Các dạng trên không gian c(k) và cặp các hàm nửa liên tục

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Đỗ Văn Chung Các dạng không gian C(K) cặp hàm nửa liên tục Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Đỗ Văn Chung Các dạng không gian C(K) cặp hàm nửa liên tục Chuyên ngành: Giải tích Mà số : 60.46.01 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS Phạm Quang Trình Vinh - 2009 Mục lục Trang Lời nói đầu Ch-ơng Không gian hàm 1.1 Một số khái niệm kết 1.2 Không gian hàm 1.3 Không gian hàm liên tục 1.4 Mét sè tÝnh chÊt hàm nửa liên tục 11 Ch-ơng Các dạng không gian C(K) 16 2.1 C¸c dạng không gian Banach 16 2.2 Các dạng không gian C(K) cặp hàm nửa liên tục 18 KÕt luËn 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời nói đầu Không gian Banach hàm xác định đối t-ợng đ-ợc nghiên cứu nhiều giải tích ngành Toán học khác Các ánh xạ tuyến tính liên tục đ-ợc nghiên cứu nhiều trình bày kỹ giáo trình dành cho sinh viên ngành Toán Các ánh xạ liên tục không tuyến tính có nhiều ứng dụng đ-ợc nghiên cứu nhiều nh-ng giáo trình giải tích hàm cho sinh viên ch-a đ-ợc trình bày cách đầy đủ Khái niệm dạng không gian Banach đà đ-ợc giới thiệu nghiên cứu Kerivine Maurey vào năm 1981 Sau đó, Pomper, H.P.Rosenthal đà nghiên cứu biểu diễn tính chất dạng không gian Banach đặc biệt ([4], [5], [6]) Mục đích dựa vào tài liệu tham khảo để tìm hiểu nghiên cứu khái niệm tích chất dạng không gian Banach, biểu diễn dạng không gian Banach C(K) hàm nhận giá trị thực liên tục tập compact K qua cặp hàm nửa liên tục K Với mục đích đó, Luận văn đ-ợc trình bày thành ch-ơng Ch-ơng 1, Trình bày việc xây dựng không gian hàm bị chặn, hàm liên tục, hàm nửa liên tục Sau nghiên cứu cấu trúc số tính chất lớp hàm mà chúng cần dùng cho ch-ơng sau Ch-ơng 2, trình bày khái niệm dạng không gian Banach nghiên cứu tính chất dạng không gian Banach tổng quát Sau đó, trình bày khái niệm tính chất cặp hàm nửa liên tục tập compact nghiên cứu biểu diễn dạng không gian Banach C(K) qua cặp hàm nửa liên tục K Các kết đ-ợc trình bày luận văn đà có tài liệu tham khảo Chúng đà tìm đọc, xếp lại theo mục đích mình, đ-a vài ví dụ minh hoạ nhận xÐt nh- VÝ dô: 1.2.4, VÝ dô 2.2.2, NhËn xÐt 2.1.2; Chứng minh số kết mà tài liệu tham khảo không chứng minh (Mệnh đề 1.2.3, Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 2.1.3) chứng minh chi tiết nhiều kết mà tài liệu chứng minh vắn tắt Luận văn đ-ợc thực hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn TS Phạm Quang Trình Tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy giáo, ng-ời đà đặt vấn đề th-ờng xuyên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học tr-ờng Đại học Vinh bạn lớp CH15-Giải tích đà th-ờng xuyên giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù đà có nhiều cố gắng, song Luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đ-ợc đóng góp quý báu từ thầy giáo, cô giáo bạn Vinh, tháng 11 năm 2009 Tác giả Ch-ơng Không gian hàm Trong ch-ơng này, tác giả trình bày số tính chất không gian hàm bị chặn, không gian hàm liên tục làm sở cho việc nghiên cứu 1.1 Một số khái niệm kết 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng Một họ tập X đ-ợc gọi tôpô X thỏa mÃn điều kiện sau (1) , X  ; (2) NÕu U1 ,U2   th× U1  U2   ; (3) NÕu Ui   ,i  I th×  Ui   iI Tập X với tôpô đ-ợc gọi không gian tôpô 1.1.2 Định nghĩa Cho X không gian tôpô với tôpô Một tập hợp V X đ-ợc gọi lân cận x tồn U cho x U V 1.1.3 Định nghĩa Cho (X , ) không gian tôpô Ta gọi tập U tập mở Tập A X đ-ợc gọi tập đóng X \ A tập mở 1.1.4 Định nghĩa Giả sử B họ tập mở không gian tôpô X, B đ-ợc gọi sở tôpô X với x X lân cËn U cđa x, tån t¹o V  B cho x V U 1.1.5 Định nghĩa Họ v tập không gian tôpô (X , ) đ-ợc gọi tiền sở tôpô  nÕu X   V : V  v họ tất giao hữu hạn phần tử v lập thành sở tôpô 1.1.6 Định nghĩa Cho X không gian tôpô Tập A X gọi compact (trong X) nÕu víi mäi phđ më cđa A ®Ịu có phủ hữu hạn Điều có nghĩa Ui tập mở X víi mäi i  I cho  Ui A tồn tập hữu hạn I cña I cho  Ui  A Không iI0 iI gian X đ-ợc gọi không gian compact nÕu X lµ tËp compact X Tøc lµ, nÕu Ui lµ më X, víi mäi i  I Ui X có tập hữu hạn iI I0 I cho Ui X iI0 Không gian tôpô X đ-ợc gọi chuẩn tắc cặp tập đóng rời A B X tồn tËp më U, V X cho U V , A  U vµ B  V 1.1.7 Bổ đề (Urysohn) Với hai tập đóng không giao không gian chuẩn tắc X tồn hàm liên tục f X lấy giá trị đoạn 0,1 không A, B 1.1.8 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng hàm d : X X R Hàm d đ-ợc gọi mêtric hay khoảng cách X thỏa mÃn điều kiện sau: 1) d(x, y)  0, x, y  X , d(x, y)   x  y; 2) d(x, y)  d(y, x), x, y  X ; 3) d(x, y)  d(x, y)  d(y,z), x, y,z  X TËp X cïng víi mét metric trªn nã đ-ợc gọi không gian mêtric 1.1.9 Định lý Cho A tập không gian mêtric X Khi ®ã A lµ   compact vµ chØ mäi d·y an   A cã d·y ank hội tụ đến a A 1.1.10 Định nghĩa Cho X Y không gian tôpô ánh xạ f : X Y gọi liên tục x0 X với lân cận V f (x0 ) tồn lân cận U x cho f (U)  V 1.1.11 Định nghĩa Giả sử X không gian mêtric f : X  R NÕu mét d·y nµo ®ã  xn   X , xn  x0  X , d·y  f (xn ) cã giíi hạn (hữu hạn hay vô hạn), giới hạn đ-ợc gọi giới hạn riêng f x  x0 Sè lín nhÊt (t-¬ng øng bÐ nhất), giới hạn riêng đ-ợc gọi giới hạn (t-ơng ứng d-ới) cđa f x  x0 vµ viÕt lµ lim f (x) (t-¬ng øng lim f (x) hay lim sup f (x) (t-¬ng øng lim inf f (x) ) x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 Từ định nghĩa ta có f (x) : x  B(x , )  ; lim f (x)  sup inf  f (x) : x  B(x ,  )  lim f (x)  inf sup x  x0 0 x  x0 1.1.12 Định nghĩa Giả sử E không gian tuyến tính tr-ờng K ( ) : E  R , x  x Hµm đ-ợc gọi chuẩn E thỏa m·n: 1) x  víi mäi x  E vµ x  vµ chØ x = 0; 2)  x   x víi mäi x  E vµ víi mäi   K; 3) x  y  x  y víi mäi x, y  E Kh«ng gian tuyÕn tÝnh E cïng với chuẩn đ-ợc gọi không gian định chuẩn Nếu E không gian định chuẩn d(x, y)  x  y , x, y  E xác định mêtric E Ta gọi d mêtric sinh chuẩn Không gian định chuẩn E đ-ợc gọi không gian Banach, không gian đầy đủ mêtric sinh chuẩn 1.1.13 Định nghĩa Giả sử I tập hợp khác rỗng, đ-ợc thứ tự phận quan hệ Tập (I, ) đ-ợc gọi l-ới hay tập định h-ớng thỏa mÃn: a) (I, ) không cã phÇn tư lín nhÊt; b) Víi mäi   I tập phần tử tr-ớc ); I : hữu hạn (ta gọi tập tập c) Với , I tồn I cho    ,    (ta nói sau ) Giả sử (I, ) tập định h-ớng Với I , đặt card (   I :    ) (sè phÇn tư cđa   I :   ) 1.1.14 Định nghĩa Giả sử (I, ) (J, ) tập định h-ớng k : I J Hàm k đ-ợc gọi bảo tồn thứ tự I kÐo theo k( )  k(  ) Hàm k đ-ợc gọi không kết thúc   J tån t¹i   I cho k( ) 1.1.15 Định nghĩa Giả sử (I, ) tập định h-ớng k : I I Hàm k đ-ợc gọi l-ới I k bảo tồn thứ tự không kết thúc 1.1.16 Định nghĩa Giả sử (I, ) tập định h-ớng X không gian tôpô Ta nói (x )I l-ới hay dÃy suy rộng X đ-ợc xác định I x  X víi mäi   I Sau nµy ta nãi gän (x )I lµ d·y suy réng X Giả sử (x )I dÃy suy rộng Nếu k : I I hàm bảo tồn thứ tự không kết thúc dÃy suy rộng (xk( ) )I đ-ợc gọi l-ới hay dÃy (x )I Nếu X không gian định chuẩn (x )I dÃy suy rộng X DÃy suy rộng (x )I đ-ợc gọi bị chặn tồn số c cho x c, I 1.1.17 Định nghĩa Giả sử (x )I dÃy suy rộng không gian t«p« X Ta nãi (x )I héi tơ tíi x X viết lim x x lân cận U x tồn I  I cho x  U víi mäi  I , 1.1.18 Định lý Nếu (x )I l-ới không gian tôpô X, héi tơ tíi x  X th× mäi l-íi cđa (x )I cịng héi tơ tíi x 1.1.19 Định lý Giả sử Y tập không gian tôpô X x X Khi x Y tồn t¹i d·y suy réng (x )I Y cho lim x x I 1.1.20 Định nghĩa Giả sử ( r )I dÃy suy rộng bị chặn số thực Khi đó, ta định nghĩa lim sup r  inf  sup r :   I,      lim r ; I I I lim inf r  sup  inf r :   I,     I I Trong luận văn ta giả thiết (I, ) tập định h-ớng ta viết gọn I thay cho (I, ) 1.2 Không gian hàm Trong mục này, trình bày số tính chất không gian hàm bị chặn đ-a ví dụ minh hoạ mà đ-ợc dùng ch-ơng Cho A tập hợp F không gian định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa Hàm f : A F đ-ợc gọi bị chặn nÕu tån t¹i h»ng sè c cho f (x)  c, x  A Ta ký hiÖn BF(A) tập tất hàm bị chặn từ A vào F Khi BF(A) không gian tuyến tính tr-ờng K phép cộng hai hàm phép nhân vô h-ớng với hàm thông th-ờng, tức víi mäi f ,g  BF(A), víi mäi   K ta cã ( f  g )(x)  f (x)  g(x), ( f )(x)   f (x), x A Đặt f (x) sup f (x) , f  BF(A) (1) Ta dƠ dµng kiĨm tra đ-ợc công thức (1) xác định chuẩn BF(A) Nh- BF(A) không gian định chuẩn Sau không giải thích 20 Theo Định lý 1.4.8 1.4.7 hàm l nửa liên tục d-ới K hàm u u nửa liên tục trên K Theo 1.2.3 hàm l ,l,u ,u thuộc B(K) 2.2.4 Mệnh đề Giả sử f I dÃy suy rộng hàm bị chặn C(K) l ,l,u ,u hàm đ-ợc xác định Định nghĩa 2.2.3 Khi 1) Nếu , I mà 1   th× l1  l2  l u1 u2 u 2) Với x K tồn    (x, )  I cho với ta có l (x)  l(x)   vµ u (x)  u(x)  3) Với I, x K, lân cận U x tồn y U cho f (y)  l (x)   4) Với I, x K, lân cận U x tồn y U vµ    cho f (y)  u (x) Chứng minh Các khẳng định 1) 2) đ-ợc suy từ Định nghĩa 2.2.3 tính chất inf sup Bây ta chøng minh 3) Gi¶ sư   I, x K Đặt s l (x) Cho U lân cận x Giả sử điều cần chứng minh 3) không Khi đó, với y U mäi    ta cã f (y)  s Ta chọn đ-ợc g C(K) cho g  f víi mäi    vµ g(x)  l (x)    s   Do ®ã s  l (x)  (  f  C(K) : f  f víi mäi    )(x)  g(x)  s  21 Đây điều mâu thuẩn Từ ta có điều cần chứng minh Khẳng định 4) đ-ợc chứng minh t-ơng tự Từ sau ta giả sử I tập định h-ớng lực l-ợng I infimum lực l-ợng sở tôpô K 2.2.5 Bổ đề Giả sử f I dÃy suy rộng bị chặn C(K), l u hàm đ-ợc xác định Định nghĩa 2.2.3, g C(K) x K Khi 1) Tồn l-ới i : I  I vµ (xi( ) )I K cho (xi( ) )I héi tơ tíi x vµ l(x)  g(x)  lim ( fi( ) (xi( ) )  g(xi( ) ) ) I 2) Tån t¹i l-íi j : I  I vµ (x j ( ) )I K cho (x j ( ) )I héi tơ tíi x vµ u(x)  g(x)  lim ( f j ( ) (x j ( ) )  g(x j ( ) ) ) I 1 Chứng minh Với I , đặt Vì I có số hữu hạn phần tử I tr-ớc có vô hạn phần tử I sau nên hoàn toàn xác định lim   I Gi¶ sư (U )I hệ cở sở lân cận mở x cho  U   x vµ I U U I Hơn nữa, từ tính liên tục g ta giả thiÕt g(x)  g(y)   víi mäi y  U Ta sÏ x©y dùng (xi( ) )I quy nạp theo I Cố định I giả sử đà xác định đ-ợc i( ) với tất Vì card I hữu hạn (xem Định nghĩa 1.2) nên tồn  I cho 22  0'  i(  ) víi mäi    Theo MƯnh ®Ị 2.2.4.2 ta cã thĨ chän ®-ỵc   I cho    0' vµ  l(x)  l (x)  l(x)  u(x)  u (x)  u(x)  ,  ,  Từ Mệnh đề 2.2.4.3) 4) suy tån t¹i i( )   , xi( ) U vµ j( )   , x j ( ) U cho fi( ) (xi( ) )  l (x)    l(x)   vµ f j ( ) (x j ( ) )  u (x)   u(x) Theo cách xây dựng i( ), j( ) ta thấy ánh xạ i; I  I   i( ) , j; I I j( ) bảo tồn thứ tự không kết thúc Do đó, i j l-ới I (xi( ) )I vµ (x j ( ) )I lµ hai d·y suy rộng K Vì U I sở lân cận x, xi( ) x j ( ) thc U víi mäi   I nªn (xi( ) )I vµ (x j ( ) )I héi tơ tới x Mặt khác từ fi( ) (xi( ) )  g(xi( ) )  l(x)  g(x)    , f j ( ) (x j ( ) )  g(x j ( ) )  u(x)  g(x) Từ đẳng thức tính chất bị chặn dÃy fi( ) I suy c¸c d·y ( fi( ) (xi( ) )  g(xi( ) ))I ,( f j ( ) (x j ( ) )  g(x j ( ) ))I 23 dÃy số suy rộng bị chặn Do đó, chúng có dÃy hội tụ Để đơn giản ký hiệu, ta xem dÃy có số i( ), j( ) t-ơng ứng Vậy tồn lim ( fi( ) (xi( ) )  g(xi( ) ))  l(x)  g(x) I vµ lim ( f j ( ) (x j ( ) )  g(x j ( ) ))  u(x)  g(x) I  f I 2.2.6 Bæ đề Giả sử dÃy suy rộng bị chặn C(K) với chuẩn sup l u hàm đ-ợc xác định Định nghĩa 2.2.3 Khi đó, nÕu g  C(K) cho lim ( f  g ) tồn I lim ( f g )  max ( l  g , u g ) I Chứng minh Đầu tiên, ta nhận thấy rằng, (u,l) sc- cặp với g  C(K) ®Ịu cã max ( l  g , u  g )  sup (u(x)  g(x) : x  K  l(x)  g(x) : x  K) (1) Gi¶ sư x  K Theo Bổ đề 2.2.5, tồn ánh xạ i : I I bảo tồn thứ tự, không kết thúc d·y suy réng (xi( ) )I K héi tô tíi x cho lim ( fi( ) (xi( ) )  g(xi( ) ) )  l(x)  g(x) I Tõ ®ã, suy lim ( f  g  lim ( fi( )  g  lim ( fi( ) (xi( ) )  g(xi( ) ))  (l(x)  g(x)) I I I T-¬ng tù, ta cã lim ( f  g  u(x)  g(x) I Từ x điểm thuộc K suy lim ( f  g  sup (u(x)  g(x) : x  K  l(x)  g(x) : x  K) I 24 KÕt hỵp víi (1) ta cã lim ( f  g  max ( l  g , u  g ) I Bỉ ®Ị sau chứng tỏ bất đẳng thức ng-ợc lại Bổ đề 2.2.6 2.2.7 Bổ đề Giả sử f I dÃy suy rộng bị chặn không gian C(K) với chuẩn sup, l u hàm đ-ợc xác định Định nghĩa 2.2.3 Khi ®ã nÕu g  C(K) cho tån t¹i lim ( f  g th× I lim ( f  g  max ( l  g , u  g ) I Chứng minh Đặt lim ( f g r Với I , chän x  K vµ s  1 cho I f  g  s ( f (x )  g(x )) Tõ tÝnh compact cña K suy tồn ánh xạ bảo tồn thứ tự không kÕ thóc i : I  I vµ h»ng sè s  1 cho lim (x j ( ) )  x  K vµ s j ( )  s   I I Khi ®ã r  lim ( f j ( ) (x j ( ) )  g(x j ( ) )) Ta chia tr-êng hỵp I Tr-êng hỵp s = cố định I Ta có r  lim ( f j ( ) (x j ( ) )  g(x j ( ) ))  I  lim I ,J ( ) lim ( f j ( ) (x j ( ) )  g(x j ( ) )) I ,J ( )  sup(u (x j ( ) )  g(x j ( ) )) u g(x) Bất đẳng thức cuối ®-ỵc suy tõ f j ( ) (x j ( ) )  u (x j ( ) ) víi   j( ) vµ tõ u lµ nưa liên tục trên, g liên tục K Theo MƯnh ®Ị 2.2.4.2) ta cã r  u(x)  g(x)  u  g Tr-êng hỵp s = -1 Lý luận t-ơng tự nh- tr-ờng hợp ta cã r  (l(x)  g(x))  l  g 25 Do ®ã lim ( f  g  max ( l  g , u  g ) I Chúng ta cần định lý sau: 2.2.8 Định lý (Edwards) Giả sử U hàm nửa liên tục L hàm nửa liên tục d-ới K cho U L Khi đó, tồn hàm F liên tục K cho U F L 2.2.9 Bổ đề Giả sử P phủ mở hữu hạn K u : K R hàm bị chặn Khi đó, hàm L : K R đ-ợc xác định bëi   L(y)  sup u(z) : z  P , y K yp,pP nửa liên tục d-ới L u T-ơng tự, l : K R hàm bị chặn U : K R đ-ợc xác định U(y)  inf  l(z) : z    P , yK yp,pP U nửa liên tục U l Chứng minh Từ cách xác định L ta cã L(y)  L(z) víi mäi z  P yp,pP Vì P hữu hạn nên có số hữu hạn tập dạng P Do ®ã, tËp yp,pP  (  W)  y  K : L(y)  r   xK ,L( x)r xp,pP hợp số hữu hạn tập đóng nên tập đóng Theo Hệ 1.4.6, L hàm nửa liên tục d-ới Từ cách xác định L ta có L u Khẳng định lại đ-ợc chứng minh t-ơng tự Dựa vào Bổ đề kết đà trình bày ta thiết lập đ-ợc mối quan hệ dạng C(K) với sc- cặp (l,u) thông qua Mệnh đề sau 2.2.10 Mệnh đề Nếu dạng C(K) tồn sc- cỈp (l,u) cho 26  (g)  max ( l  g , u  g ) g C(K) (1) Chứng minh Giả sử dạng C(K) f I dÃy suy rộng bị chặn C(K) sinh Ta ký hiệu l, u hàm đ-ợc xác định nh- định nghĩa 2.2.3 Bây giờ, ta chứng minh (l,u) sc- cặp Theo Định nghĩa 2.2.3 l nửa liªn tơc d-íi, u nưa liªn tơc trªn trªn K l u Giả x điểm co lập K áp dụng Mệnh đề 2.2.4.3)-4) cho U   x ta cã lim inf f (x)  l(x)  u(x)  lim sup f (x) I §Ỉt r  3sup  (2) I f (x) : I xác định hàm g : K  R bëi c«ng thøc 0 nÕu y  x g(y)   r nÕu y  x V× x điểm cô lập nên g liên tục K, tøc lµ g  C(K) Tõ r  3sup  f (x) :   I  suy f  g  sup f (y)  g(y)  max ( f (x)  r ,sup f (y) )  f (x)  r yK yK Do ®ã  (g)  lim f  g  lim  f (x) r I I Điều chứng tỏ tồn lim f (x) Kết hợp với Bất đẳng thức (2) ta có I l(x) = u(x) Do (L,u) sc cặp Theo Bổ đề 2.2.6 vµ 2.2.7 ta cã  (g)  max ( l  g , u  g ) 2.2.11 MÖnh đề Nếu (l,u) sc- cặp hàm : C(K) R xác định (g) max ( l  g , u  g ), g C(K) dạng C(K) (1) 27 Chứng minh Giả sử (l,u) sc cặp K đ-ợc xác định (1) Ta sử dụng Mệnh đề 2.1.3 để chứng minh dạng C(K) Để thực điều ta cần chứng tỏ với n N với g1 , g2 gn C(K) với tån t¹i F  C(K) cho  (gi )  (gi )  F  gi   với i = 1,n Cố định g1 , g2 gn Chọn phủ mở hữu hạn P K cho tất V  P, víi mäi x, y  V vµ víi mäi i = 1,…n ta cã gi (x)  gi (y) (Vì hàm g1 , g2 gn liªn tơc trªn tËp compact K nªn chóng liên tục đều, dó phủ P tồn tại) Ta xác định hàm L, U : K R công thức U(y) inf l(z) : z   V , L(y)  sup u(z) : z   V , yp,pP  yp,pP yK Theo Bổ đề 2.2.9, L nửa liên tục d-ới, U nửa liên tục trên K Theo Định lý 2.2.8, tồn hàm f C(K) cho U  f  L Sö dung (1) chøng minh Bổ đề 2.2.6, chọn đ-ợc tập hữu h¹n S  K cho víi mäi i = 1,…n ta cã max  l  gi , u  gi  Ta viÕt S  zp , zp   max (l(z)  g (z)),u(z)  g (z) : z  S i  , ®ã i p,q  Z , p   q , điểm z j j p q đôi rời z j điểm cô lËp K vµ chØ p  j Với j 0,1, q chọn c¸c tËp rêi V2 j ,V2 j 1   V cho z j V,VP 28 f (x)  f (z j )   x  V2 j V2 j Hơn nữa, gi¶ thiÕt r»ng víi mäi k  0,1, 2q  1, vµ víi mäi x, y  Vk ta cã  f (x)  f (y)  Theo Bổ đề Urysohn chọn d-ợc hàm lên tục f p , , f2q1 thoả mÃn điều kiƯn: Víi mäi j  p, p  1, , chän f j cho fj K \z j   vµ f j (z j )  u(z j )  f (z j )  l(z j ) f (z j ) Với j 0, ,q chän f2 j  vµ f2 j 1  cho f2 j K \ V2 j  0, f2 j  L(z j )  f (z j ) vµ f2 j 1 K \V  0, j 1 f2 j 1  f ( z j )  U ( z j ) 2q Đặt F f fk Chóng ta sÏ chøng minh r»ng k p max  l  gi , u  gi   F  gi tøc lµ  , max  l  gi , u  gi     F  gi  max  l  gi , u gi Đầu tiên, ta chứng minh bất đẳng thức bên phải Lấy i 1,2, ,n cố định i Với x K ta có   F(x)  gi (x)   F  gi vµ F(x)  gi (x)  F  gi Ta chia tr-ờng hợp sau: 29 2q Tr-êng hỵp x zp , ,z1  (  Vk ) Khi ®ã, F(x) = f(x) Chóng ta cã thÓ k 0 chän y1 , y2   V cho l(y1 )  u(x) vµ u(y2 )  L(x) ViÖc chän y1 , y2 xV,VP thùc đ-ợc l nửa liên tục d-ới (t-ơng ứng u nửa liên tục trên) xác định U (t-ơng ứng L) Khi đó, F(x) gi (x)    f (x)  gi (x)  u(x)  gi (x)  l(y1 )  gi (y1 )    l  gi   vµ F(x)  gi (x)  f (x)  gi (x)  L(x)  gi (x)  u(y2 )  gi (y2 )     u  gi  2 Do ®ã, ta cã  F(x)  gi (x)   max     l  gi , u  gi Tr-êng hợp x zi với j thuộc  p, p  1, , 1 Khi ®ã F(x)  gi (x)  u(x)  gi (x)  l(x)  gi (x) V× thÕ ta cã F(x)  gi (x)  max  l  gi , u  gi    Tr-êng hỵp x  V2 j víi j 0,1, ,q Ta nhËn thÊy r»ng F V2 j f V2 j  f2 j V2 j vµ F V2 j f V2 j Tån t¹i y1  V2 j cho f2 j (y1 )  L(z j )  f (z j ) (v× f2 j  L(z j )  f (z j ) ) Hơn ( tồn y2   V cho xV,VP vµ y3   V cho u(y3 )  L(z j ) xV,VP 30 Khi ®ã ta cã  F(x)  gi (x)   f (x)  gi (x)  U(x)  gi (x)  l(y2 )  gi (y2 )    l  gi   vµ F(x)  gi (x)  f (x)  f2 j (x)  gi (x)  f (x)  f2 j (y1 )  gi (x)  f (x)  L(z j )  f (z j )  gi (x)  u(y3 )  gi (y3 )   u gi (Trong bất đẳng thức cuối cùng, ta đà sử dụng bất đẳng thức f (x)  f (z j )   x,z j V2 j gi (x) gi (y3 )   v× x, y3   V ) z j V,VP Do ®ã F(x)  gi (x)  max  l  gi , u gi Tr-ơng hợp x V2 j 1 víi j  0,1, ,q Tr-êng hỵp đ-ợc chứng minh t-ơng tự nh- tr-ờng hợp Kết hợp tr-ờng hợp từ đến ta cã F(x)  gi (x)  max  l  gi , u  gi  F  gi  max  l  gi , u  gi  x  K, i  1,n Do ®ã i  1,n B©y giê ta chøng minh F  gi  max  l  gi , u  gi i 1,n Cố định i 1, ,n theo cách xây dựng S tồn t¹i z  S cho max   l(z)  gi (z) ,(u(z)  gi (z)   max  l  gi , u  gi Víi z đà chọn, xảy tr-ờng hợp sau Tr-ờng hợp z  z j víi j   p, , 1 Khi ®ã, u(z j )  gi (z j )  l(z j )  gi (z j )  F(z j )  gi (z j )  31 Do ®ã max  l  gi , u  gi  F(z j )  gi (z j )  F  gi Tr-êng hỵp z  z j víi j  0,1, ,q Khi tồn y0 V2 j vµ y1  V2 j 1 cho f2 j (y0 )  L(z j )  f (z j ) vµ f2 j 1 (y1 )   f (z j )  U(z j ) Ta cã F  gi  F  y0   gi  y0   f  y0   L(z j )  f (z j )  L(z j )  gi (z j )   Do ®ã F  gi  max  l  gi , u gi 2.2.12 Mệnh đề Giả sử (l1 ,u1 ) vµ (l2 ,u2 ) lµ sc cặp, dạng C(K) đ-ợc xác định cặp (l1 ,u1 ) (l2 ,u2 ) nhờ công thức (1) mệnh đề 2.2.10 Khi đó, điều kiện sau t-ơng ®-¬ng 1)    ; 2) l1  l2 vµ u1  u2 Chøng minh HiĨn nhiên 2) => 1) Bây ta chứng minh 1) =>2) Ta chia tr-êng hỵp sau Tr-êng hỵp 1: u1 u2 Khi đó, tồn x  K cho u1 (x)  u2 (x) Không tính tổng quát giả thiết u1 (x) u2 (x) Khi tồn  cho u1 (x)  u2 (x)  Đặt U y K : u2 (y)  u2 (x)    V× u2 nửa liên tục nên U lân cận x Theo Bổ đề Urysohn tồn g0 C(K) với g0 2r cho g0 K\U Đặt s  max  l1 , l2  vµ g0  2r , ®ã r  max  u1 , u2  Khi ®ã, víi i = 1, ta cã ui  (r  s)e  g0  li  (r  s)e  g0  32 vµ ui  (r  s)e  g0  ui  (r  s)e  g0 , Trong ®ã e : K  R víi e(x)  víi mäi x  K Do ®ã víi i = 1, ta cã max  ui  (r  s)e  g0 , li  (r  s)e  g0  ui  (r  s)e  g0 (a) Hơn ta có u1 (r s)e g0  r  s  2r  u1 (x) vµ u2  (r  s)e  g0  r  s  2r  u2 (x)   Vì u1 (x) u2 (x) nên u2  (r  s)e  g0  u1  (r s)e g0 max u2  (r  s)e  g0 , l2  (r  s)e  g0  max  u1  (r  s)e  g0 , l1  (r  s)e g0 Bất đẳng thức mâu thuẫn víi (a) Tr-êng hỵp l1  l2 Chøng minh t-ơng tự nh- tr-ờng hợp 1, ta có điều mâu thuẫn Vậy u1 u2 l1 l2 Kết hợp ba Mệnh đề 2.2.10, 2.2.11 2.2.12 ta có định lý sau nói lên mối quan hệ dạng C(K) cặp hàm nửa liên tục K 2.2.13 Định lý 1) Nếu dạng K tồn sc cỈp (l,u) cho  (g)  max  l  g , u  g , g  C(K) ; (1) 2) Nếu (l,u) sc cặp K hàm xác định (1) dạng C(K) 3) Sự t-ơng ứng dạng K sc cặp song ánh 33 Kết luận Luận văn đà đạt đ-ợc kết sau đây: - Trình bày cách có hệ thống vấn đề hàm bị chặn, liên tục, nửa liên tục, dạng không gian Banach mối liên hệ dạng C(K) cặp hàm nửa liên tục - Đ-a ví dụ minh hoạ cho sè kh¸i niƯm nh- VÝ dơ 1.2.4, VÝ dơ 2.2.2 - Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu tham khảo không chứng minh nh- MƯnh ®Ị 1.2.3, MƯnh ®Ị 1.3.4, MƯnh ®Ị 2.1.3 - Chứng minh số kết mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt 34 Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải Bùi Tắc Đắc (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập 1, Nhà xuất Giáo dục [3] M Klimex (1999), Pluripotential Theory, Calerendon [4] J Iovino (1998), Types on stable Banach spaces, Fudamental Mathematca, (157), 85-95 [5] M Pomper (2004), Types over C(K) spaces, J.Anst Soc 77,17-28 [6] M Pomper (2005), Double-dual types over the Banach space C(K), International J of Math And Mathematical Sciences 16, 2533-2545 ... f hàm nửa liên tục x0 X Vì x lấy thuộc X nên f hàm nửa liên tục trên X Chứng minh t-ơng tự ta suy đ-ợc f hàm nửa liên tục d-ới X * Điều kiện đủ Giả sử f : X R hàm nửa liên tục nửa liên tục. .. c.f hàm nửa liên tục trên X; (b) Cho X không gian tôpô, f : X R Khi đó, f hàm nửa liên tục trên X f hàm nửa liên tục d-ới X 1.4.4 Mệnh đề Cho X không gian tôpô, ánh xạ f : X R Khi đó, f hàm. .. chất dạng không gian Banach tổng quát Sau đó, trình bày khái niệm tính chất cặp hàm nửa liên tục tập compact nghiên cứu biểu diễn dạng không gian Banach C(K) qua cặp hàm nửa liên tục K Các kết