1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

các dạng trên không gian c(k) và cặp các hàm nửa liên tục

37 214 0
Tài liệu được quét OCR, nội dung có thể không chính xác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 37
Dung lượng 3,89 MB

Nội dung

Trang 1

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC VINH

ĐỖ VĂN CHUNG

‘AC DANG TREN KHONG GIAN C(K) VA CAP CAC HAM NUA LIEN TUC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2009

Trang 2

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC VINH

ĐỖ VĂN CHUNG

‘AC DANG TREN KHONG GIAN C(K) VA CAP CAC HAM NUA LIEN TUC

CHUYEN NGÀNH: GIẢI TÍCH

MÃ SỐ : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS PHAM QUANG TRINH

VINH - 2009

Trang 3

MUC LUC

Lời núi dau

Chương 1 Khụng gian cỏc hàim - - 5 + + + xxx veeveereereerserre 3 1.1 Một số khỏi niệm và kết quả cơ bản - -s +5 5++sx+sÊ+x+e+exeexes+ 3

1.2 Khụng gian cỏc hầm ô+ xxx x99 v.v ng ngơ 7

1.3 Khụng gian cỏc hàm liờn tục wid

1.4 Một số tớnh chất của hàm nửa liờn tuc Chương 2 Cỏc dạng trờn khụng gian C(K)

2.1 Cỏc dạng trờn khụng gian Banach - -sôsô+ l6

2.2 Cỏc dạng trờn khụng gian C(K) và cặp cỏc hàm nửa liờn tục

Kết luận

Trang 4

LOI NOI DAU

Khụng gian Banach và cỏc hàm xỏc định trờn nú là một trong những đối tượng được nghiờn cứu nhiều trong giải tớch và cỏc ngành Toỏn học khỏc Cỏc ỏnh xạ tuyến tớnh liờn tục được nghiờn cứu nhiều và trỡnh bày kỹ trong cỏc giỏo trỡnh dành cho sinh viờn ngành Toỏn Cỏc ỏnh xạ liờn tục khụng tuyến tớnh cũng cú nhiều ứng dụng và được nghiờn cứu nhiều nhưng trong cỏc giỏo

trỡnh giải tớch hàm cho sinh viờn nú chưa được trỡnh bày một cỏch đầy đủ

Khỏi niệm về dạng trờn khụng gian Banach đó được giới thiệu và nghiờn cứu

bởi Kerivine và Maurey vào năm 1981 Sau đú, Pomper, H.P.Rosenthal đó

nghiờn cứu sự biểu diễn và tớnh chất của cỏc dạng trờn cỏc khụng gian Banach đặc biệt ([4], [5], [6]) Mục đớch của chỳng tụi là dựa vào cỏc tài liệu tham khảo để tỡm hiểu nghiờn cứu về khỏi niệm và tớch chất của cỏc dạng trờn

khụng gian Banach, sự biểu diễn của cỏc dạng trờn khụng gian Banach C(K)

cỏc hàm nhận giỏ trị thực liờn tục trờn tập compact K qua cỏc cặp cỏc hàm nửa liờn tục trờn K Với mục đớch đú, Luận văn được trỡnh bày thành 2 chương

Chương I, Trỡnh bày việc xõy dựng khụng gian cỏc hàm bị chặn, cỏc hàm liờn tục, cỏc hàm nửa liờn tục Sau đú nghiờn cứu cấu trỳc và một số tớnh chất của cỏc lớp hàm đú mà chỳng cần dựng cho chương sau

Chương 2, trỡnh bày khỏi niệm về dạng trờn khụng gian Banach và nghiờn cứu cỏc tớnh chất của cỏc dạng trờn khụng gian Banach tổng quỏt Sau

đú, chỳng tụi trỡnh bày về khỏi niệm và tớnh chất của cỏc cặp cỏc hàm nửa liờn

tục trờn tập compact và nghiờn cứu sự biểu diễn của cỏc dạng trờn khụng gian Banach C(K) qua cặp cỏc hàm nửa liờn tục trờn K

Cỏc kết quả được trỡnh bày trong luận văn là đó cú trong tài liệu tham khảo Chỳng tụi đó tỡm đọc, sắp xếp lại theo mục đớch của mỡnh, đưa ra một

Trang 5

Chứng minh một số kết quả mà trong cỏc tài liệu tham khảo khụng chứng minh (Mệnh đề 1.2.3, Mệnh dộ 1.3.4, Mệnh đề 2.1.3) và chứng minh chỉ tiết

nhiều kết quả mà trong tài liệu chứng minh vắn tắt

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự

hướng dẫn của TS Phạm Quang Trỡnh Tỏc giả xin được bày tỏ lũng biết ơn chõn thành và sõu sắc nhất của mỡnh đến cỏc Thầy giỏo, những người đó đặt ra

vấn đề và thường xuyờn giỳp đỡ tỏc giả trong suốt quỏ trỡnh học tập và nghiờn

cứu

Nhõn dịp này, tỏc giả cũng xin chõn thành cảm ơn cỏc thầy giỏo, cụ

giỏo trong Khoa Toỏn, Khoa Sau đại học của trường Đại học Vinh và cỏc bạn

lớp CH15-Giải tớch đó thường xuyờn giỳp đỡ tỏc giả trong quỏ trỡnh học tập và

hoàn thành luận văn

Mặc dự đó cú rất nhiều cố gắng, song Luận văn khụng thể trỏnh khỏi

những thiếu sút, tỏc giả rất mong nhận được những đúng gúp quý bỏu từ cỏc thầy giỏo, cụ giỏo và cỏc bạn

Vinh, thang 11 năm 2009

Trang 6

Chuong 1

KHONG GIAN CAC HAM

Trong chương này, tỏc giả trỡnh bày một số tớnh chất của khụng gian

cỏc hàm bị chặn, khụng gian cỏc hàm liờn tục làm cơ sở cho việc nghiờn cứu

1.1 Một số khỏi niệm và kết quả cơ bản 1.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập hợp bất kỳ khỏc rỗng Một họ z cỏc tập con của X được gọi là mội /ụpụ trờn X nếu thỏa món cỏc điều kiện sau ()Â,X er; (2) NếM U,,U¿ erthỡiUj_U; er (3) Nếu U,er,iel thỡ \) U, er uy iel !

Tập Xcựng với một tụpụ z trờn nú được gọi là một khụng gian tụpụ

1.1.2 Định nghĩa Cho X là khụng gian tụpụ với tụpụ z Một tập hợp V X được gọi là õn cận của x nếu tồn tại U e7 sao cho xeÙUœV

1.1.3 Định nghĩa Cho (X,z) là một khụng gian tụpụ Ta gọi mỗi tập U c7

là một tập mở Tập con AC X được gọi là tập đúng nếu X\A là đập mở 1.1.4 Định nghĩa Giả sử Z2 là một họ cỏc tập mở của khụng gian tụpụ X, B được gọi là cơ sở ụpụ của X nếu với mỗi xe X và mọi lõn cận U của x, tồn tạo Ve Z sao cho xeVCU

1.1.5 Định nghĩa Họ 2 cỏc tập con của khụng gian tụpụ (X,z) được gọi là tiền cơ sở của tụpụ 7 nếu X =U{ V:Ve@ } và họ tất cả cỏc giao hữu hạn cỏc phần tử của “2 lập thành cơ sở của tụpụ 7

Trang 7

UU, SA thỡ tồn tại tập con hữu hạn 7„ của 7 sao cho UU; > A Khong

iel iely

gian X duoc goi la khộng gian compact nếu X 1a tap compact trong X Tite là, nộu U, 1a mo trong X, voi moi fe7 va UU, = X thỡ cú một tập hữu hạn

iel

I, cI saocho UU, =X

iely

Khụng gian tụpụ X được gọi là chuẩn rắc nếu mọi cặp tập con đúng rời nhau A và ệ của X đều tồn tại cdc tap mộ U, V trong X sao cho U WV =@,

ACcCUWBCY

1.1.7 Bổ đề (Urysohn) Với hai tập con đúng khụng giao nhau của khụng gian chuẩn tắc X tụn tại hàm liờn tục ƒ trờn X lấy giỏ trị trong đoạn [0,1 ] và bằng khụng trờn A, bằng một trờn B

1.1.8 Định nghĩa Cho X là một tập khỏc rỗng và hàm d: XxX >R Ham đ được gọi là một mờtric hay khoảng cỏch trờn X nếu thỏa món cỏc điều kiện sau:

1) đ(x,y)>0, Vx,yeX, d(x,y)=0<x=y;

2) d(x,y)=d(y,x), Vx,yc X;

3) d(x,y)<d(x,y)+d(y,z), Vx,y,zEX

Tập X cựng với một metric trờn nú được gọi là khụng gian mờtric 1.1.9 Dinh ly Cho A la tập con của khụng gian mờtric X Khi đú A_ là

compact khi va chi khi moi day {a,} GA cú dấy con {a, } hội tu dộn aed 1.1.10 Dinh nghia Cho X và Y là cỏc khụng gian tụpụ Ánh xạ ƒ : X >Y goi là liờn tực tại xạ e X nếu với mọi lõn cận V của ƒ(x„) tồn tại lõn cận U của x„

sao cho ƒ(U)CV

1.1.11 Dinh nghĩa Giả sử X là khụng gian mờtric và ƒ : X -> R Nếu một

dóy nào đú {x,}C X,x,—>x„eX, dóy {ƒ(x„)}cú giới hạn (hữu hạn hay vụ

Trang 8

Số lớn nhất (tương ứng bộ nhất), cú thộ bang +0 trong cỏc giới hạn

riờng được gọi là giới hạn trờn (tương ứng dưới) của ƒ khi x — x„và viết là

lim f(x) (tuong ting lim f(x) hay lim sup f(x) (tuong tng lim inf f(x))

xu x->*o xu

Từ định nghĩa đú ta cú

lim f(x) =inf {sup { f(x): x €B(x,,6) };

`

lim ƒ(x) = sup {inf { f(x): x € B(x,,6) He

1.1.12 Dinh nghĩa Giả sử # là khụng gian tuyến tớnh trờn trường K(Ă hoặc

Ê) và ||: ER, x |x| Ham ||| được gọi là một chuẩn trờn E_ nếu thỏa

món:

1) |x||>0 với mọi xe và |x||=0 khi và chỉ khi x = 0;

2) lœơl = |e |x| với moi x € E va v6i moi ae K;

3) x+y < x||+||y| với mọi x,yeE

Khụng gian tuyến tớnh E cựng với một chuẩn trờn nú được gọi là khụng gian định chuẩn

Nếu # là khụng gian định chuẩn thỡ đ(x,y) =||x— y ,x,y€E xỏc định

mot mộtric trờn E Ta gọi d là mờtric sinh bởi chuẩn

Khụng gian định chuẩn E được gọi là khụng gian Banach, nếu nú là khụng gian đầy đủ đối với mờtric sinh bởi chuẩn

1.1.13 Dinh nghia Gia sit / là tập hợp khỏc rỗng, được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ < Tập (7,<) được gọi là một lưới hay tập định hướng nếu thỏa

món:

a) (I,<) khụng cú phần tử lớn nhất;

Trang 9

c) Với mỗi a, fel tộn tai yeTsao cho a<y,B<y (ta ndi y di sau ava B)

Gia str (J,<) 1a một tap dinh huộng Với mọi a, €1, đặt

| a, |=card({ wel: asa, }) (số phõn tử của {ứ e1: ứ < ứ,})

1.1.14 Định nghĩa Giả sử (/,<) va (J,<) 1a 2 tap dinh hudng va k: TJ Ham k được gọi là bđo tồn thứ tự nếu œ <6] kộo theo k(#) <k(ỉ)

Hàm k được gọi là khụng kết thỳc nếu mọi 7 J tồn tại œeẽ sao cho y<k(a)

1.1.15 Dinh nghĩa Giả sử (7,<) là tập định hướng và & : 7 —>› ù Hàm k được gọi là một lưới con của T nếu k bảo tồn thứ tự và khụng kết thỳc

1.1.16 Định nghĩa Giả sử (7,<) là tập định hướng và X là một khụng gian

topo Ta ndi (x, ) œe[ là lưới hay dóy suy rộng trong X được xỏc định bởi 7 nếu

x, €X với mọi ứ eẽ Sau này fa núi gọn (x, ) ael là dóy suy rộng trong X Giả sử (x,) ael là một dóy suy rộng Nếu &:7-—>7 là hàm bảo tồn thứ tự và khụng kết thỳc thỡ dóy suy rộng (x,,„„) œel được gọi là lưới con hay day con cla (X,,) ael *

Nộu X 1a khong gian dinh chuan va (x,),., ael 1a day suy rong trong X Day suy rộng (x„)„., ael được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c sao cho

Xx, |<oVael

1.1.17 Dinh nghia Gia su (x, ael là dóy suy rộng trong khụng gian tụpụ X hội tụ tới xe X và viết lim x, =x nộu mội lan can U cua x tộn

ael

Ta núi (x„) œel

tại œạ 1l sao cho x„cU với mọi œel, œạ<ơ

1.1.18 Dinh ly Nộu (x,),-, ael là lưới trong khụng gian tụpụ X, hội tụ tới

Trang 10

1.1.19 Dinh ly Gid sw Y la tap con cua khụng gian tụpụ X và xe X Khi đú

xeY khi và chỉ khi tụn tại dóy suy rộng (x„)„., ael trong Y sao cho limx„ =x gel

1.1.20 Dinh nghĩa Giả sử (z„) _„ là dóy suy rộng bị chặn cỏc số thực Khi đú, ta định nghĩa lim sup r„ = inf { SUD I, :8el,8>ứ } =lim r„: ael ael lim inf r, = sup | infr,: Bel, B2a }- acl ael

Trong luận văn này ta luụn giả thiết (7,<) là tập định hướng và ta viết

gọn / thay cho (I,<)

1.2 Khụng gian cỏc hàm

Trong mục này, chỳng ta sẽ trỡnh bày một số tớnh chất của khụng gian

cỏc hàm bị chặn và đưa ra vớ dụ minh hoạ mà nú được dựng ở chương 2 Cho A là một tập hợp và F là một khụng gian định chuẩn

1.2.1 Định nghĩa Hàm ƒ : A —> # được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c

sao cho || ƒ(x) |<c,VxeA

Ta ky hiộn &,(A) là tập tất cả cỏc hàm bị chặn từ A vào F Khi đú 2;(4) là khụng gian tuyến tớnh trờn trường K đối với phộp cộng hai hàm và phộp

nhõn vụ hướng với hàm thụng thường, tức là với mọi ƒ,ứe B,(A), voi moi aeK tacộ

(ƒ+gXx)=ƒ(4)+s(*), (œƒ)\(x)=œƒ(x),VxeA

| /(x) |=sup| ƒ(x) |, ƒ 2; Œ)

Ta dễ dàng kiểm tra được cụng thức (1) xỏc định một chuẩn trờn z(4)

Trang 11

thờm thỡ ta quy ước chuẩn trờn Zz(4) là chuẩn sup, tức là chuẩn xỏc định bởi cụng thức (1)

Một cõu hỏi được đặt ra là với điều kiện nào thỡ khụng gian định chuẩn @B,(A) la khong gian Banach? Định lý sau trả lời cõu hỏi này

1.2.2 Định lý Nếu F là khụng gian Banach thỡ Z2(A) là khụng gian Banach

Chứng mỡnh Cho { f, là một dóy Cauchy trong Z+(4) Khi đú

Ff |S fifa

Vỡ vậy với mọi VxeA, {ƒ,(x)} là day Cauchy Do F 1a Banach nộn

Ve20,4n,:Va,m>n,,VxeA>| <e, â

f(x) > f(x)€F.Ta duge anhxa f:A>F

Cố định  >0 van trong hộ thttc cho m— ta duge | f.00-fla) |se â #5) |<| 2) |+e<||# Vậy ƒ bị chặn và do đú ƒ e Z2¿(A) Từ ”? ta cú I/.~ƒ |<sứ|@)=#@) |<e Với mọi xeA, +Ê nghĩa là ƒ, > f

Trang 12

| g(x) |=| inf { h(x):heH } |<c VxeK

Vậy ƒ và ứ thuộc 1 (K)

1.2.4 Vớ dụ Giả sử X là khụng gian Hausdorff compact Khi d6, &,(X) 1a

khụng gian cỏc hàm nhận giỏ trị thực, bị chặn trờn X Vỡ R là khụng gian

Banach nờn theo Định lý 1.2.2, Z4(X) là khụng gian Banach Từ đõy về sau, ta viết 2X) thay cho Z4(X)

1.3 Khụng gian cỏc hàm liờn tục

Giả sử X là khụng gian tụpụ và Ƒ là khụng gian định chuẩn Ký hiệu CZ(X) là tập tất cả cỏc hàm liờn tục, bị chặn từ X vào F Dộ thay C7(X) 1a khụng gian con của Z(X)

Ký hiệu C,,(X) 1a tập tất cả cỏc hàm liờn tục từ X vào Ƒ Nếu X là khụng

gian compact thỡ CZ(X)= C,(X) bởi vỡ mọi hàm liờn tục trờn tập compact,

nhận giỏ trị trong khụng gian định chuẩn đều bị chặn

1.3.1 Định lý CZ(X) là khụng gian vộc tơ con đúng của 2,(X) Đặc biệt, nếu F là khụng gian Banach thỡ CÊ(X) là khụng gian Banach

Chứng minh Giả sử {ƒ,}CCƑ và ƒ,—> ƒ<4(X) Ta cõn chứng minh

Trang 13

10 Từ đú, với mọi xe, ta cú l/(x)= f(x,)|<||f(x)~ #„ (x)è+ |/,„(x)~ ƒ„(x,)è+ fi (%p) — F(%)| € € € <<+—+—=eÊ 3 3 3 Vậy ƒ liờn tục tại Xạ

1.3.2 Chỳ ý Ta viết C(X) thay cho Cạ(X) Nếu X là khụng gian compact

thỡ theo Định lý I.3.1, C(X) là khụng gian Banach (với chuẩn sup) Tụpụ trờn C(X) được sinh bởi chuẩn sup ta gọi là tụpụ chuẩn Sau đõy ta sẽ trang bị thờm một tụpụ nữa cho khụng gian C(Ä), ta gọi tụpụ này là tụpụ hội tụ tại từng điểm, núi gọn là tụpụ hội tụ điểm

1.3.3 Định nghĩa Ta gọi tụpụ hội ớ điểm trờn C(X) là fụpụ trờn C(X)cú

tiờn cơ sở là họ tất cả cỏc đập con dạng { ƒ eC(X): ƒ(x)<U i, trong đú x là

điểm thuộc Xcũn U là đập mở trong Ă

1.3.4 Mệnh đề Giđ sử ( ƒ„ )„.„ là một lưới trong C(X) Khi đú (ƒ„)„„„ hội tụ tới geC(X) đối với tụpụ hội tụ điểm khi và chỉ khi ( 1, Jeet hoi tu toi g(x) voi moi x EX

Chứng mỡnh Giả sử ( ƒ„ ) „„ hội tụ tới g đối với tụpụ hội tụ điểm Lấy bất kỳ xeX va U là tập mở trong Ă sao cho g(x)<U Vỡ Uy.) ={f €C(X): f(x) €U} 1a lan can của g trong _C(X) đối với tụpụ hội tụ

diộm va f, > g nộn tụn tại œạe! sao cho ƒ, 6U ,„ với mọi œel, œ>ứ, Do đú ƒ(x)eU Vứ>ứ, Vỡ U là lõn cận của s(x) nờn ta kết luận được

(7,)„„, hội tụ tới g(x)

Ngược lại, giả sử ( ft, lu hội tụ tới g(x) với mỗi xe X Lấy bất kỳ

Trang 14

II

W={ƒeC(X): ƒ(x)eU},

trong đú xeX, Ù là tập mở trong Ă chứa x Vỡ geW nờn g(x)eÙU Do

( Z„ )„., hội tụ tới g(x) nờn tồn tại „e1 sao cho ƒ„(x)eU với mọi ứ >ứ, Điều này chứng tỏ ƒ, eW với mọi #€ẽ, z>ứ,,

Vậy ƒ„ —> g đối với tụpụ hội tụ điểm

1.4 Một số tớnh chất của hàm nửa liờn tục

Trong mục này chỳng ta sẽ trỡnh bày khỏi niệm cỏc hàm nửa liờn tục trờn, nửa liờn tục dưới và nghiờn cứu một số tớnh chất của cỏc hàm nửa liờn tục

mà chỳng được dựng trong chương sau

1.4.1 Định nghĩa Giả sử X là khụng gian tụpụ, ƒ : X—>R là ỏnh xạ từ tập X vào tập hợp cỏc số thực #

- Ta núi ƒ là nửa liờn tục trờn tại xạ X nếu với mọi số thực zeR mà

ƒ(x¿)<ứ thỡ tồn tại lõn cận U của x„ trong X sao cho ƒ(x)< #, với mọi

xeU

- Ham ƒ gọi là nửa liờn tục dưới tại xạ X nếu với mọi số thực zeR

mà ƒ(x„)>ứ thỡ tồn tại lõn cận V của x„ trong X sao cho ƒ(x) >ứ#, với mọi

xe€Y

- Hàm ƒ: X->#đ được gọi là mửa liờn tục trờn (tương ứng đưới) trờn X nếu nú là hàm nửa liờn tục trờn (tương ứng đưới) tại mọi điểm thuộc X

1.4.2 Mệnh đề Cho X là khụng gian tụpụ, ỏnh xạ ƒ:X—>R là hàm nửa liờn tục trờn trờn X và số thực ceR Khi đú

(a) Nộu c>0 thicf là hàm nửa liờn tục trờn trờn X;

(b) Nếu c<0 thỡ c.ƒ là hàm nửa liờn tục dưới trờn X

Trang 15

12

a t3 ew Gap ED nen ˆ af

of (X))<a@ suy ra f(x,)<— Theo gia thiết ƒ là hàm nửa liờn tục trờn X nờn e ƒ

là hàm nửa liờn tục trờn tại xạ Do đú, tồn tại lõn cận U của x„ sao cho

a aS ĐÀ 3 TEA A

ƒ(x)<— xe suy ra cf(x)<a,VxeU Vay cf 1a ham nwa liộn tuc trộn e tại xạ„eX Vỡ x„ là điểm bất kỳ của X nờn c,ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trờn X

(b) Giả sử ƒ:X->R là hàm nửa liờn tục trờn trờn X và c< 0 Với mỗi

8

xạeX và với mỗi số thực ỉ@eR và cƒ(x,) > vỡ c<0 nờn ƒ(x„)<“— c Do f 1a hàm nửa liờn tục trờn trờn X nờn ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trờn x„ Do đú, tồn tại lõn cận mở V của điểm x„ thoả món ƒ(x)< 8, VỚI mỌi e

xeV.Vỡ c<0 nờn cƒ(x)> / với mọi xeVW Do đú c,ƒ là hàm nửa liờn tục dưới tại x„ Vỡ x„ là điểm bất kỳ của Xnờn c,ƒ là hàm nửa liờn tục dưới trờn X

1.4.3.Nhận xột (a) Cho X là khụng gian tụpụ, ƒ: X->R là hàm nửa liờn

tục dưới trờn X và số thực c R Khi đú

+ Nếu c >0 thỡ c.ƒ là hàm nửa liờn tục dưới trờn X; + Nếu c<0 thỡ c.ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trờn X;

(b) Cho X là khụng gian tụpụ, ƒ : X ->R Khi đú, ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trờn X khi và chỉ khi — ƒ là hàm nửa liờn tục dưới trờn X

1.4.4 Mệnh đề Cho X là khụng gian tụpụ, ỏnh xạ ƒ : X-—>R Khi đú, ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trờn X khi và chỉ khi với mụi số thực œeR thỡ tập

{xeX:ƒ(x)>a} là đúng

Chứng minh * Điều kiện cõn Giả sử ƒ:X->R là hàm nửa liờn tục trờn

Trang 16

13

Để chứng minh A là tập đúng trong X ta cần chứng minh XAA là tập mở

B=X\A={xeX: f(x)<a}

Với mội x, €B thi f(x,)<a@ Do ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trờn tai x, nờn tồn tại lõn cận mở U của x„ sao cho ƒ(x)<#ứ, với mọi xÙ Ta nhận thấy xạeUcB=X\4A Do đú, 8 là lõn cận của x„ Vỡ x„ lấy bất kỳ thuộc B nờn B là lõn cận của mọi điểm thuộc nú Vậy ệ là tập mở Do đú

A={xeX:ƒf(x)>z}

là tập đúng trong X

* Điều kiện đỳ Giả sử A={ xeX : ƒ(x)> ứ } là tập đúng trong X, với mọi

œcR Ta cần chứng minh ƒ : X-—>R là hàm nửa liờn tục trờn trờn X Từ A={xeX:ƒf(x)>z} VứeR

là tập đúng trong X suy ra

B=X\A={ xeX:f(x)<a}, VaeR

là tập mở trong X Với mỗi x; e X thoả món ƒ(x„)< ứ thỡ x„ e8 Do B là tập mở, nờn tồn tại lõn cận mở V của x„ trong B sao cho ƒ(x)<# với mọi xeVCB Suy ra ƒ là hàm nửa liờn tục trờn tại x„ Vỡ x„ là điểm bất kỳ thuộc X nờn f là hàm nửa liờn tục trờn trờn X

1.4.5 Nhận xột Giả sử X là khụng gian tụpụ, ƒ : X —> R Khi đú ƒ là hàm nửa

liờn tục dưới trờn X khi và chỉ khi tập { xe€X:ƒ(x)<r i, với mọi r<đẹ là tập đúng trong X

1.4.6 Hệ quả Giả sử X là khụng gian tụpụ, ƒ : X —>R Khi đú ƒ là hàm nửa

liờn tục trờn (tương ứng nửa liờn tục dưới) trờn X khi và chỉ khi với mụi cR,

Trang 17

14

1.4.7 Mệnh dộ Gid sit X la khong gian topo, { f,:ael } là họ cỏc hàm nửa

liờn tục trờn (nửa liờn tục dưới) trờn X Khi đú, inƑ ƒ„ (tương ứng sup ƒ, ) là

ael ael

nửa liờn tục trờn (tương ứng nửa liờn tục dưới) trờn X

Chứng minh Giả sử { ƒ, : œ 1 } là họ cỏc hàm nửa liờn tục trờn trờn X Với

mỗi ccR, đặt

E=‡\xeX:imfƒ (x)<c

ael

| u, t(r+s)Ê+8; |>r+s+2r+w,(x)

Vỡ cỏc ƒ, nửa liờn tục trờn nờn cỏc # mở rong X Mặt khỏc E=UF, Thật vậy, hiển nhiờn (2 Ƒ, E Ngược lại, giả sit x € E, œel ael tic 1a inf f,(x)<c Khi d6, tộn tại œ;el sao cho ⁄„(x)<e bởi vỡ nếu œel ƒ#,(x)>c với mọi zeẽ thỡ mý ƒ„(x)>c Do đú xeF„, tức là xe t2 #„ Từ acl acl d6tac6 ECUF, œel Vay E=UF, Vicadc F, mo trong Xnộn E m6 trong X Do do inf f, 1a ael ael

hàm nửa liờn tục trờn trờn X

Nếu {ƒ,:zel } là họ cỏc hàm nửa liờn tục dưới trờn X Với mỗi ceR, dat

Ớ=\xeX:supƒ (x)>c ‡,

ael

G, ={ xEX: fi (x)>c }ael

Vỡ cỏc ƒ, nửa liờn tục dưới nờn theo Hệ qua 1.4.6 cic G, là tập mở Mặt khỏc, ta cú Ở = t2 G„ Do đú Ở là tập mở trong X Vậy sp ƒ„ là hàm nửa

ael ael

Trang 18

15

1.4.8 Định lý Cho X là khụng gian tụpụ Ánh xạ ƒ:X>R là hàm liờn tục trờn X khi và chỉ khi ƒ đồng thời là hàm nửa liờn tục trờn và nửa liờn tục dưới

trờn X

Chứng mỡnh * Điều kiện cần Giả sử ƒ : X—>R là hàm liờn tục trờn X Ta cần chứng minh ƒ là hàm nửa liờn tục trờn và nửa liờn tục dưới trờn X Thật vậy, với mỗi x„ e X và với mỗi số thực @ ER thoa man f(x,)<a, đặt

e=ứ- ƒ(x,) (1)

Vỡ f 1a ham liộn tuc tai x„ nờn tồn tại lõn cận U của x„ sao cho

|ƒ(x)—ƒ(4,)|<e VxeU (2)

Tir (1) va (2) suy ra f(x)<@ vội moi x EU Vay f 1a ham nita liộn tuc trộn

tại xạeX Vỡ xạ; lấy bất kỳ thuộc X nờn ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trộn X

Chứng minh tương tự ta cũng suy ra được ƒ là hàm nửa liờn tục dưới trờn X

* Điều kiện đủ Giả sử ƒ : X —>R là hàm nửa liờn tục trờn và nửa liờn tục dưới

trờn X Ta cần chưng minh ƒ là hàm liờn tục trờn X Với mỗi xạ X và >0

bộ tuỳ ý, vỡ ƒ là hàm nửa liờn tục trờn tại x„ nờn tồn tại lõn cận mở V, của x„ sao cho

ƒ(x)< ƒ(x,)+Ê VxeV

Mặt khỏc, f là hàm nửa liờn tục dưới tại x„ nờn tồn tại lõn cận mở V¿„

Trang 19

16

Chuong 2

CAC DANG TREN KHONG GIAN C(K)

2.1 Cac dang trộn khong gian Banach

Trong mục này chỳng ta sẽ trỡnh bày khỏi niệm và một số tớnh chất cơ bản của dạng trờn khụng gian Banach

Giả sử E là khụng gian Banach Với mỗi xe, ta xỏc định hàm x+yl|, yek

7, E->R bởi cụng thức 7,(y)=

Từ tớnh liờn tục của ỏnh xạ chuẩn và phộp cộng trong khụng gian định

chuẩn suy ra 7, liờn tục

Đặt M={r,:xeE }thỡ M là một tập con của khụng gian C(E) cỏc hàm liờn tục trờn #, nhận giỏ trị trong Ă

2.1.1 Định nghĩa Hàm 7:E-—>R được gọi là zmột dạng trờn E nếu 7 là phần tử thuộc bao đúng của M trong C(E) đối với tụpụ hội tụ điểm (xem Định nghĩa 1.3.3) 2.1.2 Nhận xột Hàm 7: E—>R_ là một dạng trờn E khi và chỉ khi tụn tại đấy suy rộng (x„) „ trong E sao cho r(y)= lim | x„+y |, yeE as ael

Chứng minh Giả sử 7 : E—>R là một dạng Khi d6, theo Dinh nghia 2.1.1,

reM (đối với tụpụ hội tụ điểm trong C(E)) Điều này là tương đương với tồn tại dấy suy rộng (z ) , trong M, hội tụ tới 7 thoe tụpụ hội tụ điểm Điều này là tương đương với tồn tại dóy suy rộng (x„),„ trong E sao cho (z,, (y ))hoi tụ tới 7(y) với mỗi y € E, tttc 1a tộn tai day suy rong (x, lựa, trong E sao cho

Trang 20

17

2.1.3 Mộnh dộ Gid si E la khong gian Banach va t : ER la ham dộ cho

Khi đú, cỏc điều kiện sau trơng đương ( 7 là một dạng trờn E;

(ii) Với mỗi tập con hữu hạn FC E và với mụi e >0 tụn tại phõn tử

x=x(F,e)<E sao cho | r(y)~] x+y | |<e VyeF;

(iii) Tộn tai mot day suy rong bi chdn (x,),_, trong E sao cho lim | x„ + y |=z() VyeE (1)

ael

Ching minh (i) => (ii) Gia stt c 1a một dạng trờn E Khi đú, theo nhận xột

2.1.2, tồn tai (x, }àu trong E sao cho

x„+y||[->r(y), VyeE (2)

Giả sử Ƒ là tập con hữu han trong E Khi đú, với mỗi Ê >0 và với mỗi ye Ft ton tai a(y,ộ) €7 sao cho

| t(y)-||x+y | <ộ,Vaelazaly,ộ)

Vỡ 7 là tập định hướng nờn tồn tại œ¿ 6ẽ sao cho Zạ >ỉ(y,Ê) với moi

y€Ÿ Khi đú, lấy x = x„ ta cú

| xX, +y | z0), VyeF

(ii)=>(i) Ta ky hiộu GE) 1a ho tat ca cdc tap con hitu han cua E, R* 1a tap tat cả cỏc số thực dương và ƒ = Z(Ƒ)x Ă ` Trờn 7 ta xỏc định quan hệ ” > “như sau

(F,e),(G,ử)e1l (F,#)>(Œ,ử)âŒCF,e<ở Dễ dàng kiểm tra được 7 với quan hệ này là một tập định hướng

Theo giả thiết, (ii) được thỏa món Do đú, tổn tại dóy suy rộng

(x, Der thộa min (ii), trong d6 B=(F,e)e1 Dộ ching minh (i) duge thoa

món ta chỉ cần chứng tỏ

Trang 21

18

Thật vậy, với mọi yeE, với mỗi Ê>0, lấy F={y}e ZŒ) và đặt ỉ, =(F,e)e1l Khi đú, với mội B=(G,6) eI sao cho (Œ,ở)>(F,Ê) ta cú FcG va 6<ộ Viday suy rộng (x, ), , thoả món (ùĂ) nờn

| z(z)~|| x(Œ,ỗ)+z | |<ổ VzeG

Vỡ ye#fC và ở<e nờn ta cú

|z(y)~||x(G,8)+y ||<e

Điều này chứng tỏ | X,-y | —>r(y), VyeE

(i) => (iii) Gia su (i) dugc thoa man Khi d6, theo Nhan xột 2.1.2, ton tai day suy rong (x,),., trong E sao cho | xz—y | z0), VyeE Đặc biệt, với y=0€Etacú | Xz |> z(0) Do đú dóy suy rộng (x5), bị chặn, tức là (11)

được thỏa món

Hiển nhiờn, từ (1i) suy ra (1)

2.1.4 Định nghĩa Giả sử 7z: E—>R là một dạng trờn khụng gian Banach E

Khi đú, từ Mệnh để 2.1.3 (ii) suy ra tồn tại dóy suy rộng bị chặn (x„)

trong E sao cho r(y)=lim |x„-y|| yeE

Ta núi dóy (x„)„„„ sinh ra 7

2.2 Cỏc dạng trờn khụng gian C(K) va cap cỏc hàm nửa liờn tục

Trong mục này, ta giả sử K là khụng gian Hausdorff, compact Ta đó

biết C(K) là khụng gian Banach cỏc hàm nhận giỏ trị thực, liờn tục trờn K với

chuẩn sup Sau đõy, ta sẽ nghiờn cứu tớnh chất của cỏc dạng trờn C(K), cụ thể

là nghiờn cứu mối quan hệ giữa cỏc dạng trờn K với cỏc cặp hàm nửa liờn tục

Trang 22

19

2.2.1 Định nghĩa Giả sử / và thuộc ⁄2(K) (khụng gian cỏc ham nhận giỏ trị

thực, bị chặn trờn K) Ta núi cặp (1,u) là cặp cỏc hàm nửa liờn tục và gọi là sc

— cặp nếu là hàm nửa liờn tục trờn, / là hàm nửa liờn tục dưới trờn K, /<Ăw

va I(x) = u(x) nộu x 1a diộm co lap trong K 2.2.2.Vớ dụ Giả sử K =[ 0,1 MỊ ; ful 2,4], + x nếu xe|[0,1]â2[2,3) 3 ¿ 3 u(X)=4— nộu x =— ( 2 2 [+x nộuxe[3,4] x nếu xe[0,1][2,3) x)= nộu = x+ ; nếu x e(3,4]

Khi đú, là hàm nửa liờn tục trờn, / là hàm nửa liờn tục dưới trờn K;

l{x)< u(x) với mọi xeK\| i } và : là điểm cụ lập của K

Vậy (1,u) là sc- cặp

2.2.3 Định nghĩa Giả sử (, Jeret la day suy rộng, bị chặn (theo chuẩn sup) trong C(K) Với mỗi z1 đặt

|, =sup{ f eC(K): f <inf { ƒ, :8>e }è

u, = inf { ƒeC(K): ƒ>sup{ ƒ,:/8>œ }

Trang 23

20

Theo Định lý 1.4.8 và 1.4.7 thỡ cỏc hàm /, 14 nia liờn tục dưới trờn K cũn cỏc ham u, va u 1a nita liờn tực trờn trờn K Theo 1.2.3 thỡ cỏc hàm

L,,lu,,u thudc B(K)

2.2.4 Mệnh đề Gi¿ sử (f, lu là dóy suy rộng cỏc hàm bị chặn trong C(K)

va Llu ',,„ là cỏc hàm được xỏc định trong Dinh nghĩa 2.2.3 Khi đú

1) Nếu œ,,ơ,cel mà œ, <ơœ, thỡ I, Sle, <I và u„ >u„ >u

2) Với mụi xeK và mỗi >0 tụn tại œạ=ơ(x,e)6l sao cho với mụi ở > đ,fa cú l1 (x)>l(x)—Ê và u (x)<M(x)+Ê 3) Với mỗi 8el,xeK,ử>0 và lõn cận U của x tụn tại yeU và 7> 8 sao cho LOS 1, (x) +6 4) Với mỗi 8el,xe K,ð >0 và lõn cận U của x tụn tại yeÙU và 7> 8 sao cho #69) > w(x)~ð:

Chứng minh Cỏc khẳng định 1) và 2) được suy ra từ Định nghĩa 2.2.3 và cỏc tinh chat cua inf va sup

Bõy giờ ta chứng minh 3)

Giả sử ỉel,xeK Đặt s=/,(x) Cho U là một lõn cận của x và >0 Giả sử điều cần chứng minh trong 3) khụng đỳng Khi đú, với mọi

y€Ù và mọi 7> ỉ tacú ƒ(y)>s~ổ

Ta cú thể chọn được geC(K) sao cho @Sƒ với mọi 7> và

#(x)=l¿(x)+ð=s+ổ Do đú

Trang 24

21

Day là một điều mõu thuẩn Từ đú ta cú điều cần chứng minh

Khẳng định 4) được chứng minh tương tự

Từ đõy về sau ta giả sử 7 là tập định hướng và lực lượng của 7 bằng infimum của cỏc lực lượng của cỏc cơ sở tụpụ của K

2.2.5 Bổ đờ Giả sit (f,),., 1a day suy rộng bị chặn trong C(K), I và u la cdc hàm được xỏc định trong Định nghĩa 2.2.3, geC(K) và xeK Khi đú

1) Tụn tại lưới con Ă:I —>I và (x„„,)„., trong K sao cho (x¿„j)„., hội

tu toi x va

Ux) + g(x) 2 lim ( fipa(Xipa)) + 8(Xiya)) )- ael

2) Tụn tại lưới con j :l —>ẽ và (X„„))„., trong K sao cho (X„„j)„., hội

tụ tới x và

U(x) + B(x) Slim ( fica (X ja) + BX ja)) )ằ

ael

, ae x Hl yng be bế

Chứng minh Với mỗi ael, dat Â, = la| Vỡ mỗi zeẽ chỉ cú một số hữu

hạn phần tử của I đi trước #ứ và cú vụ hạn phan tu cua I di sau @ nờn €, hoàn toàn xỏc định và lime, =0

ael

Giả sử (U, )„ là hệ cở sở cỏc lõn cận mộ cla x sao cho MU, = {x} va

ael

U, CU, neu a< Bel

Hon nữa, từ tớnh liờn tục của g ta cú thể giả thiết | g(x) — gy) |< Ỹ với

mọi yeÙ,

Ta sẽ xõy dựng(x,„,)„„, bằng quy nạp theo z 6ẽ

Cố định œ1 và giả sử đó xỏc định được cỏc /(ỉ) với tất cả cỏc B<a@ Vỡ

Trang 25

22

a, = i(B) với mọi B <a Theo Mệnh đề 2.2.4.2 ta cú thể chọn được ứ„

sao cho ứ, >a, va

I(x) 2 L(x) 2 l(x)— `5,

u(x) S u(x) Š w(x) +e, Vy >a

Từ Mệnh đề 2.2.4.3) và 4) suy ra tộn tại i(2)>ứ,,x„„„ceU„ và

J(z)>ứ,, x,,„ 6U, sao cho

Ey Ey

Sigal Ơita) Shag (Ơ) +S SHO) 4

Fives yay) 2 Mag(X) Em) —E

2

Theo cỏch xõy dựng i(a@), j(a@) ta thay cdc anh xa

ilo plol

œ->i() ` œ->j(ơ)

là bảo tồn thứ tự và khụng kết thỳc Do đú, Ă và 7 là 2 lưới con của J con

(X¿„;)„.Ă Và (x„„,)„„„ là hai đấy suy rộng trong K Vỡ (U,„),.„ là cơ sở lõn cận

Trang 26

23

là dấy số suy rộng bị chặn Do đú, chỳng cú cỏc dóy con hội tụ Để đơn giản

ký hiệu, ta cú thể xem cỏc dóy con này cũng cú cỏc chỉ số Ă(Z), j(œ) tương ứng Vậy tồn tại Lim (fice) (Xia) + @(X„„,)) Š l(x)+ g(x) ael lim (Fico) (Xa) + BX (a) < u(x) + 9(x) ael

2.2.6 BO dộ Gid sit (f,),., là dóy suy rong bi chdn trong C(K) v6i chuẩn sup cũn è và u là cỏc hàm được xỏc định trong Định nghĩa 2.2.3 Khi đú, nếu

g€C(K) sao cho lim (| ƒ,+# |) tụn tại thỡ ael , u+t g|) lim (fi +g|) > max (+ s| œel Chứng minh Đầu tiờn, ta nhận thấy rằng, nếu (u,l) là sc- cặp thỡ với mỗi ứeC(K) đều cú

lu + gè) = sup ({u(x) + g(x): x â K} U{-l(x) - g(x) :xeK}) ()

Giả sử xe K Theo Bổ đề 2.2.5, tồn tại ỏnh xạ Ă : ẽ —>Ƒ bảo tồn thứ tự,

max (||I+ &| ,

khụng kết thỳc và dóy suy rộng (+, i(a)/ael lim (fija)(Xija)) + 8% „j))Š l(x) + (x) ael trong K hội tụ tới x sao cho Từ đú, suy ra lim (|ƒ, + 8|= lờm (| f,„, + #|> lim (—f„(Xu„,)— 8ễ4„,)) 3 ~((x)+ (2) Tương tự, ta cú lim (||ƒ, + gèè> u(x) + s(x) ael

Tir x là điểm bất kỳ thuộc K suy ra

Trang 27

24 Kột hop vội (1) ta cú › + gè|) lim (|, +g||> max (èl+ s œel

Bổ đề sau đõy chứng tỏ bất đẳng thức ngược lại trong Bổ đẻ 2.2.6 vẫn đỳng 2.2.7 BO dộ Gid sit (f,,),., 1a ddy suy rộng bị chặn trong khụng gian C(K) với chuẩn sup, è và u là cỏc hàm được xỏc định trong Định nghĩa 2.2.3 Khi đú thỡ nếu geC(K) sao cho tổn tại lim (|, + ael ju + gl) lim (l/, +ợi <max (|I+ g œel Chứng mỡnh Đặt /ứm (|ƒ, + g|=r Với mỗi ứ 7, chọn x„eK va s, =+/ sao cho ael | fe +8 = Sul fa(Xa) + 8(x„))

Từ tớnh compact của K suy ra tồn tại ỏnh xạ bảo tồn thứ tự và khụng kế

thtic i: 1 I vahang s6 s =+/ sao cho

lim (x; =s Vael

ael (a =XEK va Sig)

Khi đú r= lim (z„,(Xz„;) + ứ(*„„,)) Ta chia ra 2 trường hợp

Trường hợp 1 s= 1 cố định ỉe€ẽ Ta cú

r =lim (Fria) (X ya) + 8(Xz„,)) = wel ael im p Fie (X ia) + 8X jq))) J (a)>,

< ae UP(Ma (Xa) +&(Xz„,)) Su; + B(x)

Trang 28

sỈ|-25 Do đú ju + gl) lim (, +ợi <max (\l+ g ael Chỳng ta cần định lý sau:

2.2.8 Dinh ly (Edwards) Gid su U la hàm nửa liờn tục trờn và L là hàm nửa

liờn tục dưới trờn K sao cho U <L Khi đú, tụn tại hàm F liờn tục trờn K sao

cho U<F<L

2.2.9 Bổ đẻ Giả sử Z2 là phỳ mở hữu hạn của K và u:K->R là hàm bị

chặn Khi đú, hàm L:K —>R được xỏc định bởi

L(y) =sup| u(z):2€ 0 P|, ằeK yep,peP

là mửa liờn tục dưới và L>u

Tương tự, nếu 1: K +R la ham bị chặn và U:K >R được xỏc định

2s

bởi

U(y)=inf | Wz):z a P|, yeK

yep.peP

thỡ U nửa liờn tục trờn và U <1

Chứng minh Tự cỏch xỏc định L ta cú L(y)3L(z) với mọize A P yep,peP Vỡ Z2 hữu hạn nờn chỉ cú một số hữu hạn cỏc tập dạng A P Do đú, tập yep,peP {yeK:L(@)<r}= U (a W) xeK,L(x)<r xep,peP

là hợp của một số hữu hạn cỏc tập đúng nờn nú là tập đúng Theo Hệ quả

1.4.6, L là hàm nửa liờn tục dưới Từ cỏch xỏc định L ta cú ngay L> Khẳng định cũn lại được chứng minh tương tự

Dựa vào cỏc Bổ đề và kết quả đó trỡnh bày ở trờn ta sẽ thiết lập được mối quan hệ giữa cỏc dạng trờn C(K) với cỏc sc- cặp (I,u) thụng qua cỏc Mệnh

đề sau

Trang 29

26

T(g) =max (I + s| èw+ ứ|) VgeC(K) (1) Chứng mỡnh Giả sử 7 là dạng trờn C(K) và (ƒ,)„.„ là dóy suy rộng bị chặn trong C(K) sinh ra 7 Ta ký hiệu ỉ, w là cỏc hàm được xỏc định như trong định

nghĩa 2.2.3

Bõy giờ, ta chứng minh (1) là sc- cặp Theo Định nghĩa 2.2.3 thỡ / nửa

liờn tục dưới, nửa liờn tục trờn trờn K và /<Ă Giả x là điểm co lập trong K

Áp dụng Mệnh đề 2.2.4.3)-4) cho U ={x} ta cú

lim Inƒ f2\(x) S U(x) < u(x) Slim sup f(x) (2)

Đặt r=3sup { |ƒ„(x)|:œ 1 } và xỏc định hàm g: K —> bởi cụng thức

0 nếu y # x

By)=) r nếu y = 4 „

Vi x là điểm cụ lập nờn g liờn tục trờn K, tức là geC(K)

Từ r=3sup { | F(x) |:zer} Suy ra

| f + 3 =sup |fo(y) + a(y)]=max (f(x) +r|,sup |f(y))) = f(x) +r yeK

Do đú

7(4)= lim lễ +ọ|= lim (f(x) +r)

Trang 30

27

Ching minh Gia su (1,u) la sc — cap trộn K va T được xỏc định bởi (1) Ta sử

dụng Mệnh dộ 2.1.3 để chứng minh 7 là một dạng trờn C(K) Để thực hiện

điều đú ta chỉ cần chứng tỏ rằng với mỗi 7 với g,,g, g, €C(K) va voi

mỗi Ê>0 tồn tai F eC(K) sao cho r(8,)| r(ứ,)— ||F + sĂ| l<Ê VỚi moi i= 1, n

Cố định g,,g; ứ, và Ê >0 Chọn phủ mở hữu hạn Z2 của K sao cho tất cả cỏc V € PD, voi moi x,y EV va voi moi i = 1, n ta cú ộ | #(*)—&,(y) <5: (Vỡ cỏc hàm g,,g; ứ„ liờn tục trờn tap compact K nờn chỳng liờn tục đều, đú đú phủ Z2 là tồn tại) Ta xỏc định cỏc hàm L, U :K—>R bởi cỏc cụng thức L(y) =sup | w(z): 2 ỉ v], yep,peP

U(y) = ý [I(z):ze Ạ vi yek yep,peP

Theo Bổ đề 2.2.9, L nửa liờn tục dưới, U nửa liờn tục trờn trờn K Theo

Định ly 2.2.8, ton tai ham feC(K) sao cho U< f <L Sit dung (1) trong

chứng minh Bổ đề 2.2.6, cú thể chọn được tập hitu han SC K sao cho vội moi 1= 1, n ta cú

max {|I+ 8, , |u+ g, |} =max {-(I(z) + g,(z)),u(z) + g,(z) : z e S}

Trang 31

28

| f0)- FE) |< 5 VxeW,2W

Hơn nữa, cú thể giả thiết rằng với mọi &=0,/, 24+7, và với mọi x,y EV, tac6

| f(x)- fly) <ỗ:

Theo Bổ đề Urysohn cú thể chọn dược cỏc hàm lờn tục ƒ,, , ƒ P 24+! thoả

món cỏc điều kiện:

Với mọi j= p,p+1, , chọn f sao cho

Fi egy 9 V8 GZ) = ME) — F(Z) UZ) — FZ) <0 sao cho +1 ww, 9 | A; |= LE )-fG) Với mỗi j =0, ,g chon f 20 va fy; fy, va 22 7+ Ky j41 ⁄2 7+1 = /Œj)=U(Œ7) 2q+I Đặt F= ƒ+ > ƒ, Chỳng ta sẽ chứng minh rằng k=p <6, | max {\-+ gu + g;} -|F +2 tức là }-e<|lF+sĂ| < max {U +g max {| + 8| |t-+ 8| ,|r+ gi|}+Ê

Đầu tiờn, ta chứng minh bất đẳng thức bờn phải

Trang 32

29

24+I

Trường hợp I x# {z, z ,} â2( U V,) Khi đú, F(x) = f(x) Chỳng ta cú thể

chọn y,,y; an „V sao cho I(y,)=u(x) va u(y,)=L(x) Việc chọn y,,y;

thực hiện được bởi vỡ / nửa liờn tục dưới (tương ứng nửa liờn tục trờn) và cỏc xỏc định (tương ứng L) Khi đú, ~[F(x)+g,(x) ]=—ƒ(x)~(x) <—H(x)—8,(x)<=I(9,)= &(y,)+ 5 S] l+g, +5 F(x) + 9,(x) = f(x) + 9,(x) < L(x) + g;(x) ộ ộ (y;)+ 8,(3;) + 2 S| u+&, +> Do đú, ta cú

[F(x)+g,(x) ]<max { | I+, Ut g; |}+e

Trường hợp 2 x =z, với j nào đú thuộc {p,p + 1, ,—!} Khi đú F(x)+g,(x)=(x)+ g(x)= l(x) + g,(x) Vỡ thế ta cú | F(x) + g,(x) |< max { | 1+ g, ,|| U+ g; |}+e Trường hợp 3 xe V;, với j e{0,1, ,4}

Ta nhận thấy rằng Py, =ƒflu,+,|u, và Fi, 2 f\y,,-

Tồn tại y, eVW;, sao cho ƒ;,(y,)=L(z,)— ƒ(z,) (vỡ #;|= L(z¿)~ ƒ(z,) ) Hơn

nữa ( tồn tại y,e 1+ V sao cho

~ xeV VeP

Trang 33

30 Khi đú ta cú —F(x)— g(x) <—f(x)— g(x) S~U(x)~ g,(x) < “U92)- 8,02) +5 S| l+g, l*5 và F(x)+g(x)= f(x)+f,(x)+s,(x)Šf(x)* ẫ,(9,)+ (3) =ƒ(x)+L(z,)— ƒ(z,)+ 8,(x)<M(y;)+ 8,(y;)+Ê <|H+ giè+Ê (Trong bất đẳng thức cuối cựng, ta đó sử dụng 2 bất đẳng thức - - ộ > ộ V #x)~fz,)<> vỡ x,z,€W, và 8:(2)— 8i(93) $5 vixy,E z;eV,VeP A V) Do đú |F(x)+g,(x) |< max { + s,||| + s, | Jee

Trương hợp 4 xeV,,., j+l với j = {0,!, ,g} Trường hợp này được chứng minh

tương tự như trường hợp 3

Kết hợp cỏc trường hợp từ 1 đến 4 ta cú

| F(x) + 9,(x) |< max { +g, › utg|}+e VxeK,i=Ln

Do đú

| F+g, |< max { li + s, ; utg|}+e Ă=ln

Bõy giờ ta chứng minh

|F+ứ, > max{\ + g,||,Ju+ g,\} -e i=ln Cố định Ă ={7, ,n} theo cỏch xay dung S ắt tồn tai ze S sao cho

max {—] I(z)+ g,(z) ].(u(z) + g,(z) } = max { li+ sĂl, lu+g, \

Với z đó chọn, xảy ra 2 trường hợp sau

Trường hợp 1 z=z, với j ={p, —1} Khi đú,

Trang 34

31

Do đú

max { + 8, | + 8|} =| Ftz,)* 8z) |<|LF + |

Trường hợp 2 z=z, với j ={0,1, ,g} Khi đú tồn tại

yyEV,, VÀ y, EVs, sao cho ƒ(y,)=(z,)=ƒ(z,) và !5;0,)=~ƒ(z,)+U(z,) Ta cú I>F,)+8,(vy)> ƒ(,)*+Ltz,)~ f(z,) >LŒ,)+g,(Zj)—Ê | Fre, Do đú | F+g, |> max { || 1+ g, |u+g, | } 2.2.12 Mệnh dộ Gid sử (I,,u,) và (I,,u,) là 2 sc — cặp, 7, và 7, là 2 dạng ,

trờn C(K) được xỏc định bởi cỏc cặp (l,,u,) và (l,,u;,) nhờ cụng thức (T) trong

mệnh đề 2.2.10 Khi đú, cỏc điều kiện sau tương đương

l)7,=7;;

2)1,=L vau, =u

Chứng minh Hiển nhiờn 2) => 1)

Bõy giờ ta chứng minh 1) =>2) Ta chia ra 2 trường hợp sau

Trường hợp 1: u, # , Khi đú, tồn tại xeK sao cho u,(x) #u,(x) Khong

mất tớnh tổng quỏt cú thể giả thiết „,(x) > „;(x) Khi đú tổn tại Ê >0 sao

cho u,(x)>u,(x)+2e Dat U ={y ceK:u,(y)< u„(x)+ Ê} Vỡ „, nửa liờn tục trờn nờn U là lõn cận của x Theo Bổ để Urysohn tồn tại g; e C(K) với

}-

\|go||=2r sao cho gạ|x„ =0 và gạ =2r, trong đú r = max | || u, | , Uu,

Dat s=max { | |, | ;|7, |} Khi do, voi i = 1,2 ta cú

Trang 35

32 | u, +(r+sj)e+g,|| <| u, +(r+s)Ê+ 8, Trong đú ý: K —> với e(x)= ẽ với mọi xeK Do đú với Ă = l, 2 ta cú | , max { | tu, + (r + S)€ + 8, II+r+s)e+s, |}=Í|,+(r+s)e+s || (a) Hơn nữa ta cú | u, +(rt+s)e+g, ||2>r+s+2r+u,(x) | u,+(r+sjet+g, |<r+s+2r+w;(x)+Ê Vỡ m,(x)> w„,(x)+2Ê nờn | u, +(r+sje+ g, I<| Mu, +(r+S)Ê +8; | và do đú max { | u, +(r+s)e+ ứ; |,|| 1, +(r+s)Ê+ , 8 lè ,

<max {| u,+(rt+s)et g, [+(rt+sjet+g, lè-

Bất đẳng thức này mõu thuẫn với (a)

Trường hợp 2 /, #/, Chứng minh tương tự như trường hợp l, ta cũng cú

điều mõu thuẫn

Vay u, =u, val, =1,

Kết hợp ba Mệnh dộ 2.2.10, 2.2.11 va 2.2.12 ta c6 dinh ly sau noi lộn mối quan hệ giữa dạng trờn C(K) và cặp cỏc hàm nửa liờn tục trờn K

Trang 36

33

KET LUAN

Luan văn đó đạt được cỏc kết quả chớnh sau đõy:

- Trỡnh bày một cỏch cú hệ thống cỏc vấn đề về cỏc hàm bị chặn, liờn tục, nửa liờn tục, cỏc dạng trờn khụng gian Banach và mối liờn hệ của cỏc

dạng trờn C(K) và cỏc cặp cỏc hàm nửa liờn tục trờn

- Đưa ra cỏc vớ dụ minh hoạ cho một số khỏi niệm như Vớ dụ 1.2.4, Vớ

dụ 2.2.2

- Chứng minh chi tiết một số kết quả mà trong cỏc tài liệu tham khảo

khụng chứng minh như Mệnh đề 1.2.3, Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 2.1.3

Trang 37

U1] [2] [3l [4] [5] [6] 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Dau Thộ Cap (2000), Gidi tich ham, Nha xuat ban Giỏo dục

Nguyễn Văn Khuờ, Lờ Mậu Hải và Bựi Tỏc Đắc (2001), Cứ sở lý thuyết

hàm và giải tớch hàm, tập 7, Nhà xuất bản Giỏo dục

M Klimex (1999), Pluripotential Theory, Calerendon

J Iovino (1998), Types on stable Banach spaces, Fudamental Mathematca, (157), 85-95

M Pomper (2004), Types over C(K) spaces, J.Anst Soc 77,17-28 M Pomper (2005), Double-dual types over the Banach space C(K),

Ngày đăng: 18/11/2014, 09:07

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w