Chương 5: Động học chất lỏng thực

Cơ học chất lỏng 107 Chương V ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG THỰC Chương V đề cập đến quy luật chuyển động chất lỏng mối liên hệ với lực nguyên nhân gây chuyển động Tuy nhiên, đối tượng khảo sát chương chất lỏng thực, chất lỏng có độ nhớt khác không I PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT LỎNG THỰC Phương trình vi phân chuyển động viết dạng ứng suất Hình 5.1 Hình 5.1 Xét phân tố chất lỏng thực dạng khối hộp chữ nhật dx, dy, dz (hình 5.1) Chuyển động phân tố đặc trưng thông số động học động lực học sau: r - Vận tốc chuyển động u; ur - Lực khối đơn vị F (X,Y,Z); - Các thành phần ứng suất mặt khối hộp đặc trưng cho lực mặt Sự khác biệt chất lỏng lí tưởng chất lỏng thực thể trạng thái chịu ứng suất Đối với chất lỏng lí tưởng, ứng suất tác dụng phương pháp tuyến, áp suất thuỷ động lòng chất lỏng lí tưởng có hướng vuông góc với mặt tác dụng Đối với chất lỏng thực, thành phần ứng suất pháp có thành phần ứng suất phương tiếp tuyến τ sinh 107 Cơ học chất lỏng 108 tính nhớt Do đó, áp suất thuỷ động lòng chất lỏng nhớt không hướng vuông góc với mặt tác dụng Các thành phần ứng suất nằm ba mặt tương ứng song song với mặt hệ toạ độ Oxyz là: σ xx τ xy τ xz τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz Chiếu lực tác dụng lên phân tố chất lỏng lên trục Ox, ta có: - Lực mặt: ∂τ yx  ∂σ xx    ( σ + dx ) dydz − σ dydz + ( τ + dy ) dxdz − τ dxdz xx xx yx yx  +   ∂x ∂ y   ∂τ ∂τ ∂τ     ∂σ +  (τ zx + zx dz )dydx − τ zx dydx  =  xx + yx + zx ÷dxdydz ∂z ∂y ∂z     ∂x -Nguyên lý D’Alamber cho hệ tập chất điểm: r r r ∑ Fke + R qt =  k r qt r  r re ∑ mo ( Fk ) + M o =  k đó, r Fke ngọai lực lực quán tính tác dụng vào phân tố chất điểm thứ k; r R qt véctơ hệ lực quán tính, r M o qt r r R qt = ∑ Rkqt k mômen hệ lực quán tính điểm (hay tâm) O, r r r M oqt = ∑ mo ( Fkqt ) k Lực khối: Gọi lực khối đơn vị tác dụng lên phân tố chất lỏng theo phương Ox, Oy, Oz X, Y, Z 108 Cơ học chất lỏng 109 Xem tập hợp phân tử chất lỏng hệ chất điểm Xét phương Ox, theo nguyên lý D’Alamber ta có: ∂τ  ∂σ ∂τ  du ρ X dxdydz +  xx + yx + zx ÷dxdydz = ρ x dxdydz ∂y ∂z  dt  ∂x ∂τ  ∂σ ∂τ  du ⇔ ρ X +  xx + yx + zx ÷ = ρ x ∂y ∂z  dt  ∂x Hòan tòan tương tự cho phương Oy Oz, cuối ta nhận hệ phương trình vi phân chuyển động chất lỏng thực viết dạng ứng suất sau: ∂τ  ∂σ ∂τ  du ρ X +  xx + yx + zx ÷ = ρ x ∂y ∂z  dt  ∂x ∂σ ∂τ  du  ∂τ ρY +  xy + yy + zy ÷ = ρ y ∂y ∂z  dt  ∂x (5.1) ∂τ  ∂τ ∂σ  du ρ Z +  xz + yz + zz ÷ = ρ z ∂y ∂z  dt  ∂x Phương trình vi phân chuyển động chất lỏng thực Navier-stokes Hệ phương trình vi phân chuyển động chất lỏng thực Navier-Stokes xây dựng từ hệ phương trình vi phân chuyển động viết dạng ứng suất, sử dụng số giả thiết ứng suất mở rộng giả thiết Newton lực nhớt không gian Mở rộng giả thiết Newton lực nhớt: Giả thiết Newton lực nhớt dòng chất lỏng chuyển động chiều: τ =µ ∂u ∂y Ứng suất tiếp gây tính nhớt tỷ lệ với vận tốc biến dạng góc tương ứng, trường chuyển động không gian, giả thiết Newton lực nhớt viết: 109 Cơ học chất lỏng 110   ∂u y ∂u x  + τ xy = τ yx = µε xy = µ  ÷ ∂ x ∂ y      ∂u z ∂u x  + τ zx = τ xz = 2µε zx = µ  ÷ ∂ x ∂z      ∂u ∂u  τ yz = τ zy = 2µε yz = µ  y + z ÷ ∂y    ∂z (5.2) Ứng suất pháp: Trong lòng chất lỏng thực, giá trị ứng suất pháp điểm khác theo phương khác nhau, σ xx ≠ σ yy ≠ σ zz , nhiên: σ xx + σ yy + σ zz = const với x, y, z ba phương chọn vuông góc với đôi Do xem độ lớn áp suất p điểm trung bình cộng giá trị ứng suất lên ba mặt vuông góc với đôi qua điểm đó: p = − (σ xx + σ yy + σ zz ) Dấu (-) chọn chiều dương ứng suất pháp chiều kéo dãn phân tố chất lỏng, ngược chiều với chiều áp suất pháp tuyến hướng vào phân tố Giá trị ứng suất pháp tính theo giá trị áp suất điểm sau: ∂u x r − µ div(u ) ∂x ∂u r σ yy = − p + µ y − µ div(u ) ∂y ∂u r σ xx = − p + µ z − µ.div(u ) ∂z σ xx = − p + 2µ (5.3) Phương trình Navier-Stokes Thay (5.2) (5.3) vào hệ phương trình (5.1), với giả thiết hệ số nhớt chất lỏng không đổi, ta nhận hệ phương trình Navier-Stokes: 110 Cơ học chất lỏng 111 r  du x  ∂ 2u x ∂ u x ∂ u x  ∂ ∂p = X − + v + + + v ( divu )   2 ÷ dt ρ ∂ x ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x     du r  ∂ 2u y ∂ u y ∂ u y  ∂ ∂p  y =Y − + v  + + ÷ + v ( divu )  ÷ ∂y dt ρ ∂ y ∂ x ∂ y ∂ z     2 r  du z = Z − ∂p + v  ∂ u z + ∂ u z + ∂ u z ÷+ v ∂ (divu )  dt ρ ∂z ∂y ∂z  ∂z  ∂x (5.4) Viết hệ phương trình (5-4) dạng vectơ: r r r du ur r r = F − grad ( p ) + v∆u + vgrad (div (u )) dt ρ Ở đây, (5.5) ∂2 ∂2 ∂2 ∆ = + + tóan tử Laplace ∂x ∂y ∂z Một số trường hợp riêng: r1) Đối với chất lỏng không nén được, div(u ) = , nên phương trình (5.5) trở thành: r r du ur r = F − grad ( p ) + v∆u dt ρ (5.6) 2) Đối với chất lỏng lý tưởng, ν = , hệ phương trình (5.6) trở hệ phương trình vi phân chuyển động Euler cho chất lỏng lý tưởng: r du ur r = F − grad ( p ) dt ρ (5.7) r r  du  = ÷, ta nhận lại 3) Trường hợp tĩnh ( u = 0); dòng chảy đều,   dt  phương trình vi phân cân Euler: ur r F − grad ( p ) = ρ (5.8) Xét ống dòng mà độ cong bỏ qua Chiếu (5.5) lên trục Ox Ox2 nằm mặt phẳng vuông góc với vectơ vận tốc vectơ gia tốc dòng chảy, ta có: ∂p du   = ρ  F1 − ÷+ v∆u1 ∂x1 dt   111 (5.9) Cơ học chất lỏng 112 ∂p du   = ρ  F2 − ÷+ v∆u2 ∂x2 dt   (5.10) Theo phương vuông góc với đường dòng vận tốc gia tốc không, nên phương trình (5.9) (5.10) trở thành: ∂p = ρ F1 ∂x1 ∂p = ρ F2 ∂x2 Vậy, tiết diện ướt áp suất phân bố theo qui luật thuỷ tĩnh II TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Phương trình Navier-Stokes phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nên việc giải phương trình khó khăn Trong trường hợp tổng quát, người ta dùng phương pháp số để giải Ở phần trình bày lời giải giải tích phương trình Navier-Stokes số trường hợp đơn giản chuyển động chiều chất lỏng không nén Dòng chảy dừng chiều Xét dòng chất lỏng thực không nén Về nguyên tắc, dựa vào hệ phương trình Navier-Stokes dạng (5-6) tìm nghiệm hàm vận tốc áp suất dòng chảy r Nếu trường lực F tác dụng lên dòng chất lỏng ta đưa vào hàm U cho: ur r F = − grad (U ) đó, chất lỏng thực không nén được, từ (5-6) ta có: r r r  du  = − grad ( p + ρU ) + v∆u ρ  dt r div(u ) =  (5.11) ur ur Trong trường hợp lực khối lực trọng trường, ta có F = − g ⇒ U = gz Do hệ phương trình (5.11) viết cho dòng chất lỏng thực không nén là: 112 Cơ học chất lỏng 113 r r r  du = − grad ( p ) + v ∆ u  sr ρ  dt div(ur ) =  (5.12) đó, psr = p + ρ gz (5.13) gọi áp suất suy rộng Trường hợp dòng chiều Dòng chảy gọi dòng chiều điểm dòng chảy, vectơ vận tốc có thành phần: r u (u x ,0,0), (u y = u z = 0) (5.14) đường dòng đường thẳng song song r Chọn phương Ox trùng với phương vận tốc Kết hợp (5.14) (5.11), div(u ) = , suy ra: ∂u x =0 ∂x (5.15) nghĩa u=u(y,z,t) Thay (5-14) (5-15) vào (5-12), ta nhận hệ phương trình vi phân chuyển động chiều chất lỏng thực không nén sau:  ∂u x  ∂ 2u x ∂ 2u x  ∂psr =− + µ + ÷ ρ ∂x ∂z   ∂t  ∂y   ∂psr = ∂psr =  ∂y ∂z (5.16) Trong phương trình thứ (5.16), thành phần đạo hàm riêng r u không phụ thuộc vào biến x, nên ∂p ∂x không phụ thuộc vào x Mặt khác, phương trình thứ hai hệ (5.16) chứng tỏ áp suất toàn phần không đổi mặt phẳng vuông góc với trục Ox p độc lập với y z Do suy ra:  ∂ 2u x ∂ 2u x ∂psr = µ + ∂x ∂z  ∂y Nếu dòng dừng, ta có: 113  ∂u x = C( t) ÷− ρ ∂ t  (5.18) Cơ học chất lỏng 114  ∂ 2u ∂ 2u  dp µ  + ÷= = C0 = const ∂ y ∂ z dx   (5.19) Từ (5.19) ta thấy độ chênh áp suất đoạn dòng chảy có chiều dài l ∆ p ta có: ∆psr dpsr = = C0 l dx (5.20) Các kết ứng dụng cho tóan xác định vận tốc, áp suất, vận tốc trung bình, lưu lượng, tính tổn thất lượng dòng chảy tầng qua khe hẹp Ở đây, trình bày số ứng dụng kết ví dụ ứng dụng tích phân hệ phương trình (5.4) a Dòng chảy tầng khe hẹp hai phẳng song song Xét dòng chiều chất lỏng không nén được, chuyển động dừng chảy hai phẳng song song rộng vô cách khoảng δ (hình 5.2) r Bản phẳng cố định, phẳng chuyển động thẳng với vận tốc U Hình 5.2 Dòng chảy tầng khe hẹp hai phẳng song song Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ - Khe hẹp nên bỏ qua ảnh hưởng lực khối, đó: psr = p (áp suất thực chất lỏng) - Tấm phẳng rộng vô nên bỏ qua ảnh hưởng biên theo phương z Đồng thời, xem chất lỏng chuyển động dừng nên từ (5.19) suy ra: ∂ 2u ∂p = ∂y µ ∂x đó: (5.21) dp ∆p = = const dx l Suy ra: ux = dp y + C1 y + C2 µ dx Với điều kiện biên: 114 (5.22) Cơ học chất lỏng 115 y = → u =  y = δ → u =U phương trình (5.22) trở thành: ux = U ∆p y− (δ y − y ) δ 2µ l (5.23) Trong (5.23), phân làm hai trường hợp sau: a/ Nếu ∆p = , dòng chảy khe hẹp dòng chảy tầng ma sát l (bài toán Couette) Khi đó: - Phân bố vận tốc: ux = - Phân bố ứng suất tiếp: τ =µ U y δ (5.24) du x U =µ dy δ (5.25) - Nếu phẳng có diện tích S lực ma sát tác dụng vào phẳng là: Fms = τ S = µ U S δ (5.26) Có thể sử dụng kết việc nghiên cứu độ nhớt chất lỏng b/ Nếu U=0, dòng chảy khe hẹp dòng chảy tầng chênh lệch áp suất (bài toán Poazơi) Trong trường hợp hàm phân bố vận tốc trở thành: ux = − ∆p (δ y − y ) 2µ l (5.27) b Dòng chảy hình nêm Trong ổ đỡ hay ổ trượt, trọng tải lớn nâng lên nhờ lớp dầu mảnh mà không làm cho lớp dầu bị phá huỷ Xét dòng chảy khe r hẹp hai phẳng: đặt nằm ngang, chuyển động với vận tốc U không đổi; đứng yên, tạo với góc α (Hình 5.3) y 115 x Cơ học chất lỏng 116 Hình 5.3 Dòng chảy hình nêm r Khi chuyển động với vận tốc U , khe hở xuất gradient áp suất cục Một cách gần đúng, ta giải toán dựa giả thiết: dòng chất lỏng tiết diện ngang khe xem dòng CouettePoiseuille (bài toán Couette) Áp dụng công thức tính vận tốc (5-23) cho tiết diện có bề dày δ x , chiều rộng đơn vị, ta có lưu lượng tiết diện tính: δx q = ∫ udy = Uδ x dp − δx 12µ dx δ x = δ1 − x.tg (α ) Với góc nghiêng bé, ta có: δ x ≈ δ1 − xα , phân bố áp suất theo phương Ox là: dp µU 12 µ q = − dx (δ1 − α x) (δ1 − α x)3 hay: p= µU 6µ q − +C α (δ1 − α x) α (δ1 − α x) (5.28) Hai số q C xác định từ điều kiện biên: x = x = L áp suất p=po, đó: q= U δ1δ δ1 + δ C = po − 6µU 6µ q + αδ1 αδ12 (5.29) (5.30) Thay (5.29) (5.30) vào (5.28) ta được: p = po + µU (δ1 − δ ) ( L − x ) x L ( δ1 + δ ) (δ1 − α x) (5.31) Từ qui luật phân bố áp suất, ta xác định áp lực chất lỏng tác dụng lên phẳng chuyển động rộng đơn vị: 116 Cơ học chất lỏng 117 L P = ∫ ( p − po ) dx 6µUL2  k −1 P= ln k − ÷  δ (k − 1)  k +1 k = (5.32) δ1 δ2 k −1  C p =  ln k − ÷ k +  hệ số lực nâng, ta có:  Gọi 6µUL2 P= Cp δ (k − 1)2 (5.33) Nhận xét: - Từ phân bố vận tốc, ta xác định lực cản chất lỏng tác dụng lên phẳng chuyển động - Lực tác dụng dầu lên phẳng chuyển động đạt giá trị lớn Ví dụ, dầu có độ nhớt µ = 10 poazơ; U = 1m/s; chiều dài L = 10cm; chiều dày δ = 10 −4 m; độ nghiêng α = 1o , δ1 = 1,85.103 m , ta có lực tác dụng lên lên có chiều rộng đơn vị P = 2,2.104 N/m c Khe hẹp tròn, dòng chảy dọc trục hai trụ tròn đồng tâm Xét dòng chảy dọc trục khe hẹp hai hình trụ tròn đồng tâm có trục song song với mặt phẳng nằm ngang (hình 6.8) Chọn trục Ox theo phương dòng chảy Xem chuyển động chất lỏng chuyển động dừng Trong trường hợp (6.18) trở thành: ∂ 2u ∂ 2u dp + = ∂y ∂z µ dx (5.34) Chuyển (5.34) qua hệ trục tọa độ trụ, x = x; y = r cos ϕ ; z = r sin ϕ , ta được: ∂ 2u ∂u ∂ 2u dp + + = ∂r r ∂r r ∂ϕ µ dx 117 (5.35) Cơ học chất lỏng 118 Hình 5.4 Dòng chảy dọc trục hai trụ tròn đồng tâm Dòng đối xứng qua trục nên ∂u = , phương trình (5.35) trở thành: ∂ϕ ∂ 2u ∂u dp + = ∂r r ∂r µ dx Hay (5.36) d  ∂u  dp  r ÷= r dr  ∂r  µ dx Suy ra: u= dp r + C1 ln r + C2 µ dx (5.37) Với điều kiện biên: r = R1 → u =  r = R2 → u = ta có: −1 dp  ( R22 − R12 )ln(r / R1 )  u=  r − R1 −  µ dx  ln( R2 / R1 )  (5.38) Trên đoạn ống dài l áp suất chất lỏng thay đổi lượng ∆p Sử dụng (5.20) cho (5.38) ta có: ∆p  ( R22 − R12 )ln(r / R1 )  u=  r − R1 −  4µ l  ln( R2 / R1 )  d Dòng chảy tầng hướng kính khe hẹp phẳng r 118 (5.39) Cơ học chất lỏng 119 Hình 5.5 Dòng chảy tầng hướng kính khe hẹp phẳng Khe hẹp a tạo đĩa tròn rỗng bán kính R phẳng cố định thể hình 5.5 Chất lỏng chảy lỗ với lưu lượng Q, tiếp tục chảy theo phương hướng kính - Qui luật phân bố vận tốc: Dòng chảy tồn chênh áp suất, tiết diện theo phương hướng kính ta xem dòng chảy thoả mãn toán Poizơi (5.27) Qui luật phân bố vận tốc sau: u=− dp (ay − y ) µ dr (5.40) - Vận tốc trung bình tiết diện: V= Q a dp =− 2π 12 µ dr (5.41) - Phân bố áp suất: Từ (5.41) suy dp 6µQ µQ =− ⇔ p=C − ln r dr π π a3 Với điều kiện biên r = R2 → p = p2 = pn , suy ra: p − pn = µQ ln( R2 / r ) π a3 (5.42) Độ chênh áp suất đầu cuối dòng chảy: r = R1 → p = p1 r = R2 → p = pn (5.43) Do đó, ∆p = p1 − pn = 6µQ ln( R2 / R1 ) π a3 (5.44) Kết ứng dụng tính toán thiết kế hệ thống cung cấp dầu kỹ thuật thuỷ lực khí nén; tính toán thiết kế lọc dầu, lọc nhiên liệu động đốt 119 Cơ học chất lỏng 120 Mở rộng phương trình Bernoulli cho chất lỏng thực chuyển động dừng a Khái niệm độ dốc thủy lực Năng lượng toàn phần dòng chất lỏng tiết diện dòng nguyên tố viết: p u2 e=z+ + γ 2g (5.45) đó, e biểu diễn độ cao cột chất lỏng so với bậc chuẩn Sử dụng khái niệm đường chương III: đường biểu diễn thay đổi lượng toàn phần e đơn vị trọng lượng chất lỏng dọc theo dòng chảy Đối với chất lỏng lý tưởng chuyển động dừng, e bảo tòan nên đường đường nằm ngang Đối với chất lỏng thực, dọc theo ống dòng có tổn thất lượng dọc theo dòng chảy lực ma sát lớp lưu chất Do đường dốc xuống Hình 5.6 Đường chất lỏng thực chảy ống dòng nguyên tố Hình 5.6 biểu diễn đường dòng chất lỏng thực chảy ống dòng nguyên tố hai mặt cắt 1-1 2-2, hw1−2 giá trị tổn thất lượng dòng chảy chuyển động hai mặt cắt b Phương trình Bernoulli dòng nguyên tố chất lỏng thực chuyển động dừng 120 Cơ học chất lỏng 121 Xét đoạn ống dòng nguyên tố chất lỏng thực hình 5.6 Gọi hw1−2 tổn hao lượng đơn vị trọng lượng lưu chất để thắng lực ma sát chuyển động từ mặt cắt 1-1 sang 2-2 Từ hình 5.6 (5.45) suy ra: p1 u12 p2 u22 z1 + + = z2 + + + hw1−2 γ 2g γ 2g (5.46) Đây phương trình Bernoulli cho chất lỏng thực không nén được, đồng chất, chuyển động dừng ống dòng nguyên tố trường trọng lực hai tiết diện ướt 1-1 2-2 c Mở rộng phương trình Bernoulli cho toàn dòng chất lỏng thực Việc mở rộng tích phân cho toàn dòng chảy - tập hợp dòng nguyên tố - gặp số khó khăn phân bố vận tốc không mặt cắt ướt, có thành phần vận tốc hướng ngang ảnh hưởng lực quán tính ly tâm Vì vậy, mở rộng tích phân Bernoulli cho toàn dòng chảy mặt cắt có dòng chảy đổi dần, tức áp suất thủy động tuân theo quy luật thủy tĩnh: Z + p = const γ Xét đọan dòng chảy giới hạn hai mặt cắt 1-1 2-2 cho hai mặt cắt dòng chảy đổi dần Gọi dQ lưu lượng qua ống dòng nguyên tố thuộc dòng chảy, nằm hai mặt cắt 1-1 2-2 có diện tích ướt tương ứng S1 , S2 Gọi Q lưu lượng toàn dòng chảy, nằm hai mặt cắt 1-1 2-2 Sử dụng tích phân (5.46) cho dòng nguyên tố hai mặt cắt nói trên: p1 u12 p2 u22 z1 + + = z2 + + +h γ 2g γ 2g w    p u2  p u2 ⇔  z1 + + ÷γ dQ =  z2 + + + hw ÷γ dQ γ 2g  γ 2g    Hay:   p1  u12 p2  u22 ∫  z1 + γ ÷γ dQ + S∫ g γ dQ = S∫  z2 + γ ÷γ dQ + S∫ gγ dQ + S∫ hwγ dQ (5.47) S1  2 Vì Z + 121 p = const nên γ Cơ học chất lỏng 122  ∫  z + S1  p1  p  γ dQ =  z1 + ÷γ Q ÷ γ  γ     p  p  ∫S  z2 + γ2 ÷γ dQ =  z2 + γ2 ÷ γ Q (5.48) Thay hw tổn thất lượng trung bình đọan ống dòng 1-1 2-2, ta được: ∫ h γ dQ = h γ Q w (5.49) w S2 Các đại lượng dạng ∫ S u2 u2 u2 u3 γ dQ = ∫ ρ dQ = ∫ dm = ρ ∫ dS tổng 2g 2 S S S động tòan dòng chảy mặt cắt S tính theo vận tốc thực tế Ký hiệu: u2 u3 K t = ρ ∫ dQ = ρ ∫ dS 2 S S (5.50) Gọi V vận tốc trung bình dòng chảy mặt cắt S Động dòng chảy mặt cắt S tính theo vận tốc trung bình là: K tb = V2 V3 1 dm = ρ dS = ρ V S = ρV 2Q ∫S ∫S 2 (5.51) Gọi α tỉ số động thực động trung bình dòng chảy S, ta có: ∫ u dS α= Kt S = K tb V Q (5.52) α gọi hệ số hiệu chỉnh động Như vậy: u2 αV ∫S g γ dQ = Kt = α Ktb = g γ Q Thay (5.48)(5.49)(5.53) vào (5.47) biến đổi ta được: 122 (5.53) Cơ học chất lỏng 123 p1 α1V12 p2 α 2V22 z1 + + = z2 + + + hw γ 2g γ 2g (5.54) Đây phương trình Bernoulli cho tòan dòng chảy chất lỏng thực không nén được, chuyển động dừng trường trọng lực Khi sử dụng (5.54) cần lưu ý: - Tại hai mặt cắt 1-1 2-2 dòng chảy đổi dần, đọan dòng chảy hai mặt cắt này, dòng chảy không thiết đổi dần - Có thể tùy ý chọn điểm 1-1, 2-2 để viết (5.54), nhiên nên chọn điểm có phương trình đơn giản - Áp suất p1 p2 phải lọai (cùng áp suất dư, áp suất tuyệt đối,…) Lấy độ cao điểm phải tính áp suất điểm - Hệ số α > Xét xác α1 ≠ α , nhiên tính tóan 1-1 2-2 đủ gần lấy α1 ; α - Trong (5.54), z, p, V thuộc hai mặt cắt xét, hw lại thuộc đọan dòng chảy hai mặt cắt III ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG CHO DÒNG CHẤT LỎNG THỰC CHUYỂN ĐỘNG DỪNG Xét dòng chảy dừng Nếu khối chất lỏng xét bao quanh mặt bên Sb đường dòng tạo nên; mặt cắt ướt S1 lối vào S2 lối phương trình biến thiên động lượng là: r r r rr r rr ρ u ( u n ) dS + ρ u ( u n ) dS = R + R ∑ m ∑ s ∫∫ ∫∫ S1 (5.55) S2 r r R , R ∑ m ∑ s tổng lực khối lực mặt tác dụng vào khối lưu chất đọan ống dòng khảo sát Nếu thay thành phần động lượng giây (5.55) động lượng giây tính theo vận tốc trung bình Ksv K sv = ∫∫ ρV dS = ρV S S (5.56) viết dạng véctơ: r r rr r K sv = ∫∫ ρV (V n )dS = ρ QV S (5.57) phải nhân thêm vào Ksv hệ hiệu chỉnh động lượng β : 123 Cơ học chất lỏng 124 ∫ ρu dS β= S K vs u = ∫∫  ÷ dS S S V  (5.58) (để tính β bạn đọc tham khảo thêm cách thiết lập công thức (4.18) (4.19) chương IV) Sử dụng vận tốc trung bình lưu chất mặt cắt ướt, phương trình biến thiên động lượng cho dòng chảy thực là: r r r r ρ Q( β 2V2 − β1V1 ) = ∑ Rm + ∑ Rs (5.59) đó, Vi vận tốc trung bình mặt cắt i; βi hệ số hiệu chỉnh động lượng ∑ r ∑ r Rm + Rs tổng mặt cắt i; i=1 ứng với đầu vào, i=2 ứng với đầu ra; ngoại lực (lực khối lực mặt) tác dụng lên thể tích lưu chất khảo sát giới hạn đoạn dòng chảy nằm mặt 1-1 2-2 IV MỘT SỐ VÍ DỤ ỨNG DỤNG Hình 5.5 Tia nước đập vào lòng máng hai mặt cắt 1-1 2-2 Ví dụ Lòng máng nhẵn nằm hai mặt cắt 1-1 2-2 gắn chặt lên xe r chuyển động với vận tốc không đổi U đường thẳng không ma sát nằm r ngang (hình 5.5) Tia nước chảy khỏi miệng van với vận tốc không đổi V r r phương chiều với U đập vào lòng máng Tính lực FR cần tác dụng vào xe để trì chuyển động ban đầu xe Bỏ qua lực khối nước máng Giải: 124 Cơ học chất lỏng 125 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Thể tích lưu chất khảo sát khối lưu chất có độ dày A nằm lòng máng, giới hạn mặt 1-1 2-2 nằm hai vị trí đầu cuối máng Tại mặt giới hạn này, vận tốc tương ứng lưu r r chất V1 V2 Ngọai lực tác dụng vào thể tíchr khảo sát: - Tổng phản lực máng F , có phương chiều độ lớn r phương chiều độ lớn FR - Trọng lực: bỏ qua - Lực ma sát lòng máng lớp biên dòng lưu chất: bỏ qua - Lực cản không khí: bỏ qua Phương trình biến thiên động lượng cho dòng chảy khối lưu chất khảo sát: r r r ρ Q( β 2V2 − β1V1 ) = FR (1) Q = ρ A(V − U ) (2) Gần đúng, chọn β1 = β = Chiếu phương trình (1) r lên trục Ox, Oy tính thành phần hình chiếu tương ứng FR : ρ (V − U ) A[(V − U )cos β − (V − U )] = − FRx ρ (V − U ) A[(V − U )sin β − (0)] = FRy  FRx = ρ A(V − U ) (1 − cos β ) ⇔  FRy = ρ A(V − U ) sin β Ví dụ Một ống sắt cacbon đường kính D hàn nối với đọan ống cong ¼ vòng tròn đường kính, bán kính cong R Vị trí mối hàn mặt cắt 1-1 Vận tốc nước chảy ống V lưu lượng nước chảy ống Q Khối lượng đọan ống cong M Tính lực tác dụng vào mối hàn đọan ống thẳng đặt vị trí thẳng đứng (hình 5.6) Giải: Gọi Fx , Fy thành phần hình chiếu lực tác dụng vào mối hàn 125 Cơ học chất lỏng 126 Fwx , Fwy thành phần hình chiếu tổng lực nước tác dụng vào đọan ống cong Pe trọng lượng đoạn ống cong 1/ Tính lực nước tác dụng vào đoạn ống cong Khảo sát khối lưu chất giới hạn đọan ống cong 90 Các ngọai lực tác dụng vào thể tích lưu chất khảo sát gồm: Hình 5.6 Tính lực tác dụng vào mối hàn 1-1 r - Trọng lượng khối lưu chất khảo sát Pw có phương thẳng đứng, hướng từ xuống, độ lớn: Pw ≈ γ AL = γ A(π R / 2) π Pw = γ AR A = (3) π D2 diện tích tiết diện ngang ống dẫn r - Lực tác dụng đoạn ống cong vào khối lưu chất khảo sát Few Theo định luật Newton, ta có: Fewx = − Fwx Fewy = − Fwy 126 (4) Cơ học chất lỏng 127 - Áp lực lưu chất hai đầu đọan ống cong tác dụng vào khối lưu chất khảo sát Áp lực tính theo áp suất dư hai đầu đọan ống nên có thành phần áp lực từ lên Độ lớn: P1 = p1 A , (5) phương thẳng đứng, hướng từ lên - Lực ma sát thành ống: bỏ qua Phương trình biến thiên động lượng cho dòng chảy khối lưu chất khảo sát: r r r r r ρ Q( β 2V2 − β1V1 ) = Pw + Few + P1 (6) Gần đúng, chọn β1 = β = Độ lớn vận tốc hai mặt giới hạn: V1 = V2 = V = Q A (7) Chiếu (6) lên trục Ox Oy, kết hợp với (3)(4)(5)(7) ta được:  Fewx = − ρV A   Fewy = ρV A + p1 A − Pw Do đó, lực nước tác dụng vào ống cong:  Fwx = ρV A   Fwy = − ρV A − p1 A + Pw 2/ Tính lực tác dụng vào mối hàn: r Tổng lực tác dụng vào đọan ống cong: trọng lựợng ống Pe , lực r r nước tác dụng vào ống Fw lực liên kết mối hàn F r r r r ⇒ Pe + Fw + F =  Fx = ρV A ⇔  Fy = Pe − ρV A − p1 A + Pw Lưu ý: Nếu giá trị Fx , Fy mang giá trị (-), điều có nghĩa chiều lựa chọn ban đầu ngược với chiều thực tế thành phần lực tương ứng 127 [...]... nhiên liệu trên động cơ đốt trong 119 Cơ học chất lỏng 120 2 Mở rộng phương trình Bernoulli cho chất lỏng thực chuyển động dừng a Khái niệm về độ dốc thủy lực Năng lượng toàn phần của dòng chất lỏng tại một tiết diện bất kỳ của dòng nguyên tố được viết: p u2 e=z+ + γ 2g (5.45) trong đó, e có thể được biểu diễn bằng độ cao cột chất lỏng so với một... chương III: đường biểu diễn sự thay đổi năng lượng toàn phần e của một đơn vị trọng lượng chất lỏng dọc theo dòng chảy Đối với chất lỏng lý tưởng chuyển động dừng, e được bảo tòan nên đường năng là đường nằm ngang Đối với chất lỏng thực, dọc theo ống dòng luôn có tổn thất năng lượng dọc theo dòng chảy do lực ma sát giữa các lớp lưu chất Do đó đường năng luôn dốc xuống Hình 5.6 Đường năng của chất lỏng. .. xuống Hình 5.6 Đường năng của chất lỏng thực chảy trong ống dòng nguyên tố Hình 5.6 biểu diễn đường năng của dòng chất lỏng thực chảy trong ống dòng nguyên tố giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2, trong đó hw1−2 là giá trị tổn thất năng lượng dòng chảy khi chuyển động giữa hai mặt cắt này b Phương trình Bernoulli dòng nguyên tố chất lỏng thực chuyển động dừng 120 Cơ học chất lỏng 121 ... Xét đoạn ống dòng nguyên tố của chất lỏng thực trên hình 5.6 Gọi hw1−2 là tổn hao năng lượng của một đơn vị trọng lượng lưu chất để thắng lực ma sát khi chuyển động từ mặt cắt 1-1 sang 2-2 Từ hình 5.6 và (5.45) suy ra: p1 u12 p2 u22 z1 + + = z2 + + + hw1−2 γ 2g γ 2g (5.46) Đây là phương trình Bernoulli cho chất lỏng thực không nén được, đồng chất, chuyển động dừng trong một ống dòng nguyên tố... gọi là hệ số hiệu chỉnh động năng Như vậy: u2 αV 2 ∫S 2 g γ dQ = Kt = α Ktb = 2 g γ Q Thay (5.48)(5.49)(5.53) vào (5.47) và biến đổi ta được: 122 (5.53) Cơ học chất lỏng 123 p1 α1V12 p2 α 2V22 z1 + + = z2 + + + hw γ 2g γ 2g (5.54) Đây chính là phương trình Bernoulli cho tòan dòng chảy của chất lỏng thực không nén được, chuyển động dừng trong trường... đang xét, còn hw lại thuộc về đọan dòng chảy giữa hai mặt cắt này III ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG CHO DÒNG CHẤT LỎNG THỰC CHUYỂN ĐỘNG DỪNG Xét dòng chảy dừng Nếu khối chất lỏng đang xét được bao quanh bởi mặt bên Sb do các đường dòng tạo nên; mặt cắt ướt S1 ở lối vào và S2 ở lối ra thì phương trình biến thiên động lượng sẽ là: r r r rr r rr ρ u ( u n ) dS + ρ u ( u n ) dS = R + R ∑ m ∑ s ∫∫ ∫∫ S1... ngang (hình 6.8) Chọn trục Ox theo phương dòng chảy Xem chuyển động của chất lỏng là chuyển động dừng Trong trường hợp này (6.18) trở thành: ∂ 2u ∂ 2u 1 dp + = ∂y 2 ∂z 2 µ dx (5.34) Chuyển (5.34) qua hệ trục tọa độ trụ, x = x; y = r cos ϕ ; z = r sin ϕ , ta được: ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u 1 dp + + = ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2 µ dx 117 (5.35) Cơ học chất lỏng 118 Hình... khối và lực mặt tác dụng vào khối lưu chất trong đọan ống dòng đang khảo sát Nếu thay thành phần động lượng giây trong (5.55) bằng động lượng giây tính theo vận tốc trung bình Ksv K sv = ∫∫ ρV 2 dS = ρV 2 S S (5.56) hoặc viết dưới dạng véctơ: r r rr r K sv = ∫∫ ρV (V n )dS = ρ QV S (5.57) thì phải nhân thêm vào Ksv một hệ hiệu chỉnh động lượng β : 123 Cơ học chất lỏng 124 ... trì chuyển động ban đầu của xe Bỏ qua trong lực của khối nước trên máng Giải: 124 Cơ học chất lỏng 125 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Thể tích lưu chất khảo sát là khối lưu chất có độ dày A nằm trên lòng máng, được giới hạn bởi mặt 1-1 và 2-2 nằm ở hai vị trí đầu và cuối của máng Tại các mặt giới hạn này, vận tốc tương ứng của lưu r r chất là V1...Cơ học chất lỏng 117 L P = ∫ ( p − po ) dx 0 6µUL2  k −1 P= 2 ln k − 2 ÷ 2  δ 2 (k − 1)  k +1 trong đó k = (5.32) δ1 δ2 k −1  C p =  ln k − 2 ÷ k + 1  là hệ số lực nâng, ta có:  Gọi 6µUL2 P= 2 Cp δ 2 (k − 1)2 (5.33) Nhận xét: - Từ phân bố vận tốc, ta có thể xác định được lực cản do chất lỏng tác dụng lên tấm phẳng chuyển động - Lực