chương 2 thủy tĩnh học

Chương THỦY TĨNH HỌC Thủy tĩnh học nghiên cứu tính chất quy luật liên quan tới trạng thái cân chất lỏng Trong trạng thái chuyển động tương đối phần tử chất lỏng nên ảnh hưởng tính nhớt tới trạng thái cân khối chất lỏng khảo sát kết luận thủy tĩnh cho chất lỏng thực chất lỏng lý tưởng I Các loại lực tác dụng lên lưu chất - ứng suất Trong việc thiết lập phương trình cân tĩnh học chương (và phương trình vi phân động học động lực học chương sau) ta thường vận dụng định luật học để khảo sát, theo lực liên kết ngoại lực đại lượng ảnh hưởng trực tiếp tới trạng thái hữu chất lỏng Để tiện việc khảo sát ta phân lực tác dụng vào khối chất lỏng khảo sát thành hai nhóm: lực khối lượng (gọi tắt lực khối) lực bề mặt (gọi tắt lực mặt) Lực khối Lực khối lực tác dụng lên phần tử khối lượng chất lỏng Lực khối tỷ lệ với khối lượng khối chất lỏng Nếu chất lỏng đồng chất, có khối lượng riêng số toàn thể tích khảo sát lực khối tỷ lệ với thể tích, lực khối gọi lực thể tích Trong học lưu chất ta thường gặp lực khối trọng lực, lực quán tính, lực điện trường… Lực mặt: Lực mặt lực tác dụng lên mặt khối chất lỏng xét (hình 2.1) Lực mặt tỷ lệ với diện tích Lực mặt phân làm hai loại: - Áp lực - hay gọi lực pháp tuyến - lực mặt thẳng góc với mặt tác dụng - Lực cắt - hay gọi lực tiếp tuyến lực mặt tiếp xúc với mặt tác dụng n τ Hình 2.1 Lực pháp tuyến tiếp tuyến phân tố bề mặt δ A Định nghĩa ứng suất Xét phân tố diện tích bề mặt δA cuả một khối chất lỏng khảo sát hình 2.1 Gọi δF lực tác dụng lên phân tố δF phân thành hai thành phần, δFn thành phần lực pháp tuyến δFt thành phần lực tiếp tuyến: r r r δ F = δ Fn + δ Ft Các đại lượng: δ Fn δ A→ δ A δF τ = lim t δ A→0 δ A σ = lim theo thứ tự gọi ứng suất pháp ứng suất tiếp tác dụng vào khối chất lỏng khảo sát điểm A II ÁP SUẤT – CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁP SUẤT THỦY TĨNH Áp suất Xét khối chất lỏng tĩnh W cân Khi W chịu tác động từ bên ngoài, chẳng hạn tải trọng thay đổi nhiệt độ… nội khối chất lỏng xuất ứng suất, gọi áp suất thủy tĩnh F ∆F Hình 2.2 Áp suất thủy tĩnh r Xét phần mặt phẳng có diện tích ω Gọi F hợp lực tác dụng vào ω Vì chất lỏng môi trường liên tục nên áp suất trung bình áp suất điểm định nghĩa sau: - Áp suất thủy tĩnh trung bình: r r F ptb = ω (2.1) r Trên ω , phân tố diện tích ∆ω chịu tác dụng lực ∆F - Áp suất điểm định nghĩa: r r ∆F p = lim ∆ω →0 ∆ω (2-2) Ðơn vị áp suất: N/m2 , at, atm … (bạn đọc tra cứu thêm phụ lục) Các tính chất áp suất thủy tĩnh a Tính chất Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực hướng vào diện tích Chứng minh Xét khối chất lỏng W cân diện tích mặt A thuộc W Trên A, xét phân tố diện r tích δA Phân tố mặt δ A chịu tác dụng lực δ F phân thành hai thành phần pháp tuyến tiếp tuyến (hình 1): r r r δ F = δ Fn + δ Ft Thành phần δ Ft có tác dụng làm cho mặt δ A chuyển động trượt tương mặt khác W Tuy nhiên theo giả thiết, W khối chất lỏng tĩnh, điều tồn thành phần ứng suất tiếp δ Ft = Như áp suất thủy tĩnh tác dụng vào δ A áp suất pháp tuyến Mặt khác, r chất lỏng có khả chịu nén, khả chịu kéo nên áp suất pháp δ Fn phải hướng vào δ A Tính chất Trị số cuả áp suất thủy tĩnh điểm theo phương Chứng minh Xét phân tố thể tích hình tứ diện có cạnh dx, dy, dz vô bé khối chất r lỏng tĩnh đồng chất có khối lượng riêng ρ Mặt nghiêng ABC có vector pháp tuyến đơn vị n với r r r cosin hướng cos( n ,x), cos( n ,y) cos( n ,z) r r r r Áp suất tác dụng lên mặt bên mặt nghiêng p x , p y , pz , pn Từ tính chất suy thành phần áp suất vuông góc hướng vào mặt tương ứng tứ diện r Gọi F ( X , Y , Z ) lực khối đơn vị (là lực khối tác dụng vào đơn vị khối lượng chất lỏng) Hình 2.3 Viết phương trình cân trục ox: 1 r ( dxdydz ρ ) X + p x dydz − pn S ABC cos(n , x) = dydz từ (a) suy ra: 1 ( dxdydz ρ ) X + p x dydz − pn dydz = 2 ⇔ ρ Xdx + px − pn = (a) r Vì S ABC cos( n , x ) = (b) Do dx, dy, dz vô bé dx, dy, dz → , từ (b) suy px=pn Chứng minh tương tự ta có: px= py= pz= pn III PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN Hệ phương trình vi phân cân Euler a Xây dựng hệ phương trình Euler Xét phân tố vi phân hình hộp dW có cạnh δx , δy, δz song song với trục toạ độ hệ trục OXYZ (hình 2.4) khối chất lỏng tĩnh, đồng chất, có khối lượng riêng ρ r Gọi p áp suất trọng tâm M hình hộp; F ( X , Y , Z ) lực khối đơn vị tác dụng lên khối chất lỏng khảo sát Khối vi phân dW cân tác dụng tổng lực khối r r r r r r r r F F = ρ dW ( Xi + Yj + Zk ) = ρδ x δ x δ x ( Xi + Yj + Zk ) tổng lực mặt ∑ m tổng ∑ k áp lực tác dụng lên mặt xung quanh Phương trình cân bằng: r r r F + F ∑ k ∑ m =0 (2.3) Trong chất lỏng tĩnh áp suất p không phụ thuộc vào thời gian Vì chất lỏng môi trường liên tục nên sử dụng công thức vi phân toàn phần cho hàm áp suất p hàm theo biến x, y, z: Y Hình 2.4 Cân phân tố dW dp = ∂p ∂p ∂p dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z (2.4) để tính áp suất mặt khối hộp theo áp suất p tâm điểm M, ta cần phải lưu ý: - M tâm khối hộp nên gia số khoảng cách (đo theo trục tọa độ) mặt dW so với tâm M dx = ±δ x / ; dy = ±δ y / 2; dz = ±δ z / - Phân tố dW có kích thước vô bé nên áp suất mặt lấy gần áp suất tâm hình chữ nhật tương ứng Từ ta có: Áp suất mặt vuông góc với trục Ox: p ± dp x = p ± ∂p ∂x (vì dy=dz=0; dx = ±δ x / ) ∂x Áp suất mặt vuông góc với trục Oy: p ± dp y = p ± ∂p ∂y (vì dx=dz=0; dy = ±δ y / ) ∂y Áp suất mặt vuông góc với trục Oz: p ± dp z = p ± ∂p ∂z (vì dx=dy=0; dz = ±δ z / ) ∂z Chiếu (2.3) lên trục tọa độ ta đươc phương trình vi phân cân dW Cụ thể sau: Theo phương Ox: ( ρδ xδ yδ z ) X + (p ⇔ ( ρ ) X + (p ⇔X - ∂p δ x ∂p δ x )δ yδ z - (p + )δ yδ z = ∂x ∂x ∂p ∂p ) - (p + )=0 ∂x ∂x ∂p =0 ρ ∂x Tương tự trên, chiếu (2.3) lên trục Oy, Oz ta nhận hệ phương trình sau:  ∂p  X − ρ ∂x =   ∂p =0 Y − ρ ∂y   ∂p =0 Z − ρ ∂z  (2.5) Viết dạng vector: r uuuuur F − grad ( p ) ρ =0 (2.6) Hệ phương trình (2.5) (2.6) gọi hệ phương trìng Euler b Tích phân hệ phương trình Euler Từ hệ phương trình (2.5) ta được: ∂p ∂p ∂p ( dx + dy + dz ) ρ ∂x ∂y ∂z ⇔ Xdx + Ydy + Zdz = dp Xdx + Ydy + Zdz = (2.7) ρ Theo học: r uur Xdx +Ydy + Zdz = F.dS = dU r r công học lực F ( X , Y , Z ) dịch chuyển dS (dx, dy , dz ) Nếu tồn hàm π thỏa mãn: X=- ∂π ∂π ∂π ;Y =- ;Z =∂x ∂y ∂z (2.8) r π gọi hàm lực khối F ( X , Y , Z ) thoả mãn (2.8) gọi lực Sử dụng hàm π , phương trình (2.7) viết: Xdx + Ydy + Zdz = dp = −d π ρ (2.9a) ⇔ dp = − dπ ρ (2.9b) Tích phân phương trình (2.9) ta được: p = − ρπ + C (2.10) với C số tích phân xác định biết p0 chất lỏng hay khối chất lỏng, ta có: π0 điểm mặt C = p0 + ρπ Do (2.10) trở thành: p = p0 + ρ (π − π ) (2.11) ur uuuuur F − grad ( p ) = Phương trình ρ biểu thị áp suất thủy tĩnh điểm khối chất lỏng cân chịu tác dụng lực khối lực Đây tích phân tổng quát phương trình Euler Mặt đẳng áp Khái niệm: Mặt đẳng áp mặt có áp suất thủy tĩnh điểm Trên mặt đẳng áp p = const, dp = (2.12a) Kết hợp (2.9a) (2.12a) suy phương trình vi phân mặt đẳng áp: Xdx + Ydy + Zdz = (2.12b) Các tính chất cuả mặt đẳng áp: Tính chất 1: Hai mặt đẳng áp khác cắt Thật vậy, chúng cắt giao điểm, áp suất thủy tĩnh có trị số khác nhau, điều trái với tính chất áp suất thủy tĩnh Tính chất 2: Lực khối lượng tác dụng lên mặt đẳng áp thẳng góc với mặt đẳng áp r Thật vậy, xét mặt đẳng áp S chịu tác dụng lực khối F ( X , Y , Z ) Vi phân cung r r dS (dx, dy, dz ) thuộc S có hình chiếu lên ba trục tọa độ dx, dy, dz (hình 2.5) Vì dS thuộc mặt đẳng áp S nên hình chiếu dx, dy, dz phải thỏa (2.12b ): Xdx + Ydy + Zdz = r r Mặt khác, theo đại số vector: Xdx + Ydy + Zdz = F dS r r Từ suy ra: F dS = Kết chứng tỏ r r F ( X ,Y , Z ) ⊥ dS (dx, dy , dz ) Hình 2.5 IV SỰ CÂN BẰNG CHẤT LỎNG TRỌNG LỰC Phương trình chất lỏng trọng lực trạng thái cân Nếu lực khối tác dụng vào chất lỏng lực trọng trường chất lỏng gọi chất lỏng trọng lực Xét khối chất lỏng trọng lực cân Chọn hệ trục tọa độ vuông góc có trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướng lên Các thành phần cuả lực khối đơn vị: X = Y =  Z = − g Do đó: Z =- ∂π = − g ⇒ π = gz + C ∂z (2.13) C số tích phân, tính dựa vào điều kiện biên: z = z0 π = π Suy C = π − gz0 Thay C vào (2.13): π = gz + (π − gz0 ) ⇔ π − π = g ( z0 − z ) (2.14) Thay (2.14) vào (2.11) ta được: p = p0 + ρ g ( z0 − z ) (2.15) Đặt h = z0 − z , (2.15) trở thành: p = p0 + ρ gh = p0 + γ h (2.16) Phương trình (2.15) viết theo dạng khác: z+ p p = z0 + = const γ γ (2.17) ρ g ( z0 − z ) = ρ gh Hình 2.6 thay đổi áp suất chất lỏng không nén theo h Các phương trình (2.15), (2.16) (2.17) phương trình thủy tĩnh Với phương trình ta thấy áp suất điểm độ sâu loại chất lỏng trọng lực đứng cân (hình 2.6) Mặt đẳng áp chất lỏng trọng lực Từ phương trình thủy tĩnh suy z = const p=const Vậy mặt đẳng áp chất lỏng trọng lực mặt phẳng song song, thẳng góc với trục Oz Nói cách khác, mặt đẳng áp chất lỏng trọng lực mặt phẳng nằm ngang Mặt thoáng chất lỏng, áp suất p0 = pa, mặt nằm ngang Ý nghĩa phương trình thuỷ tĩnh Đối với chất lỏng trọng lực ta có: z+ p = H = const γ a Ý nghĩa hình học Trong phương trình trên: z độ cao hình học p độ cao áp suất γ H gọi cột nước thủy tĩnh Vậy, chất lỏng trọng lực tĩnh cân bằng, cột nước thủy tĩnh tất điểm số b Ý nghĩa lượng z gọi vị đơn vị h= p gọi áp đơn vị γ H gọi đơn vị Vậy phương trình thủy tĩnh cho thấy: chất lỏng trọng lực tĩnh cân bằng, đơn điểm số Lưu ý: Các phương trình (2.15), (2.16), (2.17) cho lưu chất chất lỏng trọng lực trạng thái tĩnh, cân bằng; khối lượng riêng số toàn khối Đối với số trường hợp khác: - Lưu chất nén Sự thay đổi áp suất lưu chất nén phụ thuộc vào thay đổi khối lượng riêng, cao độ áp suất; - Với chất khí đẳng nhiệt p p0 = ρ ρ0 p = p0e (2.18)  ρ0 g  ( z0 − z )    p0  (2.19) đó: z z0 cao độ từ mặt chuẩn đến điểm khảo sát đến điểm cho trước theo phương thẳng đứng; p p0 áp suất z z0 ; - Đối với lưu chất không đẳng nhiệt Ví dụ bầu khí quyển, thay đổi nhiệt độ bầu khí giảm dần theo chiều cao tuyến tính tầng (hình 2.7a): T = T0 - α.z Trong đó, T0 nhiệt độ tuyệt đối mức mặt nước biển; β hệ số giảm nhiệt độ; z độ cao tính từ mặt nước biển Hình 2.7a Nhiệt độ khí thay đổi theo độ cao Áp suất khí thay đổi phi tuyến theo độ cao z (hình 2.7b): g Rβ  βz  p = p0 1 − ÷ T0   (2.20) Trong đó, p0 áp suất khí độ cao z=0; R số khí; g gia tốc trọng trường Hình 2.7b Áp suất khí thay đổi theo độ cao Bình thông Hình 2.8 Bình thông Từ phương trình chất lỏng trọng lực tĩnh ta chứng minh được: γ h2 = γ h1 (2.21) Như vậy: Nếu hai bình thông chứa đựng hai loại chất lỏng khác nhau, không hòa tan vào có áp suất mặt thoáng nhau, độ cao chất lỏng bình, tính từ mặt phân cách hai chất lỏng đến mặt thoáng nó, tỉ lệ nghịch với trọng lượng riêng chất lỏng (hình2.8) Định luật Pascal Phát biểu: Ðộ biến thiên áp suất thủy tĩnh mặt giới hạn thể tích chất lỏng cho trước truyền nguyên vẹn đến tất điểm thể tích chất lỏng Hình zA + 2.9a Định luật Pascal PA ± ∆P P ± ∆P = zB + B γ γ (2.22) Ứng dụng định luật Pascal Xét máy ép thủy lực hình 2.9b Máy gồm hai xy lanh thông chứa loại chất lỏng, dẫn hướng chuyển động cho hai piston có diện tích tiết diện ω1 , ω2 Piston nhỏ gắn vào đòn bẩy Khi lực F nhỏ tác dụng lên đòn bẩy tạo lực F1 tác dụng lên piston Lực F1 tạo áp suất p1 xi lanh F2 F Hình 2.9b Máy ép thủy lực Theo định luật Pascal, áp suất xi lanh p1 Áp suất p1 tác dụng vào xi lanh tạo lực đẩy F2 cho piston Như ta có: d  F F ω p1 = = ⇒ F2 = F1 =  ÷ F1 ω1 ω2 ω1  d1  (2.23) O(0, 0) A' h1 A (a) (b) (c) (d) (a) (e) Hình 2.12 biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh Với h = (ở mặt tự do) pdư = nên ta có điểm O(0, 0); Với h = h1 pdư = γh1 nên ta có điểm A’(h1, γh1); Nối kéo dài OA’ (hình 2.12a) Tam giác OAA’ với cạnh OA’ nối dài biểu đồ phân bố áp suất dư Dùng biểu đồ phân bố áp suất dư, ta xác định áp suất dư p điểm có độ sâu h Muốn có biểu đồ phân bố áp suất tuyệt đối ta cần tịnh tiến biểu đồ phân bố áp suất dư theo phương ngang theo chiều ngược chiều vector áp suất dư đoạn p0 (hình 2.12d) Chú ý: Ta thay trục nằm ngang p trục , hai trục có đơn vị độ dài Áp suất lúc biểu thị độ dài cột nước Trong thực tiễn, ta thường vẽ biểu đồ phân bố với tọa độ để tính áp lực biểu đồ phân bố gọi biểu đồ áp lực p = h (a) biểu đồ áp lực tuyệt đối Lúc biểu đồ áp lực dư biểu diễn hàm số γ biểu diễn hàm số (b) Cả hai loại (a) (b) đường thẳng biểu diễn có độ dốc 45 Do tính chất áp suất điểm thẳng góc với mặt chịu áp lực điểm nên đồ phân bố áp suất đồ áp lực chất lỏng tác dụng đoạn thẳng tam giác vuông hình thang vuông tất trường hợp: đoạn thẳng thẳng đứng đoạn thẳng nằm nghiêng (hình 2.12a,b,c,d) Để vẽ đồ phân bố áp suất đường cong ta phải biểu diễn trị số áp suất điểm theo phương trình nối lại thành đường cong đồ thị phân bố (hình 2.12e) VI CÂN BẰNG CỦA CHẤT LỎNG TRONG BÌNH CHỨA CHUYỂN ĐỘNG Trong phần ta nghiên cứu cân chất lỏng trường hợp phần tử chất lỏng không chuyển động tương khối chất lỏng lại chuyển động hệ quy chiếu gắn liền với Trái đất Khi khối chất lỏng chuyển động vật rắn, ta gọi trạng thái trạng thái tĩnh tương đối chất lỏng; xuất bình chứa chất lỏng chuyển động với gia tốc không đổi Lực khối tác dụng vào chất lỏng trọng lực mà có lực quán tính Bình chứa chuyển động với gia tốc không đổi Xét trường hợp bình chứa khối hộp chữ nhật, gốc tọa độ O chọn trọng tâm mặt đáy, mặt thoáng xe chưa chuyển động có độ cao H so với đáy (hình 2.13) Như vậy, xe chuyển động có gia tốc, mặt thoáng quay quanh điểm A(0,0,H) Bình chứa chuyển động biến đổi theo phương Ox với gia tốc a Mỗi phần tử khối lượng m chất lỏng chịu tác dụng loại lực khối: - trọng lực G = mg; - lực quán tính, P = -ma ( ngược với chiều chuyển động) Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ, hình chiếu lực khối lên trục là: X = -a; Y = 0; Z = -g A Hình 2.13 Xe chuyển động thẳng biến đổi với gia tốc a theo phương Ox Phương trình mặt đẳng áp: Phương trình vi phân mặt đẳng áp: -adx – gdz = Tích phân vế ta được: ax + gz = C0 (2.32) phương trình họ mặt đẳng áp, mặt phẳng nghiêng tạo thành góc phẳng nhị diện α với mặt phẳng tọa độ xOy: a α = arctg  ÷ g Phương trình mặt thoáng: Phương trình mặt thoáng phương trình (2.32) qua A, nghĩa C0 tìm từ điều kiện biên: x=y=0, z=H Suy C0 = gH Phương trình mặt thoáng là: ax + gz = gH ax + g ( z − H ) = (2.33) Sự phân bố áp suất: −adx − gdz = dp ρ Tích phân vế ta được: p = - ρ ax - ρ gz + C Tại A, x = y=0, z = H p =p0 (tại mặt thoáng) Do đó: C = p0 + ρ gH Vậy phương trình áp suất thủy tĩnh là: p = p0 + ρ gH − ρ ax − ρ az (2.33) Bình chứa hình trụ tròn quay quanh đường tâm bình Đây trường hợp thường gặp thực tế, chẳng hạn phương pháp đúc ly tâm Hình 2.14 Bình chứa hình trụ tròn quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω = const Xét chất lỏng chứa bình hình trụ tròn quay với vận tốc góc ω không đổi quanh trục thẳng đứng (hình 2.14) Lực tác dụng lên khối chất lỏng khối lượng m gồm có: - trọng lực: G = mg - lực quán tính ly tâm: F = mω2r Trong đó, r khoảng cách từ điểm có tọa độ (x,y,z) khối chất lỏng đến trục quay Hình chiếu lực khối đơn vị lên hệ trục toạ độ: X = ω x;Y = ω y; Z = − g Phương trình mặt đẳng áp: ω2 xdx + ω2 ydy – gdz = Tích phân vế phương trình trên: 2 ω (x +y )- g.z = C Vì r2 = x2 + y2 nên: 2 ω r - gz = C Khi x = y =0; tức r = z = z0 C = -gz0 Vậy phương trình mặt thoáng là: 2 ω r +g(z - z) =0 (2.34) Sự phân bố áp suất: Ta có: dp = ρ ( ω xdx + ω ydy - gdz ) Tích phân hai vế, ta có : p = ρ [ ω (x +y ) - gz] +C1 p = ρ ( ω r - gz) +C1 Khi r = 0, z = z0 áp suất áp suất mặt thoáng p0 = p, đó: C1 =p0 +ρ gz Vậy phương trình phân bố áp suất là: p = p0 + ρ [ ω r + g(z - z) ] (2.35) VII ÁP LỰC LÊN THÀNH PHẲNG Trường hợp thành rắn mặt phẳng, thành phần áp suất phân r tố dp tác dụng lên thành rắn song song với nhau, chúng tạo áp lực tổng hợp F Ta phải xác định r trị số điểm đặt F (hình 2.15) Thành phẳng có dạng a Trị số áp lực r Cần xác định áp lực F chất lỏng tác dụng lên diện tích phẳng ω có hình dạng đặt nghiêng mặt thoáng góc α Áp lực dF tác dụng lên vi phân diện tích dω có trọng tâm đặt độ sâu h tính: dF = pdω = (p0 + γh)dω Áp lực F tác dụng lên toàn diện tích ω: F = ∫ dF = ∫ ( p0 + ρ gh ) d ω ω ω Trên thành phẳng lấy hệ trục tọa độ Ozy hình vẽ ta có: h = y sin α F = ∫ p0 dω + γ ∫ hdω = p0ω + γ sin α ∫ ydω Vậy: ω ω ω x '− x ' Hình 2.15 ∫ ydω Vì ω momen tĩnh diện tích ω trục Ox, nên: ∫ ydω = y ω c ω Do áp lực F là: F = p0ω + γ ycω sin α = p0ω + γ hcω ⇔ F = ( p0 + γ hc )ω (2.36) ⇔ F = pcω Trong đó, hc độ sâu đo từ mặt thoáng đến trọng tâm diện tích ω; pc áp suất tuyệt đối trọng tâm C phẳng ω Nếu p0 = pa , áp lực dư tác dụng lên diện tích phẳng nói bằng: Fdu = γ hCω (2.37) Như vậy: Áp lực thủy tĩnh (tuyệt đối dư) chất lỏng tác dụng lên diện tích phẳng ω có hình dạng ngập chất lỏng tích số áp suất( tuyệt đối dư) trọng tâm phẳng với diện tích Trong thực tiễn kỹ thuật, nhiều mặt phẳng cần xét chịu áp lực thủy tĩnh phía, phía mặt phẳng lại chịu áp lực không khí Trong trường hợp mặt phẳng chịu áp lực dư mà áp lực không khí truyền từ mặt thoáng đến mặt phẳng cân với áp lực không khí tác dụng vào phía khô mặt phẳng Vì trường hợp tương tự, cần tính áp lực dư Áp lực dư thủy tĩnh tác dụng lên đáy phẳng bình chứa trường hợp riêng lực thủy tĩnh tác dụng lên mặt phẳng Nếu diện tích đáy ω độ sâu h đáy giữ không đổi áp lực chất lỏng lên đáy bình F = γhω, không phụ thuộc hình dạng bình b Vị trí tâm áp lực (áp tâm) Ðiểm đặt áp lực gọi tâm áp lực Tùy theo áp lực tính từ áp suất tuyệt đối áp suất dư mà tâm áp lực gọi tâm áp lực tuyệt đối hay tâm áp lực dư Phương pháp xác định tâm áp lực tuyệt đối tâm áp lực dư hoàn toàn tương tự Tuy nhiên tâm áp lực hai trường hợp lại không trùng Xét áp lực không khí tác động vào phẳng, có số trường hợp sau: (1) Mặt ω chịu áp lực không khí từ phía, nghĩa phía phẳng chân không; (2) Mặt ω chịu áp lực không khí từ hai phía Trường hợp (1) tâm áp lực tác dụng lên phẳng không phụ thuộc vào áp lực dư mà phụ thuộc vào tác động áp lực khí Tuy nhiên trường hợp gặp thực tế Ở trường hợp (2), xét tác động độc lập không khí chất lỏng vào phẳng, dễ thấy độ dày phẳng không lớn, bỏ qua theo tính chất áp lực thủy tĩnh suy áp lực không khí hai mặt phẳng hai lực trực đối, tự triệt tiêu Tổng hợp áp lực tác động vào phẳng lại thành phần áp lực dư chất lỏng Do đó, vị trí tâm áp lực trường hợp (2) phụ thuộc vào áp lực dư chất lỏng Trong phần trình bày phương pháp xác định vị trí tâm áp lực dư, tức xét trường hợp (2) Gọi D(xD, yD) tâm áp lực dư Tính yD: Momen hợp lực trục ox: Fdu y D = ∫ ydFdu ω hay : (γ hcω ) y D = ∫ y (γ h.dω ) ω ⇔ γ ( yc sin α )ω yD = ∫ yγ ( y sin α )dω ω ⇔ γ ycω yD sin α = γ sin α ∫ y dω ω ⇔ γ ycω yD sin α = γ sin α J x ⇔ ycω yD = J x ⇔ yD = Jx ycω (2.38) Trong đó, J x = ∫ y 2dω ω momen quán tính diện tích ω trục Ox Có thể biểu diễn Jx momen quán tính Jc diện tích trục x’-x’ song song với trọc ox qua tâm C diện tích: J x = J c + yc2ω Cuối ta xác định tọa độ tâm đẩy sau: y D = yc + Jc yc ω (2.39) Như vị trí tâm áp lực đặt sâu vị trí trọng tâm lượng Jc ycω Tính xD: Để xác định tọa độ xD ta thiết lập phương trình momen trục oy: Fdu xD = ∫ dpdu xdω ω Hay: γ ( yc sin α )ω xD = γ ∫ ( y sin α dω ) x ω ycω xD = ∫ xydω ω Do đó: ∫ xydω xD = ω ycω (2.40) Lưu ý, ω có dạng đối xứng qua trục song song với oy, điểm D nằm trục đối xứng, ta cần xác định yD, không cần tính xD Áp lực chất lỏng lên thành cong Đây toán tìm hợp lực lực không song song Trường hợp tổng quát ta phải xác định ba thành phần lực ba momen Trong kỹ thuật thường gặp mặt cong dạng xy lanh (là mặt cong có đường sinh song song) Nếu mặt cong xy lanh có mặt phẳng đối xứng mặt phẳng thẳng đứng áp lực chất lỏng hợp lực nằm mặt đối xứng Ngược lại, không đối xứng qua mặt phẳng thẳng đứng điểm đặt hợp lực áp lực chất lỏng lên mặt điểm không thuộc mặt phẳng đối xứng nói Xét phần mặt xy lanh AB với đường sinh vuông góc với mặt hình vẽ ( hình 2.16) Ta cần xác định áp lực dư Fdu lên diện tích ω mặt AB đó: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Trên mặt cong AB có diện tích ω ta lấy diện tích phân tố dω , áp lực phân tố dF vuông góc với diện tích phân tố x O Ký hiệu dω phân tích hai thành phần dFx dFZ α góc hợp đường nằm ngang với dF, suy ra: dFx = dF.cosα; dFz = dF.sinα dFx Vì dω vô bé nên coi phẳng Gọi h tọa độ trọng tâm dω , theo có: dF = γh dω Như : dFx = hγ dω cosα ; dFz = hγ dω sinα ⇔ dFx = hγ dω x ; dFz = hγ dω z Suy ra: αdp dωx dω dFz Hình 2.16 dF (2.37) ta  Fx = γ h.dω x = γ hcxω x ∫  ωx   Fz = γ ∫ h.dω z = γ ∫ dV = γ W  ωz W (2.41) Trong đó: d ω x = d ω cos α d ω z = d ω sin α hình chiếu vuông góc d ω xuống mặt phẳng vuông góc với trục Ox Oz ωx hình chiếu của ω lên mặt phẳng vuông góc với trục ox ; ωz hình chiếu của ω lên mặt phẳng vuông góc với trục oz (chiếu ω lên mặt thoáng mặt thoáng mở rộng) ; hcx độ sâu trọng tâm ω x ; W gọi vật thể áp lực, thể tích hình trụ đứng có đáy diện tích chịu lực ω, đáy ω z r Vậy áp lực dư Fdu áp lực thủy tĩnh tác dụng lên mặt cong xác định sau: - Độ lớn hình chiếu tính dựa vào (2.41) - Trị số áp lực thẳng đứng Pz trọng lượng vật thể áp lực W - Dấu Fz (+) Fz hướng xuống dưới, ngược lại (-) Nói cách khác: vật thể áp lực mang dấu (+) mặt chịu lực có chất lỏng, vật thể áp lực mang dấu (-) mặt chịu lực chất lỏng (hình 2.17) (*) Hình 2.17 Dấu vật thể áp lực - Độ lớn: Fdu = Fx2 + Fz2 ; - Phương Fdu xác định dựa vào góc r cos α = Fx Fdu α (hình 2.16): (2.42) - Điểm đặt phụ thuộc vào biên dạng cong mặt cong Một số trường hợp đặc biệt: o Nếu diện tích ω có hình dạng đối xứng qua mặt phẳng song song với mặt phẳng yOz (nghĩa AB đối xứng qua trục O’z’//Oz) Từ (2.41) suy Fx = ⇒ α = π / Khi tâm đẩy D nằm trục đối xứng O’z’ o Trường hợp thành cong phần hình trụ tròn nằm ngang điểm đặt xác r định dựa vào hai yếu tố Thứ nhất, vector áp lực Fdu có giá qua tâm O mặt r cong Thứ hai, phương Fdu xác định dựa vào (2.42) Như vậy, hoàn toàn xác định điểm đặt áp lực Áp lực chất lỏng tác dụng lên mặt cong Xét mặt cong ω ngập chất lỏng hình 2.18 r Độ lớn áp lực Fdu chất lỏng tác dụng lên mặt cong xác định sau: Fdu = Fx2 + Fy2 + Fz2 (2.42) Trong đó: r o Fx, Fy, Fz hình chiếu lực Fdu lên trục tọa độ Ox, Oy, Oz Ta c ó:  Fx = γ hC' ω x  ''  Fy = γ hCω y   Fz = γ W (2.43) Hình 2.18 Mặt cong S ngập chìm chất lỏng Oy; o ωx, ωy diện tích hình chiếu mặt cong ω lên mặt phẳng trực giao với Ox o h 'c , h 'c' độ ngập chìm trọng tâm diện tích ωx, ωy o W thể tích vật thể áp lực, thể tích hình trụ thẳng đứng có đáy mặt ω cong đáy hình chiếu vuông góc diện tích ω lên mặt thoáng tự Dấu W xác định theo nguyên tắc (*), hình 2.17 o γ trọng lượng riêng chất lỏng Ví dụ 1: Xác định áp lực nước tác dụng vào cửa van hình trụ tròn bán kính R=2m, chiều dài đường sinh L=4m hình VD2.1a Giải: 1/ Tính Fx Dựa vào biểu đồ phân bố áp lực hình VD2.1b, để tiện tính toán, ta chia vùng chịa tác động áp lực nước hình VD2.1.c Theo phương x, lực tác dụng vào CD DE trực đối nên tổng chúng triệt tiêu Do thành phần tác dụng vào AC Sử dụng (2.43) ta có: Hình VD2.1a Hình VD2.1b Fx = Fx ( AC ) = γ n hc' ω AC = γ n (h + AC AC ) L 2 R 2 = AC.L = R.L hc' = h + ω AC ⇒ Fx = 9,81.103 (2 + 2 ) 2.2.4 = 303,1KN 2/ Tính Fz Hình VD2.1c Theo phương z, có hai thành phần áp lực tác dụng ngược hướng: - Thành phần Fz1 = −W1γ n có phương thẳng đứng, ngược chiều Oz Thành phần Fz = W2 γ n có phương thẳng đứng, chiều Oz Tổng lực theo phương Oz: Fz = Fz − Fz1 = γ n (W2 − W1 ) = γ nW Thể tích W tính dựa vào hình VD2.1d Cụ thể sau: W = W( ABCDE ) + W( AEIJ ) W( ABCDE ) = πR L W( ABCDE ) = 3,1416.22.4 = 25,1328m3 W( AEIJ ) =  h + (h + R )  RL W( AEIJ ) =  + (2 + 2.2)  2.2.4 = 38,6274m3 ⇒ W = W( ABCDE ) + W( AEIJ ) = 25,1328 + 38,6274 = 63,7602m3 ⇒ Fz = γ nW = 9,81.103.63,7602 = 625,4877 KN r 3/ Lực tổng hợp F (hình VD2.1d): Hình VD2.1d r Lực F hợp với phương ngang góc β : tg β = Fz 625,4877 = Fx 303,1 tg β = 2,06 ⇒ β = 63.550 r Điểm đặt: F nằm mặt trụ (điểm M), có giá qua tâm O hợp với phương ngang góc β = 63.550 Định luật Acsimet Xét phần vật thể rắn ngập hoàn toàn chất lỏng Áp lực F chia làm hai thành phần Fx Fz - Theo phương OX : Gọi Fx1 thành phần lực tác dụng lên phần (abc) Fx2 thành phần lực tác dụng lên phần (acd) Các phần (abc) (acd) chiếu lên mặt phẳng vuông góc với trục OX Hình 2.18 có chung diện tích ωx nên thành phần hợp lực tác dụng lên vật theo phương OX không - Theo phương OZ: vật rắn tích W chiếu lên mặt phẳng thẳng góc với trục OZ chia làm hai phần: Phần 1: diện tích (bad) Khi chiếu (bad) lên mặt thoáng đựơc thể tích áp lực (badd’b’) = W1 ; Thành phần lực Fz1 = γW1 có chiều hướng xuống Phần 2: diện tích (bcd) Khi chiếu (bcd) lên mặt thoáng thể tích áp lực (b’bcdd’) = W2; Thành phần lực Fz2 = γW2 có chiều hướng lên Do áp lực tác dụng lên vật theo phương OZ là: Pz = F2z – F1z = γ(W2 - W1) = γW W thể tích phần vật rắn ngập chất lỏng Định luật Acsimet Một vật ngập hoàn toàn phần lưu chất chịu tác dụng lực đẩy lưu chất từ lên theo phương thẳng đứng, có trị số trọng lượng thể tích lưu chất bị chiếm chổ Pz = γW (2.44) Sự cân ổn định vật rắn ngập chất lỏng Một vật rắn ngập chất lỏng chịu hai lực tác dụng: lực đẩy Acsimet Pz có phương thẳng đứng, chiều từ hướng lên qua tâm đẩy D; trọng lượng vật G đặt trọng tâm C vật có phương thẳng đứng, chiều hướng xuống (hình 2.19) Hình 2.19 Có ba trường hợp xảy sau: - Nếu Pz >G, vật lên; - Nếu Pz < G, vật bị chìm xuống đáy; - Nếu Pz = G, vật lơ lửng chất lỏng Khi vật nổi lơ lửng lưu chất, tính ổn định cân thay đổi tùy theo vị trí tương đối tâm đẩy D trọng tâm C vật rắn Có trường hợp xảy sau: (a) (b) (c) H ình 2.20 - Trường hợp trọng tâm C vật nằm tâm đẩy D: cân ổn định; - Trường hợp trọng tâm C vật trùng với tâm đẩy D: cân phiếm định; - Trường hợp trọng tâm C vật nằm tâm đẩy D: cân không ổn định Một số khái niệm: - Mớm nước: giao tuyến vật mặt thoáng - Mặt nổi: phần mặt phẳng có chu vi đường mớm nước - Trục nổi: đường thẳng vuông góc với mặt nổi, qua tâm đẩy D vật - Trục nghiêng: trục dọc đối xứng mặt Trục Mớm nước Mặt PZ o C e Do G Hình 2.21 Khi vật bị nghiêng tâm đẩy D thay đổi theo đến vị trí D’ Giao điểm trục với phương lực đẩy gọi tâm định khuynh M Khi góc nghiêng α ≤ 150 xem tâm đẩy D di chuyển cung tròn tâm M, bán kính MD - Độ dài MD = ρ M gọi bán kính định khuynh - Khoảng cách MC=hM gọi khoảng cách định khuynh - Ký hiệu đoạn CD=e Xét trường hợp xảy vật bị nghiêng: - Khi M cao C (hình 2.22a): Ngẫu lực G Pz tạo tính: M = e sin α = ( ρ M − hM ) sin α Bán kính định khuynh xác định sau: ρM = J W (2.45) Trong đó, J mômen quán tính mặt trục nghiêng; W thể tích chất lỏng bị vật choán chỗ Do đ ó: J  M =  − hM ÷sin α W  (2.46) Trong kỹ thuật đóng tàu, thường lấy hM = 0,3 ÷ 1,5m Trong trường hợp M cao C, ngẫu lực M có xu hướng kéo vật thể vị trí cân ban đầu Vật thể cân ổn định ρM hM α •M C• D • •D' •C • ×M D• (a) (b) •C ≡ D ≡ M (c) Hình 2.22 Các trạng thái cân vật - Khi M thấp C (hình 2.22b): ngẫu lực (2.46) có xu hướng kéo vật thể nghiêng thêm Vật thể không ổn định - Khi C trùng với M (hình 2.22c): trường hợp M = e sin α = ( ρ M − hM ) sin α = Hai lực G Pz trở thành hai lực trực đối, chúng tự triệt tiêu Do đó, vật thể trạng thái cân phiếm định Ví dụ: Một gỗ hình khối hộp chữ nhật có kích thước a=60cm, b=20cm Cho biết 3 khối lượng riêng gỗ ρ g = 0,8 g / cm Khối lượng riêng nước ρn = 1g / cm (hình 2.23) 1/ Kiểm tra tính ổn định c=15cm? 2/ Giữ nguyên kích thước a, b, xác định c để vật thể trạng thái cân phiếm định? Giải: 1/ Kiểm tra tính ổn định Phương trình cân vật: ρnW = ρ g abc ⇔ ρn abh = ρ g abc 1/ Kiểm tra tính ổn định ⇒h=c ρg ρn = 12cm (1) Bán kính định khuynh: J ab3 b2 ρM = = = W 12 abh 12h ρM ≈ 2,78 (2) Khoảng cách trọng tâm C tâm đẩy D: e= c h 15 − 12 − = = 1,5cm 2 (3) Độ cao định khuynh: hM = ρ M − e = 2,78 − 1,5 = 1,28cm > (4) Do đó, vật thể ổn định 2/ Xác định c Thay (1) vào (2) ta có: b2 b 2ρn ρM = = 12h 12cρ g 202.1 41,667 ρM = = 12.0,8c c (5) Từ (1) (3): e= ρ c h c − = − c g = 0,1c 2 2ρn (6) Thay (5)(6) vào (4) ta có: hM = ρ M − e = 41,667 − 0,1c c Vật thể cân phiếm định, suy ra: hM = ρ M − e = 41,667 − 0,1c = c ⇒ c = ±20,41 Loại nghiệm (-) Như vậy, vật thể cân phiếm định c=20,41cm [...]... phương Oz: Fz = Fz 2 − Fz1 = γ n (W2 − W1 ) = γ nW Thể tích W được tính dựa vào hình VD2.1d Cụ thể như sau: W = W( ABCDE ) + W( AEIJ ) 1 W( ABCDE ) = πR 2 L 2 1 W( ABCDE ) = 3,1416 .22 .4 = 25 ,1 328 m3 2 1 W( AEIJ ) =  h + (h + 2 R )  2 RL 2 1 W( AEIJ ) =  2 + (2 + 2. 2)  2. 2.4 = 38, 627 4m3 2 ⇒ W = W( ABCDE ) + W( AEIJ ) = 25 ,1 328 + 38, 627 4 = 63,7602m3 ⇒ Fz = γ nW = 9,81.103.63,76 02 = 625 ,4877 KN r 3/... kính định khuynh: J ab3 1 b2 ρM = = = W 12 abh 12h ρM ≈ 2, 78 (2) Khoảng cách giữa trọng tâm C và tâm đẩy D: e= c h 15 − 12 − = = 1,5cm 2 2 2 (3) Độ cao định khuynh: hM = ρ M − e = 2, 78 − 1,5 = 1 ,28 cm > 0 (4) Do đó, vật thể ổn định 2/ Xác định c Thay (1) vào (2) ta có: b2 b 2 n ρM = = 12h 12cρ g 20 2.1 41,667 ρM = = 12. 0,8c c (5) Từ (1) và (3): e= ρ c h c − = − c g = 0,1c 2 2 2 2ρn (6) Thay (5)(6) vào (4)... trình trên: 1 2 2 2 ω (x +y )- g.z = C 2 Vì r2 = x2 + y2 nên: 1 2 2 ω r - gz = C 2 Khi x = y =0; tức r = 0 thì z = z0 do đó C = -gz0 Vậy phương trình mặt thoáng sẽ là: 1 2 2 ω r +g(z 0 - z) =0 2 (2. 34) Sự phân bố áp suất: Ta có: dp = ρ ( ω 2 xdx + ω 2 ydy - gdz ) Tích phân hai vế, ta có : 1 p = ρ [ ω 2 (x 2 +y 2 ) - gz] +C1 2 1 p = ρ ( ω 2 r 2 - gz) +C1 2 Khi r = 0, z = z0 thì áp suất bằng áp suất... phần tác dụng vào AC Sử dụng (2. 43) ta có: Hình VD2.1a Hình VD2.1b Fx = Fx ( AC ) = γ n hc' ω AC = γ n (h + AC AC ) L 2 2 R 2 2 = AC.L = 2 R.L hc' = h + ω AC ⇒ Fx = 9,81.103 (2 + 2 2 ) 2. 2.4 = 303,1KN 2 2/ Tính Fz Hình VD2.1c Theo phương z, có hai thành phần áp lực tác dụng ngược hướng: - Thành phần Fz1 = −W1γ n có phương thẳng đứng, ngược chiều Oz Thành phần Fz 2 = W2 γ n có phương thẳng đứng, cùng... nghiêng (a) (b) (c) Hình 2. 11e Áp kế nghiêng (a)Hình dáng bên ngoài của của một loại áp kế nghêng; (b,c) Sơ đồ nguyên lý Để tăng độ dài đoạn chỉ thị của áp kế nhằm tăng độ chính xác của phép đọc người ta sử dụng áp kế nghiêng Từ hình 2. 11e(b,c) ta có: h2 ⇒ h2 = l2 sin θ l2 p − pB p − pB ⇒ l2 = A ≥ h2 = A γ 2 sin θ 2 sin θ = 3 Biểu đồ phân bố áp suất Phương trình cơ bản của thủy tĩnh chứng tỏ rằng đối...Trong đó, d1 và d2 là đường kính các piston 1 và 2 Thông thường d 2 > d1 nên F2 ? F1 và do đó cơ cấu này thường được sử dụng cho thiết bị ép hoặc thiết bị nâng chuyển, chẳng hạn máy ép, con đội thủy lực, cần cẩu V ĐO ÁP SUẤT VÀ BIỂU ĐỒ PHÂN BỐ ÁP SUẤT THỦY TĨNH Trong phần này trình bày những ứng dụng cụ thể phương trình cơ bản của chất lỏng trọng lực tĩnh trong các dạng (2. 15) (2. 16) và (2. 17) 1 Áp suất... (hình 2. 14) Lực tác dụng lên khối chất lỏng khối lượng m gồm có: - trọng lực: G = mg - lực quán tính ly tâm: F = mω2r Trong đó, r là khoảng cách từ một điểm có tọa độ (x,y,z) trong khối chất lỏng đến trục quay Hình chiếu các lực khối đơn vị lên hệ trục toạ độ: X = ω 2 x;Y = ω 2 y; Z = − g Phương trình mặt đẳng áp: 2 xdx + 2 ydy – gdz = 0 Tích phân 2 vế phương trình trên: 1 2 2 2 ω (x +y )- g.z = C 2. .. về vị trí cân bằng ban đầu Vật thể cân bằng ổn định ρM hM α •M C• D • •D' •C • ×M D• (a) (b) •C ≡ D ≡ M (c) Hình 2. 22 Các trạng thái cân bằng của vật nổi - Khi M thấp hơn C (hình 2. 22b): ngẫu lực (2. 46) có xu hướng kéo vật thể nghiêng thêm Vật thể không ổn định - Khi C trùng với M (hình 2. 22c): trong trường hợp này M = e sin α = ( ρ M − hM ) sin α = 0 Hai lực G và Pz trở thành hai lực trực đối, chúng... (hình 2. 17) (*) Hình 2. 17 Dấu của vật thể áp lực - Độ lớn: Fdu = Fx2 + Fz2 ; - Phương của Fdu được xác định dựa vào góc r cos α = Fx Fdu α (hình 2. 16): (2. 42) - Điểm đặt phụ thuộc vào biên dạng cong của mặt cong Một số trường hợp đặc biệt: o Nếu diện tích ω có hình dạng đối xứng qua mặt phẳng song song với mặt phẳng yOz (nghĩa là AB đối xứng qua trục O’z’//Oz) Từ (2. 41) suy ra Fx = 0 ⇒ α = π / 2 Khi... bằng đồ thị hàm số (2. 15) hoặc (2. 16) trong hệ tọa độ nói trên được gọi là xác lập biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh theo đường thẳng đứng Trước tiên ta xét đến đường biểu diễn áp suất dư pdư = γh theo đường thẳng đứng Đường biểu diễn này là một đường thẳng, do đó chỉ cần xác định hai điểm là vẽ được: O(0, 0) A' h1 A (a) (b) (c) (d) (a) (e) Hình 2. 12 biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh Với h = 0 (ở mặt