Hình hoc xạ ảnh 16

Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh

HÌNH H C ỌC

Nhóm 1

NHÓM 1

BÀI 16:

Trong Pn cho hai cái phẳng phân biệt Pm và

P’m, 0  m  n-1 và một cái phẳng Pn-m-1 không

giao với chúng

a/ Gọi M là một điểm của Pm , ta dựng qua M

và Pn-m-1 một (n-m)-phẳng.Chứng minh rằng giao của(n-m)-phẳng đó và P’m là một điểm duy nhất

b/ CMR: ánh xạ f : Pm  P’m sao cho

f(M)=M’ là một ánh xạ xạ ảnh, gọi là phép chiếu xuyên (n-m)-phẳng

Bài giải:

a/Để Cm: Pn-m  P’m =M’ 

Cm: p n m  p m'

Gọi Pn-m là cái phẳng qua M và chứa Pn-m-1

Ta có: P m  P n m1  ( giả thuyết)

dim(P’m + Pn-m-1) =dim P’m + dim Pn-m-1 +1

= m + n - m - 1 +1 = n

Suy ra: P’m + Pn-m-1 = Pn

 P’m + Pn-m = Pn

Thật vậy: giả sử Pq = P’m + Pn-m

Do p n m 1  p n m



 



dim P m  P n m  0

Suy ra: q  n

Mặt khác : q  n (gt) 

+ giả sử : '

n m m

P P = 

n m m

P P )= dim P n-m + dim P’m +1

1 1

n n m m

n n

    

Vậy : Pn-m  P’m  

n m m

P P ) = dim P n-m + dim P’m – dim(P n-m + P’m ) = n – m + m – n = 0

 Pn-m-1  P’m là một điểm duy nhất



• Chứng minh ánh xạ: f: Pm P’m

M f(M) = M’ là ánh

xạ xạ ảnh

( M’ P’m Pn-m)

Lập tương ứng:

: Vm+1 V’m+1

được xác định như sau:

Vm+1 Vn+1 = V’m+1 Vn-m





1

   



x 

x    x   

b/ Gọi Vn+1,Vm+1, V’m+1, Vn-m+1 là các kgvt

sinh ra Pn, Pm, P’m, Pn-m

V’m+1, Vn-m

sao cho:

Đặt

là một ánh xạ

• Chứng minh là 1 đẳng cấu tuyến tính

• Chứng minh là đồng cấu tuyến tính Thật

vậy:

Vm+1



1

!x

   x 2

x x     x 

1

( ) x x

   







,

x y

      1 2

1 2

 

 

  

   1 1 1

, ' , n m m

x y V

x y V  





 

 



 

   

  x k

x k

x k x

k x

k K

k

y x

y x

y y

x x

y x

có

Ta













































































1

2 1

1 1

2 1

2 1

:

là đồng cấu tuyến tính

• Chứng minh là đơn cấu

Ta có Ker = { }

= { , }

= { }= Vm+1 Vn-m = (do Pm Pn-m-1= )

Vậy là đơn cấu

• Chứng minh là toàn cấu:

Ta có Im = { }

=

=

= V’

m

x V     x   

1 2 m 1 / 1 0

x   x   V  x   

2 m 1 / 2 n m

x   V  x   V 









 f x x V ( ) /    m1

{ / x x    x   Vm }

{ / x x    V ' ,m x   Vn m }

0 

m n

V

    

là toàn cấu.

Vậy là đẳng cấu.

Giả sử

Mà

Ta có:

0, dd '

a  a M

a V  V   V L a

x    x x  

x V     V  

2 n m 2 n m 1

x V     x V    

1 n m 1



M



 x x1  đd f  M M 



Vậy ánh xạ f đã cho là ánh xạ xạ ảnh, gọi là phép chiếu xuyên (n-m)-phẳng.

1 'm 1

x   V 

1 'm 1 n m 1

1

0 /

k x ka

     

M

x  đd 

 1