Bài giảng bài số phức giải tích 12 (4)

BÀI GIẢNG TOÁN 12 – GIẢI TÍCH CÂU HỎI: Nêu khái niệm bậc hai số phức z Tìm bậc hai số phức 1  i  Đáp án Một số phức z thoả mãn z2 =W gọi bậc hai số phức W 2    i   i  c os  i sin   2 4         cos  i.sin    cos  i.sin  4  8  Vậy có hai bậc hai là: cos    i.sin ; 8  cos   i.sin  Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số phức dạng lượng giác a Acgumen số phức z ≠ ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi Acgumen z y M(z)  x O Chú ý: Nếu  Acgumen z acgumen z có dạng  +2k ( k  Z ) Ví dụ: y N( l.z ) - Số thực dương tuỳ ý có acgumen M(z) - Số thực âm tuỳ ý có acgumen    - Số -2i có acgumen  - Số 3i có acgumen  O - Số phức z≠0 có acgumen  số phức l.z có acgumen là:  + 2k với k  Z ) x Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số phức dạng lượng giác a Acgumen số phức z ≠ ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian ) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi Acgumen z Chú ý: Nếu  Acgumen z acgumen z có dạng  +2k ( k  Z ) y Q(  z ) M(z)  O N( - z ) - x R( ) z P( z ) H1 Biết số phức z ≠ có acgumen  Hãy tìm acgumen số phức:  z  (a  bi)  a  bi có Acgumen  +  z  (a  bi)  a  bi có Acgumen -  z  a  bi z z   2 z z z z z a b có Acgumen -  có Acgumen -  Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số phức dạng lượng giác a Acgumen số phức z ≠ ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi Acgumen z Chú ý: Nếu  Acgumen z acgumen z có dạng  +2k ( k  Z ) b Dạng lượng giác số phức Xét số phức dạng z = a + bi≠0 (a, b ) Kí hiệu r  z  a  b2 dễ thấy: a  r.cos ; b= r.sin Vậy z = a + bi viết dạng khác z  r.(cos  i.sin ) y M(a+bi) b  O x a Định nghĩa Dạng z  r (cos  isin ) r > 0, gọi dạng lượng giác số phức z ≠ Còn dạng z = a+ bi (a, b ) Được gọi dạng đại số số phức z Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số phức dạng lượng giác a Acgumen số phức z ≠ ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi Acgumen z Chú ý: Nếu  Acgumen z acgumen z có dạng  +2k ( k  Z ) b Dạng lượng giác số phức ĐỊNH NGHĨA Dạng z  r (cos  isin ) R > 0, gọi dạng lượng giác số phức z ≠ Còn dạng z = a+ bi (a, b ) Được gọi dạng đại số số phức z y M(a+bi) b  O x a Nhận xét để tìm dạng lượng giác z  r (cos  isin ) số phức Z = a + bi (a, b ) z ≠ ta tiến hành bước Tìm r  a  b2 Tìm  số thực cho a b cos = ;sin   r r Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số phức dạng lượng giác a Acgumen số phức z ≠ ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi Acgumen z b Dạng lượng giác số phức ĐỊNH NGHĨA Dạng z  r (cos  isin ) R > 0, gọi dạng lượng giác số phức z ≠ Còn dạng z = a+ bi r  a b a b cos = ;sin   r r 2 (a, b ) Được gọi dạng đại số số phức z Ví dụ +Số có mô đun , có acgumen +Số -4 có môđun 4, có acgumen  +Số 3i có môđun , có acgumen  số -2i có môđun , có acgumen   số  3i Có môđun r  1+3   Lấy cos   sin      Vậy acgumen 3 Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số phức dạng lượng giác a Acgumen số phức z ≠ ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi Acgumen z b Dạng lượng giác số phức ĐỊNH NGHĨA Dạng z  r (cos  isin ) r > 0, gọi dạng lượng giác số phức z ≠ a b cos  = ;sin   r  a b r r Còn dạng z = a+ bi (a, b ) 2 Được gọi dạng đại số số phức z Chú ý: | z | =  z = cos + i.sin (  ) Khi z =  | z | = acgumen z tuỳ ý : = (cos + i sin) Cần ý đòi hỏi r > dạng lượng giác số phức z ≠ Ví dụ a Số phức –(cos+ i.sin) có dạng lượng giác : cos(+) + i sin (+) a Số phức cos - i.sin có dạng lượng giác : cos(- ) + i sin (- ) Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số phức dạng lượng giác a Acgumen số phức z ≠ ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi Acgumen z b Dạng lượng giác số phức ĐỊNH NGHĨA Dạng z  r (cos  isin ) R > 0, gọi dạng lượng giác số phức z ≠ Còn dạng z = a+ bi r  a b a b cos = ;sin   r r 2 (a, b ) Được gọi dạng đại số số phức z Cho z = r ( cos + i sin) Tìm môđun acgumen z H2 z z   2 2z z z z z r  (cos -i.sin ) r =  cos(- )  i.sin(- )  r Vậy môđun acgumen Là : ,acgumen :   r z Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số phức dạng lượng giác a Acgumen số phức z ≠ ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi Acgumen z b Dạng lượng giác số phức ĐỊNH NGHĨA Dạng z  r (cos  isin ) Định lý: Nếu z = r. cos  i.sin  ( r  0) z '  r '.(cos ' i.sin ') ( r '  0)  z.z' = r.r'. cos( + ')  i.sin( + ')  z ' r'   cos( '  )  i.sin( '  ) ; ( r  0) z r Chứng minh Ví dụ Công thức Moa – vrơ (Moivre) ứng dụng R > 0, gọi dạng lượng giác số phức z ≠ r  a  b2 ; a b cos = ;sin   r r Còn dạng z = a+ bi gọi dạng đại số Nhân chia số phức dạng lượng giác a Công thức Moa – vrơ b ứng dụng vào lượng giác c Căn bậc số phức dạng lượng giác 4.Hướng dẫn học làm nhà Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Chứng minh z.z' = r.r'.cos( + ')  i.sin( + ')  z.z' = r. cos  i.sin   r '.(cos ' i.sin ')   r.r ' coscos ' sinsin '  cossin ' sincos  i   r.r ' cos(   ')  i.sin     '  Chứng minh z ' r'  cos( '  )  i.sin( '  ); (r  0) z r z ' z '.z  r '(cos ' + i.sin '  r (cos  i.sin    z z.z r2 r'   cos '.cos  sin  '.sin   i.(cos sin  ' sin  cos ')  r r'   cos( '  )  i.sin( '  )  r Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG  2 i         i  2  i    cos   2  Ví dụ 1+i =      cos  i.sin  1+ i 4       3i  cos  i.sin  6       cos  i.sin  4   i.sin   6        cos  i.sin   cos  i.sin  4  6          cos  i.sin   cos  i.sin  6  6  2 2           c os   i sin   c os  i sin        6 12 12       Nhận xét: thực phép chia hai số phức dạng đại số ta   1+ i   i 1+ i =    (  1).i 4 i  cos  12   2(1  3)  2(  1) ; sin  12  Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG a Công thức Moa-vrơ Từ công thức nhân số phức dạng lượng giác, qui nạp toán học với số Nguyên dương n,  r (cos +i.sin )n  r n (cosn  i.sin n ) Khi r = 1, ta có (cos +i.sin )n  (cosn  i.sin n )  hai công thức gọi công thức Moa- vrơ Ví dụ 5: 1  i  5         cos  i.sin    4       cos5  i.sin  4    5  2  2 i   4 1  i    Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG b Ứng dụng vào lượng giác Công thức khai triển luỹ thừa bậc nhị thức cos + i sin  cho ta  cos  i sin  3  cos3  3cos2  i.sin    3cos  i.sin  2  (i.sin  )3  cos3  3cos sin   i.(3cos 2 sin   sin  ) Mặt khác theo công thức Moa- vrơ  cos  i.sin    cos3  i.sin3 3   c os3   c os   c os  sin  c os3   c os   3cos     3 sin   c os  sin   sin  sin   3.sin   4sin      Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG c Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Từ công thức Moa- vrơ số phức z = r (cos+i.sin), r > có hai bậc hai    r  cos  i.sin  2  Và         r  cos  i.sin   r cos(   )  i.sin(   )  2 2    [...]...       2  4 6 4 6 2 12 12       Nhận xét: nếu thực hiện phép chia hai số phức dưới dạng đại số ta được   1+ i  3  i 1 1+ i =  1  3  ( 3  1).i 4 4 3 i  cos  12   2(1  3)  2( 3  1) ; sin  4 12 4  Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG a Công thức Moa-vrơ Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng qui nạp toán học với mọi số Nguyên dương n,  r (cos... 3 c os  sin  c os3   4 c os   3cos     2 3 3 sin 3   3 c os  sin   sin  sin 3   3.sin   4sin      Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG c Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Từ công thức Moa- vrơ số phức z = r (cos+i.sin), r > 0 có hai căn bậc hai    r  cos  i.sin  2 2  Và         r  cos  i.sin   r cos(   )  i.sin(   )  2...Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Chứng minh z.z' = r.r'.cos( + ')  i.sin( + ')  z.z' = r. cos  i.sin   r '.(cos ' i.sin ')   r.r ' coscos ' sinsin '  cossin ' sincos  i   r.r... công thức Moa- vrơ Ví dụ 5: 1  i  5 5        2  cos  i.sin    4 4      2  cos5  i.sin 5  4 4    5  2 2  4 2 i   4 1  i  2   2 Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG b Ứng dụng vào lượng giác Công thức khai triển luỹ thừa bậc 3 của nhị thức cos + i sin  cho ta  cos  i sin  3  cos3  3cos2  i.sin    3cos  i.sin  2  (i.sin  )3 ...  r '(cos ' + i.sin '  r (cos  i.sin    z z.z r2 r'   cos '.cos  sin  '.sin   i.(cos sin  ' sin  cos ')  r r'   cos( '  )  i.sin( '  )  r Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG  2 2 i  2   2  3 1    3  i  2  i   2  cos 6   2 2  Ví dụ 4 1+i = 2     2  cos  i.sin  1+ i 4 4       3i 2  cos  i.sin  6 6      2  cos ... giác số phức z ≠ Còn dạng z = a+ bi (a, b ) Được gọi dạng đại số số phức z Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số phức dạng lượng giác a Acgumen số phức z ≠ ĐỊNH NGHĨA Cho số phức. .. Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số phức dạng lượng giác a Acgumen số phức z ≠ ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian ) góc lượng giác... Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số phức dạng lượng giác a Acgumen số phức z ≠ ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian) góc lượng giác