Hình học xạ ảnh 32

Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh

NHÓM 2

Bài 32:

Chứng minh rằng nếu bốn đỉnh của hình bốn đỉnh toàn phần nằm trên một đường cong bậc hai S thì

3 điểm chéo của nó làm thành một tam giác tự đối cực đối với S Phát biểu bài toán đối ngẫu

Giả sử ta có hình bốn đỉnh toàn phần

MNPQ, gọi A, B, C là 3 điểm chéo như hình vẽ

• Chứng minh tam giác ABC tự đối cực

Gọi I=BCxPQ Xét hình 4 đỉnh toàn phần MNPQ

B C

M

N

P

Q J

I

Ta có:

(BA,BC,MQ,NP)= -1 Suy ra: (AIQP)= -1

Hay: A liên hợp với I đối với S (1)

* Gọi J=BCxMN

Tương tự ta cũng có: (AJMN)= -1

Nên A liên hợp với J đối với S (2)

Từ (1) và (2) ta có: IJ là đường thẳng đối

cực của điểm A đối với S

Mà BC≡IJ nên BC là đường thẳng đối cực

của A đối với S

B C

M

N

P

Q J

I

lược là đường thẳng đối cực của C, B đối

với S

Vậy ∆ABC tự đối cực đối với S

• Phát biểu bài toán đối ngẫu:

Chứng minh rằng nếu bốn cạnh của một hình bốn cạnh toàn phần tiếp xúc với

đường cong bậc hai S thì ba đường chéo

của nó làm thành một tam giác tự đối cực

đối với S