Hàm nửa liên tục và hàm điều hoà dưới

Mục lục Trang Lời giới thiệu 2 Đ1. Các khái niệm cơ bản 3 Đ2. Hàm nửa liên tục 6 Đ3. Hàm điều hoà dới 20 KếT LUậN 25 TàI LIệU THAM KHảO 26 1 lời giới thiệu Trong giải tích phức, các hàm điều hoà dới, đa điều hoà dới có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hàm chỉnh hình, đặc biệt là trong lý thuyết thế vị phức. Việc định nghĩa và xét các tính chất của hàm điều hoà dới, đa điều hoà dới phải dựa vào các hàm nửa liên tục. Tuy nhiên, trong các giáo trình giải tích dành cho sinh viên, lớp các hàm liên tục đã đợc trình bày khá kỹ, còn các hàm nửa liên tục thì cha đợc đề cập. Vì thế mục đích của luận văn là tìm hiểu, nghiên cứu các khái niệm và tính chất của các hàm nửa liên tục và hàm điều hoà dới. Với mục đích đó luận văn đợc trình bày thành ba phần. Phần thứ nhất trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn. Phần thứ hai dành cho việc trình bày các khái niệm về hàm nửa liên tục trên, hàm nửa liên tục dới và nghiên cứu tính chất và cấu trúc của lớp các hàm này. Các kết quả ở phần này nằm rải rác trong nhiều tài liệu tham khảo và chúng đợc trình bày cho hàm có miền xác định là không gian mêtric. Chúng tôi đã trình bày các kết quả này cho các hàm xác định trên không gian tôpô tổng quát. Phần ba dựa vào tài liệu tham khảo [1], chúng tôi trình bày khái niệm hàm điều hoà dới và chứng minh tỉ mỉ các tính chất cơ bản của lớp hàm này. Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS -TS. Đinh Huy Hoàng. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, ngời đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua. Em gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán đặc biệt là các thầy cô trong tổ Giải tích và bạn bè đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này. Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để khoá luận hoàn thiện tốt hơn. Vinh, tháng 4 năm 2005 Tác giả 2 Đ1. các khái niệm cơ bản Trong mục này, dành cho việc giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn. 1.1. Định nghĩa. Cho X là một tập hợp bất kỳ khác rỗng. Một họ các tập con của X đợc gọi là một tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1) , X ; 2) 21 ,UU 21 UU ; 3) i U Ii i UIi, . Tập X cùng với một tôpô trên nó đợc gọi là một không gian tôpô. 1.2. Định nghĩa. Cho X là không gian tôpô với tôpô . Một tập hợp XV đ- ợc gọi là lân cận của x nếu tồn tại U sao cho VUx . 1.3. Định nghĩa. Cho (X, ) là một không gian tôpô. Ta gọi mọi tập U là tập mở. Mọi tập con XA đợc gọi là tập đóng nếu X\A là tập mở. 1.4. Định lý (i) Giao của một số hữu hạn các tập mở là tập mở. Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở. (ii) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là tập đóng. Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là tập đóng. 1.5. Định nghĩa. Cho X là một không gian tôpô.Tập con XA gọi là compact (trong X) nếu mọi phủ mở của A đều có một phủ con hữu hạn. Điều này có nghĩa là nếu i U là các tập con mở của X với mọi Ii sao cho AU Ii i thì 3 tồn tại tập con hữu hạn I 0 của I sao cho AU Ii i 0 . Không gian X đợc gọi là không gian compact nếu X là tập compact trong X. Tức là nếu i U là mở trong X, với mọi Ii và XU Ii i = thì có một tập hữu hạn II 0 sao cho XU Ii i = 0 . 1.6. Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng và hàm d : RXX ì . Hàm d đợc gọi là một mêtric hay khoảng cách trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1) 0),( yxd Xyx , , yxyxd == 0),( ; 2) ),( yxd = ),( xyd Xyx , ; 3) ),( yxd ),( xyd + ),( zyd Xzyx ,, . Tập X cùng với một mêtric trên nó đợc gọi là không gian mêtric. 1.7. Định lý. Cho A là tập con của không gian mêtric X. Khi đó A là compact khi và chỉ khi mọi dãy { } Aa n có dãy con { k n a } hội tụ đến Aa . 1.8. Định nghĩa. Ta nói ánh xạ YXf : , với X và Y là các không gian tôpô, là liên tục tại Xx 0 nếu với mọi lân cận V của )( 0 xf tồn tại lân cận U của 0 x sao cho VUf )( . Nếu f liên tục tại mọi Xx , ta nói f liên tục trên X. 1.9. Định nghĩa. Giả sử X là không gian mêtric và RXf : . Nếu một dãy nào đó { n x } X , n x 0 x X , dãy { )( n xf } có giới hạn (hữu hạn hay vô hạn), thì giới hạn đó đợc gọi là giới hạn riêng của f khi 0 xx . Số lớn nhất (tơng ứng bé nhất) trong các giới hạn riêng đợc gọi là giới hạn trên (tơng ứng dới) của f khi 0 xx và viết là: )(lim 0 xf xx (tơng ứng )(lim 0 xf xx ), hay )(suplim 0 xf xx (tơng ứng )(inflim 0 xf xx ). Từ định nghĩa đó ta có )(lim 0 xf xx = 0 inf > { sup { ( ) ,:)( 0 xBxxf }} và )(lim 0 xf xx = 0 sup > { inf { ( ) ,:)( 0 xBxxf }}. 1.10. Định nghĩa. Không gian tôpô X gọi là không gian Lindelôp nếu 4 mọi phủ mở của nó có một phủ con đếm đợc. 1.11. Định lý (Lindelôp). Mọi không gian tôpô X có cơ sở tôpô đếm đợc là Lindelôp. 1.12. Định nghĩa. Giả sử X là một không tôpô và B là một họ những tập mở của X. Họ gọi là một cơ sở tôpô của không gian X, nếu với mọi điểm Xx và mọi lân cận V của x, đều tồn tại sao cho x V. Một cơ sở tôpô của không gian tôpô X gọi là đếm đợc nếu gồm một số (không quá) đếm đợc những tập mở. Không gian tôpô X đợc gọi là thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai nếu nó có một cơ sở tôpô đếm đợc. 1.13. Định nghĩa. Giả sử D là tập mở trong C, f là hàm từ D vào C và 0 z là điểm thuộc D. Nếu tồn tại giới hạn 0 lim z z zfzzf )()( 00 + thì ta nói f có đạo hàm hay khả vi (theo nghĩa phức) tại 0 z và gọi đó là đạo hàm của f tại 0 z . Ta kí hiệu đạo hàm của f tại 0 z bởi )( 0 zf . Hàm f đợc gọi là chỉnh hình tại 0 z nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc một lân cận nào đó của 0 z . 5 Đ2. hàm nửa liên tục Để có đợc các kết quả về hàm nửa liên tục thì trớc hết trong mục này sẽ trình bày khái niệm về hàm nửa liên tục trên , nửa liên tục dới và các phép toán trên tập hợp các hàm nủa liên tục . Sau đó chứng minh các tính chất cơ bản của của hàm nửa liên tục trên không gian tôpô, không gian mêtric, không gian mêric compact, tính chất bao trên, bao dới của họ các hàm nửa liên tục; quan hệ giữa hàm nửa liên tục và liên tục. I. Định nghĩa và các phép toán 2.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, : RX là ánh xạ từ tập X vào tập hợp các số thực R . - Ta nói hàm f là nửa liên tục trên tại 0 x X nếu với mọi số thực R mà f ( 0 x ) < thì tồn tại lân cận mở U của 0 x trong X sao cho f ( x ) < , với mọi x U . - Hàm gọi là nửa liên tục dới tại 0 x X nếu với mọi số thực R mà ( 0 x ) > thì tồn tại lân cận mở V của 0 x trong X sao cho f ( x ) > , với mọi x V . - Hàm : RX đợc gọi là nửa liên tục trên ( tơng ứng dới ) trên X nếu nó là hàm nửa liên tục trên ( tơng ứng dới ) tại mọi điểm thuộc X . 2.2 . Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, ánh xạ : RX là hàm nửa liên tục trên trên X và số thực c R . Khi đó (a) Nếu c > 0 thì c . f là hàm nửa liên tục trên trên X . (b) Nếu c < 0 thì c . f là hàm nửa liên tục dới trên X . Chứng minh. (a). Giả sử f : RX là hàm nửa liên tục trên trên X , c > 0 . Với o x là điểm bất kỳ của X , với mỗi số thực R và < )(. 0 xfc . Do c > 0 nên từ < )(. 0 xfc suy ra f ( 0 x ) < c . Theo giả thiết f là hàm nửa liên tục trên trên X nên f là hàm nửa liên tục trên tại 0 x . Do đó tồn tại lân cận mở U của 0 x 6 sao cho ( x ) < c , x U suy ra < )(. xfc , x U . Vậy c . f là hàm nửa liên tục trên tại 0 x X . Vì 0 x là điểm bất kỳ của X nên c . f là hàm nửa liên tục trên trên X . (b). Giả sử : RX là hàm nửa liên tục trên trên X và c < 0 . Với mỗi 0 x X và với mỗi số thực R và > )(. 0 xfc , vì c < 0 nên ( 0 x ) < c . Do là hàm nửa liên tục trên trên X nên là hàm nửa liên tục trên tại 0 x . Do đó tồn tại lân cận mở V của điểm 0 x thoả mãn ( x ) < c , với mọi Vx . Vì c < 0 nên > )(. xfc với mọi Vx . Do đó c . f là hàm nửa liên tục dới tại 0 x .Vì 0 x là điểm bất kỳ của X nên .c là hàm nửa liên tục dới trên X . 2.2 . Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, : RX là hàm nửa liên tục dới trên X và số thực c R . Khi đó + . Nếu c > 0 thì c . f là hàm nửa liên tục dới trên X . +. Nếu c < 0 thì c . f là hàm nửa liên tục trên trên X . 2.3. Nhận xét. Cho X là không gian tôpô, : RX . Khi đó, là hàm nửa liên tục trên trên X khi và chỉ khi - là hàm nửa liên tục dới trên X . 2.4. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, ánh xạ : RX . Khi đó, f là hàm nửa liên tục trên trên X khi và chỉ khi với mỗi số thực R thì tập { } )(: xfXx là đóng. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử : RX là hàm nửa liên tục trên trên X , với mỗi số thực R , ta đặt A= { } )(: xfXx . Để chứng minh A là tập đóng trong X ta cần chứng minh X\A là tập mở. Đặt = X\A = { } < )(: xfXx . Với mỗi 0 x B thì f ( 0 x ) < . Do f là hàm nửa liên tục trên tại 0 x nên tồn tại lân cận mở U của o x sao cho ( x ) < , với mọi x U . Ta nhận thấy o x U B = 7 X\A. Do đó B là lân cận của 0 x . Vì 0 x lấy bất kỳ thuộc B nên B là lân cận của mọi điểm thuộc nó. Vậy B là tập mở. Do đó A= { } )(: xfXx là tập đóng trong X . Điều kiện đủ. Giả sử A= { } )(: xfXx là tập đóng trong X , với mọi R . Ta cần chứng minh :f RX là hàm nửa liên tục trên trên X . Từ A= { } )(: xfXx , R là tập đóng trong X suy ra B= X\A= { } < )(: xfXx , R là tập mở trong X . Với mỗi x 0 X thoả mãn < )( 0 xf thì x 0 B. Do B là tập mở, nên tồn tại lân cận mở V của x 0 trong B sao cho < )(xf với mọi Vx B. Suy ra f là hàm nửa liên tục trên tại x 0 . Vì x 0 là điểm bất kỳ thuộc X nên f là hàm nửa liên tục trên trên X . Chứng minh tơng tự nh Mệnh đề 2.4 ta có: 2.5. Mệnh đề. Giả sử X là không gian tôpô, : RX . Khi đó f là hàm nửa liên tục dới trên X khi và chỉ khi tập { } rxfXx )(: , r R là tập đóng trong X . Từ Mệnh đề 2.4 và Mệnh đề 2.5 ta có Hệ quả sau: 2.6. Hệ quả. Giả sử X là không gian tôpô, : RX . Khi đó, f là hàm nửa liên tục trên (tơng ứng nửa liên tục dới) trên X khi và chỉ khi với mỗi Rc , tập { } cxfXx < )(: (tơng ứng tập { } cxfXx > )(: ) là mở trong X . 2.7. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, ánh xạ gf , và các f : RX là các hàm nửa liên tục trên trên X . Khi đó, max ( gf , ), inf f và gf + là các hàm nửa liên tục trên trên X , trong đó I là tập chỉ số bất kỳ. Chứng minh. Ta dùng Hệ quả 2.6 để chứng minh Mệnh đề 2.7. 8 Giả sử Rc . Khi đó ta có { cxgxfXx < ))(),(max(: }= = { cxfXx < )(: } { cxgXx < )(: }. Vì hai tập { cxfXx < )(: } và { cxgXx < )(: } là mở (do f và g là nửa liên tục trên) nên { cxgxfXx < ))(),(max(: } là mở. Do dó ),max( gf là nửa liên tục trên trên X. Giả sử Rc . Đặt E = { cxfXx < )(inf: } và F = { cxfXx < )(: }, . Khi đó các F là mở với vì các f nửa liên tục trên. Mặt khác tập E = F . Thật vậy, rõ ràng nếu x F thì x E, nghĩa là F E. Ngợc lại, giả sử x E. Khi đó, tồn tại 0 sao cho cxf < )( 0 bởi vì nếu cxf )( với mọi thì inf { :)(xf } x , tức là x E. Từ cxf < )( 0 suy ra x F 0 . Do đó x F và ta có E F . Nh vậy E = F . Vì các F mở nên E mở. Do đó f inf là hàm nửa liên tục trên trên X. Bây giờ, ta chứng minh gf + nửa liên tục trên trên X . Với mọi Rc , đặt E ={ cxgxfXx <+ )()(: }. Với mọi 0 x E , chọn Rcc 21 , sao cho 2010 )(,)( cxgcxf << và ccc <+ 21 . Đặt E 1 ={ 1 )(: cxfXx < }, E 2 ={ 2 )(: cxgXx < }. Với mỗi x E 1 E 2 ta có .)()( 21 cccxgxf <+<+ Do đó x E và ta có E 1 E 2 E. Mặt khác do gf + nửa liên tục trên nên E 1 và E 2 mở. Từ đó E 1 E 2 là tập mở chứa 0 x . Từ dó suy ra E là tập mở. Vậy gf + nửa liên tục trên trên X. 2.8. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f : X R là hàm nửa liên tục dới trên X, f (x) 0 với mọi x X. Khi đó f 1 là hàm nửa liên tục trên 9 từ X vào R . Chứng minh. Giả sử : X R là hàm nửa liên tục dới trên X, (x) 0 với mọi X. Giả sử Rc . Ta sẽ chứng minh { c xf Xx < )( 1 : } là tập mở. Nếu 0 > c thì ta có { c xf Xx < )( 1 : } = { )( 1 : xf c Xx < } là tập mở vì f là hàm nửa liên tục dới. Nếu 0 c thì ta có { c xf Xx < )( 1 : }= vì 0)( xf với mọi Xx . Do đó { c xf Xx < )( 1 : } là tập mở với mọi Rc . Vậy f 1 là hàm nửa liên tục trên trên X. 2.9. Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X R và x 0 X. (i) Ta nói hàm có f cực tiểu tơng đối tại x 0 nếu tồn tại lân cận U của x 0 sao cho f (x) f (x 0 ) với mọi x U. (ii) Ta nói hàm f có cực đại tơng đối tại x 0 nếu tồn tại lân cận U của x 0 sao cho f (x) f (x 0 ) với mọi x U. 2.10. Mệnh đề. Cho ánh xạ f : X R và x 0 X . - Nếu f đạt cực tiểu tơng đối tại x 0 thì f là hàm nửa liên tục dới tại x 0 . - Nếu có cực đại tơng đối tại x 0 thì f là hàm nửa liên tục trên tại x 0 . Chứng minh. Suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.9 và Định nghĩa 2.1. II. Các tính chất cơ bản của hàm nửa liên tục 10