động dừng, khối lượng riêng không phụ thuộc vào thời gian nên ta có:

div u ( uuur ρ ) 0 = (3.21)

- Trong chuyển động dừng, chất lỏng không nén được và đồng tính, ta có ρ = const

trong toàn miền, phương trình vi phân liên tục được viết lại như sau:

div u ( ) 0 r = (3,22)

2 Phương trình liên tục của chất lỏng chuyển động dừng trong ống dòng nguyên tố

Khảo sát dòng chất lỏng nguyên tố chuyển động dừng giữa hai tiết diện 1-1 và 2-2 như

hình 3.11

Hình 3.11

Trong (3.23), u i in( =0 2) là hình chiếu của vector vận tốc u iri( =0 2) lên vector pháp

tuyến đơn vị dương n iri( =0 2) của bề mặt bao xung quanh đoạn ống dòng được khảo sát và

trong đó, dS0 là diện tích bao quanh đọan ống dòng nguyên tố đang khảo sát

Giả thiết, 1-1 là tiết diện vào và 2-2 là tiết diện ra Thay u1n và u2n ở (3.24) bởi u1 và

u2 với lưu ý vector pháp tuyến dương hướng ra ngòai thể tích dV của đoạn ống dòng

nguyên tố đang khảo sát, suy ra:

u1 = const ; u2 = const ;

Do đó, (3.25) trở thành:

ρ1 1u d ω ρ1= 2 2u d ω2=const (3.26)

Đây là phương trình liên tục viết cho dòng nguyên tố của chất lỏng chuyển động dừng.

Phương trình (3.26) thể hiện lưu lượng dòng chảy dừng qua ống dòng nguyên tố được bảotoàn:

dG = ρ u d ω ρ u d ω (3.27)

3 Phương trình liên tục viết cho toàn dòng chảy của chất lỏng chuyển động dừng

Xét dòng dừng chảy qua các tiết diện ướt ω ω1, 2

Tích phân phương trình (3.27) ta được:

Ở đây G là lưu lượng khối lựơng và ω là diện tích mặt cắt ướt.

Vậy, trong dòng dừng lưu lượng qua mọi tiết diện ướt là như nhau và vận tốc trung bình tiết diện ướt tỷ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ướt.

IV Nghiên cứu về các dạng chuyển động của một phần tử chất lỏng

1 Sự thay đổi vận tốc ở lân cận một điểm

2

Chúng ta thấy rằng sự thay đổi vận tốc tại các điểm khác nhau của khối hình hộp là

khác nhau Điều này làm cho khối chất lỏng này bị biến dạng (hình 3.13b) Sự chênh lệch

vận tốc giữa các điểm của chất lỏng gây nên sự quay và biến dạng góc của phần tử đó.Trong trường hợp tổng quát, các chuyển vị góc dε1 và dε2 là tổ hợp của hai quá trình này.Một mặt AB và AD quay một góc dγ Khi đó phần tử chất lỏng quay như vật rắn tuyệt đối

(hình 3.13a) Mặt khác, hai cạnh này xoay một góc có có độ lớn giống nhau nhau, dβ,nhưng theo hai chiều khác nhau Chuyển động này làm cho phân tố bị biến dạng góc Kếtquả là AB quay đi một góc dε1 sau khoảng thời gian dt tới vị trí mới AB1, độ dài BB1 là:

; 2

1

2

3 Định lý thứ nhất của Helmholtz về sự chuyển động tổng quát

Định lý Helmholtz: Vận tốc chuyển động của chất lỏng hoặc chất khí trong trường hợp

tổng quát là tổ hợp các thành phần vận tốc chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay xung quanh một trục quay tức thời của bản thân phần tử chất lỏng, các chuyển động biến dạng dài và biến dạng góc.

y u

- Nếu các thành phần biến dạng dài và biến dạng góc bằng không: vật rắn tuyệt đốihay một môi trường cân bằng tuyệt đối hoặc tương đối (chất lỏng tĩnh hoặc tĩnh đàn hồi).

- Nếu các thành phần vận tốc biến dạng khác không, môi trường biến dạng một cáchliên tục

V Dòng thế phẳng chất lỏng lý tưởng chuyển động dừng - Hàm dòng

1 Chuyển động thế, hàm thế vận tốc, hàm số dòng

- Chuyển động thế:

Dòng chảy mà các phần tử chất lỏng không có chuyển động quay được gọi là chuyển

động không xoáy hay chuyển động thế

Điều kiện của chuyển động thế là rot u uuur r ( ) = 0

Mặt không gian có ϕ = const được gọi là mặt đẳng thế lưu tốc.

Đối với mặt đẳng thế lưu tốc ta có dϕ = 0, tức là:

d x dx y dy z dz 0

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

Nếu chuyển động của chất lỏng là chuyển động phẳng, nghĩa là chỉ có hai thành phần

vận tốc, thí dụ ux, uy còn thành phần thứ ba triệt tiêu thì hàm số thế ϕ có vi phân toàn phầnlà:

Nếu mặt phẳng chuyển động trong chuyển động phẳng của lưu chất là mặt đẳng thế thì

Từ phương trình này suy ra dψ = 0 , và do đó ψ(x, y) = const

Như vậy, trị số hàm số dòng không đổi dọc theo mỗi đường dòng Những đường dòng khác nhau có trị số hàm số dòng khác nhau

Trong chuyển động phẳng và có thế, ta có thể thấy mối liên hệ giữa hàm thế lưu tốc ϕ

và hàm số dòng ψ như sau:

y x

Như đã biết trong giải tích, những hàm số ψ và ϕ xác định như trên gọi là những hàm

Gọi u x , u y là các hình chiếu của vận tốc ur

lên các trục tọa độ Trên hình 3.9 ta thấy u x

và u y đều dương, hình chiếu dy dương còn dx âm Tổng quát, với lưu ý tính chất (*) ta luôn

có: hoặc u x , u y trái dấu và dx, dy cùng dấu, hoặc ngược lại: u x , u y cùng dấu và dx, dy trái dấu.

Như vậy, ta luôn có thể viết: