Chương 3: Động lực học của vật rắn ppt

Chương 3 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Chương này nghiên cứu các phương trình động lực học của vật rắn, đặc biệt là chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định.. Khối lượng m của một hệ

Chương 3

ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Chương này nghiên cứu các phương trình động lực học của vật rắn, đặc biệt

là chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định

§3.1 – VẬT RẮN

1 – Khái niệm về vật rắn:

Hệ chất điểm là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm Các chất điểm trong hệ có thể tương tác lẫn nhau, các lực tương tác đó gọi là nội lực; đồng thời có thể tương tác với các vật bên ngoài hệ, các lực tương tác này gọi là ngoại lực

Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mô) trong một

miền không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ không thay đổi

Như vậy, vật rắn luôn có hình dạng, kích thước và thể tích nhất định Trên thực tế, không có vật rắn tuyệt đối Bởi lẽ, dưới ảnh hưởng của các điều kiện bên ngoài như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … thì khoảng cách giữa các phần tử trong vật có thay đổi đôi chút Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu sự thay đổi đó là không đáng kể thì ta coi vật đó là vật rắn

2 – Tính khối lượng của một vật rắn:

Trong chương 2, ta đã biết khối lượng là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính và mức hấp dẫn của vật Trong phạm vi giới hạn của Cơ học cổ điển, khối lượng

là đại lượng bất biến Do đó khối lượng của một hệ cô lập luôn bảo toàn

Khối lượng m của một hệ chất điểm bằng tổng khối lượng các phần tử tạo nên

với dm là vi phân của khối lượng m (chính là khối lượng của phần tử nhỏ bé cấu tạo nên vật rắn)

Trường hợp vật rắn phân bố liên tục trong thể tích V (hình 3.1), tại mỗi điểm khảo sát M, ta lấy một yếu tố thể tích dV bao quanh M, gọi dm là khối lượng của vật

chất chứa trong yếu tố dV, ta định nghĩa mật độ khối lượng khối :

dV dm

(3.3)

Khi đó, dm = ρ(M)dV và = ∫∫∫ ρ (3.4)

V

dV ) M ( m

Nếu vật rắn là đồng nhất (hay thuần nhất) thì ρ = const (lúc này ρ chính là khối lượng riêng của chất liệu cấu tạo nên vật rắn) Khi đó (3.4) trở thành:

Nếu hệ phân bố liên tục trên chiều dài L (hình 3.3), ta định nghĩa mật độ khối lượng dài: λ =

A d

dm

(3.8) với dm là khối lượng vật chất chứa trên yếu tố chiều dài dA Khi đó ta có:

Một hệ phức tạp có thể chia thành nhiều phần, khối lượng của mỗi phần thuộc

về một trong những dạng định nghĩa trên Và khối lượng của hệ là tổng khối lượng của các phần đó

§3.2 KHỐI TÂM

Khi nghiên cứu chuyển động của một hệ chất điểm hay chuyển động của vật rắn, trong một số trường hợp cĩ thể rút gọn về chuyển động của một điểm đặc trưng

cho hệ đĩ Điểm đặc biệt này chính là khối tâm của hệ

Khối tâm được định nghĩa xuất phát từ

bài tốn tìm trọng tâm (điểm đặt của trọng lực)

của hệ 2 chất điểm Xét hai chất điểm M1 và M2

cĩ khối lượng m1 và m2 Trọng lực tác dụng lên

P

→ →

→ 2

2 2

1

m

mP

PGM

GM

G M m G

M

.

m1 →1 + 2 →2 =

Điểm G thỏa mãn (3.11) được gọi là khối tâm của hệ 2 chất điểm M1 và M2

Trường hợp tổng quát, hệ cĩ n chất điểm cĩ khối lượng lần lượt là m1, m2, …,

mn đặt tương ứng tại các điểm M1 , M2 , … , Mn , ta định nghĩa khối tâm của hệ là một điểm G thoả mãn: m1M→1G + m2M→2G + + mn M→nG = 0

=

→ 1 i

iG MVới vật rắn, khối tâm là điểm G thỏa mãn:

Vật rắn Vật rắn

trong đĩ M là điểm bất kì trên vật rắn, dV là yếu tố thể tích bao quanh M (hình 3.1)

Khối tâm G được định nghĩa theo (3.12) và (3.13) là một điểm đặc trưng cho

hệ, chỉ phụ thuộc vào vị trí tương đối và phân bố khối lượng giữa các phần tử trong

hệ, khơng phụ thuộc vào các yếu tố bên ngồi Các kết quả tính tốn cho thấy, nếu hệ

cĩ một yếu tố đối xứng (tâm đối xứng, trục đối xứng, mặt đối xứng) thì khối tâm của một hệ nằm trên yếu tố đối xứng đĩ Như vậy, nếu hệ cĩ nhiều yếu tố đối xứng thì khối tâm G thuộc về giao của các yếu tố đối xứng đĩ

Ví dụ, khối tâm của đĩa tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều chính là tâm của đĩa (giao điểm của hai đường kính); khối tâm của miếng sắt mỏng đồng chất, hình chữ nhật chính là giao điểm của 2 đường chéo, …

Cần phân biệt hai thuật ngữ “khối tâm” và “trọng tâm”! Trọng tâm G’ của hệ

là điểm đặt của trọng lực tác dụng vào hệ, nghĩa là vị trí của G’ không những phụ thuộc vào vị trí, khối lượng của các phần tử cấu tạo nên hệ mà còn phụ thuộc vào gia tốc trọng trường Trong khi đó vị trí khối tâm G không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường

Trên thực tế, hầu hết kích thước các hệ vật lí mà ta khảo sát là không lớn, do

đó gia tốc trọng trường hầu như không đổi tại mọi điểm và G’ trùng với G Việc phân biệt vị trí của G’ và G là không cần thiết!

Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượng bằng nhau, đặt tại ba đỉnh của tam giác

ABC Xác định khối tâm của hệ

2 – Toạ độ của khối tâm:

Trong kỹ thuật, việc xác định chính xác khối tâm của vật rắn là hết sức quan trọng, nhất là đối với các vật rắn có chuyển động quay Xác định khối tâm G theo định nghĩa (3.12) và (3.13) là rất phức tạp Trong thực hành, ta có thể xác định G bằng cách tìm giao điểm của các trục đối xứng Phương pháp này đặc biệt tiện lợi đối với các vật phẳng đồng nhất

Trong lí thuyết, ta dùng phương pháp tọa độ Chọn điểm O làm gốc tọa độ, vị trí của khối tâm G được xác định bởi vectơ bán kính Áp dụng “qui tắc 3 điểm” đối với 3 điểm O, G và M

Mà theo định nghĩa (3.12), ta cĩ: M G 0

1 i

i =

∑

=

→ n

n 1 i i i

m

r m

Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ cĩ tọa độ nên khối tâm G của hệ cĩ

tọa độ:

→ i

r (xi,yi,zi)

G

i i

n 1

i i in

1

i i

n 1

i i in

; m

y m

; m

x m

;m

ydmy

;m

xdm

xG vật rắn G vật rắn G vật rắn (3.16)

Trong đĩ (x,y,z) là tọa độ của yếu tố khối lượng dm; m là khối lượng của vật rắn

Ví dụ 3.2: Cĩ ba chất điểm khối lượng m1 = m2 = 2mo, m3 = 6mo đặt tại ba đỉnh A, B,

C của tam giác đều, cạnh a Xác định khối tâm G của hệ Phải tăng hay giảm khối lượng của m3 đi bao nhiêu để khối tâm G trùng với trọng tâm ∆ABC?

Giải

m3

Am1

xC

G

O

Dễ thấy, hệ đối xứng qua đường cao OC, nên G

nằm trên OC Chọn trục Ox như hình vẽ Theo

(3.15), ta cĩ:

3 2 1

3 3 2 2 1 1

xmxmxmx

++

++

10

2 / 3 a m 6 0 0 x

x x x

G = + + =

3 a m m 2 m

2

2 / 3 a m 0 0

3 o o

+ +

+ +

R-α

αϕVậy phải giảm khối lượng vật m3 một lượng ∆m = 4mo O

Ví dụ 3.3: Xác định khối tâm của một vật thể hình cung

tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α

Giải

Chọn trục Ox là đường phân giác của góc ở tâm như

hình (3.4) Dễ thấy Ox chính là trục đối xứng của hệ Suy ra khối tâm G phải nằm trên

ϕ λ

=

ϕ λ ϕ

=

α

− R sin 2

R

cos R m

Rd cos R m

xdm x

2 L

L

trong đó λ là mật độ khối lượng dài của cung tròn; m = λR.2α là khối lượng của cung tròn

Vậy khối tâm của vật thể hình cung tròn đồng

nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách tâm

một đoạn xG được xác định bởi (3.17)

Tương tự như ví dụ 3 ta cũng suy ra khối tâm G

của hình quạt đồng nhất nằm trên trục đối xứng

Ox (đường phân giác của góc ở tâm)

Xét một yếu tố diện tích dS Trong hệ tọa độ cực,

ta có dS = r.dr.dϕ Khối lượng chứa trong dS là

dm = σdS; hoành độ của dS là x = r.cosϕ Hoành

độ của khối tâm G là:

Hình 3.5

m

dS.cos.rm

.cos.r

S

=

α

= α

σ

ϕ ϕ σ

.

d cos dr r

R 0 2

Trong đĩ, m = σ.S = σ.αR2 là khối lượng của hình quạt

Vậy khối tâm của vật thể hình quạt đồng nhất nằm trên phân giác của gĩc ở đỉnh, cách tâm một đoạn xG được xác định bởi (3.18)

vật rắn vật rắn

dx r x dV

dV x dm

x x

dx.)xh(xdx.tg.)xh(

dx.tg.)xh(x

0

2

h 0

2 2

2

2 2

−

−

=α

Vậy, khối tâm của khối hình nĩn đồng nhất nằm trên trục hình nĩn, cách đáy một khoảng:

4

h

3 – Chuyển động của khối tâm:

Vận tốc của khối tâm:

O

h – x

xα

x

h

Hình 3.6: Khối tâm của vật hình nĩn

1 i

n i i n

1 i i

n 1 i

i i n

1 i i

n 1 i i i G

G

m

v m m

dt

r d m m

r m dt d dt

r d

n 1 i

i i G

m

a m dt

v d

(3.21)

Gọi là tổng các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i;

m = là khối lượng của toàn hệ Theo (2.6) ta có :

Ví dụ: Khi ta ném cái rìu lên trời thì nó vừa bay, vừa xoay Tuy vận tốc và qũi đạo của

mỗi điểm trên cái rìu là hoàn toàn khác nhau và rất phức tạp, nhưng qũi đạo của khối tâm chắc chắn phải là đường Parabol như chuyển động ném xiên của một chất điểm (bỏ qua sức cản không khí)

§ 3.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

Trong chương 1, chúng ta đã nghiên cứu tính chất các chuyển động của chất điểm Vật rắn có những chuyển động riêng và trong mỗi dạng chuyển động, có những tính chất đặc trưng riêng Giáo trình này chỉ nghiên cứu chuyển động song phẳng của vật rắn, nghĩa là trong quá trình chuyển động, mỗi điểm trên vật rắn luôn có qũi đạo nằm trong một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định

1 – Vật rắn tịnh tiến:

Chuyển động của vật rắn được gọi là tịnh tiến nếu một đoạn thẳng nối hai

điểm bất kì trên vật rắn luôn song song với chính nó (có phương không đổi)

Xét điểm M bất kỳ trên vật rắn và khối tâm

G của vật rắn Chọn điểm O làm gốc tọa độ, theo qui

r d dt

r d dt

rắn trong trường hợp này được qui về chuyển động của khối tâm Nói cách khác, toàn

bộ vật rắn được coi như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng toàn vật rắn, đặt tại khối tâm G

2 – Vật rắn quay quanh một trục cố định:

Khi vật rắn quay quanh trục cố định (∆) với vận tốc góc ω thì mọi điểm của vật rắn sẽ vạch ra những đường tròn đồng trục ∆, với cùng một vận tốc góc ω→Xét một điểm M bất kì trên vật rắn, gọi R→ là vectơ bán kính quĩ đạo của M, ta có:

- Vận tốc dài: →v = ω→ x R→ (3.24)

Ví dụ 3.6: Một dây cuaroa truyền động, vòng qua vôlăng I và

bánh xe II Bán kính vôlăng là R1 = 10cm; bánh xe là R2 =

50cm Vôlăng đang quay với vận tốc 720 vòng/phút thì bị

ngắt điện, nó quay chậm dần đều, sau đó 30 giây vận tốc chỉ

còn 180 vòng/phút Tính vận tốc quay của bánh xe trước khi

ngắt điện, số vòng quay của vôlăng và bánh xe trong khoảng

trời gian trên Sau bao lâu, kể từ lúc ngắt điện, hệ thống sẽ dừng? Tính vận tốc góc trung bình của vôlăng và bánh xe trong khoảng thời gian từ lúc ngắt điện đến lúc dừng (dây cuaroa không bị trượt trên vôlăng và bánh xe)

Vì dây cuaroa không bị trượt trên

vôlăng và bánh xe nên các điểm tiếp

xúc giữa vôlăng – dây cuaroa, bánh xe

– dây cuaroa luôn có cùng vận tốc dài Suy ra: ω1R1 = ω2R2 ; ω01R1 = ω02R2

10R

R

1 2

t1

1 1

Góc mà vôlăng đã quay trong thời gian t1 = 30s:

π

= π

− π

= β + ω

1

Vậy, vôlăng đã quay được N1 = 225 vòng

Số vòng quay của bánh xe trong thời gian t1 = 30s: N2 = 1

2

1 NR

R = 45 vòng

Ta có: ω1 = ω 1+ β1t Khi dừng: ω1 = 0 Suy ra t 40s

1

1 =β

ω

−

=

Vậy, hệ thống sẽ dừng lại sau 40s kể từ lúc ngắt điện

Góc mà vôlăng đã quay trong thời gian t = 40s:

π

= π

− π

= β + ω

1 tb

3 – Chuyển động phức tạp của vật rắn:

Khi vật rắn có chuyển động phức tạp bất kỳ (nhưng vẫn là song phẳng), ta có thể phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến và quay Để chứng minh điều này, ta xét 2 điểm bất kỳ M và N trên vật rắn và chọn điểm O làm gốc tọa độ Theo

theo thời gian, ta có:

dt

NMdv

Như vậy: Nếu chọn điểm N là điểm cơ bản thì chuyển động của điểm M (bất kỳ trên

vật rắn) bao gồm hai chuyển động:

- Tịnh tiến cùng với điểm cơ bản N với vận tốc v→N;

- Quay quanh điểm cơ bản với vận tốc góc ω→

Khi chọn điểm cơ bản khác nhau thì vận tốc tịnh tiến của điểm M cũng khác nhau nhưng vận tốc góc không thay đổi Trong các bài toán, ta thường chọn điểm cơ bản

là khối tâm của vật rắn Khi đó (3.32) trở thành:

Tóm lại: Chuyển động bất kỳ của vật rắn luôn có thể phân tích thành hai chuyển động

đồng thời: tịnh tiến của điểm cơ bản và quay quanh trục đi qua điểm cơ bản đó Thông thường, ta chọn điểm cơ bản là khối tâm G của vật rắn

Ví dụ 3.7: Bánh xe hình đĩa tròn, lăn không trượt trên đường nằm ngang với vận tốc

tịnh tiến vo Xác định vectơ vận tốc, qũi đạo và quãng đường đi (sau hai lần liên tiếp tiếp xúc với mặt đường) của một điểm bất kì trên vành bánh xe

Hình 3.10: Qũi đạo, vận tốc của điểm M trên vành bánh xe

Do bánh xe lăn không trượt nên vận tốc dài của điểm M có độ lớn bằng với vận tốc tịnh tiến của bánh xe: vM = ωR = vG = vo

=

ω

−

=ω

−

=ϕω

−

=

tsinvsinR0v

)tcos1(vtcosvvcosRvv

o y

o o

o o

x

(3.34)

trong đó ϕ = MGA q= ωt : là góc mà điểm M đã quay được trong thời gian t

Suy ra, độ lớn vận tốc của điểm M:

| 2

t sin

| v ) t cos 1 ( 2 v v v

y

2 x M

ω

= ω

−

= +

Nếu ta chọn điểm cơ bản là điểm A thì v→M = ω→ x AM→ Suy ra →vM ⊥ AM→

Vậy: phương của v→M luôn đi qua đỉnh D của bánh xe

(3.34) suy ra phương trình chuyển động của M:

t sin R t v ) t sin

1 t ( v dt v x

t

0

y

o o

t

0

x

(3.36)

(3.36) biểu diễn đường cong cycloid Vậy quĩ đạo của M là đường cong cycloid

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp điểm M tiếp xúc với mặt đường chính

là chu kì quay quanh khối tâm: T =

ω

π 2 Trong khoảng thời gian này, điểm M đã đi

được quãng đường: =∫ → = ∫T ω

o o T

0

2

tsin

|vdt

|v

• Phương trình mô tả chuyển động tịnh tiến của khối tâm G:

→

→

= Fdt

pd

a là gia tốc tịnh tiến của vật rắn (gia tốc của khối tâm)

• Phương trình mô tả chuyển động quay quanh trục ∆ đi qua khối tâm G:

dt

L

d→

= M→ (3.39)

Với: →= ∫ → là mơ men động lượng của vật rắn;

vật rắn

A d L

M→ = ∑ →rixF→i)là tổng momen ngoại lực đối với trục ∆

Hai phương trình (3.38) và (3.39) mơ tả chuyển động bất kỳ của vật rắn Nếu xét trong

hệ trục Oxyz ta cĩ 6 phương trình vi phân Tuy nhiên, trong phạm vi giáo trình này, ta chỉ khảo sát các chuyển động đặc biệt của vật rắn, nên việc giải các phương trình trên

sẽ đơn giản hơn

Trước hết, nếu chuyển động của vật rắn chỉ là tịnh tiến thì từ (3.38) ta thấy,

chuyển động ấy được qui về chuyển động của khối tâm G và việc khảo sát giống như chuyển động của chất điểm G cĩ khối lượng m

Dưới dây ta sẽ khảo sát chi tiết hơn về chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định ∆

2 – Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục cố định:

Xét vật rắn quay quanh trục cố định ∆ với vận tốc gĩc ω Theo (2.57) ta cĩ mơmen động lượng của vật rắn là:

= ω

=

L

vật rắn vật rắn

vật rắn

vật rắn vật rắn

dm r dI

là mơmen quán tính của vật rắn đối với trục quay ∆

Chiếu (3.40) lên trục ∆, ta cĩ: L∆ = I∆ω (3.42) Suy ra: ∆ = ∆ω = ∆ ω = I∆β

dt

d I dt

) I d dt

dL

(3.43) Chiếu (3.39) lên trục ∆ và kết hợp (3.43), ta cĩ: I∆β M= ∆ (3.44) (3.44) là phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục ∆ cố định Trong đĩ:

β là gia tốc gĩc; M∆ là tổng đại số các mơmen ngoại lực đối với trục quay ∆; I∆ là mơmen quán tính của vật rắn đối với trục ∆ Về hình thức, (3.44) giống như phương trình cơ bản (2.6) của động lực học chất điểm, trong đĩ, mơmen quán tính I đĩng vai

trị giống như khối lượng m Vì khối lượng đặc trưng cho mức quán tính nên mơmen quán tính cũng đặc trưng cho mức quán tính trong chuyển động quay Do đĩ, người ta cịn gọi mơmen quán tính I là quán tính quay

Để giải được (3.44), ta cần tính được mơmen của các ngoại lực và mơmen quán tính đối với trục ∆

3 – Tính mômen lực đối với trục ∆:

Để tìm hiểu rõ tác dụng làm quay vật rắn quanh trục ∆ của ngoại lực , ta phân tích thành các thành phần (xem hình 3.11):

= +

F F→t

• Thành phần nằm trên pháp tuyến

qũi đạo của điểm M, có tác dụng kéo

vật chuyển động vuông góc với trục

∆ Thành phần này cũng được cân

bằng bởi phản lực của trục quay ∆

→ n

F

M

• Thành phần hướng theo tiếp

tuyến qũi đạo của điểm M, chính

thành phần này mới thực sự làm vật

rắn quay quanh trục ∆

→ t

Suy ra mômen của ngoại lực đối với

trục quay ∆ (gọi tắt là mômen quay) là:

→

= M∆ = Ft R = F⊥ d = F⊥ R sin θ (3.46) với R là bán kính quĩ đạo của điểm M (điểm đặt của ngoại lực); d = Rsin θ là cánh tay đòn; θ là góc giữa R→ và thành phần ⊥ (xem hình 3.12)

Nếu có nhiều ngoại lực tác dụng vào vật rắn thì tổng mômen của ngoại lực là:

i i i

R F M

Ví dụ 3.8: Lực F = 10N tác dụng vào vật

rắn có trục quay cố định Biết nằm

trong mặt phẳng vuông góc với trục quay,

có điểm đặt cách trục quay 20cm và tạo

với bán kính R một góc 30

→

F

o Tính mômen quay của lực

θ

Hình 3.12

M R

M∆ = F.R.sinθ = 10.0,2.sin30o = 1(Nm)

Ví dụ 3.9: Tính mômen của lực để mở cánh cửa

hình chữ nhật, biết lực tác dụng vào tay nắm

(núm cửa) vuông góc với mặt cánh cửa, có độ

lớn 5N và tay nắm ở cách bản lề 80cm Nếu

điểm đặt của lực không phải ở núm cửa mà chỉ

cách bản lề 50cm thì độ lớn của lực phải là bao

nhiêu để có mômen trên?

→

F’ →F

M N

4 – Tính mômen quán tính đối với trục ∆:

a) Nhắc lại các công thức định nghĩa về mômen quán tính:

Mômen quán tính đối với trục quay ∆ của:

2 i

ir m I

với mi là khối lượng của chất điểm thứ i; ri là khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục ∆

• Vật rắn: ∆ = ∫ (3.50)

vật rắn

dm r

Ví dụ 3.10: Tính mơmen quán tính của hình trụ rỗng, thành mỏng hay vành trịn đồng

chất, khối lượng phân bố đều đối với trục của nĩ

hình chữ nhật, mỗi phần cĩ chiều rộng d = Rdϕ Gọi σ là

mật độ khối lượng phân bố trên mặt trụ, ta cĩ:

dI

trụ mặt trụ mặt

⇒ I = 2πσ hR3 = mR2

với m = 2πσhR là khối lượng hình trụ

Làm tương tự đối với vành trịn (trục quay là trục

h

dr r

Vậy: Mơmen quán tính đối với trục của hình trụ rỗng, hay

vành trịn đồng chất, khối lượng phân bố đều là:

với m và R là khối lượng và bán kính hình trụ, hay vành

trịn

Ví dụ 3.11: Tính mơmen quán tính của khối trụ đặc hay điã

trịn đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục của nĩ

Giải

Chia khối trụ đặc thành nhiều lớp mỏng, cĩ bề dày

dr Mỗi lớp được coi như mơt hình trụ rỗng, nên cĩ mơmen

quán tính là: dI = dm.r2 = ρdV.r2

với ρ là khối lượng riêng của khối trụ

Hình 3.15

Mà dV = dS.h = [π(r + dr)2 - πr2 ].h ≈ 2πhrdr