Bài giảng Kỹ thuật Đại cương (PGS.TS. Lê Bá Sơn) - Chương 3 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN potx

2 2.4.4.HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM 2.4.4.1.Bài toán thuận Biết khối lượng chất điểm và quy luật chuyển động của chất điểm , xác định lực tác dụng lên chất điểm lực chủ đ

ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Một vật tự do, khi bị tác dụng thì trạng thái chuyển động của vật thayđổi Sự thay đổi trạng thái chuyển động này phụ thuộc vào lực tác dụng lênvật Với các lực khác nhau chuyển động của vật cũng hoàn toàn khác nhau.Chuyển động của các vật rất phong phú nhưng đều tuân theo các quy luật của

cơ học Động lực học là khoa học nghiên cứu sự chuyển động của vật rắndưới tác dụng của các lực

Trước khi nghiên cứu động lực học vật rắn chúng ta hệ thống hoá lạicác kiến thức về động lực học chất điểm

2.4 CÁC ĐỊNH LUẬT ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM

2.4.1.CÁC KHÁI NIÊM CƠ BẢN

2.4.1.1. Chất điểm,cơ hệ

Định nghĩa: Chất điểm là vật có kích thước nhỏ so với các vật khác

hoặc các khoảng cách mà ta đang khảo sát.

Như vậy chất điểm chỉ mang tính tương đối, phụ thuộc vào các quan hệ giữavật với các đối tượng khác Trái đất là chất điểm khi so sánh với mặt trờihoặc khoảng cách từ trái đất đến mặt trời Còn so sánh với các thành phố, cácdãy núi thì không thể coi trái đất là chất điểm được

Đôi khi để đơn giản, người ta còn định nghĩa “ Chất điểm là điểm hình

học có khối lượng”

Định nghĩa: Cơ hệ là tập hợp các vật có tương tác cơ học với nhau

2.4.1.2 Lực và khối lượng

Trong phần tĩnh học ta đã đưa ra khái niệm lực, lực đặc trưng cho tác

dụng của vật này lên vật khác Trong phần động lực học chúng ta có điều

kiện nghiên cứu nhiều hơn ảnh hưởng của lực đến chuyển động của vật rắn.Tuy nhiên sự thay đổi trạng thái của vật không những phụ thuộc vào lực tácdụng mà còn phụ thuộc vào khối lượng của vật Khối lượng của một vật thể làmột khái niệm phức tạp Chúng ta thường được biết các biểu hiện của khốilượng ở các mặt quán tính và hấp dẫn Trong phần động lực học cổ điển nàychúng ta chỉ xét biểu hiện khối lượng về mặt quán tính và coi khối lượng làđại lượng không thay đổi

2.4.2 CÁC ĐỊNH LUẬT ĐỘNG LỰC HỌC

Các định luật động lực học về chất điểm là các định luật của Newton

F  hoặc (2-24)

m

F a

“Lực tác dụng tương hỗ giữa hai vật cùng phương ngược chiều cùng

độ lớn.”

F21  F12 (2-25)

Định luật thứ 3 của Newton cho phép thay các liên kết bằng các các lực tác dụng tương hỗ

2.4.2.4 Hệ quy chiếu quán tính

Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà định luật 1 Newton thoảmãn Mặt trời và những vật thể chuyển động thẳng đều với mặt trời có thể coi

là hệ quy chiếu quán tính Gần đúng mặt đất cũng được coi là hệ quy chiếuquán tính

Hệ quy chiếu mà định luật 1 không thoả mãn được gọi là hệ quy chiếukhông quán tính Các hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc với hệ quán tính là

hệ quy chiếu không quán tính

Hệ quy chiếu đóng vai trò vô cùng quan trọng trong việc nghiên cứucác hiện tượng cơ học Phương trình cơ học trong các hệ quy chiếu quán tính

và không quán tính là khác nhau Sau này nếu không nói về hệ quy chiếu thìnghiễm nhiên ta coi hiện tượng xảy ra trong hệ quy chiếu quán tính

2.4.3.1.Phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng véc tơ

y i y

x i x

F ma

F ma

F

ma

với

n i

F k F j F i

n i t

s d

m

2

2

2.4.4.HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

2.4.4.1.Bài toán thuận

Biết khối lượng chất điểm và quy luật chuyển động của chất điểm , xác định lực tác dụng lên chất điểm ( lực chủ động hoặc các lực liên kết)

2.4.4.2.Bài toán ngược

Biết lực tác dụng lên chất điểm, khối lượng của chất điểm và các điều kiện đầucủa chuyển động Tìm quy luật chuyển động của chất điểm.

2.4.4.3 Ví dụ

Bài 3 : Tìm quy luật chuyển động của vật nặng khối lượng m chuyển động

trên mặt phẳng ngang với hệ số ma sát trượt k dưới tác dụng của lực không

đổi F, hợp với phương chuyển động một góc

 Với điều kiện nào của k thì vật chuyển

động đều?

Giải:

a m F P F

N   ms  

Vật chuyển động đều a = 0, chiếu lên phương

chuyển động:

mg F

F k mg

F k F

) sin

( cos

Nếu gia tốc a  0 vật sẽ chuyển động biến đổi đều Biết giá trị của k sẽ xác

n

i i i C

m

r m R

1 1

- Trong trọng trường đều, khối tâm trùng với trọng tâm

- Vật rắn tuyệt đối có khối tâm không đổi( so với vật rắn)

2.5.2 Mô men quán tính

2.5.2.1.Mô men quán tính đối với một điểm

Mô men quán tính của cơ hệ đối với một điểm là đại lượng được xác định bởi biểu thức :

2 1

n

k k

r m



) ( 2 2 1

n

k

k x y m

I  

Nếu cơ hệ là vật rắn liên tục thì dấu tổng chuyển thành dấu tích phân

 



v dV r

0 

 

dV y x I

v

) ( 2 2

0  

Ở đây :  là khối lượng riêng của một đơn vị thể tích

2.5.2.2 Mô men quán tính hệ chất điểm đối với trục

Là đại lượng vô hướng dương bằng tổng các tích số khối lượng các chất điểm với bình phương khoảng cách từ các chất điểm đến trục z

z m r I

x m z y I

y m x z I

( 2 2

Với r : là khoảng cách từ phân tố dm đến trục z

 : khối lượng của một đơn vị thể tích( khối lượng riêng)

V: thể tích của vật

2.5.2.3 Bán kính quán tính

Bán kính quán tính của cơ hệ hay vật đối với trục z (z) là khoảng cáchđến trục z của một điểm có khối lượng bằng khối lượng của hệ (vật) và có mômen quán tính bằng mômen quán tính của cơ hệ (vật) đối với trục z.

2

z

z M

I   hay z  I z/M (2-33)

2.5.2.4 Định lý Huy ghen về mô men quán tính

Mômen quán tính của cơ hệ (vật) đối với trục nào đó, bằng mômen quán tính của cơ hệ với trục đi qua khối tâm song song với trục đó, công với tích số khối lượng cơ hệ (vật) với bình phương khoảng cách giữa hai trục:

2 ' Md I

I Oz  cz  (2-34)

2.5.2.5 Mô men quán tính của một số vật đồng chất

a/ Thanh đồng chất khối lượng m chiều dài l

2

mr

I C z  (2-38)

2.6 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ

2.6.1 Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ

Xét cơ hệ bao gồm n chất điểm : M1,M2, M n,khối lượng của các chấtđiểm tương ứng là: m1,m2, ,m n.Các lực tác dụng lên chất điểm có ngoại lực

và nội lực Ta xét chất điểm M ktuỳ ý của hệ, các ngoại lực tác dụng lên chất

R

2-14 Một số vật thể đối xứng l

) 39 2 (

2 2 2 2

1 1 1 1

e n n n

i e

i e

F F a m

F F a m

F F a m

để giải hai bài toán cơ bản động lực học chất điểm Nhưng nó lại có ý nghĩaquan trọng đối với toàn bộ phần động lực học cơ hệ Từ đây ta suy ra đượccác định lý tổng quát động lực cơ hệ, nguyên lý Đalămbe…

Ở đây : M : Khối lượng của hệ

ac:Vectơ gia tốc khối tâm của hệ, nếu rccó các thành phần trên trục Oxyz (x c,y c,z c) phương trình trên có dạng hình chiếu:

) 41 2 ( 

e ky c

e kx c

F z M

F y M

F x M

F thì VC const; khối tâm của hệ chuyển động theo quán tính, nếu ban đầu khối tâm của hệ đứng yên thì nó sẽ đứng yên trong suốt quátrình

F thì V x C const: khối tâm của hệ chuyển động theo quán tính trên trục ox

c/ Ví dụ: Chiếc thuyền chiều dài l,

khối lượng m Hai mũi thuyền có hai

người ngồi với khối lượng m1, m2

Thuyền và người đang đứng yên thì hai

người đổi chỗ ngồi cho nhau Xác định

độ dịch chuyển ngang của thuyền Bỏ

trục ox nên :   0

i x i

F Khối tâm hệ chuyển động đều

) 1 (

CO C

C m x x

) (

) (x s m1 x1 l s m2 x2 l s

( s m1 l s m2 l s 

m

m m m

m m s

2 1

2 1









Công thức (2) cho thấy:

(-s) là dịch chuyển tuyệt đối của thuyền trên trục ox;

(l-s) là dịch chuyển tuyệt đối của người có khối lượng m1 trên trục ox;

(-l-s) là dịch chuyển tuyệt đối của người có khối lượng m2 trên trục ox,

Vậy có thể đưa ra công thức tổng quát để xác định dịch chuyển của chất điểm nào đó trong cơ hệ khi có dịch chuyển tương đối của các chất điểm khác thuộc

cơ hệ nếu ban đầu hệ đứng yên

mi , Pi làkhối lượng và trọng lượng vật thứ i trong cơ hệ.

s i là dịch chuyển tuyệt đối của chất điểm thứ i trên trục ox Trục có

tổng hình chiếu tất cả ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không

Véc tơ vận tốc đặc trưng cho trạng thái chuyển động của một vật về mặt động học nhưng về mặt động lực học thì véc tơ đặc trung cho chuyển động là véc tơđộng lượng

Động lượng của cơ hệ

i n

i i

V m

K  (2-43)

Xung lượng của lực tác dụng

Tác dụng của lực không những phụ thuộc vào độ lớn và phương chiều của lực mà còn phụ thuộc vào thời gian tác dụng Đại lượng “ xung lượng S của lực” đặc trưng đầy đủ cho tác dụng của lực và được định nghĩa như sau:

S K

Định luật bảo toàn động lương

Bảo toàn động lượng theo một phương

Nếu Fi x  0thì K x const: động lượng của hệ được bảo toàn theo phương x

a/Mô men động lượng của vật rắn đối với trục oz

b/Định lý biến thiên mô men động lượng



(2-47)

“ Đạo hàm mô men động lượng của vật rắn quay quanh một trục cố

định bằng tổng các mô men ngoại lực tác dụng lên vật rắn đối với trục đó”.

2.6.6 Định lý biến thiên động năng của cơ hệ

Động năng của cơ hệ là phần cơ năng ứng với sự dịch chuyển của vật.

Biểu thức động năng trong các chuyển động:

a/Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến:

) ( , 2

Wd mV2 J (2-48)b/Động năng của vật rắn trong chuyển động quay

) ( , 2

Wd I2 J (2-49)c/Động năng của vật vừa chuyển động phức tạp( vừa tịnh tiến vừa quay) bằng tổng động năng tịnh tiến của vật và động năng quay của nó

) ( , 2 2 W

2 2

d mV I J (2-50)

Công và công suất

Công của lực làm vật chuyển động tịnh tiến trên dịch chuyển nhỏ ds

ds F s d F

dA .  t (2-51)Nếu vật dịch chuyển từ điểm M đến N thì công của lực sinh ra :

N

M

x x

k dx kx x

d F

k

e

k dA dA

d

1 1

d1 d2 W

Thế năng của một vật trong trường lực thế là đại lượng phụ thuộc vào vị trí sao cho độ giảm thế năng giữa hai điểm bằng công của trường lực sinh ra trong dịch chuyển đó.

WtM – WtN = AMN (2-59)Thế năng chính là phần cơ năng ứng với sư tương tác giữa các vật

Nếu chất điểm chuyển động trong trọng trường đều thì

Wt = mgh (2-60)

h là độ cao của vật so với mặt đất

Định luật bảo toàn và biến hoá cơ năng

Bài giải :

Các lực đều song song với trục quay nên mô men

lực đối với trục quay bằng 0 và mô men động

lượng của hệ bảo toàn

m I

2

) 2 ( )

2 0 0

2 1

u P

) 2 (

2

1

1 0

Bài M- 2

Hai vật nặng P1 , P2 được buộc vào 2 tang tời có bán kính r và R Để nâng vật P1 người ta tác dụng vào tời một mô men lực M Tìm gia tốc góc của tời quay Biết trọng lượng của tời là P3 và bán kính quán tính của nó là ρ

Bài giải :

Cơ hệ gồm vật A,B và tời C

Lực tác dụng lên hệ: mô mem lực M các trọng lực P1,P2,Q,phản lực R1

Áp dụng định lý mô men động lượng đối với trục quay oz của tời C

M R P r P L dt

d

mà

) ( ) ( )

g

P V m r A

Mô mem động lượng của vật B đối với trục oz

Mô mem động lượng của vật C đối với trục oz





) (

g

P I

C

Vậy mô men động lượng của hệ đối với oz

g P R P r P

3 2 2 2



Thay vào

M R P r P g P R P r P L

dt

d

2 3

2 2

2 1

g r P R P M

BAÌ M-3 - Trong cơ hệ bên, con lăn A lăn không trượt trên mặt phẳng

nghiêng từ trên xuống dưới Dây mảnh không dãn vắt qua ròng rọc B làm vật

C chuyển động từ dưới lên Ròng rọc B cùng bán kính và trọng lượng P với

25

r



2 2 2 2

con lăn A Vật C có trọng lượng PC Biết góc nghiêng là  Hãy xác định giatốc của trục con lăn A.

-R

2 '

sin

A

2 A

I T

Chú ý a C aA R từ các phương trình trên suy ra :

a m P T

a m T T

a m T

P

D C C

C A

A A

P P

BÀI M- 4

Một xe tăng khởi động nhờ một động cơ làm quay bốn bánh xe ( mỗibên hai chiếc) kéo theo xích chuyển động Sau 8 giây kể từ lúc bắt đầu chuyểnđộng, xe tăng dạt vận tốc 36 km/h Biết trọng lượng của xe không kể bánh vàxich là P1= 50kN, trọng lượng mỗi bánh xe là P2= 2kN, trọng lượng mỗi xích

là P3 = 5kN, bánh xe coi là đồng chất Hãy xác định công suất trung bình củađộng cơ

Bài giải :

Phân tích chuyển động của xe tăng:

Thân xe chuyển động tịnh tiến

- Bốn bánh xe chuyển động song phẳng

- Xích xe chuyển phức tạp được chia làm 3 phần:

+ Đoạn AB không chuyển động có vận tốc bằng không

+ Đoạn CD chuyển động tịnh tiến với vận tốc bằng 2 lần vận tốc của trục bánh xe

+ Đoạn cuối gồm hai vành tròn kết hợp BIC và A II D chuyển động song phẳng

+ Công suất trung bình của động cơ:

t

A N

A

1 d1 d2 W W

Thời điểm ban đầu xe tăng đứng yên Wđ1 = 0

I là mô men quán tính của bánh xe với trục quay

g

R P I

2

2 2



Sau khi biến đổi

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 d.4.banh

3 ) 2 2 2 ( 4 ) 2 2

( 4

g

P mV

R m V

m I

4 ) 2 2 ( W

2 3

2 3

DC d,

R l g

lV P V

R l g

l P

2 2

) 2 2 (

2 R

W

2 3

2 3

2 vanh d,

V R l g

R P R

l g

R P

vanh

R l g

R P

P V g

P V

g

P g

V

3 2 1 2 3 2 2

2 1

2 ( 2

3 2

Vậy công suất trung bình của động cơ :

W 250 , 51

) 2 3 2 (

2 3 2 1

k N

t g

V P P P N

v1=5(m/s) Khối lượng của đe và của vật cùng với khối lượng của vật rèn là

m2=250 tấn Tính công A1 tiêu hao làm biến dạng vật rèn, công A2 tiêu hao làm rung móng và tính hiệu suất của búa

W

2 1 1

2 1 1 2 d.

1 d.

m m

m v

m W

RV P R

l g

lV

3

2 3

2 3 d,2.xich

2 ) (

2 ) ( 2

1 2

1

1

1 ) 1

(

m

m m

m

m W

Để búa có hiệu suất cao thì m 2 m1 , tức là đe phải nặng hơn búa nhiều lần

Công tiêu hao làm rung động móng là động năng hệ búa và vật sau va chạm

A2 = Wđ2 = 6 , 86 ( )

) (

2

m

2 1

2 1

2

m m

v





Bài 2-2 :

Để gia cố móng nhà người ta đóng cọc xuống

đất Búa có khối lượng bằng 450(kg), rơi không

vận tốc đầu từ độ cao 2(m) xuống đầu cọc Cọc có

khối lượng là 50 kg, cứ sau 1 lần chịu đập lại ngập

sâu xuống đất một đoạn 5(cm) Tìm lực cản trung

bình tác dụng lên cọc Coi va chạm giữa búa và cọc

là va chạm mềm

Hướng dẫn:

Quá trình trên gồm 3 giai đoạn:

 Búa rơi từ độ cao 2(m) đến đầu cọc, chưa va chạm, cơ năng hệ bảo toàn:

v1= 2gh

 Va chạm mềm giữa búa và đầu cọc:

2 1

1 2 1

1 1 2

1

2 2 1

m m

gh m m m

v m m

m

v m v m u

) (

2

1

2 1

2 1 2

2 1

m m

gh m u

m m

) (

10 )

2 1 2

1 1

2 1

m m s

gh m m

m s

gh m

m3 có trọng lượng PA, P1, P2, P3 Ban đầu hệ

đứng yên, người ta kéo vật m3 dịch chuyển

theo mặt phẳng nghiêng một đoạn l xuống

phía dưới Tìm dịch chuyển của vật A Bỏ

qua ma sát giữa vật A với mặt nằm ngang

F Mặt khác ban đầu hệ vật đứng yên nên

4 1 ,

) ( sP1 sP2 s l P3 s l  

P A

Bài 2-4.

Lăng trụ tam giác A trọng lượng PA đặt trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn Hai vật B, C trọng ượng P1,P2 nối với nhau bằng sợi dây không dãn có khối lượng hông đáng kể như hình vẽ bên Cơ hệ đang đứng yên Xác định vận tốc của vật A khi vật B đi xuống với vận tốc u Cho góc nghiêng là của vật A là α.

Hướng dẫn: Ngoại lực tác dụng lên cơ hệ vuông góc với phương nằm

ngang nên động lượng theo phương nằm ngang bảo toàn

Vật B đi xuống với vận tốc u thì vật A đi sang phải với vận tốc v

u

P P P

P v

R=0,2(m), khối lượng m=0,5(kg) lăn xuống theo một

sợi dây treo thẳng đứng được cuốn vào nó Đầu B của

dây được buộc chặt và khi đĩa rơi không vận tốc đầu

thì mở dần dây ra (Hình 2-23)

Hãy xác định vận tốc điểm O của đĩa, sức căng

sợi dây và động năng toàn phần của đĩa sau 2(s) kể từ

khi bắt đầu chuyển động Lấy g=9,8(m/s2)

Hướng dẫn:

Dưới tác dụng của lực căng T, trọng lực P đĩa

chuyển động song phẳng Tâm đĩa O chuyển động

thẳng Từ phương trình cơ bản chuyển động tịnh tiến

và chuyển động quay quanh O xác định được gia tốc góc, gia tốc, vận tốc

điểm O





2 2

0

mr I Tr

ma T P

2

a 

Bài 2-6 Hệ ròng rọc như hình 2- 12 Ở thời điểm vật I được nâng với vận tốc

1

V, gia tốc a1vật II hạ xuống với vận tốc V2 , gia tốca2 Ròng rọc có bán kính R Tìm vận tốc góc của ròng rọc động, vận tốc và gia tốc tâm C, gia tốc điểm B

2 S a a a S

- Các điểm trên bách xe có vận tốc góc và gia tốc góc:

R

a a R

V V dt d

R

V V PB PA

V V PB

V PA

V A B A B

2

) 2 (

2

2 1 2 1

2 1

T 

' 2

T 

2

T 

C

I T T

a m P T T

a m T P

a m T P

2 1

1 1 1 1

2 2 2 2

ma P T T

a m P T

a m T P

2 1

1 1 1 1

2 2 2 2

(3)

Các dây nối có khối lượng không đáng kể, không dãn, bỏ qua khối lượng của ròng rọc tĩnh T' 2 T2 ,T' 1 T1; chú ý đến (1)

) 4 ( 2

2

) 4 ( )

(

) 4 (

) 4 (

1 2 2 1

2

1 2 2

1

1 1 1 1

2 2 2 2

d R

a a R

mR R

I T T

c a

a m P T T

b a

m P T

a a

m T P

a a a a m a m a m P P

2 2 3

3 4 ) (

4

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

1 2 2 1 1

1 2 2 1 2

Thay các giá trị của trọng lực

1 2

1 2 4 5

3 4

a a g

a a g

7

;

31 21

g a g a g

[2] Lê Doãn Hồng, Đỗ Sanh ,” “Bài tập Cơ học”, Nhà xuất bản Giáo dục 2002