Chương 5: Động học chất lỏng thực

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT LỎNG Xét phân tố chất lỏng thực dạng khối hộp chữ nhật dx, dy, dz hình 5.1.. Chuyển động của phân tố được đặc trưng bởi các thông số động học v

Chương V ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG THỰC

Chương V đề cập đến các quy luật chuyển động của chất lỏng trong mốiliên hệ với lực là nguyên nhân gây ra chuyển động Tuy nhiên, đối tượng khảosát trong chương này là chất lỏng thực, là chất lỏng có độ nhớt khác không

I PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT LỎNG

Xét phân tố chất lỏng thực dạng khối hộp chữ nhật dx, dy, dz (hình 5.1).

Chuyển động của phân tố được đặc trưng bởi các thông số động học và động lựchọc như sau:

- Vận tốc chuyển động ur

;

- Lực khối đơn vị Fur

(X,Y,Z);

- Các thành phần ứng suất trên các mặt của khối hộp đặc trưng cho lực mặt

Sự khác biệt giữa chất lỏng lí tưởng và chất lỏng thực được thể hiện ở trạngthái chịu ứng suất Đối với chất lỏng lí tưởng, ứng suất chỉ tác dụng trên phươngpháp tuyến, vì vậy áp suất thuỷ động trong lòng chất lỏng lí tưởng luôn có hướngvuông góc với mặt tác dụng Đối với chất lỏng thực, ngoài thành phần ứng suấtpháp còn có các thành phần ứng suất tiếp theo phương tiếp tuyến τ sinh ra do

tính nhớt Do đó, áp suất thuỷ động trong lòng chất lỏng nhớt sẽ không cònhướng vuông góc với mặt tác dụng nữa

Các thành phần ứng suất nằm trên ba mặt tương ứng song song với các mặtcủa hệ toạ độ Oxyz là:

e qt k k

e qt

o k o k

- Lực khối: Gọi lực khối đơn vị tác dụng lên phân tố chất lỏng theo các

phương Ox, Oy, Oz lần lượt là X, Y, Z

Xem tập hợp các phân tử chất lỏng như một hệ các chất điểm Xét phương

Ox, theo nguyên lý D’Alamber ta có:

2 Phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực Navier-stokes

Hệ phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực Navier-Stokesđược xây dựng từ hệ phương trình vi phân chuyển động viết dưới dạng ứng suất,trong đó sử dụng một số giả thiết về ứng suất và mở rộng giả thiết của Newton vềlực nhớt trong không gian

Mở rộng giả thiết của Newton về lực nhớt:

Giả thiết của Newton về lực nhớt đối với dòng chất lỏng chuyển động mộtchiều:

Ứng suất tiếp gây ra do tính nhớt tỷ lệ với vận tốc biến dạng góc tương ứng,

vì vậy trong trường chuyển động không gian, giả thiết của Newton về lực nhớt cóthể viết:

2 2 2

Trong lòng chất lỏng thực, giá trị của ứng suất pháp tại một điểm là khác

nhau theo các phương khác nhau, σxx ≠σyy ≠σzz , tuy nhiên:

σxx+ σyy + σzz = const

với x, y, z là ba phương chọn bất kỳ nhưng vuông góc với nhau từng đôi một Do

đó xem độ lớn áp suất p tại một điểm là trung bình cộng giá trị của các ứng suất

lên ba mặt vuông góc với nhau từng đôi một qua điểm đó:

3 2

3

x xx

y yy

z xx

u

x u

y u

ρ ρ ρ

Xét một ống dòng mà độ cong có thể bỏ qua Chiếu (5.5) lên các trục Ox1 và

Ox2 nằm trong mặt phẳng vuông góc với vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của dòngchảy, ta có:

∂ =

Vậy, trong một tiết diện ướt bất kỳ áp suất phân bố theo qui luật thuỷ tĩnh

II TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

Phương trình Navier-Stokes là phương trình vi phân đạo hàm riêng phituyến nên việc giải phương trình này rất khó khăn Trong trường hợp tổng quát,người ta có thể dùng phương pháp số để giải Ở phần này trình bày lời giải giảitích phương trình Navier-Stokes trong một số trường hợp đơn giản của chuyểnđộng một chiều chất lỏng không nén được

Trong trường hợp lực khối chỉ là lực trọng trường, ta có F ur = − ⇒ = ur g U gz

Do đó hệ phương trình (5.11) viết cho dòng chất lỏng thực không nén được sẽlà:

và do đó các đường dòng là các đường thẳng song song.

Chọn phương Ox trùng với phương vận tốc Kết hợp (5.14) và (5.11),

không phụ thuộc vào biến x, nên ∂ ∂ p x cũng sẽ không phụ thuộc vào x Mặt

khác, phương trình thứ hai trong hệ (5.16) chứng tỏ rằng áp suất toàn phần là

không đổi trong mặt phẳng vuông góc với trục Ox và p độc lập với y và z Do đó

a Dòng chảy tầng trong khe hẹp giữa hai bản phẳng song song

Xét dòng một chiều của chất lỏng không nén được, chuyển động dừng chảy

giữa hai bản phẳng song song rộng vô cùng cách nhau một khoảng δ (hình 5.2).

Bản phẳng dưới cố định, bản phẳng trên chuyển động thẳng đều với vận tốc Ur

Hình 5.2 Dòng chảy tầng trong khe hẹp giữa hai bản phẳng song song

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

- Khe hẹp nên có thể bỏ qua ảnh hưởng của lực khối, khi đó: psr = p (ápsuất thực của chất lỏng)

- Tấm phẳng rộng vô cùng nên có thể bỏ qua ảnh hưởng của các biên theo

phương z Đồng thời, vì xem chất lỏng chuyển động dừng nên từ (5.19) suy ra:

b Dòng chảy trong hình nêm

Trong các ổ đỡ hay các ổ trượt, một trọng tải lớn được nâng lên nhờ một lớpdầu rất mảnh mà không làm cho lớp dầu này bị phá huỷ Xét dòng chảy trong khehẹp giữa hai bản phẳng: bản trên đặt nằm ngang, chuyển động với vận tốc Urkhông đổi; bản dưới đứng yên, tạo với bản trên một góc α (Hình 5.3).

y

x

Hình 5.3 Dòng chảy trong hình nêm

Khi bản trên chuyển động với vận tốc Ur

, trong khe hở xuất hiện gradient ápsuất cục bộ Một cách gần đúng, ta có thể giải bài toán dựa trên giả thiết: dòngchất lỏng ở tại một tiết diện ngang bất kỳ trong khe có thể xem là dòng Couette-Poiseuille (bài toán Couette)

Áp dụng công thức tính vận tốc (5-23) cho tiết diện có bề dàyδx, chiều rộngmột đơn vị, ta có lưu lượng trong tiết diện này được tính:

- Lực tác dụng của dầu lên tấm phẳng chuyển động có thể đạt giá trị rất lớn

Ví dụ, dầu có độ nhớt µ= 10 poazơ; U = 1m/s; chiều dài L = 10cm; chiều

dàyδ2 = 10−4m; độ nghiêng α = 1o, do đó δ1= 1,85.10 m3 , ta có lực tác dụng lên

lên tấm có chiều rộng một đơn vị là P = 2,2.104 N/m

c Khe hẹp tròn, dòng chảy dọc trục giữa hai trụ tròn đồng tâm

Xét dòng chảy dọc trục trong khe hẹp giữa hai hình trụ tròn đồng tâm có trụcsong song với mặt phẳng nằm ngang (hình 6.8) Chọn trục Ox theo phương dòngchảy Xem chuyển động của chất lỏng là chuyển động dừng Trong trường hợpnày (6.18) trở thành:

Hình 5.4 Dòng chảy dọc trục giữa hai trụ tròn đồng tâm

Dòng đối xứng qua trục nên ∂ = u 0

Hình 5.5 Dòng chảy tầng hướng kính trong khe hẹp phẳng

Khe hẹp a được tạo bởi đĩa tròn rỗng bán kính trong R1 và tấm phẳng cố địnhđược thể hiện trên hình 5.5

Chất lỏng chảy ở lỗ trong với lưu lượng Q, và tiếp tục chảy theo phươnghướng kính ra ngoài

- Qui luật phân bố vận tốc: Dòng chảy tồn tại do chênh áp suất, vì vậy trên

một tiết diện bất kỳ theo phương hướng kính ta có thể xem dòng chảy thoả mãnbài toán Poizơi (5.27)

Qui luật phân bố vận tốc như sau:

2 Mở rộng phương trình Bernoulli cho chất lỏng thực chuyển động dừng

a Khái niệm về độ dốc thủy lực

Năng lượng toàn phần của dòng chất lỏng tại một tiết diện bất kỳ của dòngnguyên tố được viết:

năng là đường nằm ngang Đối với chất lỏng thực, dọc theo ống dòng luôn có tổnthất năng lượng dọc theo dòng chảy do lực ma sát giữa các lớp lưu chất Do đóđường năng luôn dốc xuống

Hình 5.6 Đường năng của chất lỏng thực chảy trong ống dòng nguyên tố

Hình 5.6 biểu diễn đường năng của dòng chất lỏng thực chảy trong ốngdòng nguyên tố giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2, trong đó hw1 2− là giá trị tổn thất năng

lượng dòng chảy khi chuyển động giữa hai mặt cắt này

b Phương trình Bernoulli dòng nguyên tố chất lỏng thực chuyển động dừng

Xét đoạn ống dòng nguyên tố của chất lỏng thực trên hình 5.6 Gọi hw1 2− là

tổn hao năng lượng của một đơn vị trọng lượng lưu chất để thắng lực ma sát khichuyển động từ mặt cắt 1-1 sang 2-2 Từ hình 5.6 và (5.45) suy ra:

c Mở rộng phương trình Bernoulli cho toàn dòng chất lỏng thực

Việc mở rộng tích phân cho toàn dòng chảy - là tập hợp của các dòngnguyên tố - gặp một số khó khăn do phân bố vận tốc không đều trên mỗi mặt cắtướt, có thành phần vận tốc hướng ngang và ảnh hưởng của lực quán tính ly tâm

Vì vậy, chỉ mở rộng tích phân Bernoulli cho toàn dòng chảy tại các mặt cắt códòng chảy đổi dần, tức là tại đó áp suất thủy động tuân theo quy luật thủy tĩnh:

Gọi dQ là lưu lượng qua một ống dòng nguyên tố thuộc dòng chảy, nằm giữa

hai mặt cắt 1-1 và 2-2 có diện tích ướt tương ứng là S S1, 2

Gọi Q là lưu lượng toàn dòng chảy, nằm giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2

Sử dụng tích phân (5.46) cho dòng nguyên tố tại hai mặt cắt nói trên:

u dS K

Xét dòng chảy dừng Nếu khối chất lỏng đang xét được bao quanh bởi mặt

bên S b do các đường dòng tạo nên; mặt cắt ướt S 1 ở lối vào và S 2 ở lối ra thìphương trình biến thiên động lượng sẽ là:

IV MỘT SỐ VÍ DỤ ỨNG DỤNG

Hình 5.5 Tia nước đập vào lòng máng giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2

Ví dụ 1.

Lòng máng nhẵn nằm giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2 được gắn chặt lên xe

chuyển động với vận tốc không đổi Ur

trên đường thẳng không ma sát nằm

ngang (hình 5.5) Tia nước chảy ra khỏi miệng van với vận tốc không đổi Vrcùng phương cùng chiều với Ur

đập vào lòng máng Tính lực FrR

cần tác dụngvào xe để duy trì chuyển động ban đầu của xe Bỏ qua trong lực của khối nướctrên máng

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Thể tích lưu chất khảo sát là khối lưu chất

có độ dày A nằm trên lòng máng, được giới hạn bởi mặt 1-1 và 2-2 nằm ở hai vịtrí đầu và cuối của máng Tại các mặt giới hạn này, vận tốc tương ứng của lưuchất là Vr 1

- Trọng lực: bỏ qua

- Lực ma sát giữa lòng máng và lớp biên của dòng lưu chất: bỏ qua

- Lực cản của không khí: bỏ qua

Phương trình biến thiên động lượng cho dòng chảy là khối lưu chất khảosát:

Rx Ry

Một ống sắt cacbon đường kính D được hàn nối với một đọan ống cong ¼

vòng tròn cùng đường kính, bán kính cong R Vị trí của mối hàn tại mặt cắt 1-1

Vận tốc nước chảy trong ống là V và lưu lượng nước chảy trong ống là Q Khối lượng của đọan ống cong là M Tính lực tác dụng vào mối hàn khi đọan ống

thẳng được đặt ở vị trí thẳng đứng (hình 5.6)

Giải:

Gọi F Fx, y là các thành phần hình chiếu của lực tác dụng vào mối hàn

F Fwx, wy là các thành phần hình chiếu tổng lực của nước tác dụng vào

đọan ống cong

P e là trọng lượng của đoạn ống cong

1/ Tính lực của nước tác dụng vào đoạn ống cong

Khảo sát khối lưu chất giới hạn bởi đọan ống cong 900.Các ngọai lực tácdụng vào thể tích lưu chất khảo sát gồm:

Hình 5.6 Tính lực tác dụng vào mối hàn 1-1

- Trọng lượng của khối lưu chất khảo sát P rw

có phương thẳng đứng, hướng từtrên xuống, độ lớn:

A = π là diện tích tiết diện ngang của ống dẫn

- Lực tác dụng của đoạn ống cong vào khối lưu chất khảo sát Frew

Theo địnhluật 1 của Newton, ta có:

- Áp lực của lưu chất tại hai đầu đọan ống cong tác dụng vào khối lưu chấtkhảo sát Áp lực này được tính theo áp suất dư tại hai đầu đọan ống nên chỉ cóthành phần áp lực từ dưới lên trên Độ lớn:

2/ Tính lực tác dụng vào mối hàn:

Tổng các lực tác dụng vào đọan ống cong: trọng lựợng của ống Pre

, lực củanước tác dụng vào ống Frw

và lực liên kết của mối hàn Fr

Lưu ý: Nếu các giá trị F F x, y mang giá trị (-), điều đó có nghĩa là chiều lựa chọnban đầu ngược với chiều thực tế của thành phần lực tương ứng