Chương 6: Trạng thái chuyển động và tổn thất năng lượng của dòng chảy

- Trạng thái chảy mà trong đó các phần tử chất lỏng chuyển động thành từng lớp riêng lẻ không xáo trộn vào nhau gọi là trạng thái chảy tầng.. - Trạng thái chảy mà trong đó các phần tử ch

Chương 6

TRẠNG THÁI CHUYỂN ĐỘNG VÀ TỔN THẤT

NĂNG LƯỢNG DÒNG CHẢY

A TRẠNG THÁI CHUYỂN ĐỘNG

I Thí nghiệm của Reynolds

Thiết bị thí nghiệm gồm có thùng A có hai ngăn được dùng để chứa nước và duy trì độ sâu của nước luôn không đổi trong suốt quá trình thí nghiệm Ống thủy tinh T có đường kính không đổi gắn vào thùng A T có miệng loe ra để cho nước chảy vào thuận dòng Cuối ống T có gắn khoá K1

để điều chỉnh lưu lượng trong ống Thùng B được dùng để đo lưu lượng nước Phía trên bình A là bình C chứa nước màu có γnướcmàu = γnước C nối với A bởi một đường ống có gắn khoá K2

Hình 6.1 Thí nghiệm Reynolds

Mở khóa K1 bé để dòng chảy trong ống có vận tốc nhỏ Khi dòng chảy

ổn định ta mở khóa K2 cho nước màu chảy vào ống Quan sát ống thủy tinh

T ta thấy một vệt màu căng thẳng như sợi chỉ dọc theo ống Điều này chứng tỏ nước và nước màu không hòa trộn với nhau, nếu tiếp tục mở khóa

K1 thì hiện tượng trên vẫn tồn tại trong một khoảng thời gian nữa Khi mở khóa K1 đến một giới hạn nhất định thì vệt màu bắt đầu dao động dạng hình sóng Tiếp tục mở khóa K1 thì vệt màu đứt đoạn và cuối cùng trộn đều vào dòng nước không màu

- Trạng thái chảy mà trong đó các phần tử chất lỏng chuyển động thành từng lớp riêng lẻ không xáo trộn vào nhau gọi là trạng thái chảy tầng

- Trạng thái chảy mà trong đó các phần tử chất lỏng chuyển động hỗn loạn, trộn lẫn vào nhau gọi là trạng thái chảy rối

- Nếu làm thí nghiệm theo chiều ngược lại thì dòng chảy sẽ chuyển từ chảy rối qua chảy tầng

- Trạng thái chảy quá độ từ tầng sang rối hoặc rối sang tầng gọi là trạng thái chảy phân giới

Ở trạng thái chảy tầng, nếu tăng dần tốc độ dòng chảy thì ở vận tốc t

fg

V

sẽ hình thành quá trình chuyển trạng thái chảy từ chảy tầng sang chảy rối Vận tốc t

fg

V được gọi là vận tốc phân giới trên

Thực hiện ngược lại, ở trạng thái chảy rối, nếu giảm dần tốc độ dòng giá trị vận tốc V sẽ hình thành quá trình chuyển trạng thái chảy từ chảy fg d

rối sang chảy tầng Vận tốc V được gọi là vận tốc phân giới dưới fg d

Hình 6.2 Các trạng thái chảy của chất lỏng

Thực nghiệm cho thấy các giá trị phân giới phụ thuộc vào lọai chất lỏng cũng như phụ thuộc vào đường kíng ống dẫn, tuy nhiên V fg t >V fg d cho mọi chất lỏng và mọi loại ống

II Tiêu chuẩn phân biệt trạng thái chảy

Để phân biệt trạng thái chảy của dòng lưu chất Reynolds đã đưa ra đại lượng không thứ nguyên Re, được gọi là hệ số Reynolds:

Re=Vd

ν

trong đó:

V là vận tốc trung bình của lưu chất (m/s);

D là đường kính ống dẫn lưu chất (m);

ν là hệ số nhớt động học của lưu chất (m2/s)

Nếu ta gọi V và fg t d

fg

V là vận tốc phân giới trên và vận tốc phân giới dưới thì các giá trị Re ứng với các vận tốc này cũng được gọi là trị số Reynolds phân giới trên và phân giới dưới, được xác định như sau:

Re .

t fg t

fg

V d

= ν

Re .

d fg d

fg

V d

= ν

Thí nghiệm cho thấy rằng:

- Khi Re Re< d fg chất lỏng chuyển động ở trạng thái chảy tầng;

- Khi Re Re> t fg chất lỏng chuyển động ở trạng thái chảy rối;

- Khi Red fg <Re Re< t fg chất lỏng chảy ở trạng thái chảy quá độ (có thể

là chảy tầng hoặc chảy rối);

- Giá trị Ret fgthường dao động trong khoảng 12.000-50.000 Ngược lại,

Red

fg luôn ổn định: Red 2320

fg = cho mọi loại chất lỏng và không phụ thuộc vào đường kính ống dẫn

Vì Red fg luôn ổn định, do đó người ta dùng hệ số Reynolds phân giới dưới Red fg làm tiêu chuẩn để phân biệt trạng thái chảy:

Khi Re<2320 dòng chất lỏng chuyển động ở trạng thái chảy tầng; Khi Re>2320 dòng chất lỏng chuyển động ở trạng thái chảy rối.

Khi dòng chất lỏng chuyển động trong kênh thì trị số Reynolds được xác định như sau:

Re=VR

ν

trong đó R là bán kính thủy lực.

B TỔN THẤT NĂNG LƯỢNG DÒNG CHẢY

I Phân loại tổn thất năng lượng

Dòng chất lỏng thực chuyển động bao giờ cũng sinh ra tổn thất năng lượng Trong phương trình Bernoulli, đại lượng h phản ánh tổn thất năng w

lượng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng thực khi chuyển động từ mặt cắt này tới mặt cắt khác Có rất nhiều yếu tố ảnh hưởng tới h :

- Lực ma sát nhớt gây ra trong nội bộ dòng chảy hoặc giữa dòng lưu chất và thành rắn của ống hoặc kênh

- Sự thay đổi tiết diện dòng chảy hoặc thay đổi hướng chuyển động của dòng chảy một cách đột ngột

- Sự thay đổi trạng thái của dòng chảy

Nếu dựa vào nguyên nhân phát sinh tổn thất, có thể chia tổn thất năng

lượng thành hai loại: tổn thất năng lượng dọc đường (h d) và tổn thất năng

lượng cục bộ (h c)

n m

w di cj

i j

=∑ +∑ (6.1)

1

:

n

di

i

h

=

∑ tổng các tổn thất năng lượng dọc đường trên cả chiều dài đang xét

1

:

m

cj

j

h

=

∑ tổng tổn thất năng lượng cục bộ trên đoạn dòng chảy đang xét

1 Tổn thất dọc đường h d

Tổn thất dọc đường sinh ra do sự xuất hiện lực nội ma sát (ứng suất

tiếp) khi có sự chuyển động tương đối giữa các lớp chất lỏng với nhau hoặc giữa dòng lưu chất và thành rắn trên toàn bộ chiều dài dòng chảy

Thực nghiệm cho thấy h d phụ thuộc vào trạng thái chảy

Thí nghiệm trên một ống tròn có đường kính d không đổi được đặt nằm ngang Lấy một đoạn ống dài l giới hạn bởi hai mặt cắt (1-1) và ( 2-2)

Lấy mặt chuẩn trùng với trục ống Viết phương trình Bernoulli cho đoạn dòng chảy giữa hai mặt cắt (1-1) và (2-2):

ở đây, z 1 = z 2 = 0; v 1 = v 2 ; α1 = α2 , h w = h d, do đó :

d 1 2

p p

h = −

tức là cột nước tổn thất h d được đo bằng độ lệch của hai ống đo áp, thí

nghiệm với nhiều cấp lưu lượng Q i khác nhau ta được nhiều cặp V i và h di

tương ứng được biểu diễn trên hình 6.3

Đường OABCD biểu diễn quan hệ h d – V trong quá trình chuyển từ

chảy tầng sang chảy rối Đường DCAO biểu diễn quan hệ ngược lại: từ rối sang tầng

- Khi V V< fg d dòng chảy ở trạng thái chảy tầng Đoạn tuyến tính OA biểu diễn hai quá trình chuyển đổi ngược nhau: quá trình chuyển từ chảy tầng sang chảy rối và ngược lại, quá trình chuyển từ chảy rối sang chảy tầng

Hình 6.3 Thí nghiệm xây dựng đặc tính h d – V

Ở trạng thái chảy tầng ứng với đoạn OA, h d tỷ lệ bậc nhất với vận tốc:

h d = K 1 V

K 1 là hệ số tỷ lệ

- Khi V V> fg t dòng chảy ở trạng thái chảy rối Đoạn cong bậc m,

1< <m 2, CD, biểu diễn hai quá trình trùng nhau: chuyển từ chảy tầng sang chảy rối và ngược lại, chuyển từ chảy rối sang chảy tầng Trên đoạn này:

2 m

d

h =K V

K 2 là hệ số tỷ lệ

- Khi V fg d ≤ ≤V V fg t đường biểu diễn hai quá trình không trùng nhau Với quá trình chuyển từ chảy tầng sang chảy rối, trong giới hạn này vẫn là

chảy tầng, được biểu diễn bởi đoạn thẳng AB có h d tỷ lệ bậc nhất với vận

tốc V và có cùng độ dốc với độ dốc của đoạn OA Khi V V> fg t , quan hệ trên

đột ngột chuyển sang quan hệ bậc m, 1< <m 2 Trong quá trình ngược lại, dòng chảy chuyển từ trạng thái chảy rối sang chảy tầng, cũng trong giới hạn trên nhưng dòng chảy lại ở trạng thái chảy rối Đường cong CA biểu diễn quá trình này có phương trình dạng:

trong đó 1< <n 2 nhưng n<m

2 n d

h =K V

Quá trình AB không bền vững nên trong thực tế ở khu vực này cả hai

qua trình h d tỷ lệ bậc n<2 với vận tốc V.

2 Tổn thất cục bộ h c

Tổn thất cục bộ sinh ra ở những nơi cá biệt, ở đó dòng chảy bị thay đổi

đột ngột, chẳng hạn dòng chảy bị biến dạng đột ngột như ống mở rộng hoặc thu hẹp đột ngột, ống dẫn bị uốn cong, chuyển hướng đột ngột, ống phân nhánh, nơi có các vật cản như van, khóa

II Tổn thất dọc đường

1 Dòng chất lỏng chảy đều

a Xây dựng phương trình

Đối với dòng chảy đều, tổn thất năng lượng chỉ là tổn thất dọc đường

Trong phần này chúng ta đi tìm mối quan hệ giữa tổn thất dọc đường h d

với lực ma sát trong dòng chảy đều

Xét một đoạn ống dẫn chất lỏng chảy đều dài l giới hạn bởi hai mặt

cắt 1-1 và 2-2 như hình 6.4

Gọi ω là diện tích mặt cắt ướt trong dòng chảy đều, ω = const dọc

theo dòng chảy Áp dụng phương trình Bernoulli cho đoạn dòng chảy (1-1)

và (2-2), lấy mặt chuẩn 0-0 Ở đây tổn thất h w chỉ có h d, như vậy ta có:

Dòng chảy đều nên V1 =V2;α α1= 2, phương trình trên trở thành:

1 2

 γ   γ  (6.2)

p 1 , p 2 : áp suất của dòng chất lỏng tại mặt cắt 1-1 và 2-2;

z 1 , z 2: cao độ từ mặt chuẩn chọn trước đến mặt cắt 1-1 va 2-2

Ngoại lực tác dụng lên khối chất lỏng của đoạn dòng chảy gồm: trọng

lực Gr, lực ma sát Fr, áp lực Pr1 và Pr2 tại các mặt cắt ướt 1-1 và 2-2, và phản lực Nr của thành ống vào khối lưu chất giữa hai mặt cắt này

Xem khối chất lỏng chảy đều trong ống được giới hạn bởi các mặt cắt 1-1 và 2-2 như là một tập hợp các chất điểm chuyển động đều Áp dụng nguyên lý D’Alamber cho cơ hệ này ta có:

Hình 6.4 Khảo sát dòng chất lỏng thực chảy đều trong ống tròn.

G F P Pur ur ur uur uur r+ + + + =1 2 N 0, (6.3)

Trong (6.3) có thể phân ra thành hai nhóm lực:

- Lực khối: chỉ là trọng lực Gr của khối chất lỏng chuyển động đều trong ống, không có quán tính Độ lớn:

G = ωγl

Thành phần hình chiếu của Gr lên phương của trục dòng chảy có độ lớn:

G ’ = ωγlcosθ

- Lực mặt gồm:

o Áp lực của chất lỏng Pr1 và Pr2 tại các mặt cắt 1-1 và 2-2 tác dụng vào khối chất lỏng nằm giữa hai mặt cắt này Độ lớn:

1 1

P p

P p

=

=

ω ω

trong đó p 1 , p 2 là áp suất thủy động trung bình tại hai mặt cắt ướt đang xét

1

Pr và Pr2 song song với trục dòng chảy và hướng vào đoạn dòng chảy giữa 1-1 và 2-2

o Tổng áp lực thủy động Nr tác dụng lên mặt xung quanh của khối

chất lỏng đang xét Nr vuông góc với trục dòng chảy nên thành phần hình chiếu lên phương chuyển động bằng không

o Lực ma sát Fr: Ứng suất tiếp đơn vị τ0 biểu thị lực ma sát trên một đơn vị diện tích của mặt thành ống hoặc kênh, τ0 có chiều ngược với chiều dòng chảy Gọi χ là chu vi ướt, độ lớn của lực ma sát được xác định như sau:

F =τ χ0 l

Chiếu (6.3) lên phương chuyển động, ta có:

ω γl cosθ τ χ− 0 l+ p1ω− p2ω =0

Mặt khác, vì cos z1 z2

l

−

=

θ nên suy ra:

l

−

Hay

0 1

γ

(6.4)

trong đó, R= ω

χ là bán kính thuỷ lực.

Từ (6.2) và (6.4) suy ra:

0 R h d

l

= γ

τ

Trong dòng chảy đều tổn thất cột nước chỉ là tổn thất dọc đường h d, do

đó nếu gọi J là tổn thất dọc đường tính cho một đơn vị chiều dài ống dẫn:

h d h w

J

l l

thì ta có:

τ0 =R Jγ (6.5)

b Trạng thái chảy tầng trong ống tròn

b1 Sự phân bố ứng suất tiếp τ:

Xét dòng chảy tầng trong ống tròn thẳng bán kính r 0

Hình 6.5 Biểu đồ ứng suất tiếp

Thay bán kính thuỷ lực

2

0

r r R

r

χ π vào (6.5), ta được:

0

2

r J

=

Ứng suất tiếp tại lớp r r< 0 sẽ là:

2

r J

=

τ γ (6.6)

Do đó:

0

0

r r

=

τ τ (6.7)

Phương trình (6.7) cho ta quy luật phân bố ứng suất tiếp trong dòng

chảy tầng Nếu r = 0 (tức ở tâm ống) thì τ = 0, nếu r = r 0 thì τ=τ0

Với kênh hở thì τ=τ0 ở đáy và τ = 0 ở mặt thoáng

b2 Sự phân bố lưu tốc dòng chảy tầng trong ống:

Áp dụng công thức tính ứng suất tiếp τ của Newton cho dòng chảy tầng trong ống ta được:

du du dr

dr

µ

Dấu (-) do sự biến thiên ngược chiều nhau giữa u và r Mặt khác, theo (6.6)

ta có

2

r J

=

τ γ , do đó:

2

2 2 4

J

du rdr

J

J

= −

⇒ = −

∫

γ µ γ µ γ µ

Khi r r= → =0 u 0, suy ra 02

4

J

C = γ r

µ Do đó:

( 2 2)

0

4

J

u=γ r −r

Ở đây, r là khoảng cách từ tâm ống đến lớp chất lỏng đang xét;

u là lưu tốc lớp chất lỏng cách đường tâm một khỏang r.

Biểu đồ phân bố vận tốc u = f r( ) được thể hiện trên hình 6.6

Hình 6.6 Biểu đồ vận tốc của chất lỏng chảy tầng trong ống tròn.

Tại lớp biên: r= r 0 thì u = 0; tại tâm ống: r = 0 thì u = umax

max 02

4

J

u = γ r

µ (6.8)

Như vậy ta có phương trình biểu diễn sự thay đổi lưu tốc trong ống:

2 max

0

u u

r

 

  (6.9)

Ta có thể đi tìm mối quan hệ giữa lưu tốc umax và vận tốc trung bình mặt cắt như sau:

0

0

r

ud u rdr urdr Q

V

Kết hợp với (7.9):

max

0 0

2 0

r

r

r V

r

Do đó:

2

1

J

V = u = γ r

µ (6.10)

4 0

8

Jr

Q V= ω = πγ

µ (6.11)

b3 Tổn thất dọc đường dòng chảy tầng trong ống tròn:

Từ (6.10) suy ra:

2

32

d

= µ γ

Mặt khác h d =Jl, do đó:

2

2

32 32

d

d

h lV

d

h lV

gd

=

=

µ γ

ν (6.12)

trong đó ν = =µ µg

ρ γ là hệ số nhớt động học của chất lỏng trong ống.

Như vậy với đoạn ống cho trước có đường kính không thay đổi, chất lỏng ở nhiệt độ không thay đổi (ν =const) thì tổn thất dọc đường tỷ lệ bậc nhất với vận tốc trung bình

Từ (6.12) ta có:

2 2

2

2

64

d

d

l V

h lV

Vd

l V h

d g

=

ν

ν

64

Re

=

λ (6.13)

ta sẽ có:

2

2

d

l V h

d g

=λ (6.14) Nếu viết theo bán kính thuỷ lực R d= / 4 thì:

2

4 2

d

l V h

R g

=λ (6.15)

λ là hệ số không thứ nguyên phụ thuộc vào trạng thái chảy của chất lỏng, được gọi là hệ số ma sát

Công thức (6.14) được gọi là công thức Darcy (do Darcy tìm ra vào năm 1856), được sử dụng để tính tổn thất dọc đường của dòng chảy tầng trong ống tròn

b4 Hệ số điều chỉnh động năng và động lượng:

Trong phương trình Bernoulli viết cho toàn dòng chất lỏng thực chuyển động ổn định ta, hệ số điều chỉnh động năng được tính:

3

3

u d V

ω

ω α

ω (6.16)

Thay u và V từ các biểu thức trên ta được α =2

Tương tự ta tính được hệ số điều chỉnh động lượng:

2 2

4 3

u d V

β

ω (6.17)

3 Chảy rối trong ống tròn

a Sự quá độ từ chảy tầng sang chảy rối

Khi trị số Re Re> d fg =2320 thì dòng chảy bắt đầu chuyền từ chảy tầng sang chảy rối Quá trình chuyển từ chảy tầng sang chảy rối là quá trình hình thành, phát triển và di chuyển các xoáy từ tầng này sang tầng khác Những yếu tố sau đây ảnh hưởng đến sự hình thành các xoáy:

- Gradient lưu tốc du

dy

Khi du

dy = 0, nghĩa là lưu tốc ở các lớp bằng nhau nên không tạo ra các

tâm xoáy

Khi du

dy tăng lên thì sự chênh lệch lưu tốc giữa các lớp cũng tăng theo

và do đó dẫn đến sự hình thành các tâm xoáy là cơ sở tạo ra các xoáy

- Khối lượng đơn vị của chất lỏng và độ nhớt của chất lỏng: Khi

chất lỏng bắt đầu xáo trộn, nếu khối lượng riêng càng lớn thì càng dễ hình thành xoáy do chúng dễ di chuyển từ lớp này qua lớp khác Còn đối với tính nhớt thì vừa là nguyên nhân tạo ra xoáy vừa làm cản trở phát triển của xoáy

- Sự kích động từ bên ngoài: Sự kích động này làm cho các đường

dòng bị lay động, tạo ra các lớp chất lỏng lượn sóng (hình 6.7), là nguyên

nhân tạo ra các tâm xoáy: Tại vị trí 1 và 3 đường dòng gần nhau nên lưu tốc tăng lên và áp suất

Hình 6.17 Sự tạo thành và phát triển các điểm xoáy

giảm xuống Tại vị trí 2 và 4 các đường dòng xa nhau hơn do đó lưu tốc giảm, áp suất tăng lên làm xuất hiện ngẫu lực thúc đẩy sự tạo thành và phát triển các điểm xoáy (1) và (2) Điều này giải thích rõ vì sao bước quá độ từ chảy tầng sang chảy rối lại thay đổi tuỳ thuộc vào mức độ yên tĩnh của dòng chảy

b Phân bố vận tốc trong dòng chảy rối

b1 Lớp mỏng chảy tầng:

Khi số Reynolds càng lớn thì sự xáo trộn trong dòng chảy càng lớn

Tuy nhiên mức độ xáo trộn này phân bố không đồng đều trên toàn dòng chảy Trong dòng chảy rối vẫn tồn tại một lớp biên mỏng δt chảy tầng ở sát thành ống, ở đó các phần tử chất lỏng chuyển động theo từng lớp trong vùng lớp biên Tiếp giáp với lớp biên chảy tầng này là lõi chảy rối