Chương 3 động lực học của vật rắn

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 79 Chương ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Chương nghiên cứu phương trình động lực học vật rắn, đặc biệt chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định §3.1 – VẬT RẮN – Khái niệm vật rắn: Hệ chất điểm hệ gồm nhiều vật mà vật coi chất điểm Các chất điểm hệ tương tác lẫn nhau, lực tương tác gọi nội lực; đồng thời tương tác với vật bên ngồi hệ, lực tương tác gọi ngoại lực Vật rắn hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mơ) miền khơng gian mà khoảng cách hai chất điểm khơng thay đổi Như vậy, vật rắn ln có hình dạng, kích thước thể tích định Trên thực tế, khơng có vật rắn tuyệt đối Bởi lẽ, ảnh hưởng điều kiện bên ngồi như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … khoảng cách phần tử vật có thay đổi đơi chút Tuy nhiên, phạm vi khảo sát, thay đổi khơng đáng kể ta coi vật vật rắn – Tính khối lượng vật rắn: Trong chương 2, ta biết khối lượng đại lượng đặc trưng cho mức qn tính mức hấp dẫn vật Trong phạm vi giới hạn Cơ học cổ điển, khối lượng đại lượng bất biến Do khối lượng hệ lập ln bảo tồn hệ: Khối lượng m hệ chất điểm tổng khối lượng phần tử tạo nên m = mi (3.1) ∑ i Vật rắn hệ chất điểm phân bố liên tục miền Ω nên khối lượng vật rắn m = dm (3.2) tính bởi: ∫ Ω với dm vi phân khối lượng m (chính khối lượng phần tử nhỏ bé cấu tạo nên vật rắn) Trường hợp vật rắn phân bố liên tục thể tích V (hình 3.1), điểm khảo sát M, ta lấy yếu tố thể tích dV bao quanh M, gọi dm khối lượng vật chất chứa yếu tố dV, ta định nghĩa mật độ khối lượng khối : ρ(M) = dm dV (3.3) 80 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện Khi đó, dm = ρ(M)dV m = ∫∫∫ ρ(M )dV (3.4) V Nếu vật rắn đồng (hay nhất) ρ = const (lúc ρ khối lượng riêng chất liệu cấu tạo nên vật rắn) Khi (3.4) trở thành: m = ρV (3.5) Tương tự, hệ phân bố liên tục bề mặt (S) (hình 3.2), ta định nghĩa mật độ khối lượng mặt: σ( M ) = dm dS (3.6) với dm khối lượng vật chất chứa yếu tố diện tích dS Khi ta có: dm = σ(M)dS m = ∫∫ σ(M )dS (3.7) S Nếu hệ phân bố liên tục chiều dài L (hình 3.3), ta định nghĩa mật độ khối λ= lượng dài: dm dA (3.8) với dm khối lượng vật chất chứa yếu tố chiều dài d A Khi ta có: dm = λd A m = ∫ λ(M)dA (3.9) L Nếu hệ từ (3.7), (3.9) ta có: M m = σS = λL (3.10) dV M dS M dA a) Yếu tố thể tích dV bao quanh M b) Yếu tố diện tích dS bao quanh M c) Yếu tố chiều dài d A bao quanh M Hình 3.1 Một hệ phức tạp chia thành nhiều phần, khối lượng phần thuộc dạng định nghĩa Và khối lượng hệ tổng khối lượng phần 81 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN §3.2 KHỐI TÂM Khi nghiên cứu chuyển động hệ chất điểm hay chuyển động vật rắn, số trường hợp rút gọn chuyển động điểm đặc trưng cho hệ Điểm đặc biệt khối tâm hệ – Định nghĩa khối tâm: Khối tâm định nghĩa xuất phát từ tốn tìm trọng tâm (điểm đặt trọng lực) hệ chất điểm Xét hai chất điểm M1 M2 có khối lượng m1 m2 Trọng lực tác dụng lên → → → chất điểm P P Hợp lực P → M2 → → m1.M1G – m2.M2G = → P1 → P M 1G P2 m = = M G P1 m1 → M1 P2 P P có điểm đặt G cho: ⇒ G Hình 3.2: Khối tâm hệ chất điểm → m1 M 1G + m M G = hay (3.11) Điểm G thỏa mãn (3.11) gọi khối tâm hệ chất điểm M1 M2 Trường hợp tổng qt, hệ có n chất điểm có khối lượng m1, m2, …, mn đặt tương ứng điểm M1 , M2 , … , Mn , ta định nghĩa khối tâm hệ điểm G thoả mãn: → → m1 M 1G + m M G + n ∑m hay: i =1 → + m n M n G = → =0 i MiG (3.12) Với vật rắn, khối tâm điểm G thỏa mãn: → ∫ MG dm = Vật rắn → ∫ MG ρdV = (3.13) Vật rắn M điểm vật rắn, dV yếu tố thể tích bao quanh M (hình 3.1) Khối tâm G định nghĩa theo (3.12) (3.13) điểm đặc trưng cho hệ, phụ thuộc vào vị trí tương đối phân bố khối lượng phần tử hệ, khơng phụ thuộc vào yếu tố bên ngồi Các kết tính tốn cho thấy, hệ có yếu tố đối xứng (tâm đối xứng, trục đối xứng, mặt đối xứng) khối tâm hệ nằm yếu tố đối xứng Như vậy, hệ có nhiều yếu tố đối xứng khối tâm G thuộc giao yếu tố đối xứng 82 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện Ví dụ, khối tâm đĩa tròn đồng chất, khối lượng phân bố tâm đĩa (giao điểm hai đường kính); khối tâm miếng sắt mỏng đồng chất, hình chữ nhật giao điểm đường chéo, … Cần phân biệt hai thuật ngữ “khối tâm” “trọng tâm”! Trọng tâm G’ hệ điểm đặt trọng lực tác dụng vào hệ, nghĩa vị trí G’ khơng phụ thuộc vào vị trí, khối lượng phần tử cấu tạo nên hệ mà phụ thuộc vào gia tốc trọng trường Trong vị trí khối tâm G khơng phụ thuộc vào gia tốc trọng trường Trên thực tế, hầu hết kích thước hệ vật lí mà ta khảo sát khơng lớn, gia tốc trọng trường khơng đổi điểm G’ trùng với G Việc phân biệt vị trí G’ G khơng cần thiết! Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượng nhau, đặt ba đỉnh tam giác ABC Xác định khối tâm hệ Giải → → → Theo định nghĩa, khối tâm G thỏa: m1 AG + m BG + m CG = → → → Vì m1 = m2 = m3 = m nên: AG + BG + CG = Điểm G thỏa phương trình trọng tâm (giao điểm ba trung tuyến) tam giac ABC – Toạ độ khối tâm: Trong kỹ thuật, việc xác định xác khối tâm vật rắn quan trọng, vật rắn có chuyển động quay Xác định khối tâm G theo định nghĩa (3.12) (3.13) phức tạp Trong thực hành, ta xác định G cách tìm giao điểm trục đối xứng Phương pháp đặc biệt tiện lợi vật phẳng đồng Trong lí thuyết, ta dùng phương pháp tọa độ Chọn điểm O làm gốc tọa độ, vị → → trí khối tâm G xác định vectơ bán kính rG = OG Áp dụng “qui tắc → → điểm” điểm O, G Mi bất kì, ta có: OG = OM i → + MiG Nhân hai vế phương trình với mi lấy tổng theo i, ta có: → → m i OG = m i OM i n → n → ∑ m OG = ∑ m OM i =1 i i =1 → + mi MiG i n → ∑m M G + i i i =1 i → Vì OG khơng phụ thuộc vào số chạy i nên ta đưa ngồi dấu tổng: → n n i =1 i =1 → OG ∑ mi = ∑ mi r i + n → ∑m M G i =1 i i 83 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN n ∑m Mà theo định nghĩa (3.12), ta có: i =1 → MiG = i n → → rG = OG = Vậy: → ∑ mi ri i =1 n ∑m i =1 (3.14) i → Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ ri có tọa độ ( x i , y i , z i ) nên khối tâm G hệ có tọa độ: ⎛ n ⎜ ∑ mi x i ; G ⎜ i =1n ⎜ ⎜ ∑ mi ⎝ i =1 n ∑ mi yi i =1 n ∑m i =1 ⎞ ⎟ i =1 ⎟ n ⎟ mi ⎟ ∑ i =1 ⎠ n ∑m z i ; i i (3.15) Với vật rắn tọa độ G là: ⎧ ⎪ ⎨x G = ⎪ ⎩ ∫ xdm vật rắn m ; yG = ∫ ydm vật rắn m ; zG = ∫ zdm vật rắn (3.16) m Trong (x,y,z) tọa độ yếu tố khối lượng dm; m khối lượng vật rắn Ví dụ 3.2: Có ba chất điểm khối lượng m1 = m2 = 2mo, m3 = 6mo đặt ba đỉnh A, B, C tam giác đều, cạnh a Xác định khối tâm G hệ Phải tăng hay giảm khối lượng m3 để khối tâm G trùng với trọng tâm ∆ABC? Giải x m3 Dễ thấy, hệ đối xứng qua đường cao OC, nên G nằm OC Chọn trục Ox hình vẽ Theo (3.15), ta có: x G = m1 x + m x + m x m1 + m + m G m1 A Dễ thấy: x1 = xA = 0; x2 = xB = 0; x3 = xC = a /2 Suy ra: xG = + + 6m o a / 3a = 10m o 10 Để G trùng với trọng tâm ∆ABC : x G = C O Hình 3.3 xA + xB + xC a = B m2 84 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện ⇒ + + m 3a / a = ⇒ m3 = 2mo 2m o + 2m o + m dA = Rdϕ α Vậy phải giảm khối lượng vật m3 lượng ∆m = 4mo O -α Ví dụ 3.3: Xác định khối tâm vật thể hình cung tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc tâm 2α ϕ x x R Giải Hình 3.4: Chọn trục Ox đường phân giác góc tâm hình (3.4) Dễ thấy Ox trục đối xứng hệ Suy khối tâm G phải nằm Ox Xét yếu tố dài dA chắn góc tâm dϕ Hồnh độ yếu tố là: x = Rcosϕ; khối lượng chứa dA dm = λ dA = λRdϕ Theo (3.16), ta có: xG = ∫ xdm ∫ R cos ϕ.λRdϕ L m = L m α λR = ∫ cos ϕ −α λR.2α = R sin α α (3.17) λ mật độ khối lượng dài cung tròn; m = λR.2α khối lượng cung tròn Vậy khối tâm vật thể hình cung tròn đồng nằm phân giác góc đỉnh, cách tâm đoạn xG xác định (3.17) dS = r.dr.dϕ dr Ví dụ 3.4: Xác định khối tâm vật thể hình quạt tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc tâm 2α Giải Tương tự ví dụ ta suy khối tâm G hình quạt đồng nằm trục đối xứng Ox (đường phân giác góc tâm) dϕ r O ϕ x R Xét yếu tố diện tích dS Trong hệ tọa độ cực, ta có dS = r.dr.dϕ Khối lượng chứa dS dm = σdS; hồnh độ dS x = r.cosϕ Hồnh độ khối tâm G là: xG = ∫ xdm ∫∫ r cos ϕ.σdS S m = S m = Hình 3.5 ∫∫ r cos ϕ.σ.r.dr.dϕ S m x 85 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN ⇒ xG = R α −α σ ∫ r dr ∫ cos ϕdϕ σ.αR = 2R sin α 3α (3.18) Trong đó, m = σ.S = σ.αR2 khối lượng hình quạt Vậy khối tâm vật thể hình quạt đồng nằm phân giác góc đỉnh, cách tâm đoạn xG xác định (3.18) Ví dụ 3.5: Xác định khối tâm vật thể hình nón đồng nhất, đường cao h x α x dx r Giải Chia hình nón thành phần nhỏ, có dạng đĩa tròn bán kính r, bề dày dx (hình h–x h G h O O Hình 3.6: Khối tâm vật hình nón 3.6) Ta có: x G = ∫ x.dm vật rắn m = ∫ xρdV vật rắn ∫ ρdV = vật rắn xG = 2 ∫ x (h − x ) tg α.dx vật rắn ∫ (h − x ) tg α.dx vật rắn ∫ xρπr dx vật rắn ∫ ρπr dx vật rắn h = ∫ x (h − x ) dx = h ∫ (h − x ) dx h Vậy, khối tâm khối hình nón đồng nằm trục hình nón, cách đáy xG = khoảng: – Chuyển động khối tâm: Vận tốc khối tâm: h (3.19) 86 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện → → vG = d rG = dt → d n m i ri ∑ dt i =1 n ∑m i =1 → dr mi i ∑ dt i =1 n = i n ∑m i =1 n = ∑m i i =1 n → vi i ∑m i =1 (3.20) i n → → aG = Tương tự, gia tốc khối tâm: d vG = dt ∑m i =1 n ∑m i =1 → → i (3.21) i → Gọi Fi fi tổng ngoại lực nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i; m= → → → ∑ m i khối lượng tồn hệ Theo (2.6) ta có : Fi + f i = m i a i → Suy ra: → aG = → ∑ Fi + ∑ f i m Mà theo định luật III Newton, vật hệ tương tác lực trực đối, nên tổng nội lực → ∑f = i → Vậy: → aG ∑F = i m → → hay m a G = ∑ Fi (3.22) (3.22) phương trình chuyển động khối tâm Từ ta thấy rằng, khối tâm hệ chuyển động chất điểm có khối lượng tổng khối lượng vật hệ Ví dụ: Khi ta ném rìu lên trời vừa bay, vừa xoay Tuy vận tốc qũi đạo điểm rìu hồn tồn khác phức tạp, qũi đạo khối tâm chắn phải đường Parabol chuyển động ném xiên chất điểm (bỏ qua sức cản khơng khí) 87 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN § 3.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN Trong chương 1, nghiên cứu tính chất chuyển động chất điểm Vật rắn có chuyển động riêng dạng chuyển động, có tính chất đặc trưng riêng Giáo trình nghiên cứu chuyển động song phẳng vật rắn, nghĩa q trình chuyển động, điểm vật rắn ln có qũi đạo nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng cố định – Vật rắn tịnh tiến: Chuyển động vật rắn gọi tịnh tiến đoạn thẳng nối hai điểm vật rắn ln song song với (có phương khơng đổi) Xét điểm M vật rắn khối tâm G vật rắn Chọn điểm O làm gốc tọa độ, theo qui tắc điểm ta có: → → G OM = OG + GM hay → → M → rM = rG M + GM → → G → Hình 3.7: Chuyển động tịnh tiến vật rắn → d rM d rG = Suy ra: dt dt + d GM dt → d GM = Vì vật rắn tịnh tiến nên vectơ GM khơng đổi Do dt → → → Vậy: d rM d rG = dt dt → → hay v M = v G (3.23) Khi vật rắn tịnh tiến điểm vật rắn vạch qũi đạo giống với vận tốc với vận tốc khối tâm Do chuyển động vật rắn trường hợp qui chuyển động khối tâm Nói cách khác, tồn vật rắn coi chất điểm có khối lượng khối lượng tồn vật rắn, đặt khối tâm G – Vật rắn quay quanh trục cố định: Khi vật rắn quay quanh trục cố định (∆) với vận tốc góc ω điểm → vật rắn vạch đường tròn đồng trục ∆, với vận tốc góc ω → Xét điểm M vật rắn, gọi R vectơ bán kính quĩ đạo M, ta có: - Vận tốc dài: → → → v=ω x R (3.24) 88 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện v = ωR độ lớn: → → (3.25) → - Gia tốc tiếp tuyến: a t = β x R (3.26) at = βR độ lớn: (3.27) - Gia tốc pháp tuyến: a n = ω R → → (3.28) → - Gia tốc tồn phần: a = a t + a n độ lớn: → ω → R M (3.29) a = a 2t + a 2n (3.30) ω Ví dụ 3.6: Một dây cuaroa truyền động, vòng qua vơlăng I Hình 3.8: Chuyển bánh xe II Bán kính vơlăng R1 = 10cm; bánh xe R2 = động quay 50cm Vơlăng quay với vận tốc 720 vòng/phút bị vật rắn quanh trục ngắt điện, quay chậm dần đều, sau 30 giây vận tốc cố định 180 vòng/phút Tính vận tốc quay bánh xe trước ngắt điện, số vòng quay vơlăng bánh xe khoảng trời gian Sau bao lâu, kể từ lúc ngắt điện, hệ thống dừng? Tính vận tốc góc trung bình vơlăng bánh xe khoảng thời gian từ lúc ngắt điện đến lúc dừng (dây cuaroa khơng bị trượt vơlăng bánh xe) Giải Gọi ω1 ω2 vận tốc góc vơlăng bánh xe; ω01 ω02 vận tốc góc ban đầu chúng Ta có: ω01 = 720 vòng/phút = 24π rad/s R1 t1 = 30s; ω1 = 180 vòng/phút = 6π rad/s Vì dây cuaroa khơng bị trượt Hình 3.9 vơlăng bánh xe nên điểm tiếp xúc vơlăng – dây cuaroa, bánh xe – dây cuaroa ln có vận tốc dài Suy ra: ω1R1 = ω2R2 ; ω01R1 = ω02R2 Vậy vận tốc quay bánh xe trước ngắt điện là: ωo = R1 10 ωo1 = 720 = 144 vòng/phút = 4,8π rad/s R2 50 Gia tốc góc vơlăng: β1 = ω1 − ωo1 6π − 24π = = −0,6π rad/s2 t1 30 Góc mà vơlăng quay thời gian t1 = 30s: θ1 = ωo1 t + β1 t 12 = 24π.30 − 0,3π.30 = 450π rad R2