chương 2 thủy tĩnh học

Các loại lực tác dụng lên lưu chất - ứng suất Trong việc thiết lập các phương trình cân bằng tĩnh học ở chương này và các phương trình vi phân động học và động lực học trong các chương

Chương 2 THỦY TĨNH HỌC

Thủy tĩnh học nghiên cứu các tính chất và các quy luật liên quan tới trạng thái cân bằng của chất lỏng Trong trạng thái này không có chuyển động tương đối giữa các phần tử chất lỏng nên không có ảnh hưởng của tính nhớt tới trạng thái cân bằng của khối chất lỏng khảo sát và do đó những kết luận về thủy tĩnh đều đúng cho chất lỏng thực cũng như chất lỏng lý tưởng

I Các loại lực tác dụng lên lưu chất - ứng suất

Trong việc thiết lập các phương trình cân bằng tĩnh học ở chương này (và các phương trình vi phân động học và động lực học trong các chương sau) ta thường vận dụng các định luật cơ học để khảo sát, theo đó lực liên kết và ngoại lực là các đại lượng ảnh hưởng trực tiếp tới trạng thái hiện hữu của chất lỏng Để tiện trong việc khảo sát ta phân các lực tác dụng vào khối chất lỏng khảo sát

thành hai nhóm: lực khối lượng (gọi tắt là lực khối) và lực bề mặt (gọi tắt là lực mặt).

1 Lực khối

Lực khối là lực tác dụng lên từng phần tử khối lượng chất lỏng.

Lực khối tỷ lệ với khối lượng của khối chất lỏng.

Nếu chất lỏng là đồng chất, có khối lượng riêng là hằng số trong toàn bộ thể tích khảo sát thì

lực khối sẽ tỷ lệ với thể tích, và do đó lực khối còn được gọi là lực thể tích

Trong cơ học lưu chất ta thường gặp lực khối là trọng lực, lực quán tính, lực điện trường…

2 Lực mặt: Lực mặt là lực tác dụng lên mặt ngoài

của khối chất lỏng đang xét (hình 2.1).

Lực mặt tỷ lệ với diện tích.

Lực mặt có thể được phân ra làm hai loại:

- Áp lực - hay còn được gọi là lực pháp tuyến - là

lực mặt thẳng góc với mặt tác dụng

lực mặt tiếp xúc với mặt tác dụng

3 Định nghĩa ứng suất

Xét một phân tố diện tích bề mặt δA cuả một một khối chất lỏng khảo sát trên hình 2.1 Gọi

δF là lực tác dụng lên phân tố δF được phân thành hai thành phần, δF n là thành phần lực pháp tuyến và δF t là thành phần lực tiếp tuyến:

δ

δσ

δ

→

= 0

lim t A

F A

δ

δ τ

Xét khối chất lỏng tĩnh W cân bằng Khi W chịu tác động từ bên ngoài, chẳng hạn tải trọng hoặc sự thay đổi nhiệt độ… thì trong nội bộ khối chất lỏng xuất hiện ứng suất, được gọi là áp suất thủy tĩnh

Xét phần mặt phẳng có diện tích ω Gọi Fr là hợp lực tác dụng vào ω Vì chất lỏng là một

môi trường liên tục nên áp suất trung bình và áp suất tại một điểm được định nghĩa như sau:

- Áp suất thủy tĩnh trung bình:

tb F

r r

ω (2.1) Trên ω, phân tố diện tích ∆ ω chịu tác dụng một lực F∆r

- Áp suất tại một điểm được định nghĩa:

(2-2) Ðơn vị áp suất: N/m2 , at, atm …

(bạn đọc có thể tra cứu thêm trong phụ lục)

2 C á c tính chất của áp suất thủy tĩnh

vào Aδ

Hình 2.2 Áp suất thủy tĩnh

F F∆

2 Tính chất 2 Trị số cuả áp suất thủy tĩnh tại một điểm theo mọi phương đều bằng nhau

Chứng minh

Xét một phân tố thể tích hình tứ diện có các cạnh dx, dy, dz là các vô cùng bé trong khối chất

lỏng tĩnh đồng chất có khối lượng riêng ρ Mặt nghiêng ABC có vector pháp tuyến đơn vị là nr với

các cosin chỉ hướng là cos(nr,x), cos(nr,y) và cos(nr,z)

Áp suất tác dụng lên các mặt bên và mặt nghiêng lần lượt là p p p p r r r rx, y, ,z n Từ tính chất 1 suy

ra các thành phần áp suất này vuông góc và hướng vào các mặt tương ứng của tứ diện.

Gọi ( , , )F X Y Zr là lực khối đơn vị (là lực khối tác dụng vào một đơn vị khối lượng của chất lỏng)

III PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN

1 Hệ phương trình vi phân cân bằng Euler

a Xây dựng hệ phương trình Euler

Xét một phân tố vi phân hình hộp dW có các cạnh δ x , δ y , δ z song song với các trục toạ độ

của hệ trục OXYZ (hình 2.4) trong khối chất lỏng tĩnh, đồng chất, có khối lượng riêng ρ.

Gọi p là áp suất tại trọng tâm M của hình hộp; ( , , ) F X Y Zr là lực khối đơn vị tác dụng lên khối chất lỏng khảo sát

Hình 2.3

Khối vi phân dW cân bằng dưới tác dụng của tổng các lực khối

để tính áp suất trên các mặt của khối hộp theo áp suất p tại tâm điểm M, ta cần phải lưu ý:

- M là tâm của khối hộp nên gia số khoảng cách (đo theo các trục tọa độ) của các mặt của dW

so với tâm M sẽ là dx = ±δ x / 2; dy = ±δ y / 2; dz = ±δ z / 2

- Phân tố dW có kích thước vô cùng bé nên áp suất trên các mặt được lấy gần đúng bằng áp

suất tại tâm của các hình chữ nhật tương ứng

Chiếu (2.3) lên các trục tọa độ ta đươc phương trình vi phân cân bằng của dW Cụ thể như sau:

Hình 2.4 Cân bằng của phân tố dW

Y

Theo phương Ox:

101

010

p X

x p Y

y p Z

Hệ phương trình (2.5) hoặc (2.6) được gọi là hệ phương trìng Euler

b Tích phân hệ phương trình Euler

là công cơ học của lực ( , , )F X Y Zr trên dịch chuyển dS dx dy dz r ( , , )

Nếu tồn tại hàm π thỏa mãn:

2 Mặt đẳng áp

Khái niệm: Mặt đẳng áp là mặt có áp suất thủy tĩnh tại mọi điểm trên đó đều bằng nhau.

Trên mặt đẳng áp p = const, do đó dp = 0 (2.12a)

Kết hợp (2.9a) và (2.12a) suy ra phương trình vi phân mặt đẳng áp: Xdx Ydy Zdz + + = 0(2.12b)

Các tính chất cuả mặt đẳng áp:

Tính chất 1: Hai mặt đẳng áp khác nhau không thể cắt nhau.

Thật vậy, nếu chúng cắt nhau thì tại giao điểm, áp suất thủy tĩnh có những trị số khác nhau, điều đó trái với tính chất 2 của áp suất thủy tĩnh

Tính chất 2: Lực khối lượng tác dụng lên mặt đẳng áp thẳng góc với mặt đẳng áp.

Thật vậy, xét mặt đẳng áp S chịu tác dụng một lực khối F X Y Z r ( , , ) Vi phân cung ( , , )

dS dx dy dz r thuộc S có các hình chiếu lên ba trục tọa độ là dx, dy, dz (hình 2.5) Vì dSr thuộc mặt đẳng áp S nên các hình chiếu dx dy dz, , phải thỏa (2.12b ):

Hình 2.5

IV SỰ CÂN BẰNG CHẤT LỎNG TRỌNG LỰC

1 Phương trình cơ bản của chất lỏng trọng lực ở trạng thái cân bằng

Nếu lực khối tác dụng vào chất lỏng chỉ là lực trọng trường thì chất lỏng được gọi là chất lỏng trọng lực.

Xét khối chất lỏng trọng lực cân bằng

Chọn hệ trục tọa độ vuông góc có trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướng lên trên

Các thành phần cuả lực khối đơn vị:

Các phương trình (2.15), (2.16) và (2.17) là các phương trình cơ bản của thủy tĩnh Với các

phương trình trên ta thấy áp suất tại những điểm cùng ở một độ sâu trong cùng một loại chất lỏng

Mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực

Từ phương trình cơ bản của thủy tĩnh suy ra khi z = const thì p=const Vậy mặt đẳng áp của

chất lỏng trọng lực là những mặt phẳng song song, cùng thẳng góc với trục Oz Nói cách khác, mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực là những mặt phẳng nằm ngang Mặt thoáng của chất lỏng, ở đó áp

H được gọi là cột nước thủy tĩnh.

Vậy, trong chất lỏng trọng lực tĩnh cân bằng, cột nước thủy tĩnh của tất cả các điểm đều là một hằng số

b Ý nghĩa năng lượng

z được gọi là vị năng đơn vị

p

h =

γ được gọi là áp năng đơn vị.

H được gọi là thế năng đơn vị

Vậy phương trình cơ bản của thủy tĩnh cho thấy: trong chất lỏng trọng lực tĩnh cân bằng, thế năng đơn vị của tất cả các điểm là một hằng số.

Lưu ý:

Các phương trình (2.15), (2.16), (2.17) chỉ đúng cho lưu chất là chất lỏng trọng lực ở trạng thái

tĩnh, cân bằng; khối lượng riêng là hằng số trong toàn khối

Đối với một số trường hợp khác:

g

z z p

trong đó: z và z 0 là cao độ từ mặt chuẩn đến điểm khảo sát và đến điểm cho trước theo phương

thẳng đứng; p và p là áp suất tại z và z0 0 ;

- Đối với lưu chất không đẳng nhiệt

Ví dụ đối với bầu khí quyển, sự thay đổi nhiệt độ trong bầu khí quyển là giảm dần theo chiều

cao và tuyến tính trong từng tầng (hình 2.7a):

Hình 2.7a Nhiệt độ khí quyển thay đổi theo độ cao

Hình 2.7b Áp suất khí quyển thay

đổi theo độ cao

Từ phương trình cơ bản của chất lỏng trọng lực tĩnh ta chứng minh được:

1 2

h h

4 Định luật Pascal

Phát biểu: Ðộ biến thiên của áp suất thủy tĩnh trên mặt giới hạn một thể tích chất lỏng cho

trước được truyền đi nguyên vẹn đến tất cả các điểm trong thể tích chất lỏng đó.

Hình 2.9a Định luật Pascal

Khi một lực F nhỏ tác dụng lên đòn bẩy sẽ tạo lực F 1 tác dụng lên piston 1 Lực F 1 tạo ra áp

suất p 1 ở xi lanh 1

Theo định luật Pascal, áp

suất tại xi lanh 2 cũng là p 1 Áp suất p 1 tác dụng vào xi lanh 2 sẽ tạo ra lực đẩy F 2 cho piston 2

Trong đó, d 1 và d 2 là đường kính các piston 1 và 2

Thông thường d2 >d1 nên F2 ? F1 và do đó cơ cấu này thường được sử dụng cho thiết bị ép hoặc thiết bị nâng chuyển, chẳng hạn máy ép, con đội thủy lực, cần cẩu

V ĐO ÁP SUẤT VÀ BIỂU ĐỒ PHÂN BỐ ÁP SUẤT THỦY TĨNH

Trong phần này trình bày những ứng dụng cụ thể phương trình cơ bản của chất lỏng trọng lực

tĩnh trong các dạng (2.15)(2.16) và (2.17)

1 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư và áp suất chân không

Xét áp suất tại điểm M trên hình 2.10:

- Áp suất tuyệt đối

p tuyệt = p 0 + γh M (2.24)

Vế phải cuả (2.24) có thể viết:

0 0

Áp suất dư còn được gọi là áp suất tương đối, hay áp suất đồng hồ

Nếu áp suất tại mặt thoáng là áp suất khí quyển p0 = p a thì p dư =γh M

số dương, còn áp suất dư có thể dương hoặc âm:

p dư > 0 khi p tuyệt > p a

p dư < 0 khi p tuyệt < p a

chân không tuyệt đối (p tuyệt =0; p ckMax =p a )

h

a

p

- Áp suất chân không

Trong trường hợp áp suất dư có giá trị âm (nghĩa là p tuyệt < p a) thì ta thường sử dụng áp suất chân không để biểu diễn giá trị áp suất tại điểm khảo sát Hiệu số của áp suất khí quyển và áp suất tuyệt đối được gọi là áp suất chân không:

p ck = p a - p tuyệt (2.26)

Lưu ý:

o Nói đến áp suất chân không có nghĩa là áp suất tuyệt đối tại điểm khảo sát nhỏ hơn áp suất không khí chứ không có nghĩa là không còn phần tử vật chất nào, tức là không đồng nhất với khái niệm chân không tuyệt đối

o Áp suất chân không lớn nhất: p ckMax = p a (p tuyệt = 0, hình2.10) ứng với trạng thái chân

không tuyệt đối

o Khi p 0 = p a thì p dư = γh và áp suất dư tại mặt thoáng p dư = 0.

Để đo áp suất ta cắm một đầu ống sâu tới vị trí cần đo (ví dụ điểm M trên hình 2.10a), đầu để hở

thông với không khí, giữ ống thẳng đứng

có một đầu kín và không thông với khí trời,

ống được hút hết không khí nên áp suất trên

h

a

p

a M h

- Cắm đầu hở của ống tới độ sâu M, ống để thẳng đứng;

Để đo áp suất tại một điểm, ví dụ áp suất tại A trên hình 2.10c, ta cắm một đầu ống vào A Dựa

vào các kích thước a, h sẽ tính được p A Cụ thể như sau:

Áp kế đo chênh (hình 2.11d) được sử dụng khi độ chênh lệch áp suất h∆ quá lớn hoặc quá nhỏ Cấu tạo áp kế đo chênh gồm một ống thủy tinh hình chữ U được khắc độ, trong đó đựng một lượng thích hợp chất lỏng có 'γ khác với γ của chất lỏng cần đo và hai chất lỏng không hòa tan

vào nhau

Hai đầu ống chữ U được nối với những điểm cần đo, ví dụ A và B trên hình 2.11d, bởi những ống nối thông đã được kiểm tra kỹ không còn bọt khí bên trong Thường người ta đặt những khóa R

và R’ ở hai nhánh để xả khí bên trong từng nhánh

Ở trạng thái cân bằng, theo (2.17) ta có:

Nếu ∆h rất lớn, để h’ vẫn nằm trong khuôn khổ cho phép cuả ống chữ U ta sử dụng chất

lỏng có trọng lượng riêng γ’ khá lớn so với γ, thí dụ thủy ngân (γ =' 13,6kg dm/ 3) Như vậy,

nhờ đó gia tăng độ chính xác cho phép đọc h’ trên ống chữ U, và do đó gia tăng độ chính xác của

phép đo Ví dụ có thể dùng chất nitrôbenzen, clorofoocmơ v.v

e Áp kế nghiêng

Hình 2.11e Áp kế nghiêng.

(a)Hình dáng bên ngoài của của một loại áp kế nghêng; (b,c) Sơ đồ nguyên lý

Để tăng độ dài đoạn chỉ thị của áp kế nhằm tăng độ chính xác của phép đọc người ta sử dụng

3 Biểu đồ phân bố áp suất

Phương trình cơ bản của thủy tĩnh chứng tỏ rằng đối với chất lỏng trọng lực trong điều kiện áp

suất tại mặt tự do p 0 cho trước, áp suất p là hàm bậc nhất theo độ sâu h

Ðể đơn giản trong việc trình bày phương pháp, giả thiết p 0 = p a và khi đó p dư = γh

Chọn hệ trục tọa độ có trục h thẳng đứng hướng xuống dưới và trục p đặt nằm ngang Việc biểu diễn bằng đồ thị hàm số (2.15) hoặc (2.16) trong hệ tọa độ nói trên được gọi là xác lập biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh theo đường thẳng đứng.

Trước tiên ta xét đến đường biểu diễn áp suất dư p dư = γh theo đường thẳng đứng Đường biểu

diễn này là một đường thẳng, do đó chỉ cần xác định hai điểm là vẽ được:

(a)

(b)

(c)

Với h = 0 (ở mặt tự do) thì p dư = 0 nên ta có điểm O(0, 0);

Với h = h 1 thì p dư = γh 1 nên ta có điểm A’(h 1 , γh 1 );

Nối và kéo dài OA’ (hình 2.12a).

Tam giác OAA’ với cạnh OA’ nối dài chính là biểu đồ phân bố áp suất dư

Dùng biểu đồ phân bố áp suất dư, ta có thể xác định áp suất dư p tại một điểm có độ sâu h bất

kỳ Muốn có biểu đồ phân bố áp suất tuyệt đối ta chỉ cần tịnh tiến biểu đồ phân bố áp suất dư theo phương ngang theo chiều ngược chiều vector áp suất dư một đoạn p 0 (hình 2.12d)

Chú ý:

1 Ta có thể thay trục nằm ngang p bằng trục , khi đó cả hai trục đều có đơn vị là

độ dài Áp suất lúc đó được biểu thị bằng độ dài cột nước Trong thực tiễn, ta thường vẽ biểu đồ

phân bố với tọa độ như vậy để tính áp lực do đó biểu đồ phân bố này được gọi là biểu đồ áp lực

Lúc đó biểu đồ áp lực dư được biểu diễn bởi hàm số p h

γ = (a) và biểu đồ áp lực tuyệt đối được

biểu diễn bởi hàm số

(b) Cả hai loại (a) và (b) đường thẳng biểu diễn đều có độ dốc bằng 450

2 Do tính chất áp suất tại một điểm thẳng góc với mặt chịu áp lực tại điểm đó nên đồ phân

bố áp suất cũng như đồ áp lực của chất lỏng tác dụng trên một đoạn thẳng bao giờ cũng là một tam giác vuông hoặc hình thang vuông trong tất cả các trường hợp: đoạn thẳng thẳng đứng và đoạn

thẳng nằm nghiêng (hình 2.12a,b,c,d)

3 Để vẽ đồ phân bố áp suất trên đường cong ta phải biểu diễn trị số áp suất tại từng điểm

theo phương trình cơ bản rồi nối lại thành đường cong của đồ thị phân bố (hình 2.12e)

Hình 2.12 biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh

VI CÂN BẰNG CỦA CHẤT LỎNG TRONG BÌNH CHỨA CHUYỂN ĐỘNG

Trong phần này ta nghiên cứu sự cân bằng của chất lỏng trong trường hợp các phần tử chất lỏng không chuyển động tương đối với nhau nhưng cả khối chất lỏng lại chuyển động đối với hệ quy chiếu gắn liền với Trái đất Khi đó cả khối chất lỏng chuyển động như một vật rắn, ta gọi trạng thái đó là trạng thái tĩnh tương đối của chất lỏng; nó xuất hiện khi bình chứa chất lỏng chuyển động với một gia tốc không đổi Lực khối tác dụng vào chất lỏng không chỉ có trọng lực mà còn có lực quán tính

1 Bình chứa chuyển động với gia tốc không đổi

Xét trường hợp bình chứa là khối hộp chữ nhật, gốc tọa độ O được chọn là trọng tâm của mặt

đáy, mặt thoáng khi xe chưa chuyển động có độ cao H so với đáy (hình 2.13) Như vậy, khi xe

chuyển động có gia tốc, mặt thoáng quay quanh điểm A(0,0,H)

Bình chứa chuyển động biến đổi đều theo phương Ox với gia tốc a Mỗi phần tử khối lượng m

của chất lỏng chịu tác dụng của 2 loại lực khối:

- trọng lực G = mg;

- lực quán tính, P = -ma ( ngược với chiều chuyển động).

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, hình chiếu các lực khối lên các trục là:

Phương trình mặt thoáng:

Phương trình của mặt thoáng là phương trình (2.32) đi qua A, nghĩa là C 0 được tìm từ điều kiện

biên: khi x=y=0, thì z=H Suy ra C0 =gH