Các hàm nửa liên tục và đa điều hoà dưới

1 mục lục Trang Lời giới thiệu Chơng Hàm nửa liên tục 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Hàm nửa liên tục Chơng Các hàm điều hòa dới đa điều hòa dới 26 2.1 Các hàm điều hòa điều hòa dới 26 2.2 Hàm đa điều hòa dới 38 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 lời giới thiệu Trong giải tích phức, hàm điều hòa, điều hòa dới đa điều hòa dới đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu tính chất hàm chỉnh hình nhiều biến, đặc biệt lý thuyết đa vị Nó thu hút đợc quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Sau thời gian nghiên cứu tài liệu có liên quan dới dẫn dắt giúp đỡ thầy PGS.TS Đinh Huy Hoàng chọn đề tài "Các hàm nửa liên tục đa điều hòa dới" Mục đích luận văn tìm hiểu nghiên cứu tính chất, cấu trúc lớp hàm nửa liên tục, từ nghiên cứu tính chất hàm điều hòa, điều hòa dới đa điều hòa dới Với mục đích luận văn đợc trình bày thành hai chơng Chơng Hàm nửa liên tục Phần chơng, trình bày số khái niệm kết không gian tôpô, không gian mêtric, hàm chỉnh hình mà cần dùng luận văn Phần tiếp theo, dựa vào khái niệm hàm nửa liên tục không gian mêtric trình bày khái niệm hàm nửa liên tục không gian tôpô xét xem tính chất tơng tự nh hàm nửa liên tục không gian mêtric cho trờng hợp không gian tôpô hay không? Chơng Các hàm điều hòa dới đa điều hòa dới Phần đầu chơng, trình bày khái niệm tính chất hàm điều hòa điều hòa dới Phần thứ hai, trình bày khái niệm số tính chất hàm điều hòa dới; nghiên cứu cấu trúc họ hàm đa điều hòa dới Các kết luận văn hầu hết có tài liệu tham khảo Chúng tìm hiểu, trình bày chi tiết theo mục đích mình; chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu chứng minh vắn tắt không chứng minh Bên cạnh đa chứng minh vài kết quả, Mệnh đề 1.2.8, Định lí 2.2.8 Hệ 2.2.9 Luận văn đợc thực hoàn thành Đại học Vinh Đại học Đồng Tháp dới hớng dẫn tận tình thầy PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Đinh Huy Hoàng ngời hết lòng, tận tình giúp đỡ bớc nghiên cứu khoa học, ngời động viên giúp vững tin để hoàn thành luận văn nghiên cứu khoa học Xin trân trọng cảm ơn thầy tổ Giải tích trờng Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy đóng góp ý kiến, nh động viên giúp cho hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trờng Đại học Vinh, Ban Giám Hiệu Trờng Đại học Đồng Tháp Khoa sau đại học trờng Đại học Vinh, Đại học Đồng Tháp tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn không tránh khỏi thiếu sót định Vì mong nhận đợc ý kiến đóng góp quí báu thầy cô giáo bạn đọc để luận văn đợc hoàn thiện Tác giả Chơng hàm nửa liên tục Trong chơng này, trình bày khái niệm hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục dới, phép toán tập hợp hàm nửa liên tục Sau chứng minh số tính chất hàm nửa liên tục cấu trúc họ hàm nửa liên tục 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục trình bày số khái niệm kết cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng Một họ tập X đợc gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện sau: 1) , X ; 2) Nếu U1, U2 U1 U2 ; 3) Nếu Ui , i I Ui iI Tập X với tôpô đợc gọi không gian tôpô 1.1.2 Định nghĩa Cho X không gian tôpô với tôpô Một tập hợp V X đợc gọi lân cận x tồn U cho x U V 1.1.3 Định nghĩa Cho (X, ) không gian tôpô Ta gọi tập U tập mở Mọi tập A X đợc gọi tập đóng X\A tập mở 1.1.4 Định lí Hợp số hữu hạn tập đóng tập đóng Giao họ tùy ý tập đóng tập đóng 1.1.5 Định nghĩa Cho X không gian tôpô Tập A X gọi compact (trong X) phủ mở A có phủ hữu hạn Điều có nghĩa Ui tập mở X với i I cho Ui A tồn tập hữu hạn Io I cho iI Ui A iIo Không gian X đợc gọi không gian compact X tập compact X Tức Ui mở X, với i I tập hữu hạn Io I cho Ui = X Ui = X có iI iIo 1.1.6 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng hàm d : X ìX R Hàm d đợc gọi mêtric hay khoảng cách X thỏa mãn điều kiện sau: 1) d(x, y) x, y X, d(x, y) = x = y; 2) d(x, y) = d(y, x) x, y X; 3) d(x, y) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X Tập X với mêtric đợc gọi không gian mêtric 1.1.7 Định lí Cho A tập không gian mêtric X Khi A compact dãy {an } A có dãy {ank } hội tụ đến a A 1.1.8 Định nghĩa Ta nói ánh xạ f : X Y , với X Y không gian tôpô, liên tục xo X với lân cận V f (xo) tồn lân cận U xo cho f (U ) V Nếu f liên tục x X, ta nói f liên tục X 1.1.9 Định nghĩa Giả sử X không gian mêtric f : X R Nếu dãy {xn } X, xn xo X, dãy {f (xn)} có giới hạn (hữu hạn hay vô hạn), giới hạn đợc gọi giới hạn riêng f x xo Số lớn ( tơng ứng bé ) trong giới hạn riêng đợc gọi giới hạn (tơng ứng dới) f x xo viết lim f (x) xxo (tơng ứng lim f (x)), hay lim sup f (x) (tơng ứng lim inf f (x)) xxo xxo xxo Từ định nghĩa ta có lim f (x) = inf {sup{f (x) : x B(xo, )}} xxo >0 lim f (x) = sup{inf{f (x) : x B(xo , )}} xxo >0 1.1.10 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi không gian Lindelop phủ mở có phủ đếm đợc 1.1.11 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô b họ b gọi sở tôpô không gian X, lân cận V x, tồn B b cho tập mở X Họ với điểm x X x B V Một sở tôpô b không gian tôpô X gọi đếm đợc b gồm số (không quá) đếm đợc tập mở Không gian tôpô X đợc gọi thỏa mãn tiên đề đếm đợc thứ hai có sở tôpô đếm đợc 1.1.12 Định lí (Lindelop) Mọi không gian tôpô X có sở tôpô đếm đợc Lindelop 1.1.13 Định nghĩa Giả sử D tập mở C, f hàm từ D vào C zo điểm thuộc D Nếu tồn giới hạn f (zo + z) f (zo ) z0 z lim ta nói f có đạo hàm hay khả vi (theo nghĩa phức) zo gọi đạo hàm f zo Ta kí hiệu đạo hàm f zo f (zo ) Hàm f đợc gọi chỉnh hình zo khả vi điểm thuộc lân cận zo 1.1.14 Định nghĩa Giả sử D tập mở Cn f : D C với f = u + iv, u = Ref, v = Imf hai hàm nhận giá trị thực xác định G = {(x1, y1, , xn, yn) R2n : (x1 + iy1 , , xn + iyn ) D} Với z = (z1, , zn ) D, zj = xj + iyj ; j = 1, , n ta kí hiệu f f f f f f , = i = +i zj xj yj zj xj yj Hàm f đợc gọi khả vi điểm z D hàm u, v khả vi (x1, y1 , , xn, yn ) f (z) = 0, zj j = 1, , n Hàm f đợc gọi chỉnh hình điểm z f khả vi điểm thuộc lân cận z Hàm f đợc gọi chỉnh hình D f chỉnh hình điểm thuộc D 1.1.15 Định nghĩa Giả sử D tập mở Cn f : D Cm với f = (f1, , fm), fj : D C với j = 1, , m Hàm f đợc gọi chỉnh hình điểm z D hàm fj chỉnh hình z với j = 1, , m Hàm f đợc gọi chỉnh hình D chỉnh hình điểm thuộc D 1.1.16 Định lí (Tính khả vi hàm hợp) Giả sử D tập mở Cn f : D C khả vi z D Khi 1) Nếu : C C hàm khả vi w = f (z) hàm hợp of khả vi z 2) Nếu : Cm Cn khả vi t Cm (t) = z hàm hợp f o khả vi t 1.2 Hàm nửa liên tục Trong mục trình bày khái niệm tính chất có liên quan hàm nửa liên tục 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô, f : X R ánh xạ từ tập X vào tập hợp số thực R 1) Ta nói hàm f nửa liên tục xo X với số thực R mà f (xo) < tồn lân cận mở U xo X cho f (x) < , với x U 2) Hàm f đợc gọi nửa liên tục dới xo X với số thực R mà f (xo) > tồn lân cận mở V xo X cho f (x) > , với x V 3) Hàm f : X R đợc gọi nửa liên tục (tơng ứng dới) X hàm nửa liên tục (tơng ứng dới) điểm thuộc X 1.2.2 Mệnh đề Cho X không gian tôpô, ánh xạ f : X R hàm nửa liên tục trên X số thực c R Khi 1) Nếu c > c.f hàm nửa liên tục trên X 2) Nếu c < c.f hàm nửa liên tục dới X Chứng minh 1) Giả sử f : X R hàm nửa liên tục trên X, c > Với xo điểm X, với số thực R c.f (xo) < Do c > nên từ c.f (xo) < Suy f (xo) < Theo giả c thiết f hàm nửa liên tục trên X nên f hàm nửa liên tục 10 , x U suy c c.f (x) < , x U Vậy c.f hàm nửa liên tục xo X Vì xo xo Do tồn lân cận mở U xo cho f (x) < điểm X nên c.f hàm nửa liên tục trên X 2) Giả sử f : X R hàm nửa liên tục trên X c < Với xo X với số thực R c.f (xo) > , c < nên f (xo) < c Do f hàm nửa liên tục trên X nên f hàm nửa liên tục xo Do tồn lân cận mở V điểm xo thỏa mãn f (x) < , với c x V Vì c < nên c.f (x) > với x V Do c.f hàm nửa liên tục dới xo Vì xo điểm X nên c.f hàm nửa liên tục dới X 1.2.3 Nhận xét 1) Cho X không gian tôpô, f : X R hàm nửa liên tục dới X số thực c R Khi + Nếu c > c.f hàm nửa liên tục dới X + Nếu c < c.f hàm nửa liên tục trên X 2) Cho X không gian tôpô, f : X R đó, f hàm nửa liên tục trên X f hàm nửa liên tục dới X 1.2.4 Mệnh đề Cho X không gian tôpô, ánh xạ f : X R Khi đó, f hàm nửa liên tục trên X với số thực R tập {x X : f (x) } đóng Chứng minh + Điều kiện cần Giả sử f : X R hàm nửa liên tục trên X, với số thực R, ta đặt A = {x X : f (x) } 32 Nh w(b) > Ta có điều mâu thuẫn Từ suy w G, tức v h G ta có v h G Vậy u SH() + Điều kiện cần Giả sử u C2 () SH() nhng tồn a cho u(a) < Khi (u(a)) > Từ tính liên tục (u) ta suy tồn lân cận U a cho (u) > U Theo điều kiện đủ chứng minh u SH(U ) Mặt khác, hiển nhiên u SH(U ) Do đó, theo Mệnh đề 2.1.11 u H(U ) Vì u = U , đặc biệt u(a) = Ta có điều mâu thuẫn Vậy u 2.1.13 Định lí Giả sử {u }A họ hàm điều hòa dới miền cho u(z) = sup u (z) < với z A Nếu u nửa liên tục u điều hòa dới Chứng minh Ta cần chứng minh u h biên U hình tròn U , hàm h liên tục U điều hòa U u h U Bởi u điều hòa dới u h U nên ta có u h với A Vì u(z) = sup u (z) h(z) a với z U 33 2.1.14 Định lí (Tiêu chuẩn điều hòa dới C) Giả sử D miền C u : D [, +) hàm nửa liên tục Khi đó, u SH(D) u(z) u(z + rei )d (2.2) với z D với r (0, d(z, D)) Chứng minh Giả sử u điều hòa dới D, z D < r < d(z, D) Với k 1, đặt {u( ) k| |}, D uk () = max | z|=r Khi uk hàm liên tục : | z| = r uk giảm đến u Theo toán Dirichlet tồn hàm hk thác triển điều hòa uk tới | z| < r Từ uk+1 uk | z| = r ta suy hk+1 hk | z| r Vì ta xác định đợc hàm h() = lim hk (), { D : | z| r} k Theo định lí Harnak, h điều hòa | z| < r h Theo định lí giá trị trung bình ta có hk (z) = 2 uk (z + rei )d Qua giới hạn dới dấu tích phân ta thu đợc h(z) = 2 u(z + rei )d Nếu h , (2.2) hiển nhiên Trờng hợp ngợc lại từ tính điều hòa dới u bất đẳng thức uk hk | z| = r ta suy 34 u(z) hk (z) với k = 1, Cho k ta đợc u(z) h(z) = 2 u(z + rei )d Giả sử u nửa liên tục D thỏa mãn điều kiện (2.2) Cho U hình tròn tùy ý với U D h hàm liên tục U điều hòa U cho u h U Hàm v = u h nửa liên tục U theo điều kiện (2.2) định lí giá trị trung bình hàm điều hòa ta có u(z) h(z) 2 [u(z + rei ) h(z + rei )]d hay v(z) 2 v(z + rei )d với z U với r > đủ bé (0 < r < d(U, D)) Theo Định nghĩa 2.1.8 đặt C = {z U : v(z) = M} M = max v(z) zU C = , M đạt cực đại U M 0, C = , C = U M 2.1.15 Hệ Nếu f : D C hàm chỉnh hình miền D C, log|f | hàm điều hòa dới D Chứng minh Tính nửa liên tục log|f (z)| hiển nhiên Nếu zo D f (zo ) = logf (z) chỉnh hình zo hàm log|f (z)| phần thực logf (z) lân cận zo Vậy log|f (z)| điều hòa lân cận Do (2.2) xảy dấu lân cận zo Nếu f (zo ) = log|f (z)| = điều kiện (2.2) đợc thỏa mãn zo Từ suy điều phải chứng minh 35 2.1.16 Mệnh đề ([5]) Nếu tập mở Rm SH() nón lồi, nghĩa từ , số thực không âm u, v SH() suy u + v SH() 2.1.17 Định lí Giả sử tập mở Rm Khi đó, 1) Nếu liên thông {un} SH() dãy giảm u = lim un n hàm điều hòa dới 2) Nếu {un } dãy SH(), hội tụ tới hàm u : R tập compact u SH() 3) Nếu {u : I} SH() cho u = sup{u : I} bị chặn địa phơng hàm u (x) = lim u(y), yx x y điều hòa dới Chứng minh 1) Với r R đặt U = {x : u(x) < r} Từ {un} giảm suy U= {x : un (x) < r} n=1 Vì un nửa liên tục nên tập {x : un(x) < r} mở Do U tập mở Vậy u nửa liên tục trên Bây giờ, giả sử G tập mở, compact tơng đối h SH(G) C(G) cho u(x) h(x) x G 36 Với > đặt Fj = {x G : uj (x) h(x) + }, j = 1, 2, Vì uj h nửa liên tục trên G nên tập Ej := {x G : uj (x) h(x) < } mở với j = 1, 2, Mặt khác ta có Fj = (G\Ej ) G , j = 1, 2, Do Fj tập đóng với j = 1, 2, Vì Fj nằm G G compact nên Fj compact với j = 1, 2, Từ giả thiết {uj } dãy giảm suy F1 F2 ã ã ã Hơn nữa, lim uj (x) = u(x) h(x) , x G j nên Fj = với j đủ lớn, nghĩa tồn jo cho uj (x) < h(x) + x G, j jo Do uj SH() nên uj (x) h(x) + x G, j jo Do u(x) = lim uj (x) h(x) + x G j Vì > nên u h G Vậy u SH() 2) Từ Mệnh đề 1.2.8 suy u hàm nửa liên tục trên 37 Bây giờ, giả sử G tập mở, compact tơng đối h H(G)C(G) cho u(x) h(x) x G Ta dùng kí hiệu Fj , Ej nh chứng minh 1) ta kết luận đợc Fj tập compact với j = 1, 2, Do đó, theo giả thiết ta có un u Fj với j Từ suy Fj = với j đủ lớn Tiếp tục lí luận tơng tự nh chứng minh 1) ta kết luận đợc u SH() 3) Vì hàm u nửa liên tục trên nên ta cần chứng minh u thỏa mãn điều kiện lại Định nghĩa 2.1.8 Giả sử G tập mở, compact tơng đối h H(G) C(G) cho u h G Khi u u nên u(x) h(x) x G Do u (x) h(x) x G, I Vì u SH() nên u h G, với I Do u = sup{u : I} h G Từ suy u(x) = lim u(y) lim h(x) = h(x) x G yx yx yG Vậy u SH() yG 38 2.2 Hàm đa điều hòa dới Trong mục này, dựa vào khái niệm hàm điều hòa dới ta định nghĩa hàm đa điều hòa dới trình bày số tính chất Trong mục này, ta giả thiết tập mở Cn 2.2.1 Định nghĩa Hàm u : [, +) đợc gọi đa điều hòa dới 1) u nửa liên tục trên, 2) Với a , b Cn hàm hợp uol điều hòa dới tập mở { C : l() }, l : C Cn với l() = a + b, C Ta kí hiệu tập tất hàm đa điều dới P SH() 2.2.2 Ví dụ Nếu f : C hàm chỉnh hình u(z) = ln|f (z)|, z hàm đa điều hòa dới Chứng minh Hiển nhiên u hàm nửa liên tục trên Giả sử a = (a1, , an ) , b = (b1, , bn) Cn l() = a + b, C Khi đó, l = (l1, , ln), lj : C C với lj () = aj + bj , C Vì lj hàm chỉnh hình C nên l chỉnh hình C Đặc biệt l hàm chỉnh hình từ U = { C : l() } vào l(U ) Mặt khác, f chỉnh hình nên f ol chỉnh hình U Do theo Hệ 2.1.15 ln|f ol| điều hòa dới U , tức uol điều hòa dới U Vậy u P SH() 2.2.3 Định lí (Nguyên lí cực đại hàm đa điều hòa dới) Nếu miền Cn u P SH() u đạt cực đại a u hàm 39 Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh tồn hình cầu mở B(a, r) cho u(z) = u(a) z B(a, r) Thật vậy, lấy r > cho B(a, r) Với z B(a, r), z = a, Đặt za b= Xét ánh xạ l : C Cn với l() = a + b, C, với za V = { C : || < r} ta có l() a = b = || < r, tức l() B(a, r) Do V U = { C : l() } Theo Định nghĩa 2.2.1 hàm uol SH(U ), uol SH(V ) Mặt khác với V ta có uol() = u(a + b) u(a) = uol(0) Nh uol đạt cực đại = V Theo nguyên lí cực đại hàm điều hòa dới (Định lí 2.1.10) u(a + b) = u(a) V Đặc biệt với = z a < r ta có u(a) = u(a + b) = u(z) Nh u(z) = u(a) z B(a, r) Bây giờ, đặt E = {z : u(z) = u(a)} 40 Từ chứng minh suy E tập mở Hơn E = a E Giả sử {zm } dãy E zn z Khi đó, u nửa liên tục trên nên lim u(t) = u(z) Do ta có tz u(a) = lim u(zn) lim u(t) = u(z) u(a) n tz Nh u(z) = u(a), tức z E Do E tập đóng Từ tính liên thông ta kết luận đợc E = Vậy u hàm Trong mục trớc, Định lí 2.1.12 cho ta đặc trng hàm điều hòa dới thuộc lớp C2 Định lí sau cho ta đặc trng tơng tự hàm đa điều hòa dới thuộc lớp C2 2.2.4 Định lí Giả sử u C2 () Khi u P SH() n L(a, ) = k,j=1 2u (a)k j 0, a Cn zk zj Chứng minh Với a , Cn ta xác định hàm l : C Cn với l() = a + := z, Cn Đặt U = { C : l() } = uol Khi đó, theo Định nghĩa 2.2.1, u P SH() SH(U ) Kết hợp với Định lí 2.1.12, u P SH() U Với U đặt = x + iy ; x y R Ta có = Do i , x y = zz z z = = +i x y + x2 y = Mặt khác theo công thức vi phân hàm hợp ta có n 2u = = k j k,j=1 zk zj 41 Từ suy u P SH() n L(a, ) = k,j=1 2u (a)k j 0, a , Cn zk zj 2.2.5 Định lí ([4]) (xấp xỉ hàm đa điều hòa dới hàm khả vi vô hạn) Giả sử miền Cn u P SH() Khi tồn dãy tăng tập mở {Gm } cho Gm Gm+1 , Gm = dãy m=1 giảm hàm {um} cho um P SH(Gm ) C(Gm ) um (z) u(z) với z , C (Gm ) tập hàm nhận giá trị thực khả vi vô hạn Gm ; m = 1, 2, (2 ) 2.2.6 Định nghĩa Hàm u : R đợc gọi đa điều hòa u C2 () 2u (z) = z ; j = 1, n , k = 1, n zj zk Ta kí hiệu P H() tập tất hàm đa điều hòa 2.2.7 Nhận xét Khi n = 1, tức tập mở R2 định nghĩa hàm đa điều hòa trùng với định nghĩa hàm điều hòa Khi n > 1, ta để ý Cn = R2n Khi đó, ta có P H() H() Định lí sau cho ta mối quan hệ hàm đa điều hòa, điều hòa dới đa điều hòa dới 2.2.8 Định lí Nếu tập mở Cn P H() P SH() SH() Chúng ta xem chứng minh định lí [4] [5] 42 Chứng minh Giả sử u P H() Khi u C2 () 2u (z) = z zj zk Do với a , Cn ta có 2u (a)j k = zj zk Theo Định lí 2.2.4 ta có u P SH() Do P H() P SH() Để chứng minh bao hàm thức thứ hai Định lí, đầu tiên, ta giả sử u P SH() C2 () Khi đó, theo Định lí 2.2.4 ta có 4L(a, ) = (uol)|=0 Trong l() = a + , a , w Cn { C : a + } Từ ta có u(a) với a Theo Định lí 2.1.12, u SH() Bây giả sử u P SH() Khi đó, theo Định lí 2.2.5 tồn dãy tập mở {Gm } dãy giảm hàm {um } (xem Định lí 2.2.5) cho um P SH(Gm ) C (Gm ) với m {um } hội tụ tới u z Theo kết vừa chứng minh um SH(Gm ) với m Từ Gm Gm+1 với m u SH() Gm = kết hợp với Định lí 2.1.17 1) suy m=1 Vậy P SH() SH() Tơng tự nh Định lí 2.1.11 ta có Hệ sau 2.2.9 Hệ Nếu tập mở Cn u P H() u u P SH() 43 Chứng minh Giả sử u P H() Khi theo Định nghĩa 2.2.6 u P H() Do theo Định lí 2.2.8 ta có u u P SH() Ngợc lại, giả sử u u P SH() Khi đó, theo Định lí 2.2.8 ta có u u SH() Theo Định lí 2.1.11 u u H() Do u u C2 (), áp dụng Định lí 2.2.4 ta có n j,k=1 2u (a)j k = zj zk n j,k=1 2(u) (a)j k = a , Cn zj zk Từ suy n j,k=1 2u (a)j k = a , j, k = 1, , n zj zk Theo Định nghĩa 2.2.6 u P H() 2.2.10 Định lí 1) P SH() nón lồi, tức với , hai số thực dơng u, v P SH() ta có u + v P SH() 2) Nếu miền {um } dãy giảm P SH() cho um u u P SH() 3) Nếu u : R {um} dãy P SH() hội tụ tới u tập compact u P SH() 4) Nếu {u }I họ P SH(), cho hàm u = sup{u : I} bị chặn địa phơng u P SH() Chứng minh 1) Với u, v P SH() , số dơng u + v nửa liên tục trên (theo Mệnh đề 1.2.2 Mệnh đề 1.2.7) Với a b Cn , hàm uol v ol điều hòa dới 44 tập U = { C : l() = a + b } Do theo Mệnh đề 2.1.16 (uol) + (v ol) SH(), tức (u + v)ol SH() Vậy u + v P SH() 2) Vì hàm um giảm tới u nên tơng tự nh chứng minh Định lí 2.1.17 1) ta chứng minh đợc u nửa liên tục trên Với a b Cn , hàm Um ol SH(U ) với U = { C : l() = a + b } Vì {umol} giảm tới nol U nên theo Định lí 2.1.17 nol SH(U ) Do u P SH() 3) Theo Mệnh đề 1.2.8 u hàm nửa liên tục trên Tơng tự nh 2) theo Định lí 2.1.17 uol SH() Do u P SH() 4) Với a , với b Cn , u P SH() với I nên u ol SH(U ) với I, l U kí hiệu nh 2) Với U ta có uol() = u(l()) = sup{uol() : I} Do đó, theo Địnhlí 2.1.17 3) (uol) SH(U ) Mặt khác ta có (uol)() = lim uol(t) = lim sup{u(l(t)) : I} t tU t tU = lim u(l(t)) = lim u(l(t)) t tU l(t)l() tU = uol() U Do uol = (uol) SH(U ) Vậy u P SH() 45 kết luận Luận văn đạt đợc kết sau - Dựa vào tài liệu tham khảo, trình bày chi tiết khái niệm tính chất hàm nửa liên tục, điều hòa dới đa điều hòa dới - Dựa vào kết hàm nửa liên tục không gian mêtric để trình bày khái niệm hàm nửa liên tục không gian tôpô chứng minh số kết tơng tự nh hàm nửa liên tục không gian mêtric trờng hợp không gian tôpô - Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu tham khảo không chứng minh nh Mệnh đề 2.1.9, Định lí 2.1.12, Định lí 2.1.17 Định lí 2.2.3 - Đa chứng minh Mệnh đề 1.2.8, Định lí 2.2.8 Hệ 2.2.9 46 tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (1997), Hàm biến phức, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê - Bùi Đắc Tắc - Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập 1, Nhà xuất Giáo dục [3] J Dieudonne (1979), Cơ sở giải tích hàm đại, Tập 3, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp [4] B V Sabat (1979), Nhập môn giải tích phức (phần II-hàm nhiều biến), (Nguyễn Thủy Thanh Hà Huy Khoái dịch), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp [5] M Klimek (1991), Pluripotential Theory, Calerendon Press [...]... (0) x0 Từ đó f là hàm nửa liên tục trên tại 0 nhng không nửa liên tục dới tại 0 26 Chơng 2 Các hàm điều hòa dới và đa điều hòa dới Trong chơng này, sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của các hàm điều hòa dới và đa điều hòa dới Để thực hiện điều đó, trớc hết ta trình bày các khái niệm và một số kết quả cần thiết về các hàm điều hòa và điều hòa dới 2.1 Các hàm điều hòa và điều hòa dới 2.1.1... là hàm nửa liên tục trên trên X Chứng minh hoàn toàn tơng tự ta cũng có f là hàm nửa liên tục dới trên X + Điều kiện đủ Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dới trên X Ta cần chứng minh f là hàm liên tục trên X Với mỗi xo X và > 0 bé tùy ý Vì f là hàm nửa liên tục trên tại xo nên tồn tại 16 lân cận mở V1 của xo sao cho f (x) < f (xo) + , x V1 Mặt khác, f là hàm nửa liên tục. .. X R và xo X 1) Nếu f đạt cực tiểu tơng đối tại xo thì f là hàm nửa liên tục dới tại xo 2) Nếu f đạt cực đại tơng đối tại xo thì f là hàm nửa liên tục trên tại xo Chứng minh suy ra từ định nghĩa 1.2.1 và định nghĩa 1.2.10 1.2.12 Định lí Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f : X R là hàm liên tục trên X khi và chỉ khi f đồng thời là hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dới trên X Chứng minh + Điều. .. là điều mâu thuẫn Do đó ta có = Vậy = = c và a c b 23 1.2.21 Định lí Giả sử X là không gian mêtric f, g : X R với f là hàm nửa liên tục trên và g là hàm nửa liên tục dới trên X thỏa mãn f (x) g(x), với mọi x X Khi đó tồn tại hàm liên tục trên X sao cho f (x) (x) g(x) Chứng minh Vì f : X R là hàm nửa liên tục trên trên X nên theo định lí 1.2.18 và chú ý 1.2.19 tồn tại dãy giảm các hàm liên. .. là không gian tôpô, f : X R Khi đó, f là hàm nửa liên tục trên (tơng ứng, nửa liên tục dới) trên X khi và chỉ khi với mỗi c R, tập {x X : f (x) < c} (tơng ứng tập {x X : f (x) > c}) là mở trong X 1.2.7 Mệnh đề Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f, g và các f : X R, I là các hàm nửa liên tục trên trên X Khi đó, max(f, g), inf f và f + g là các hàm nửa liên tục trên trên X, trong đó I là tập chỉ I... fn(x)) , n (x) = min(n (x), gn(x)) , theo cách xác định trên thì {n } n=1 và {n }n=1 là dãy các hàm liên tục trên X, áp dụng bổ đề 1.2.20 ta suy ra lim n (x) = lim n (x) = lim (x) n n n và thỏa mãn f (x) (x) g(x) Mặt khác {n} n=1 là dãy giảm và {n }n=1 là dãy tăng nên ta suy ra (x) là hàm nửa liên tục dới và nửa liên tục trên trên X Do đó hàm là hàm liên tục trên X 1.2.22 Ví dụ Cho X là không gian... kiện cần Giả sử f : X R là hàm liên tục trên X, ta cần chứng minh f là hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dới trên X Thật vậy , với mỗi xo X và với mỗi số thực R thỏa mãn f (xo) < Đặt = f (xo) (1.3) Vì hàm f là liên tục tại xo nên tồn tại lân cận U của xo sao cho | f (x) f (xo) |< , x U (1.4) Từ (1.3) và (1.4) suy ra f (x) < với mọi x U Vậy f là hàm nửa liên tục trên tại xo X Vì xo lấy... Hàm u : R đợc gọi là hàm điều hòa trong nếu u C2 (), (C2 () là tập tất cả các hàm nhận giá trị thực và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong ) và thỏa mãn m u = j=1 2u = 0 trong x2j Ta kí hiệu họ tất cả các hàm điều hòa trong là H() 2.1.2 Định lí Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y) là hàm chỉnh hình trên miền D C Khi đó u(x, y) và v(x, y) là hàm điều hòa trong D Hàm v sau này đợc gọi là hàm. .. fno (x) + fno (x) fno (xo ) + fno (xo) f (xo) < Do đó f nửa liên tục trên tại xo Vì xo là điểm bất kì của X nên f nửa liên tục trên trên X 1.2.9 Mệnh đề Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f : X R là hàm 1 nửa liên tục dới trên X, f (x) 0 với mọi x X Khi đó là hàm nửa f liên tục trên từ X vào R Chứng minh Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục dới trên X, 1 f (x) 0 với mọi x X Giả sử c R ta chứng... liên tục tại xo b) Nếu xo X\A thì với mỗi số thực R thỏa mãn < f A (x) = 0 Khi đó với mọi lân cận V của xo ta có < f A (x) với mọi x V Từ đó suy ra f A là hàm nửa liên tục dới tại xo Vì xo bất kì nên f A là hàm nửa liên tục dới trên X 1.2.24 Ví dụ Hàm 1 nếu x 0 f (x) = 1 nếu x < 0 là hàm nửa liên tục trên tại 0 nhng không nửa liên tục dới tại 0 Thật vậy, ta có lim f (x) = 1 = f (0) x0 và ... f : X R hàm liên tục X f đồng thời hàm nửa liên tục nửa liên tục dới X Chứng minh + Điều kiện cần Giả sử f : X R hàm liên tục X, ta cần chứng minh f hàm nửa liên tục nửa liên tục dới X Thật... này, trình bày khái niệm hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục dới, phép toán tập hợp hàm nửa liên tục Sau chứng minh số tính chất hàm nửa liên tục cấu trúc họ hàm nửa liên tục 1.1 Một số kiến thức... minh hoàn toàn tơng tự ta có f hàm nửa liên tục dới X + Điều kiện đủ Giả sử f : X R hàm nửa liên tục nửa liên tục dới X Ta cần chứng minh f hàm liên tục X Với xo X > bé tùy ý Vì f hàm nửa liên