nghiên cứu khử phân kỳ hồng ngoại trong lý thuyết trường lượng tử cho bài toán tán xạ ở trường điện từ ngoài

MỤC LỤC MỞ ĐẦU:……………………….…………………………….…… … Trang CHƯƠNG 1: Q TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG ĐIỆN TỪ NGỒI…………………………………………………………………….…….7 1.1 Tán xạ electron trường điện từ ngồi gần bậc nhất….……9 1.2 Bổ photon ảo cho biên độ tán xạ gần bậc nhất……………… 18 CHƯƠNG 2: TIẾT DIỆN TÁN XẠ ĐỘC LẬP VỚI PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI…………………………………………………………… … ….… 28 2.1 Bổ photon thực cho biên độ tán xạ gần bậc nhất………………28 2.2 Phương pháp λmin ……………………………… …….………………… 33 2.3 Tiết diện tán xạ vi phân .43 KẾT LUẬN…………………………………………………………………….45 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………… …………………… …47 PHỤ LỤC A: KHỬ PHÂN KỲ BẰNG ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUN…… 48 PHỤ LỤC B: CÁC Q TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG NGỒI……………………………………………………………………… 54 MỞ ĐẦU Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến tái chuẩn hố khối lượng điện tích electron điện động lực học lượng tử (QED) kết hợp lại cho phép ta tính tốn q trình tương tác điện từ với kết phù hợp tốt với số liệu thực nghiệm /1-4/ Sự tái chuẩn hố đại lượng vật lý (ví dụ: Trong QED tái chuẩn hố khối lượng điện tích electron) đòi hỏi để loại bỏ tích phân phân kỳ giản đồ Feynman vùng xung lượng hạt ảo lớn thuộc đường /1-4/ Các phân kỳ loại gọi phân kỳ tử ngoại Để giải khó khăn đến tồn ba phương pháp khử phân kỳ chủ yếu lý thuyết trường lượng tử /2/: Phương pháp Pauli-Vallars, phương pháp điều chỉnh thứ ngun, phương pháp cắt xung lượng lớn Các phương pháp giúp biểu diễn biểu thức cho yếu tố S-ma trận thành tổng: phần hữu hạn có ý nghĩa vật lý phần vơ hạn riêng biệt mà sau ta gộp vào đại lượng cần tái chuẩn hóa thành đại lượng vật lý Khối lượng điện tích phương trình trường tụ electron photon QED chưa tương tác người ta gọi khối lượng “trần” m0 điện tích “trần” e0 Khi tương tác khối lượng điện tích thay đổi Các phân kỳ QED bậc lý thuyết nhiễu loạn tách thành phần riêng biệt δ m δ e Các phần phân kỳ δ m δ e gộp với khối lượng “trần” m0 điện tích “trần” e0 Các giá trị thu mvật lý = m0 + δ m , evật lý = e0 + δ e đồng với khối lượng vật lý điện tích vật lý, mà người ta đo thực nghiệm Việc gộp giá trị “trần” với phần phân kỳ tính tốn giản đồ Feynman, gọi q trình tái chuẩn hố /1,2,3/ Ngồi phân kỳ tử ngoại lý thuyết trường nói chung tồn loại phân kỳ khác, phân kỳ hồng ngoại vùng hạt thực hạt ảo nhỏ so với xung lượng hạt xung lượng truyền hạt /3/ Photon người ta gọi photon “mềm” Phân kỳ liên quan đến trường mà lượng tử có khối lượng nghỉ khơng, ví dụ photon QED, graviton trường hấp dẫn lượng tử…Các đặc trưng cho kỳ dị hồng ngoại xuất khơng cho hàm Green, mà yếu tố ma trận chúng xác định phương trình lý thuyết trường Những khó khăn phân kỳ hồng ngoại, mà gặp phải nghiên cứu tốn xạ hấp thụ photon với lượng nhỏ điện động lực học cổ điển /3/ Ví dụ, xác xuất xạ photon vùng lượng thấp tỷ lệ nghịch với tần số dW ≈ dω , tổng xác xuất xạ photon phân kỳ dạng loga ω ω → /3/ Ngun nhân phân kỳ hồng ngoại xuất do: việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thơng thường dựa vào khái niệm S- ma trận theo chuỗi luỹ thừa theo điện tích e khơng hợp lý cho q trình vật lý có photon với bước sóng dài hay photon mềm tham gia Sự khơng hợp lý việc áp dụng lý thuyết nhiễu loạn lý giải sau: Số lượng photon electron xạ khoảng đơn vị lượng ω → tiến tới vơ Khi đó, lý thuyết nhiễu loạn người ta lại giả thiết rằng: xạ photon có xác xuất lớn xạ hai hay lượng lớn photon /3/ Trong QED phân kỳ hồng ngoại xuất tính lượng bổ bậc cao cho q trình vật lý dựa vào lý thuyết nhiễu loạn Thơng thường để vượt qua trở ngại này, người ta phải điều chỉnh lại kỳ dị hồng ngoại cho S-ma trận cách cho photon khối lượng nhỏ λmin /3/ Các kỳ di hồng ngoại xuất cho photon ảo photon thực q trình xạ hãm Đáng ý, đóng góp hai loại photon ảo photon thực sau lấy tổng cho kết quả, kỳ dị hồng ngoại bị triệt tiêu lẫn bậc lý thuyết nhiễu loạn, tham số điều chỉnh đưa vào đặt khơng biểu thức cuối Sự giải thích vật lý lập luận loại trừ kỳ dị hồng ngoại lẫn tìm thấy nhiều tài liệu tham khảo đại /1,2,3,4/ Vấn đề kỳ dị hồng ngoại tách khỏi khai triển nhiễu loạn thơng thường viết dạng nhân tử hàm mũ Sự loại trừ lẫn kỳ dị hồng ngoại bậc thấp đảm bảo cho loại trừ lẫn tất bậc khác tiếp theo, tương đương hai phương pháp khác khử phân kỳ hồng ngoại bậc thấp có ý nghĩa tương đương bậc khai triển nhiễu loạn /5,6/ Vấn đề đặt liên hệ phân kỳ hồng ngoại phân kỳ tử ngoại nào? Liệu sử dụng phương pháp điều chỉnh phân kỳ tử ngoại, áp dụng tiếp tục cho phân kỳ hồng ngoại khơng? Vấn đề có ý nghĩa cho nghiên cứu lý thuyết chuẩn, lý thuyết điện yếu GlashowSalam-Weinberg, lý thuyết thống tương tác kể tương tác hấp dẫn /4/ Muc đích Bản Luận văn Thạc sĩ khoa học nghiên cứu khử phân kỳ hồng ngoại lý thuyết trường lượng tử cho tốn tán xạ trường điện từ ngồi Bản Luận văn gồm: phần mở đầu, hai chương phần kết luận Phần mở đầu chúng tơi vắn tắt nêu tổng quan vấn đề liên quan đến loại phân kỳ thường gặp lý thuyết trường lượng tử, giải pháp nhiệm vụ Luận văn cần thực Trong Chương I chúng tơi xem xét tốn tán xạ electron trường điện từ ngồi Lagrangian tương tác điện từ Lint = ieψγ µψ Aµ , ψ trường spinơ-electron-positron, Aµ trường điện từ Mục $1.1 chúng tơi nghiên cứu giản đồ Feynman q trình tán xạ đàn tính electron trường điện từ ngồi gần bậc lý thuyết nhiễu loạn, tính tiết diện tán xạ vi phân tương ứng với giản đồ Trong mục $1.2 chúng tơi nghiên cứu đóng góp bổ photon ảo gần bậc nhât Trong q trình tính tốn giản đồ Feynman chúng tơi sử dụng phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ ngun Chương II: Bổ photon thực cho q trình tán xạ electron trường điện từ ngồi Trong mục $2.1 chúng tơi xem xét đóng góp photon thực cho q trình tán xạ kể Việc tính tốn đóng góp phương pháp λmin trình bày mục $2.2 Mục $ 2.3 dành cho việc lấy tổng đóng góp photon thực photon ảo, kết cuối tiết diện tán xạ độc lập với phần kỳ hồng ngoại Phần kết luận tóm tắt kết nhận luận văn, thảo luận vai trò, triển vọng phương pháp khử phân kỳ việc nghiên cứu lý thuyết trường đại ngày Trong Phụ lục A chúng tơi nêu vắn tắt luận điểm phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ ngun, dẫn cơng thức tích phân cần thiết cho tính tốn hiệu ứng vật lý sau Ở ta xét mơ hình trường vơ hướng tự tương tác Lint = gϕ ( ϕ trường vơ hướng) mục 1.1, tiến hành phép chia tách phần hữu hạn, phần phân kỳ tử ngoại cho giản đồ lượng riêng hạt thực vơ hướng mục 1.2 Mơ hình tương tác đơn giản Lint = gϕ cho phép thực tính tốn cụ thể chi tiết, dễ hiểu chất vấn đề Để nghiên cứu q trình tương tác điện từ thực QED chúng tơi phải dẫn thêm tổng qt hố số cơng thức thơng dụng bao gồm ma trận Dirac γ µ cho hạt có spin Phụ lục B xem xét tốn tổng qt khử phân kỳ hồng ngoại theo lý thuyết nhiễu loạn cho tốn tán xạ hạt trường ngồi Các kỳ dị hồng ngoại xuất cho photon ảo photon thực, sau lấy tổng cho kết tiết diện tán xạ vi phân hữu hạn độc lập với kỳ dị Trong Luận văn chúng tơi sử dụng hệ đơn vị ngun tử h = c = metric Pauli xµ = ( x1 = x, x2 = y , x3 = z , x4 = ict = it ) = x µ ; rr rr ab = aµ bµ = ab − a0b0 = ab + a4b4 = ak bk + a4b4 ; δ µν 1 0 = 0  0 0 0 ( k = 1, 2,3) ; 0 0÷ ÷ 0÷ ÷ 1 Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến CHƯƠNG Q TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG ĐIỆN TỪ NGỒI Điện động lực học lượng tử ngày số lý thuyết hồn chỉnh lý thuyết trường lượng tử /9/ Chỉ dựa vào quy luật người ta giải thích nhiều tượng khó hiểu trước đây, ví dụ dịch chuyển bổ mức lượng ngun tử, mơmen từ dị thường electron trường ngồi loạt kết quan trọng tính chất chất trường Những thành tựu rực rỡ chứng minh tồn dạng vật chất mà ta chưa biết: chân khơng trường điện từ chân khơng trường electron-positron Chân khơng lý thuyết trường lượng tử trạng thái có mức lượng thấp trường hay hệ trường, mà khơng tồn hạt thực Trong trạng thái chân khơng trường điện từ khơng có photon thực, tồn dao động khơng chân khơng mà chúng thể loạt hiệu ứng vật lý Sự tồn dao động khơng đặc trưng với chân khơng trường electronpositron, mà khơng tồn hạt thực electron positron Tất tượng chứng minh chân khơng có tính chất vật lý phức tạp, khơng thể coi khơng gian “trống rỗng” ngun thuỷ Khái niệm chân khơng vật lý đặc trưng vơ quan trọng giai đoạn phát triển đại lý thuyết trường lượng tử Nhờ có khái niệm chân khơng vật lý mà tương tác hạt lý thuyết trường lượng tử coi kết việc trao đổi lượng tử trường tương ứng Tương tác điện từ kết việc trao đổi photon ảo; tương tác mạnh – pimeson ảo Sự tồn chân khơng tương tác với trường khác dẫn đến khó khăn đặc biệt nghiêm trọng điện động lực học lượng tử xuất loạt phân kỳ gắn liền với việc áp dụng lý thuyết nhiễu loạn, cơng cụ chủ yếu điện động lực học lượng tử nghiên cứu hiệu ứng kể bậc cao Để vượt qua khó khăn phân kỳ người ta phải đưa vào ý tưởng bổ sung tái chuẩn hố lại số (khối lượng, điện tích v.v…), mà chúng khơng có cách phát biểu lý thuyết ban đầu Trong chương xem xét việc khử phân kỳ hồng ngoại phương pháp điều chỉnh thứ ngun Cụ thể ta xem xét tốn tán xạ electron trường điện từ ngồi Trong gần bậc theo điện tích, xét hạt tán xạ tĩnh Coulomb Tính bổ cho tán xạ gặp phải phân kỳ hồng ngoại Để giải tốn xét photon ảo thực “mềm” xạ hay hấp thụ, tiết diện tán xạ vi phân tồn phần gồm: tiết diện tán xạ đàn tính tiết diện tán xạ hãm tổng lại với độc lập với phân kỳ hồng ngoại 1.1 Tán xạ electron trường điện từ ngồi gần bậc Chúng ta xét q trình tán xạ đàn tính electron trường điện từ ngồi Theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, q trình tán xạ mơ tả S-ma trận: ( ) S = T exp ∫ Lint ( x ) d x ; ( ( ) Lint ( x ) = ieN ψγ µψ Aµext ; ) ( ( ) ) S0 = 1; S1 = T ∫ Lint ( x ) d x = T ie ∫ N ψγ µψ Aµext ( x ) d x ; (1.1) T T-tích, N là N-tích Yếu tố ma trận q trình tán xạ trường ngồi theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến viết : ( ) ext x d x | pr + p 'r ' | S | pr = p 'r ' | pr + ieT p 'r ' | ∫ N ψγ µψ Aµ ; (1.2) ( ) Aµext ( p − p) = ∫ e ' − i  p' − p ÷x   Aµext ( x ) d x : là thế điện từ; p, p ' : xung lượng electron trạng thái đầu cuối ; r , r ' : hình chiếu spin electron trạng thái đầu cuối lên phương xung lượng; Q trình tán xạ mơ tả giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến tương ứng với cơng thức (1.2) Giản đồ Feynman gần bậc thấp (a) theo điện tích e, giản đồ Feynman mơ tả bậc cao (bổ chính) cho q trình tán xạ (xem Hình 1.1) Aµext = p + + + p' ( a) + + ( e) ( b) + ( c) + ( f) ( g) ( d) + ( h) ( m) + Hình 1.1: Giản đồ Feynman diễn tả q trình tán xạ electron trường điện từ ngồi đường electron trường điện từ ngồi đường photon 10 Các tích phân (A.2) chứa hàm kỳ dị suy rộng dạng δ ( λ ) , λ −1 (trong λ = x ) Vì vậy, cơng thức (A.2) khơng phải đại lượng xác định Xét mặt tốn học, phải tiến hành định nghĩa lại đại lượng (A.2) Ở có hai cách giải vấn đề: Cách thứ tìm hàm khác điều chỉnh gần với hàm nhân quả, có nghĩa, phải thay hàm nhân kỳ dị hàm điều chỉnh: ∆ c ( x ) → reg ∆ c ( x ) Với góc độ thơ sơ hàm quy hố reg ∆ c ( x ) hàm liên tục hình nón ánh sáng Sự điều chỉnh hàm nhân Pauli-Villars sử dụng để khử phân kỳ giản đồ Feynman Phương pháp điều chỉnh gọi phương pháp điều chỉnh Pauli-Villars Cách thứ hai khơng đặt vấn đề thay đổi hàm Green nhân bao gồm việc khử phân kỳ phương pháp điều chỉnh thứ ngun phương pháp cắt xung lượng ảo vùng xung lượng lớn Cách khử phân kỳ phương pháp điều chỉnh thứ ngun bao gồm bước sau: 1/ Tích phân đa tạp 4-chiều xung lượng ảo thay tích phân ký hiệu tương ứng với việc lấy tích phân khơng gian n = − 2ε chiều Trong ε đại lượng dương xác định, n số khơng ngun 2/ Trong phép lấy giới hạn, ta ngầm định m = m − 1δ , ( δ → ) Trong khơng gian Euclide việc đưa phép khử phân kỳ điều chỉnh thứ ngun có nghĩa: ∫ ( d p) = E ∫ Ω( ) ∞ d Ω ∫ p 3dp → ∫ d n p ≡µ 2ε 49 ∫ Ω( n ) ∞ d Ω ∫ p n −1dp , (A.3) thêm vào đó, thể tích Ω( n ) hình cầu đơn vị khơng gian n chiều ngoại suy nhờ hàm Gamma Eiler: Ω( n ) = 2π n / Γ( n / ) (A.4) phụ thuộc vào tham số µ ( µ có thứ ngun thứ ngun khối lượng) đưa vào suy luận từ bảo tồn thứ ngun chung 3/ Ngồi ngoại suy số cơng thức tích phân khác sử dụng cách khử phân kỳ thơng thường trước Cơng thức Gauss có dạng: ε  iaµ  − ib2 / a i n i( ap + bp ) d pe = ÷ 2e π2 ∫  π  a (A.5) Tích phân việc thơng số hố Feynman tính cách tổ hợp cơng thức sử dụng: ε  µ  ( −1 )l +1 Γ( l + − ε ) i dnp regJ l ( D ) = ∫ = ÷ π ( p − D )l  π  D l +ε − 2Γ( l ) (A.6) Tích phân (A.1) phương pháp điều chỉnh thứ ngun nhờ chuyển tới α biểu diễn /2/, ta tìm được: i µ 2ε dn p I( k ) → regε J( k ) = ∫ π ( m2 + p ) m2 + ( p − k )    (A.7) Sử dụng cơng thức: ∞ − iα ( m + p ) = i d α e ; ( m2 + p ) ∫0 (A.8) 50 m2 + ( p − k )    ∞ = i ∫ d β e − i β  m +( p − k )2    ; (A.9) ta được: ∞ 2 − i ( α + β ) p − i β pk  i µ 2ε  regε J( k ) = ∫ dα d β e −iβ k −i( α + β )m ∫ d n pe  π (A.10) Mặt khác: ∫d n pe − i ( α + β ) p − i β pk     π =  i (α + β )  −ε  ÷ ÷  e i β2 k2 ( α +β ) ∞ 2  i µ 2ε π ⇒ regε J( k ) = ∫ dα d β e − iβ k −i( α + β )m   i (α + β ) π  ε ∞  iµ  = − ÷  π  dα d β ∫ (α + β ) −ε −i e β2 (α +β ) , (A.11) −ε  ÷ ÷  e i β2 k2 α ( +β ) k − i( α + β )m , (A.12) Đặt biến: α = ax ; β = a( − x ) ; ∂( α , β ) = a ; α + β = a ; αβ = ax( − x ) ∂( α ,x ) ε  iµ  ∞ −iax( 1− x )k −iam2 ⇒ regε J( k ) = −  , ÷ ∫ dx ∫ ada 2−ε e a  π  0 (A.13) Đặt Z( x,k ) = − x( − x )k − m ε  iµ  ∞ iaZ ( x ,k ) ⇒ regε J( k ) = −  , ÷ ∫ dx ∫ da 1−ε e  π  0 a Đưa vào biến mới: β = −iaZ( x,k ) ⇒ d β = −iZ( x,k )da ; a = 51 (A.14) β −iZ( x,k ) ∞ ∞   iaZ ( x ,k ) dβ β → ∫ da 1−ε e =∫   a −iZ( x,k )  −iZ( x,k )  0 = ∞ iε  −iZ( x,k ) ε ∫ d β β ε −1 ε −1 e − β e − β (A.15) Sử dụng định nghĩa hàm Gamma: ∞ ∫ d β β ε −1 e − β = Γ( ε ) ε  iµ  1 ⇒ regε J( k ) = −  ÷ ∫ dxΓ( ε ) ε  π  iε  −iZ( x,k ) ε   µ2  , = −Γ( ε )∫ dx  2   π m + x( − x ) k      (A.16) Khai triển biểu thức dấu tích phân: ε     µ2 µ2     = + ε ln 2 2 2  π  m + x( − x ) k    π  m + x( − x ) k   Với Γ( ε ) = − γ + O( ε ) , ε → ; γ = ,5772 số Euler-Mascheroni ε    µ2 1   ⇒ regε J( k ) = −  − γ + O( ε ) ÷∫ dx 1 + ε ln  2 ε    π  m + x( − x ) k       m + x( − x )2 k  1  = −  − γ + O( ε ) ÷∫ dx 1 − ε ln  − ε ln π  , (A.17)  µ ε 0     52 Bây giờ, cần phải lấy giới hạn cơng thức (A.17), có nghĩa cho ε → , nhận kết quả: regε J( k ) → − + I hữu hạn( ε ) ( k ) , ε (A.18) Trong đó: I hữu hạn (ε )  m + x(1 − x) k  (k ) = ∫ dx ln   + ln π + γ µ   (A.19) Như vậy, phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ ngun, phần kỳ dị tích phân (A.1) có cực ε −1 tác thành phần riêng (A.1) viết dạng: I ( k ) = I kì dò + I( k )hữu hạn (A.20) Vậy, áp dụng phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ ngun thu kết I kì dò = − ln π + c − So sánh với phương pháp cắt xung lượng ε lớn phần kỳ dị  Λ2  I kì dò = −1 + ln  ÷, phương pháp Pauli-Villars µ   µ2  I kì dò = ln  ÷ M  Với phương pháp điều chỉnh thứ ngun ta tránh việc đưa vào khối lượng điều chỉnh lớn M hay tham số điều chỉnh lớn Λ để khử tích phân theo xung lượng 53 PHỤ LỤC B CÁC Q TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG NGỒI Tiếp theo, xem xét photon thực ảo trường tán xạ electron Các đóng góp hồng ngoại mơ tả rõ ràng dựa giản đồ Chúng ta giả định ban đầu tâm tán xạ bị xung lượng khơng lượng Các khả xuất photon ảo Bây giờ, nghiên cứu q trình lượng lớn photon tạo tán xạ electron từ trạng thái có xung lượng p sang trạng thái có xung lượng p’ Chúng ta giữ trạng thái cuối cố định xem xét bậc thấp yếu tố ma trận Gọi M n ( p, p ') đóng góp yếu tố ma trận tương ứng với tất giản đồ mà chứa n photon ảo, yếu tố ma trận tổng qt là: ∞ M ( p , p ' ) = ∑ M n ( p, p ' ) (B.1) n=0 Vì có n photon, trơng chờ M n có phân kỳ hồng ngoại số hạng thứ n Mục tiêu M n có cấu trúc: M = m0 (B.2a) M = m0α B + m1 (B.2b) M = m0 ( α B) 2 + m1α B + m2 54 (B.2c) n M n = ∑ mn − r ( α B) r (B.2d) r! r =0 m j hàm phân kỳ hồng ngoại (phụ thuộc vào n), thừa số α B chứa đóng góp phân kỳ từ photon ảo Từ (B.1), (B.2) suy ra: ∞ M = exp ( α B ) ∑ mn (B.3) n =0 Để chứng minh biểu thức (B.2), bắt đầu với định nghĩa: Mn = n d ki ρ n ( k1 , kn ) ∏ n ! ∫ ∫ i =1 ki2 − λ (B.4) đây, khối lượng photon λ Thừa số 1/n! đưa vào (B.4) đối xứng n photon ảo ρn Sự đối xứng đóng vai trò quan trọng để xem xét tính đối xứng biểu thức (B.2) p p' Hình B.1 Mơ tả giản đồ chứa tất tương tác photon thực (n-1) photon ảo kn p p' ( a) kn kn p p' p p' ( b) ( c) 55 kn kn p p' p p' ( e) ( d) kn p p' ( f) p' δm p ( g) Hình B.2: Mơ tả cách để thêm photon ảo vào giản đồ hình B.1 Bây giờ, coi ρn hàm kn Hình B.1 mơ tả giản đồ liên quan đến (n-1) photon số lượng trường tương tác tuỳ ý Hình B.2 mơ tả cách khác để đưa n photon ảo vào giản đồ Các giản đồ hai đầu photon ảo thứ n kết thúc trường ngồi (hình a,b,c) Các giản đồ lại, có đầu photon thứ n kết thúc đường (hình B.2.d,e,f), hữu hạn kn → tất xung lượng ki photon ảo khác khơng Nếu kn → ki → đồng thời, phân kỳ chồng chéo kn ki phát sinh Khi đó, ta viết: ρ n ( k1 kn ) = S ( kn ) ρ n −1 ( k1 kn −1 ) + β n( 1) ( k1 kn −1 , k n ) , (B.5) Trong S ( kn ) chứa đóng góp phân kỳ kn từ hình Phần β n( 1) phần khơng chứa phân kỳ 56 Lặp lại cách làm (B.5) ta thu được: ρ n ( k1 kn ) = S ( kn ) S ( kn −1 ) ρ n − ( k1 k n − ) + S ( kn ) β n( 1−)1 ( k1 kn− , kn −1 ) (B.6) + S ( kn −1 ) β n( 1−)1 ( k1 kn − , kn ) { } + − S ( kn −1 ) β n( 1−)1 ( k1 k n− , kn ) + β n( 1) ( k1 k n−1 , kn ) Biểu thức dấu { } (B.6) khơng chứa phân kỳ hồng ngoại kn nên ta đặt: { −S ( k n −1 ) β n( 1−)1 ( k1 kn−2 , kn ) + β n( 1) ( k1 kn−1 , kn ) } = βn( 2) ( k1 kn−2 , kn−1 , kn ) (B.7) Tiếp tục lặp lại q trình (B.6), dẫn tới: n ρ n ( k1 kn ) = S ( k1 ) S ( kn ) + ∑ S ( k1 ) S ( ki −1 ) S ( ki +1 ) S ( k n ) β1 ( ki ) i =1 n + + ∑ S ( ki ) β n −1 ( k1 ki −1 , ki +1 kn ) + β n ( k1 kn ) i =1 r ∏ S ( ki ) βn −r ( kr +1 kn ) r = n !( n − r ) ! i =1 (B.8) n → ρn ( k1 kn ) = ∑∑ (B.9) Đặt (B.9) vào (B.4) ta thu được:  d kS ( k )  Mn = ∑ ∫ ÷ k − λ2  r = n !( n − r ) !  r n n−r d ki β n −r ( k1 kn −r ) ∫∏ i =1 ki (B.10) Cuối cùng, ta đặt: α B  p, p ' ( ε )  ≡ ∫ d kS ( k ) k2 − λ2 (B.11) Và mr  p, p ' ( ε )  ≡ n − r d ki ∏ β n−r ( k1 kn−r ) r ! ∫ i =1 ki2 57 (B.12) Ta thu biểu thức (B.2) Chú ý B mr phụ thuộc vào ε thơng qua lượng chuyển đổi E ' = E − ε Các khả xuất photon thực Phương trình (B.3) dẫn tới tiết diện tán xạ tỷ lệ với exp ( 2α B ) Tiết diện tán xạ n photon thực với tổng lượng ε có dạng: n dσ n d 3km n  ° = exp ( 2α B ) ∫ ∏ δ  ε − ∑ ki ÷ρ n ( p, p ', k1 k n ) dε n ! m =1 k + λ 2  i =1  ( m ) (B.13) đại lượng ρ° n đóng vai trò ρn photon ảo Cần ý, E ' = E − ∑ km khơng thiết phải trùng với E ' = E − ε , nhiên, hàm δ đảm bảo ρ° n có đóng góp tới (B.13) E ' = E − ε Khi đó: ∞ dσ dσ = lim ∑ n λ → dε n =0 d ε (B.14) Đại lượng ρ° n thu phương pháp tương tự đại lượng ρn (từ (B.5 đến B.9) ρ° n có tính chất đối xứng photon thực chồng chéo phân kỳ hồng ngoại huỷ bỏ cách thức cho photon thực ảo k p p' 58 ( a) k p p' ( b) k p p' ( c) Hình B.3 Mơ tả cách khác để thêm photon thực vào giản đồ Chúng ta thu biểu thức tương tự (B.8): n ρ° n ( k1 kn ) = S° ( k1 ) S° ( kn ) + ∑ S° ( k1 ) S° ( ki −1 ) S° ( ki +1 ) S° ( kn ) β° ( ki ) i =1 n + + ∑ S° ( ki ) β° n −1 ( k1 ki −1 , ki +1 k n ) + β° n ( k1 kn ) i =1 (B.15) Tương tự trước, S² chứa phân kỳ hồng ngoại (hình 6a,b) β° khơng có Chúng ta phải đánh giá S° E ' = E − ε Mặt khác, β° i ( km ) xác định miền E ' = E − ∑ km , nghĩa là, β° xác định E ' = E , β° ( k1 ) xác 59  n   i =1  định E ' = E − k1 ,…Bởi δ  ε − ∑ ki ÷, ∏ S ( k ) β° ( k ) j i m đóng góp tới (B.13) ε = ∑ ki +∑ km Ta chuyển hàm δ (B.13) dạng: n   δ  ε − ∑ km ÷ = m =1   2π ∞ n    dy exp iy ε − km ÷ ∑   ∫−∞ m =1    (B.16) Thay (B.16), (B.15) (B.13) vào (B.14) ta thu được: dσ = lim exp ( 2α B ) d ε λ →0 2π  k ≤ε  d 3k − iyk   ° ∫ dy.e exp  ∫ 2 12 S  k , p, p ' ( ε )  e  −∞  ( k + λ )  ∞ iyε ∞ °  n d 3km − iykm ° × β + e β n ( p, p ', k1 kn )  ∑ ∏ ∫ n =1 n ! m =1 k m   (B.17) Trong (B.17), biểu thức thứ mơ tả tổng hồng ngoại photon ảo, hàm mũ chứa S° mơ tả tổng hồng ngoại photon thực, β° tổng khơng hồng ngoại photon thực, tương tự, β° n tổng khơng hồng ngoại photon ảo Các hồng ngoại photon thực hàm mũ chứa S° liên quan đến photon thực khác thừa số e−iyk với điều kiện ∑ k = ε Khi ta viết: k ≤ε ∫ d 3k (k + λ2 ) ° − iyk = 2α B ° +D Se , (B.18) đây: °  k , p, p ' ( ε )  ≡ 2α B   k ≤ε ∫ d 3k (k Và 60 +λ ) S° (B.19) D  k , p, p ' ( ε )  ≡ k ≤ε ∫ d k ° − iyk S ( e − 1) k (B.20) Thừa số 2α B° phụ thuộc vào y, tích phân D xác định λ → Từ (B.18) tới (B.20), ta đặt: d σµ ≡ d ε 2π ∞ ∫ dye iyε + D −∞ ∞ ± n d km −iykm ±  e βn   β0 + ∑ ∫ ∏ n =1 n ! m =1 k m   (B.21) phần khơng hồng ngoại (B.17) Khi đó, từ (B.17) viết: { dσ ° = exp lim 2α B + B λ →0 dε thừa số ( )} d σµ dε (B.22) d σµ phụ thuộc vào giới hạn photon mềm (khi λ → ), B B° mơ tả dε đóng góp hồng ngoại bậc thấp hiệu chỉnh tán xạ Hệ số hồng ngoại Như trình bày trên, B phát sinh từ giản đồ 5(a), (b), (c), B° từ giản đồ 6(a), (b) Trong giản đồ có tính chất đặc biệt photon đóng góp tới B B° có liên quan đến trường ngồi hồn tồn độc lập với phần bên giản đồ (phần gạch chéo) Biểu thức B B° có dạng: B= i ( 2π ) pµ − k µ  d k  p 'µ − k µ ∫ k − λ  p '.k − k − p.k − k ÷ Và 61 (B.23) ° = −1 B 8π ε pµ   p 'µ −  ∫0 2 12  k p ' k p ÷ (k +λ ) d 3k (B.24) Trong (B.24) đặt p.k − λ → p.k pµ − kµ → pµ ,…khi xét λ → Ngồi ra, ta đặt: 1 = − iπδ ( k − λ ) 2 k − λ + iε k − λ (B.25) Khi hiệu ứng photon ảo trở thành hiệu ứng photon thực Các đóng góp cực thành phần: 8π ∫ d 3k (k + λ2 ) 2 pµ − k µ   p 'µ − k µ −  ÷ 2 p.k − λ   p '.k − λ (B.26) Khi k → , phần phân kỳ (B.26) B° huỷ bỏ Các đóng góp cực hàm truyền electron ( p.k − k ) −1 ( p '.k − k ) −1 hữu hạn λ → Khi p ' → p , B° triệt tiêu thành kết cổ điển hạt khơng tăng tốc khơng có lượng xạ Tương tự, B triệt tiêu p ' → p thể khử tái chuẩn hố hàm sóng Khi xét lượng cao ε nhỏ, B B° viết dạng gần đúng: B=− 2π  p p '  m 2 p p '  m2  ln ln + ln − − ln    ÷ m2  λ 2 m2 2 λ2   (B.27) Và 2 ° = ln p p '  ln m + ln p p ' − ln E.E '  − ln m + ln E.E '  (B.28) B    ÷ 2π  m2  λ 2 m2 ε2  λ2 ε2  Nếu sử dụng xung lượng nhỏ photon kmin thay cho khối lượng photon λ , ta thu được: 62 B=− 2π  p p '  E.E '  E.E '  ln − ÷− ln   ln  m  kmin  kmin   (B.29) Và ° =  ln p p ' − 1 ln ε , B  ÷ 2π  m2  kmin (B.30) Khi tổng B ( λ ) + B° ( λ ) giống B ( kmin ) + B° ( kmin ) : ° = − α A ln E.E ' + α ln p p ' , 2α B + B ε2 2π m2 ( ) (B.31) đây: p   p' k 2α 2α  p p '  α A ≡ − ∫ dΩ  µ − µ ÷ ≅ ln − 1÷ 4π π  m2   p '.k p.k  63 (B.32) [...]... hình vẽ 2.1: Hình (2.1a) electron xung lượng p bay vào điện từ trường ngoài bị tán xạ, bức xạ ra một photon xung lượng k làm giảm năng lượng của electron bay ra chỉ còn là p’ Hình (2.1b) electron xung lượng p bức xạ một photon k giảm xung lượng rồi sau đó bay vào điện từ trường ngoài, tán xạ và bay ra với xung lượng p’ 28 Theo công thức tính tiết diện tán xạ vi phân ta có: uur 4 d σ B = ( 2π ) S f Si... CHƯƠNG 2 TIẾT DIỆN TÁN XẠ ĐỘC LẬP VỚI PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI 2.1 Bổ chính photon thực cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất Bây giờ chúng ta xem xét đóng góp của các photon thực cho quá trình tán xạ đàn tính kể trên Các giản đồ Feynman kể các đóng góp của các photon thực “mềm” mô tả ở hình 2.1: k p' p' p p k (a) (b ) Hình 2.1: Giản đồ Feynman cho tán xạ trong trường điện từ ngoài bức xạ photon thực “mềm”... electron trong trường điện từ ngoài gần đúng bậc nhất Electron xung lượng p bay vào vùng có trường điện từ và lệch hướng bay ra có xung lượng p’ Giản đồ (1.2b) electron khi bay vào vùng có trường điện từ đã bức xạ ra một photon và lệch hướng bay đồng thời hấp thụ photon đã bức xạ trước rồi ra khỏi vùng có trường điện từ Giản đồ (1.2c) diễn tả quá trình electron tương tác với trường điện từ ngoài, sau... 2.2 Phương pháp λmin Trong lý thuyết trường (trong QED) ta hay gặp các phân kỳ hồng ngoại (khi đó các tích phân sẽ phân kỳ ở vùng năng xung lượng thấp) Muốn cho các tích phân hội tụ ta phải quy cho photon một khối lượng bổ trợ λmin nào đó, trong biểu thức dưới dấu tích phân ta sẽ thay tạm thời hàm truyền của photon bằng hàm truyền 1 k2 1 2 2 , trong đó λmin = m , và m là khối lượng của các hạt 2 k... Feynman cho bổ chính photon ảo được đưa ra trong hình 1.2 Trong vùng hồng ngoại chúng ta chỉ cần tính đối với giản đồ (1.2b) bởi vì tất cả các giản đồ còn lại đều hội tụ /3/, không chứa phân kỳ ( b) ( a) ( c) −δ m (d) −δ m (e) (f ) (h) Hình vẽ 1.2: Giản đồ Feynman cho bổ chính cho tán xạ đàn tính của electron trong trường điện từ ngoài Giải thích hình 1.2: Giản đồ (1.2a) diễn tả quá trình tán xạ của... Rutherford bởi bổ chính p2 θ cos 2 , nó được 2 m 2 giải thích như là sự đóng góp do sự tồn tại spin của electron Vậy ta thu được kết quả cho tán xạ của electron trên trường Coulomb chính xác hơn kết quả thu được của Rutherford 17 1.2 Bổ chính photon ảo cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất Chúng ta nghiên cứu đóng góp của các bổ chính cho bài toán tán xạ trong gần đúng bậc nhất đã xem xét ở trên Bổ chính ở đây... hoá điện tích của electron 18 trong quá trình tán xạ Giản đồ (1.2d, 1.2e) trong quá trình tương tác với trường điện từ ngoài electron bức xạ và hấp thụ các photon, quá trình này xảy ra có thể trước hoặc sau tương tác với trường ngoài Giản đồ (1.2f, 1.2h) xuất hiện do việc kể thêm các phản thành phần có chứa thừa số δ m trong Lagrangian tương tác để tái chuẩn hoá khối lượng electron trong quá trình tán. .. này tương đương với việc cắt tích phân ở giới hạn dưới nào đấy khi k ≈ λmin và trong kết quả cuối cùng ta cho λmin → 0 Từ (2.8) ta dẫn lại công thức tính tiết diện tán xạ:  2 p p ' m2 m2  δB = e ∫ − − 3  2 2 2k0 ( 2π )  k pk p ' ( k p ) ( k p ')  2 d 3k (2.18) Chính tích phân này chứa phân kỳ hồng ngoại mà ta cần xem xét Bây giờ, để tiện cho việc tính toán, ta thay thế p → p1 ; p ' → p2... S1 pr = δ ( p'0 − p0 )R fi (1.7) trong đó R fi được xác định bằng công thức: 1/ 2  m2  r' r ext R fi = −2π e. ÷ u ( p')γ µ u ( p )Aµ ( p' − p ) ,  p0 p'0  (1.8) và được gọi là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài tĩnh (trường thế Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo electron Giữa R fi và xác xuất của phép dời chuyển từ trạng thái ban đầu đến trạng thái... )M fi trong đó Pi và Pf là xung lượng của trạng thái đầu và trạng thái cuối Vì hạt ở trong trường ngoài không đổi, nên xung lượng của hạt không bảo toàn, mà chỉ có năng lượng bảo toàn nên công thức (1.7) khác công thức uur ur uur ur f S1 − 1 i = δ ( Pf − Pi )R fi ở thừa số δ 3 ( p' − p ) vì δ 4 ( p' − p ) = δ ( p'0 − p0 ) δ 3 ( p' − p ) 13 Vậy dạng của yếu tố ma trận hạt tán xạ trên trường ngoài (1.7)