cơ lý thuyết chương 3- động học chất điểm full

bao gồm tất cả lý thuyết đầy đủ

Trang 2

Động học là một phần của cơ học lý thuyết nhằm khảo sát các quy luật chuyển động của vật rắn trong không gian theo thời gian mà không quan tâm đến các nguyên nhân sinh ra các quy luật chuyển động ấy.

 Đối tượng của động học gồm có hai loại: chất điểm và hệ nhiều chất điểm được nối cứng với nhau Chất điểm là một thể tích vô cùng bé có chứa vật liệu thuộc vật rắn cho nên nó sẽ có khối lượng và vật rắn tuyệt đối được xem là một hệ gồm có vô số chất điểm được nối cứng với nhau

 Khi kích thước của vùng không gian mà vật rắn chuyển động chiếm được rất lớn so với kích thước của vật hay khi kích thước của vật không ảnh hưởng đến các đặc trưng chuyển động của các chất điểm thuộc vật thì toàn vật rắn sẽ được xem là một chất điểm và được gọi là vật điểm Khối lượng của vật điểm bằng khối lượng của toàn vật

Trang 3

3.1 Các đặc trưng chuyển động của chất điểm

3.2 Các phương pháp khảo sát chuyển động của điểm

3.3 Bậc tự do và tọa độ suy rộng

Nội dung

Chương 3: Động Học Chất Điểm

Trang 4

 Chú ý rằng vật được chọn làm vật quy chiếu phải thỏa

tiên đề quán tính của Galiléo.

* Để khảo sát được chuyển động của điểm M, ta cần chọn trước một vật làm vật quy chiếu

 Với một sai số có thể chấp nhận được, người ta thường chọn trái đất làm vật quy chiếu để khảo sát các loại chuyển động thông thường của chất điểm

3.1 Các đặc trưng chuyển động của chất điểm

+ Vị trí của M sẽ được xác định bởi vectơ định vị (hình 3.1).r 

* Trên vật quy chiếu ta chọn một điểm tùy ý làm điểm gốc O

Trang 6

 Để xác định đầy đủ chuyển động của một điểm ta cần xác định ba đặc trưng chuyển động của điểm Đó là phương trình chuyển động của điểm, vận tốc của điểm và gia tốc của điểm.

3.1.1 Phương trình chuyển động của điểm

* Định nghĩa: Phương trình chuyển động của điểm là một

phương trình toán giúp xác định vị trí của điểm trong không gian theo thời gian

  1 )

(t

r OM

r    

+ Dạng tổng quát của phương trình chuyển động điểm như sau:

Trang 7

+ Quỹ tích của M trong không gian được gọi là quỹ đạo (C) của điểm Phương trình toán biểu diễn đường cong quỹ đạo (C) được gọi là phương trình quỹ đạo của điểm.

+ Vòng tròn lớn nhất có khả năng tiếp xúc với đường cong, trên mặt phẳng mật tiếp của đường cong tại điểm đang xét, về phía lõm của đường cong được gọi là đường tròn mật tiếp với đường cong tại điểm ấy Bán kính của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong  của quỹ đạo

+ Ở mỗi điểm trên đường cong quỹ đạo (C) ta sẽ luôn có một mặt phẳng mật tiếp với đường cong tại điểm đó

3.1.2 Vận tốc của điểm

* Định nghĩa: Vận tốc của điểm là một đại lượng vector biểu

diễn sự biến thiên vector định vị theo t r 

Trang 8

+ Vector vận tốc của điểm phản ánh phương, chiều và tốc độ thay đổi vị trí của điểm.

* Định nghĩa: Gia tốc của điểm là một đại lượng vector biểu

diễn sự biến thiên của vector vận tốc v t theo thời gian t

3.1.3 Gia tốc của điểm

+ Vận tốc của điểm được ký hiệu và xác định như sau:

+ Vận tốc luôn có tính chất tiếp tuyến với quỹ đạo và hướng theo chiều chuyển động của điểm trên quỹ đạo

Trang 9

+ Vector gia tốc của điểm có hai tính chất:

+ Gia tốc của điểm được ký hiệu và xác định như sau:

– Nằm trong mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại điểm đang xét

– Luôn hướng về phía lõm của quỹ đạo

3.2 Các phương pháp khảo sát chuyển động của điểm

3.2.1 Phương pháp tọa độ Descartes

* Theo phương pháp tọa độ Descartes ta sẽ dựng tại gốc

O tại một hệ trục tọa độ Descartes 3 chiều thuận Oxyz để

khảo sát chuyển động cho điểm M

Trang 10

3.2.1.1 Phương trình chuyển động của điểm

* Vị trí của điểm M sẽ được xác định hoàn toàn nếu ta xác định được hệ ba phương trình đại số (4) Do đó hệ 3 phương trình (4) được gọi là phương trình chuyển động

của điểm theo phương pháp tọa độ Descartes

Trang 11

Phương trình (6) được gọi là phương trình quỹ đạo (C) của điểm.

 



F(x,y,z)

3.2.1.2 Vận tốc của điểm

* Theo định nghĩa (2) ta sẽ biễu diễn vận tốc của điểm theo

phương pháp tọa độ Descartes như sau:

Trang 12

* Muốn xác định độ lớn vận tốc ta dùng định lý Pitago

3.2.1.3 Gia tốc của điểm

  7  v     x 2 + y  2 + z 2   12   8

* Theo định nghĩa (3) gia tốc của điểm sẽ được xác định

theo phương pháp Descartes như sau:

 

( ) ( ) 7

* Hệ 3 phương trình (7) được gọi là vận tốc của điểm theo

phương pháp tọa độ Descartes

Trang 13

* Độ lớn gia tốc a được tính theo định lý Pitago:

* Hệ 3 phương trình (9) được gọi là gia tốc của điểm theo

phương pháp tọa độ Descartes

Trang 14

3.2.2 Phương pháp tọa độ tự nhiên

Phương pháp tọa độ tự nhiên chỉ được sử dụng nếu đã biết trước quỹ đạo (C) của điểm

* Bán kính cong của quỹ đạo:

Trang 15

3.2.2.1 Phương trình chuyển động của điểm

* Phương pháp tọa độ tự nhiên sẽ sử dụng quỹ đạo đã biết của điểm làm trục tọa độ cong Trên trục cong này ta chọn tùy ý một điểm làm điểm gốc O* (thường chọn điểm gốc O* trùng vị trí ban đầu MO của điểm M) (hình 3.2)

Trang 16

* Chọn chiều dương cho trục tọa độ cong theo chiều chuyển động của điểm.

* Phương trình chuyển động của điểm là một phương trình đại số xác định đoạn đường mà điểm đã đi được trên quỹ đạo

* Quan hệ giữa tọa độ tự nhiên và tọa độ Descartes:

 

2 2 2 0

Trang 17

* Để xác định được vector vận tốc và vector gia tốc của điểm ta cần phải dựng thêm một hệ trục tọa độ vuông góc Mtn chuyển động cùng với điểm M như sau:

3.2.2.2 Vận tốc của điểm

+ Trục tiếp tuyến t tiếp tuyến với quỹ đạo và có chiều dương hướng theo chiều chuyển động của điểm Trên trục tiếp tuyến này ta dựng một vector đơn vị  

+ Điểm gốc là điểm M đang chuyển động

+ Dựng trục pháp tuyến n đặt tại M, nằm trong mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại M, vuông góc với trục tiếp tuyến t

và có chiều (+) hướng về phía lõm của quỹ đạo Trên trục pháp tuyến này ta dựng một vector đơn vị . 

Trang 18

* Vận tốc của điểm M sẽ được xác định theo công thức như sau:

Trang 19

3.2.2.3 Gia tốc của điểm

* Theo định nghĩa (3), ta có:

Trang 20

.

a

a : thành phần gia tốc tiếp

: thành phần gia tốc pháp

Trang 21

3.3 Bậc tự do và tọa độ suy rộng

3.3.1 Bậc tự do (dof)

Bậc tự do của một cơ hệ là

số thông số độc lập cần

dùng để có thể khảo sát được

chuyển động của toàn hệ

Trang 22

+ Để có thể khảo sát được chuyển động của toàn hệ ta cần cần dùng 2 thông số độc lập là φ1 và φ2 Do đó:

of 2

D

3.3.1.2 Xác định dof của vật rắn tự do hoàn toàn

a Trong không gian 2 chiều (hình 3.4)

Trang 23

* Xét hệ có hai chất điểm nối cứng và tự do hoàn toàn trong không gian hai chiều Ta cần xác định 4 tọa độ nhưng ta có một ràng buộc:

+ Do đó số thông số độc lập cần dùng là: 4 - 1 = 3

* Xét hệ có một chất điểm M1 tự do hoàn toàn trong không gian 2 chiều Cần xác định hai tọa độ x1, y1 Đây là hai thông số độc lập Do đó:

 Vậy bậc tự do của hệ gồm hai điểm và tự do hoàn

toàn trong không gian hai chiều là: dofhệ = 3

 x x   y y  const

d12  2  1 2 + 2  1 2 

 Vậy dofhệ = 2

Trang 24

* Xét hệ có 3 chất điểm không thẳng hàng, được nối cứng

và tự do hoàn toàn trong mặt phẳng chứa 3 điểm Cần xác định 6 tọa độ và ta có 3 ràng buộc Do đó số thông số độc lập cần dùng: 6 – 3 = 3 hay dofhệ = 3!!!

* Khi khảo sát chuyển động của một vật rắn trong không gian hai chiều ta không cần khảo sát chuyển động của tất cả các điểm thuộc vật mà chỉ cần khảo sát chuyển động của một mô hình gồm có hai chất điểm bất kỳ được nối cứng thuộc vật là đủ

 Kết luận:

* Bậc tự do của 1 vật rắn tự do hoàn trong 2D sẽ bằng bậc tự do của 1 mô hình gồm có 2 chất điểm bất kỳ, được nối cứng thuộc vật rắn Do đó DofVR = 3

Trang 25

b Trong không gian 3 chiều: 3D (hình 3.5)

* Hệ có một điểm tự

do hoàn toàn trong

không gian 3 chiều

+ Do đó hệ có: Dofhệ = 3

+ Cần xác định 3 tọa

độ cho điểm này

+ Ba tọa độ này là 3

thông số độc lập

Trang 26

+ Ta cần xác định 6 tọa độ cho hệ.

+ Ta có một ràng buộc nối cứng:

* Hệ gồm 2 điểm được nối cứng và tự do hoàn toàn trong không gian 3 chiều

+ Do đó, số thông số độc lập cần dùng là: 6 (tọa độ) – 1 (ràng buộc) = 5

Trang 27

* Hệ gồm 4 điểm không đồng phẳng, được nối cứng với nhau và tự do hoàn toàn trong không gian 3 chiều Cần xác định 12 tọa độ và ta có 6 ràng buộc.

* Hệ gồm 3 điểm không thẳng hàng, được nối cứng với nhau và tự do hoàn toàn trong không gian 3 chiều Cần xác định 9 tọa độ và ta có 3 ràng buộc

+ Do đó, số thông số độc lập cần dùng cho hệ là: 9 - 3= 6.+ Vậy bậc tự do của hệ: dofhệ = 6

+ Do đó số thông số độc lập cần dùng là: 12 - 6= 6

+ Vậy bậc tự do của hệ: dofhệ = 6 !!!

Trang 28

* Khi khảo sát vật rắn trong 3D ta chỉ cần khảo sát chuyển động của một mô hình gồm có 3 chất điểm không thẳng hàng, được nối cứng thuộc vật là đủ

 Kết luận :

* Bậc tự do của một vật rắn (hệ gồm vô số chất điểm được nối cứng) tự do hoàn toàn trong không gian 3 chiều (3D) sẽ bằng với dofhệ của một hệ gồm có 3 chất điểm bất kỳ, không thẳng hàng, được nối cứng thuộc vật Do đó dofhệ = 6

3.3.2 Tọa độ suy rộng của cơ hệ

3.3.2.1 Định nghĩa

Tọa độ suy rộng của cơ hệ là thông số độc lập được chọn

để khảo sát chuyển động cho toàn cơ hệ ấy Số tọa độ suy rộng của cơ hệ sẽ bằng bậc tự do của cơ hệ Với mỗi cơ hệ

ta có nhiều cách để chọn các tọa độ suy rộng

Trang 29

* Khảo sát chuyển động của vật phẳng (S) trong mặt phẳng chứa nó.

3.3.2.2 Thí dụ

a Thí dụ 1: (hình 3.6)

+ Dựng hệ trục tọa độ

Descartes hai chiều

Oxy để khảo sát

chuyển động của

vật

+ Do vật rắn chỉ

chuyển động trong

2D nên bậc tự do

của toàn vật là:

B l

A

x

A

y

Trang 30

* Mô hình khảo sát chuyển động cho toàn vật là một hệ gồm hai điểm A, B tùy ý được nối cứng thuộc vật Ta cần xác định 4 tọa độ cho hệ: xA , yA , xB , yB Ta có 3 thông số độc lập trong 4 tọa độ vì ta có 1 ràng buộc AB = const

Do đó hệ có 3 tọa độ suy rộng!

+ Ta có thể chọn các bộ 3 tọa độ suy rộng:

Trang 31

 Hệ phương trình biểu diễn sự biến thiên của các tọa độ suy rộng đã chọn theo thời gian t được gọi là phương trình chuyển động của toàn vật

Hệ ba phương trình biến thiên theo thời gian t:

( ) ( ) ( )

Trang 33

 Định nghĩa chuyển động của vật rắn quay quanh trục quay cố định:

+ Mô hình khảo sát chuyển động cho toàn vật là một hệ gồm 3 chất điểm bất kỳ không thẳng hàng được nối cứng thuộc vật Ta chọn mô hình gồm 3 điểm A, B và M

Chuyển động của vật rắn được gọi là chuyển động quay quanh trục quay cố định nếu trong quá trình chuyển động của vật rắn có tối thiểu 2 điểm thuộc vật luôn đứng yên Đường thẳng nối liền 2 điểm đứng yên ấy được gọi là trục quay cố định của vật.

+ Do 2 điểm A và B đứng yên nên ta chỉ cần khảo sát chuyển động của điểm M

+ Ta cần xác định 3 tọa độ cho điểm M nhưng ta lại có 2 ràng buộc giữa điểm M với điểm A và điểm B

Trang 34

 Dựng mặt phẳng  chứa trục quay cố định và trùng với vị trí ban đầu của mặt phẳng P Mặt phẳng này là mặt phẳng cố định và được gọi là mặt phẳng quy chiếu

 Gọi φ là góc nhị diện hợp bởi 2 mặt phẳng P và :

φ = [(P), ()]

 Chọn φ làm tọa độ suy rộng duy nhất cho toàn vật rắn và phương trình chuyển động cho toàn vật sẽ có dạng như sau: φ = φ(t)

+ Hệ có một tọa độ suy rộng được chọn như sau:

 Dựng một mặt phẳng P chứa điểm M và trục quay cố định của vật Mặt phẳng này sẽ gắn liền với vật và cùng chuyển động quay với vật quanh trục quay cố định

+ Do đó, số thông số độc lập cần dùng cho mô hình là:

3 tọa độ – 2 ràng buộc = 1 Vậy dofVR = 1!

Trang 35

Chương 4: Động Học Vật Rắn

4.1 Hai chuyển động cơ bản của vật rắn

4.2 Chuyển động phức hợp của vật rắn

Nội dung:

 Có rất nhiều chuyển động của vật rắn trong không gian từ đơn giản đến phức tạp Một chuyển động phức tạp bất kỳ của vật rắn bao giờ cũng được chứng minh là kết quả của việc tổ hợp 2 chuyển động cơ bản đồng thời: chuyển

Trang 36

4.1.1 Chuyển động tịnh tiến của vật rắn

4.1 Hai chuyển động cơ bản của vật rắn

Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là loại chuyển động sao cho mọi đoạn thẳng thuộc vật đều luôn chuyển động song song với phương ban đầu của chúng (hình 4.1)

Trang 37

4.1.1.2 Tính chất

Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến ta sẽ có 2 tính chất sau:

* Quỹ đạo của các điểm thuộc vật là giống nhau

* Vector vận tốc và vector gia tốc của tất cả các điểm thuộc vật bằng nhau

Trang 38

4.1.2 Chuyển động của vật rắn quay quanh 1 trục cố

định

4.1.2.1 Định nghĩa: (Xem lại thí dụ 2 của chương 3)

4.1.2.2 Khảo sát chuyển động của toàn vật

* Phương trình chuyển động của toàn vật là: φ = φ(t)

* Vận tốc toàn vật - vận tốc góc

Chuyển động của vật rắn được gọi là chuyển động quay quanh trục quay cố định nếu trong quá trình chuyển động của vật rắn có tối thiểu 2 điểm thuộc vật có tối thiểu 2 điểm thuộc vật luôn đứng yên Đường thẳng nối liền 2 điểm đứng yên ấy được gọi là trục quay cố định của vật

Trang 39

 Vận tốc góc của vật rắn là 1 đại lượng vector được ký hiệu và xác định như sau:

 Chọn trục tọa độ z có phương trùng với trục quay và có chiều dương trùng với chiều của .k

 Trên trục quay cố định ta chọn 1 điểm tùy ý làm điểm gốc

O Dựng 1 vector đơn vị tại gốc O có phương nằm trên trục quay cố định và có chiều được xác định theo quy tắc bàn tay phải so với chiều quay của vật

k

Trang 40

* Gia tốc toàn vật - gia tốc góc.

Trang 41

Hình 4.2



t n

Trang 42

Gọi O* là giao điểm giữa đường tròn (C) và mặt phẳng ():

* Do ta đã biết được quỹ đạo của điểm M là đường tròn (C) nên ta sẽ dùng phương pháp tọa độ tự nhiên để khảo sát chuyển động cho điểm này

4.1.2.3 Khảo sát chuyển động của một điểm thuộc vật

Định dạng
Số trang	77
Dung lượng	1,4 MB