BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC VINH
ĐỖ VĂN CHUNG
‘AC DANG TREN KHONG GIAN C(K) VA CAP CAC HAM NUA LIEN TUC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
VINH - 2009
Trang 2
BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC VINH
ĐỖ VĂN CHUNG
‘AC DANG TREN KHONG GIAN C(K) VA CAP CAC HAM NUA LIEN TUC
CHUYEN NGÀNH: GIẢI TÍCH
MÃ SỐ : 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS PHAM QUANG TRINH
VINH - 2009
Trang 3MUC LUC
Lời núi dau
Chương 1 Khụng gian cỏc hàim - - 5 + + + xxx veeveereereerserre 3 1.1 Một số khỏi niệm và kết quả cơ bản - -s +5 5++sx+sÊ+x+e+exeexes+ 3
1.2 Khụng gian cỏc hầm ô+ xxx x99 v.v ng ngơ 7
1.3 Khụng gian cỏc hàm liờn tục wid
1.4 Một số tớnh chất của hàm nửa liờn tuc Chương 2 Cỏc dạng trờn khụng gian C(K)
2.1 Cỏc dạng trờn khụng gian Banach - -sôsô+ l6
2.2 Cỏc dạng trờn khụng gian C(K) và cặp cỏc hàm nửa liờn tục
Kết luận
Trang 4LOI NOI DAU
Khụng gian Banach và cỏc hàm xỏc định trờn nú là một trong những đối tượng được nghiờn cứu nhiều trong giải tớch và cỏc ngành Toỏn học khỏc Cỏc ỏnh xạ tuyến tớnh liờn tục được nghiờn cứu nhiều và trỡnh bày kỹ trong cỏc giỏo trỡnh dành cho sinh viờn ngành Toỏn Cỏc ỏnh xạ liờn tục khụng tuyến tớnh cũng cú nhiều ứng dụng và được nghiờn cứu nhiều nhưng trong cỏc giỏo
trỡnh giải tớch hàm cho sinh viờn nú chưa được trỡnh bày một cỏch đầy đủ
Khỏi niệm về dạng trờn khụng gian Banach đó được giới thiệu và nghiờn cứu
bởi Kerivine và Maurey vào năm 1981 Sau đú, Pomper, H.P.Rosenthal đó
nghiờn cứu sự biểu diễn và tớnh chất của cỏc dạng trờn cỏc khụng gian Banach đặc biệt ([4], [5], [6]) Mục đớch của chỳng tụi là dựa vào cỏc tài liệu tham khảo để tỡm hiểu nghiờn cứu về khỏi niệm và tớch chất của cỏc dạng trờn
khụng gian Banach, sự biểu diễn của cỏc dạng trờn khụng gian Banach C(K)
cỏc hàm nhận giỏ trị thực liờn tục trờn tập compact K qua cỏc cặp cỏc hàm nửa liờn tục trờn K Với mục đớch đú, Luận văn được trỡnh bày thành 2 chương
Chương I, Trỡnh bày việc xõy dựng khụng gian cỏc hàm bị chặn, cỏc hàm liờn tục, cỏc hàm nửa liờn tục Sau đú nghiờn cứu cấu trỳc và một số tớnh chất của cỏc lớp hàm đú mà chỳng cần dựng cho chương sau
Chương 2, trỡnh bày khỏi niệm về dạng trờn khụng gian Banach và nghiờn cứu cỏc tớnh chất của cỏc dạng trờn khụng gian Banach tổng quỏt Sau
đú, chỳng tụi trỡnh bày về khỏi niệm và tớnh chất của cỏc cặp cỏc hàm nửa liờn
tục trờn tập compact và nghiờn cứu sự biểu diễn của cỏc dạng trờn khụng gian Banach C(K) qua cặp cỏc hàm nửa liờn tục trờn K
Cỏc kết quả được trỡnh bày trong luận văn là đó cú trong tài liệu tham khảo Chỳng tụi đó tỡm đọc, sắp xếp lại theo mục đớch của mỡnh, đưa ra một
Trang 5Chứng minh một số kết quả mà trong cỏc tài liệu tham khảo khụng chứng minh (Mệnh đề 1.2.3, Mệnh dộ 1.3.4, Mệnh đề 2.1.3) và chứng minh chỉ tiết
nhiều kết quả mà trong tài liệu chứng minh vắn tắt
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự
hướng dẫn của TS Phạm Quang Trỡnh Tỏc giả xin được bày tỏ lũng biết ơn chõn thành và sõu sắc nhất của mỡnh đến cỏc Thầy giỏo, những người đó đặt ra
vấn đề và thường xuyờn giỳp đỡ tỏc giả trong suốt quỏ trỡnh học tập và nghiờn
cứu
Nhõn dịp này, tỏc giả cũng xin chõn thành cảm ơn cỏc thầy giỏo, cụ
giỏo trong Khoa Toỏn, Khoa Sau đại học của trường Đại học Vinh và cỏc bạn
lớp CH15-Giải tớch đó thường xuyờn giỳp đỡ tỏc giả trong quỏ trỡnh học tập và
hoàn thành luận văn
Mặc dự đó cú rất nhiều cố gắng, song Luận văn khụng thể trỏnh khỏi
những thiếu sút, tỏc giả rất mong nhận được những đúng gúp quý bỏu từ cỏc thầy giỏo, cụ giỏo và cỏc bạn
Vinh, thang 11 năm 2009
Trang 6Chuong 1
KHONG GIAN CAC HAM
Trong chương này, tỏc giả trỡnh bày một số tớnh chất của khụng gian
cỏc hàm bị chặn, khụng gian cỏc hàm liờn tục làm cơ sở cho việc nghiờn cứu
1.1 Một số khỏi niệm và kết quả cơ bản 1.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập hợp bất kỳ khỏc rỗng Một họ z cỏc tập con của X được gọi là mội /ụpụ trờn X nếu thỏa món cỏc điều kiện sau ()Â,X er; (2) NếM U,,U¿ erthỡiUj_U; er (3) Nếu U,er,iel thỡ \) U, er uy iel !
Tập Xcựng với một tụpụ z trờn nú được gọi là một khụng gian tụpụ
1.1.2 Định nghĩa Cho X là khụng gian tụpụ với tụpụ z Một tập hợp V X được gọi là õn cận của x nếu tồn tại U e7 sao cho xeÙUœV
1.1.3 Định nghĩa Cho (X,z) là một khụng gian tụpụ Ta gọi mỗi tập U c7
là một tập mở Tập con AC X được gọi là tập đúng nếu X\A là đập mở 1.1.4 Định nghĩa Giả sử Z2 là một họ cỏc tập mở của khụng gian tụpụ X, B được gọi là cơ sở ụpụ của X nếu với mỗi xe X và mọi lõn cận U của x, tồn tạo Ve Z sao cho xeVCU
1.1.5 Định nghĩa Họ 2 cỏc tập con của khụng gian tụpụ (X,z) được gọi là tiền cơ sở của tụpụ 7 nếu X =U{ V:Ve@ } và họ tất cả cỏc giao hữu hạn cỏc phần tử của “2 lập thành cơ sở của tụpụ 7
Trang 7UU, SA thỡ tồn tại tập con hữu hạn 7„ của 7 sao cho UU; > A Khong
iel iely
gian X duoc goi la khộng gian compact nếu X 1a tap compact trong X Tite là, nộu U, 1a mo trong X, voi moi fe7 va UU, = X thỡ cú một tập hữu hạn
iel
I, cI saocho UU, =X
iely
Khụng gian tụpụ X được gọi là chuẩn rắc nếu mọi cặp tập con đúng rời nhau A và ệ của X đều tồn tại cdc tap mộ U, V trong X sao cho U WV =@,
ACcCUWBCY
1.1.7 Bổ đề (Urysohn) Với hai tập con đúng khụng giao nhau của khụng gian chuẩn tắc X tụn tại hàm liờn tục ƒ trờn X lấy giỏ trị trong đoạn [0,1 ] và bằng khụng trờn A, bằng một trờn B
1.1.8 Định nghĩa Cho X là một tập khỏc rỗng và hàm d: XxX >R Ham đ được gọi là một mờtric hay khoảng cỏch trờn X nếu thỏa món cỏc điều kiện sau:
1) đ(x,y)>0, Vx,yeX, d(x,y)=0<x=y;
2) d(x,y)=d(y,x), Vx,yc X;
3) d(x,y)<d(x,y)+d(y,z), Vx,y,zEX
Tập X cựng với một metric trờn nú được gọi là khụng gian mờtric 1.1.9 Dinh ly Cho A la tập con của khụng gian mờtric X Khi đú A_ là
compact khi va chi khi moi day {a,} GA cú dấy con {a, } hội tu dộn aed 1.1.10 Dinh nghia Cho X và Y là cỏc khụng gian tụpụ Ánh xạ ƒ : X >Y goi là liờn tực tại xạ e X nếu với mọi lõn cận V của ƒ(x„) tồn tại lõn cận U của x„
sao cho ƒ(U)CV
1.1.11 Dinh nghĩa Giả sử X là khụng gian mờtric và ƒ : X -> R Nếu một
dóy nào đú {x,}C X,x,—>x„eX, dóy {ƒ(x„)}cú giới hạn (hữu hạn hay vụ
Trang 8Số lớn nhất (tương ứng bộ nhất), cú thộ bang +0 trong cỏc giới hạn
riờng được gọi là giới hạn trờn (tương ứng dưới) của ƒ khi x — x„và viết là
lim f(x) (tuong ting lim f(x) hay lim sup f(x) (tuong tng lim inf f(x))
xu x->*o xu
Từ định nghĩa đú ta cú
lim f(x) =inf {sup { f(x): x €B(x,,6) };
`
lim ƒ(x) = sup {inf { f(x): x € B(x,,6) He
1.1.12 Dinh nghĩa Giả sử # là khụng gian tuyến tớnh trờn trường K(Ă hoặc
Ê) và ||: ER, x |x| Ham ||| được gọi là một chuẩn trờn E_ nếu thỏa
món:
1) |x||>0 với mọi xe và |x||=0 khi và chỉ khi x = 0;
2) lœơl = |e |x| với moi x € E va v6i moi ae K;
3) x+y < x||+||y| với mọi x,yeE
Khụng gian tuyến tớnh E cựng với một chuẩn trờn nú được gọi là khụng gian định chuẩn
Nếu # là khụng gian định chuẩn thỡ đ(x,y) =||x— y ,x,y€E xỏc định
mot mộtric trờn E Ta gọi d là mờtric sinh bởi chuẩn
Khụng gian định chuẩn E được gọi là khụng gian Banach, nếu nú là khụng gian đầy đủ đối với mờtric sinh bởi chuẩn
1.1.13 Dinh nghia Gia sit / là tập hợp khỏc rỗng, được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ < Tập (7,<) được gọi là một lưới hay tập định hướng nếu thỏa
món:
a) (I,<) khụng cú phần tử lớn nhất;
Trang 9c) Với mỗi a, fel tộn tai yeTsao cho a<y,B<y (ta ndi y di sau ava B)
Gia str (J,<) 1a một tap dinh huộng Với mọi a, €1, đặt
| a, |=card({ wel: asa, }) (số phõn tử của {ứ e1: ứ < ứ,})
1.1.14 Định nghĩa Giả sử (/,<) va (J,<) 1a 2 tap dinh hudng va k: TJ Ham k được gọi là bđo tồn thứ tự nếu œ <6] kộo theo k(#) <k(ỉ)
Hàm k được gọi là khụng kết thỳc nếu mọi 7 J tồn tại œeẽ sao cho y<k(a)
1.1.15 Dinh nghĩa Giả sử (7,<) là tập định hướng và & : 7 —>› ù Hàm k được gọi là một lưới con của T nếu k bảo tồn thứ tự và khụng kết thỳc
1.1.16 Định nghĩa Giả sử (7,<) là tập định hướng và X là một khụng gian
topo Ta ndi (x, ) œe[ là lưới hay dóy suy rộng trong X được xỏc định bởi 7 nếu
x, €X với mọi ứ eẽ Sau này fa núi gọn (x, ) ael là dóy suy rộng trong X Giả sử (x,) ael là một dóy suy rộng Nếu &:7-—>7 là hàm bảo tồn thứ tự và khụng kết thỳc thỡ dóy suy rộng (x,,„„) œel được gọi là lưới con hay day con cla (X,,) ael *
Nộu X 1a khong gian dinh chuan va (x,),., ael 1a day suy rong trong X Day suy rộng (x„)„., ael được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c sao cho
Xx, |<oVael
1.1.17 Dinh nghia Gia su (x, ael là dóy suy rộng trong khụng gian tụpụ X hội tụ tới xe X và viết lim x, =x nộu mội lan can U cua x tộn
ael
Ta núi (x„) œel
tại œạ 1l sao cho x„cU với mọi œel, œạ<ơ
1.1.18 Dinh ly Nộu (x,),-, ael là lưới trong khụng gian tụpụ X, hội tụ tới
Trang 101.1.19 Dinh ly Gid sw Y la tap con cua khụng gian tụpụ X và xe X Khi đú
xeY khi và chỉ khi tụn tại dóy suy rộng (x„)„., ael trong Y sao cho limx„ =x gel
1.1.20 Dinh nghĩa Giả sử (z„) _„ là dóy suy rộng bị chặn cỏc số thực Khi đú, ta định nghĩa lim sup r„ = inf { SUD I, :8el,8>ứ } =lim r„: ael ael lim inf r, = sup | infr,: Bel, B2a }- acl ael
Trong luận văn này ta luụn giả thiết (7,<) là tập định hướng và ta viết
gọn / thay cho (I,<)
1.2 Khụng gian cỏc hàm
Trong mục này, chỳng ta sẽ trỡnh bày một số tớnh chất của khụng gian
cỏc hàm bị chặn và đưa ra vớ dụ minh hoạ mà nú được dựng ở chương 2 Cho A là một tập hợp và F là một khụng gian định chuẩn
1.2.1 Định nghĩa Hàm ƒ : A —> # được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c
sao cho || ƒ(x) |<c,VxeA
Ta ky hiộn &,(A) là tập tất cả cỏc hàm bị chặn từ A vào F Khi đú 2;(4) là khụng gian tuyến tớnh trờn trường K đối với phộp cộng hai hàm và phộp
nhõn vụ hướng với hàm thụng thường, tức là với mọi ƒ,ứe B,(A), voi moi aeK tacộ
(ƒ+gXx)=ƒ(4)+s(*), (œƒ)\(x)=œƒ(x),VxeA
| /(x) |=sup| ƒ(x) |, ƒ 2; Œ)
Ta dễ dàng kiểm tra được cụng thức (1) xỏc định một chuẩn trờn z(4)
Trang 11thờm thỡ ta quy ước chuẩn trờn Zz(4) là chuẩn sup, tức là chuẩn xỏc định bởi cụng thức (1)
Một cõu hỏi được đặt ra là với điều kiện nào thỡ khụng gian định chuẩn @B,(A) la khong gian Banach? Định lý sau trả lời cõu hỏi này
1.2.2 Định lý Nếu F là khụng gian Banach thỡ Z2(A) là khụng gian Banach
Chứng mỡnh Cho { f, là một dóy Cauchy trong Z+(4) Khi đú
Ff |S fifa
Vỡ vậy với mọi VxeA, {ƒ,(x)} là day Cauchy Do F 1a Banach nộn
Ve20,4n,:Va,m>n,,VxeA>| <e, â
f(x) > f(x)€F.Ta duge anhxa f:A>F
Cố định  >0 van trong hộ thttc cho m— ta duge | f.00-fla) |se â #5) |<| 2) |+e<||# Vậy ƒ bị chặn và do đú ƒ e Z2¿(A) Từ ”? ta cú I/.~ƒ |<sứ|@)=#@) |<e Với mọi xeA, +Ê nghĩa là ƒ, > f
Trang 12| g(x) |=| inf { h(x):heH } |<c VxeK
Vậy ƒ và ứ thuộc 1 (K)
1.2.4 Vớ dụ Giả sử X là khụng gian Hausdorff compact Khi d6, &,(X) 1a
khụng gian cỏc hàm nhận giỏ trị thực, bị chặn trờn X Vỡ R là khụng gian
Banach nờn theo Định lý 1.2.2, Z4(X) là khụng gian Banach Từ đõy về sau, ta viết 2X) thay cho Z4(X)
1.3 Khụng gian cỏc hàm liờn tục
Giả sử X là khụng gian tụpụ và Ƒ là khụng gian định chuẩn Ký hiệu CZ(X) là tập tất cả cỏc hàm liờn tục, bị chặn từ X vào F Dộ thay C7(X) 1a khụng gian con của Z(X)
Ký hiệu C,,(X) 1a tập tất cả cỏc hàm liờn tục từ X vào Ƒ Nếu X là khụng
gian compact thỡ CZ(X)= C,(X) bởi vỡ mọi hàm liờn tục trờn tập compact,
nhận giỏ trị trong khụng gian định chuẩn đều bị chặn
1.3.1 Định lý CZ(X) là khụng gian vộc tơ con đúng của 2,(X) Đặc biệt, nếu F là khụng gian Banach thỡ CÊ(X) là khụng gian Banach
Chứng minh Giả sử {ƒ,}CCƑ và ƒ,—> ƒ<4(X) Ta cõn chứng minh
Trang 1310 Từ đú, với mọi xe, ta cú l/(x)= f(x,)|<||f(x)~ #„ (x)è+ |/,„(x)~ ƒ„(x,)è+ fi (%p) — F(%)| € € € <<+—+—=eÊ 3 3 3 Vậy ƒ liờn tục tại Xạ
1.3.2 Chỳ ý Ta viết C(X) thay cho Cạ(X) Nếu X là khụng gian compact
thỡ theo Định lý I.3.1, C(X) là khụng gian Banach (với chuẩn sup) Tụpụ trờn C(X) được sinh bởi chuẩn sup ta gọi là tụpụ chuẩn Sau đõy ta sẽ trang bị thờm một tụpụ nữa cho khụng gian C(Ä), ta gọi tụpụ này là tụpụ hội tụ tại từng điểm, núi gọn là tụpụ hội tụ điểm
1.3.3 Định nghĩa Ta gọi tụpụ hội ớ điểm trờn C(X) là fụpụ trờn C(X)cú
tiờn cơ sở là họ tất cả cỏc đập con dạng { ƒ eC(X): ƒ(x)<U i, trong đú x là
điểm thuộc Xcũn U là đập mở trong Ă
1.3.4 Mệnh đề Giđ sử ( ƒ„ )„.„ là một lưới trong C(X) Khi đú (ƒ„)„„„ hội tụ tới geC(X) đối với tụpụ hội tụ điểm khi và chỉ khi ( 1, Jeet hoi tu toi g(x) voi moi x EX
Chứng mỡnh Giả sử ( ƒ„ ) „„ hội tụ tới g đối với tụpụ hội tụ điểm Lấy bất kỳ xeX va U là tập mở trong Ă sao cho g(x)<U Vỡ Uy.) ={f €C(X): f(x) €U} 1a lan can của g trong _C(X) đối với tụpụ hội tụ
diộm va f, > g nộn tụn tại œạe! sao cho ƒ, 6U ,„ với mọi œel, œ>ứ, Do đú ƒ(x)eU Vứ>ứ, Vỡ U là lõn cận của s(x) nờn ta kết luận được
(7,)„„, hội tụ tới g(x)
Ngược lại, giả sử ( ft, lu hội tụ tới g(x) với mỗi xe X Lấy bất kỳ
Trang 14II
W={ƒeC(X): ƒ(x)eU},
trong đú xeX, Ù là tập mở trong Ă chứa x Vỡ geW nờn g(x)eÙU Do
( Z„ )„., hội tụ tới g(x) nờn tồn tại „e1 sao cho ƒ„(x)eU với mọi ứ >ứ, Điều này chứng tỏ ƒ, eW với mọi #€ẽ, z>ứ,,
Vậy ƒ„ —> g đối với tụpụ hội tụ điểm
1.4 Một số tớnh chất của hàm nửa liờn tục
Trong mục này chỳng ta sẽ trỡnh bày khỏi niệm cỏc hàm nửa liờn tục trờn, nửa liờn tục dưới và nghiờn cứu một số tớnh chất của cỏc hàm nửa liờn tục
mà chỳng được dựng trong chương sau
1.4.1 Định nghĩa Giả sử X là khụng gian tụpụ, ƒ : X—>R là ỏnh xạ từ tập X vào tập hợp cỏc số thực #
- Ta núi ƒ là nửa liờn tục trờn tại xạ X nếu với mọi số thực zeR mà
ƒ(x¿)<ứ thỡ tồn tại lõn cận U của x„ trong X sao cho ƒ(x)< #, với mọi
xeU
- Ham ƒ gọi là nửa liờn tục dưới tại xạ X nếu với mọi số thực zeR
mà ƒ(x„)>ứ thỡ tồn tại lõn cận V của x„ trong X sao cho ƒ(x) >ứ#, với mọi
xe€Y
- Hàm ƒ: X->#đ được gọi là mửa liờn tục trờn (tương ứng đưới) trờn X nếu nú là hàm nửa liờn tục trờn (tương ứng đưới) tại mọi điểm thuộc X
1.4.2 Mệnh đề Cho X là khụng gian tụpụ, ỏnh xạ ƒ:X—>R là hàm nửa liờn tục trờn trờn X và số thực ceR Khi đú
(a) Nộu c>0 thicf là hàm nửa liờn tục trờn trờn X;
(b) Nếu c<0 thỡ c.ƒ là hàm nửa liờn tục dưới trờn X
Trang 1512
a t3 ew Gap ED nen ˆ af
of (X))<a@ suy ra f(x,)<— Theo gia thiết ƒ là hàm nửa liờn tục trờn X nờn e ƒ
là hàm nửa liờn tục trờn tại xạ Do đú, tồn tại lõn cận U của x„ sao cho
a aS ĐÀ 3 TEA A
ƒ(x)<— xe suy ra cf(x)<a,VxeU Vay cf 1a ham nwa liộn tuc trộn e tại xạ„eX Vỡ x„ là điểm bất kỳ của X nờn c,ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trờn X
(b) Giả sử ƒ:X->R là hàm nửa liờn tục trờn trờn X và c< 0 Với mỗi
8
xạeX và với mỗi số thực ỉ@eR và cƒ(x,) > vỡ c<0 nờn ƒ(x„)<“— c Do f 1a hàm nửa liờn tục trờn trờn X nờn ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trờn x„ Do đú, tồn tại lõn cận mở V của điểm x„ thoả món ƒ(x)< 8, VỚI mỌi e
xeV.Vỡ c<0 nờn cƒ(x)> / với mọi xeVW Do đú c,ƒ là hàm nửa liờn tục dưới tại x„ Vỡ x„ là điểm bất kỳ của Xnờn c,ƒ là hàm nửa liờn tục dưới trờn X
1.4.3.Nhận xột (a) Cho X là khụng gian tụpụ, ƒ: X->R là hàm nửa liờn
tục dưới trờn X và số thực c R Khi đú
+ Nếu c >0 thỡ c.ƒ là hàm nửa liờn tục dưới trờn X; + Nếu c<0 thỡ c.ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trờn X;
(b) Cho X là khụng gian tụpụ, ƒ : X ->R Khi đú, ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trờn X khi và chỉ khi — ƒ là hàm nửa liờn tục dưới trờn X
1.4.4 Mệnh đề Cho X là khụng gian tụpụ, ỏnh xạ ƒ : X-—>R Khi đú, ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trờn X khi và chỉ khi với mụi số thực œeR thỡ tập
{xeX:ƒ(x)>a} là đúng
Chứng minh * Điều kiện cõn Giả sử ƒ:X->R là hàm nửa liờn tục trờn
Trang 1613
Để chứng minh A là tập đúng trong X ta cần chứng minh XAA là tập mở
B=X\A={xeX: f(x)<a}
Với mội x, €B thi f(x,)<a@ Do ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trờn tai x, nờn tồn tại lõn cận mở U của x„ sao cho ƒ(x)<#ứ, với mọi xÙ Ta nhận thấy xạeUcB=X\4A Do đú, 8 là lõn cận của x„ Vỡ x„ lấy bất kỳ thuộc B nờn B là lõn cận của mọi điểm thuộc nú Vậy ệ là tập mở Do đú
A={xeX:ƒf(x)>z}
là tập đúng trong X
* Điều kiện đỳ Giả sử A={ xeX : ƒ(x)> ứ } là tập đúng trong X, với mọi
œcR Ta cần chứng minh ƒ : X-—>R là hàm nửa liờn tục trờn trờn X Từ A={xeX:ƒf(x)>z} VứeR
là tập đúng trong X suy ra
B=X\A={ xeX:f(x)<a}, VaeR
là tập mở trong X Với mỗi x; e X thoả món ƒ(x„)< ứ thỡ x„ e8 Do B là tập mở, nờn tồn tại lõn cận mở V của x„ trong B sao cho ƒ(x)<# với mọi xeVCB Suy ra ƒ là hàm nửa liờn tục trờn tại x„ Vỡ x„ là điểm bất kỳ thuộc X nờn f là hàm nửa liờn tục trờn trờn X
1.4.5 Nhận xột Giả sử X là khụng gian tụpụ, ƒ : X —> R Khi đú ƒ là hàm nửa
liờn tục dưới trờn X khi và chỉ khi tập { xe€X:ƒ(x)<r i, với mọi r<đẹ là tập đúng trong X
1.4.6 Hệ quả Giả sử X là khụng gian tụpụ, ƒ : X —>R Khi đú ƒ là hàm nửa
liờn tục trờn (tương ứng nửa liờn tục dưới) trờn X khi và chỉ khi với mụi cR,
Trang 1714
1.4.7 Mệnh dộ Gid sit X la khong gian topo, { f,:ael } là họ cỏc hàm nửa
liờn tục trờn (nửa liờn tục dưới) trờn X Khi đú, inƑ ƒ„ (tương ứng sup ƒ, ) là
ael ael
nửa liờn tục trờn (tương ứng nửa liờn tục dưới) trờn X
Chứng minh Giả sử { ƒ, : œ 1 } là họ cỏc hàm nửa liờn tục trờn trờn X Với
mỗi ccR, đặt
E=‡\xeX:imfƒ (x)<c
ael
| u, t(r+s)Ê+8; |>r+s+2r+w,(x)
Vỡ cỏc ƒ, nửa liờn tục trờn nờn cỏc # mở rong X Mặt khỏc E=UF, Thật vậy, hiển nhiờn (2 Ƒ, E Ngược lại, giả sit x € E, œel ael tic 1a inf f,(x)<c Khi d6, tộn tại œ;el sao cho ⁄„(x)<e bởi vỡ nếu œel ƒ#,(x)>c với mọi zeẽ thỡ mý ƒ„(x)>c Do đú xeF„, tức là xe t2 #„ Từ acl acl d6tac6 ECUF, œel Vay E=UF, Vicadc F, mo trong Xnộn E m6 trong X Do do inf f, 1a ael ael
hàm nửa liờn tục trờn trờn X
Nếu {ƒ,:zel } là họ cỏc hàm nửa liờn tục dưới trờn X Với mỗi ceR, dat
Ớ=\xeX:supƒ (x)>c ‡,
ael
G, ={ xEX: fi (x)>c }ael
Vỡ cỏc ƒ, nửa liờn tục dưới nờn theo Hệ qua 1.4.6 cic G, là tập mở Mặt khỏc, ta cú Ở = t2 G„ Do đú Ở là tập mở trong X Vậy sp ƒ„ là hàm nửa
ael ael
Trang 1815
1.4.8 Định lý Cho X là khụng gian tụpụ Ánh xạ ƒ:X>R là hàm liờn tục trờn X khi và chỉ khi ƒ đồng thời là hàm nửa liờn tục trờn và nửa liờn tục dưới
trờn X
Chứng mỡnh * Điều kiện cần Giả sử ƒ : X—>R là hàm liờn tục trờn X Ta cần chứng minh ƒ là hàm nửa liờn tục trờn và nửa liờn tục dưới trờn X Thật vậy, với mỗi x„ e X và với mỗi số thực @ ER thoa man f(x,)<a, đặt
e=ứ- ƒ(x,) (1)
Vỡ f 1a ham liộn tuc tai x„ nờn tồn tại lõn cận U của x„ sao cho
|ƒ(x)—ƒ(4,)|<e VxeU (2)
Tir (1) va (2) suy ra f(x)<@ vội moi x EU Vay f 1a ham nita liộn tuc trộn
tại xạeX Vỡ xạ; lấy bất kỳ thuộc X nờn ƒ là hàm nửa liờn tục trờn trộn X
Chứng minh tương tự ta cũng suy ra được ƒ là hàm nửa liờn tục dưới trờn X
* Điều kiện đủ Giả sử ƒ : X —>R là hàm nửa liờn tục trờn và nửa liờn tục dưới
trờn X Ta cần chưng minh ƒ là hàm liờn tục trờn X Với mỗi xạ X và >0
bộ tuỳ ý, vỡ ƒ là hàm nửa liờn tục trờn tại x„ nờn tồn tại lõn cận mở V, của x„ sao cho
ƒ(x)< ƒ(x,)+Ê VxeV
Mặt khỏc, f là hàm nửa liờn tục dưới tại x„ nờn tồn tại lõn cận mở V¿„
Trang 1916
Chuong 2
CAC DANG TREN KHONG GIAN C(K)
2.1 Cac dang trộn khong gian Banach
Trong mục này chỳng ta sẽ trỡnh bày khỏi niệm và một số tớnh chất cơ bản của dạng trờn khụng gian Banach
Giả sử E là khụng gian Banach Với mỗi xe, ta xỏc định hàm x+yl|, yek
7, E->R bởi cụng thức 7,(y)=
Từ tớnh liờn tục của ỏnh xạ chuẩn và phộp cộng trong khụng gian định
chuẩn suy ra 7, liờn tục
Đặt M={r,:xeE }thỡ M là một tập con của khụng gian C(E) cỏc hàm liờn tục trờn #, nhận giỏ trị trong Ă
2.1.1 Định nghĩa Hàm 7:E-—>R được gọi là zmột dạng trờn E nếu 7 là phần tử thuộc bao đúng của M trong C(E) đối với tụpụ hội tụ điểm (xem Định nghĩa 1.3.3) 2.1.2 Nhận xột Hàm 7: E—>R_ là một dạng trờn E khi và chỉ khi tụn tại đấy suy rộng (x„) „ trong E sao cho r(y)= lim | x„+y |, yeE as ael
Chứng minh Giả sử 7 : E—>R là một dạng Khi d6, theo Dinh nghia 2.1.1,
reM (đối với tụpụ hội tụ điểm trong C(E)) Điều này là tương đương với tồn tại dấy suy rộng (z ) , trong M, hội tụ tới 7 thoe tụpụ hội tụ điểm Điều này là tương đương với tồn tại dóy suy rộng (x„),„ trong E sao cho (z,, (y ))hoi tụ tới 7(y) với mỗi y € E, tttc 1a tộn tai day suy rong (x, lựa, trong E sao cho
Trang 20
17
2.1.3 Mộnh dộ Gid si E la khong gian Banach va t : ER la ham dộ cho
Khi đú, cỏc điều kiện sau trơng đương ( 7 là một dạng trờn E;
(ii) Với mỗi tập con hữu hạn FC E và với mụi e >0 tụn tại phõn tử
x=x(F,e)<E sao cho | r(y)~] x+y | |<e VyeF;
(iii) Tộn tai mot day suy rong bi chdn (x,),_, trong E sao cho lim | x„ + y |=z() VyeE (1)
ael
Ching minh (i) => (ii) Gia stt c 1a một dạng trờn E Khi đú, theo nhận xột
2.1.2, tồn tai (x, }àu trong E sao cho
x„+y||[->r(y), VyeE (2)
Giả sử Ƒ là tập con hữu han trong E Khi đú, với mỗi Ê >0 và với mỗi ye Ft ton tai a(y,ộ) €7 sao cho
| t(y)-||x+y | <ộ,Vaelazaly,ộ)
Vỡ 7 là tập định hướng nờn tồn tại œ¿ 6ẽ sao cho Zạ >ỉ(y,Ê) với moi
y€Ÿ Khi đú, lấy x = x„ ta cú
| xX, +y | z0), VyeF
(ii)=>(i) Ta ky hiộu GE) 1a ho tat ca cdc tap con hitu han cua E, R* 1a tap tat cả cỏc số thực dương và ƒ = Z(Ƒ)x Ă ` Trờn 7 ta xỏc định quan hệ ” > “như sau
(F,e),(G,ử)e1l (F,#)>(Œ,ử)âŒCF,e<ở Dễ dàng kiểm tra được 7 với quan hệ này là một tập định hướng
Theo giả thiết, (ii) được thỏa món Do đú, tổn tại dóy suy rộng
(x, Der thộa min (ii), trong d6 B=(F,e)e1 Dộ ching minh (i) duge thoa
món ta chỉ cần chứng tỏ
Trang 2118
Thật vậy, với mọi yeE, với mỗi Ê>0, lấy F={y}e ZŒ) và đặt ỉ, =(F,e)e1l Khi đú, với mội B=(G,6) eI sao cho (Œ,ở)>(F,Ê) ta cú FcG va 6<ộ Viday suy rộng (x, ), , thoả món (ùĂ) nờn
| z(z)~|| x(Œ,ỗ)+z | |<ổ VzeG
Vỡ ye#fC và ở<e nờn ta cú
|z(y)~||x(G,8)+y ||<e
Điều này chứng tỏ | X,-y | —>r(y), VyeE
(i) => (iii) Gia su (i) dugc thoa man Khi d6, theo Nhan xột 2.1.2, ton tai day suy rong (x,),., trong E sao cho | xz—y | z0), VyeE Đặc biệt, với y=0€Etacú | Xz |> z(0) Do đú dóy suy rộng (x5), bị chặn, tức là (11)
được thỏa món
Hiển nhiờn, từ (1i) suy ra (1)
2.1.4 Định nghĩa Giả sử 7z: E—>R là một dạng trờn khụng gian Banach E
Khi đú, từ Mệnh để 2.1.3 (ii) suy ra tồn tại dóy suy rộng bị chặn (x„)
trong E sao cho r(y)=lim |x„-y|| yeE
Ta núi dóy (x„)„„„ sinh ra 7
2.2 Cỏc dạng trờn khụng gian C(K) va cap cỏc hàm nửa liờn tục
Trong mục này, ta giả sử K là khụng gian Hausdorff, compact Ta đó
biết C(K) là khụng gian Banach cỏc hàm nhận giỏ trị thực, liờn tục trờn K với
chuẩn sup Sau đõy, ta sẽ nghiờn cứu tớnh chất của cỏc dạng trờn C(K), cụ thể
là nghiờn cứu mối quan hệ giữa cỏc dạng trờn K với cỏc cặp hàm nửa liờn tục
Trang 2219
2.2.1 Định nghĩa Giả sử / và thuộc ⁄2(K) (khụng gian cỏc ham nhận giỏ trị
thực, bị chặn trờn K) Ta núi cặp (1,u) là cặp cỏc hàm nửa liờn tục và gọi là sc
— cặp nếu là hàm nửa liờn tục trờn, / là hàm nửa liờn tục dưới trờn K, /<Ăw
va I(x) = u(x) nộu x 1a diộm co lap trong K 2.2.2.Vớ dụ Giả sử K =[ 0,1 MỊ ; ful 2,4], + x nếu xe|[0,1]â2[2,3) 3 ¿ 3 u(X)=4— nộu x =— ( 2 2 [+x nộuxe[3,4] x nếu xe[0,1][2,3) x)= nộu = x+ ; nếu x e(3,4]
Khi đú, là hàm nửa liờn tục trờn, / là hàm nửa liờn tục dưới trờn K;
l{x)< u(x) với mọi xeK\| i } và : là điểm cụ lập của K
Vậy (1,u) là sc- cặp
2.2.3 Định nghĩa Giả sử (, Jeret la day suy rộng, bị chặn (theo chuẩn sup) trong C(K) Với mỗi z1 đặt
|, =sup{ f eC(K): f <inf { ƒ, :8>e }è
u, = inf { ƒeC(K): ƒ>sup{ ƒ,:/8>œ }
Trang 2320
Theo Định lý 1.4.8 và 1.4.7 thỡ cỏc hàm /, 14 nia liờn tục dưới trờn K cũn cỏc ham u, va u 1a nita liờn tực trờn trờn K Theo 1.2.3 thỡ cỏc hàm
L,,lu,,u thudc B(K)
2.2.4 Mệnh đề Gi¿ sử (f, lu là dóy suy rộng cỏc hàm bị chặn trong C(K)
va Llu ',,„ là cỏc hàm được xỏc định trong Dinh nghĩa 2.2.3 Khi đú
1) Nếu œ,,ơ,cel mà œ, <ơœ, thỡ I, Sle, <I và u„ >u„ >u
2) Với mụi xeK và mỗi >0 tụn tại œạ=ơ(x,e)6l sao cho với mụi ở > đ,fa cú l1 (x)>l(x)—Ê và u (x)<M(x)+Ê 3) Với mỗi 8el,xeK,ử>0 và lõn cận U của x tụn tại yeU và 7> 8 sao cho LOS 1, (x) +6 4) Với mỗi 8el,xe K,ð >0 và lõn cận U của x tụn tại yeÙU và 7> 8 sao cho #69) > w(x)~ð:
Chứng minh Cỏc khẳng định 1) và 2) được suy ra từ Định nghĩa 2.2.3 và cỏc tinh chat cua inf va sup
Bõy giờ ta chứng minh 3)
Giả sử ỉel,xeK Đặt s=/,(x) Cho U là một lõn cận của x và >0 Giả sử điều cần chứng minh trong 3) khụng đỳng Khi đú, với mọi
y€Ù và mọi 7> ỉ tacú ƒ(y)>s~ổ
Ta cú thể chọn được geC(K) sao cho @Sƒ với mọi 7> và
#(x)=l¿(x)+ð=s+ổ Do đú
Trang 2421
Day là một điều mõu thuẩn Từ đú ta cú điều cần chứng minh
Khẳng định 4) được chứng minh tương tự
Từ đõy về sau ta giả sử 7 là tập định hướng và lực lượng của 7 bằng infimum của cỏc lực lượng của cỏc cơ sở tụpụ của K
2.2.5 Bổ đờ Giả sit (f,),., 1a day suy rộng bị chặn trong C(K), I và u la cdc hàm được xỏc định trong Định nghĩa 2.2.3, geC(K) và xeK Khi đú
1) Tụn tại lưới con Ă:I —>I và (x„„,)„., trong K sao cho (x¿„j)„., hội
tu toi x va
Ux) + g(x) 2 lim ( fipa(Xipa)) + 8(Xiya)) )- ael
2) Tụn tại lưới con j :l —>ẽ và (X„„))„., trong K sao cho (X„„j)„., hội
tụ tới x và
U(x) + B(x) Slim ( fica (X ja) + BX ja)) )ằ
ael
, ae x Hl yng be bế
Chứng minh Với mỗi ael, dat Â, = la| Vỡ mỗi zeẽ chỉ cú một số hữu
hạn phần tử của I đi trước #ứ và cú vụ hạn phan tu cua I di sau @ nờn €, hoàn toàn xỏc định và lime, =0
ael
Giả sử (U, )„ là hệ cở sở cỏc lõn cận mộ cla x sao cho MU, = {x} va
ael
U, CU, neu a< Bel
Hon nữa, từ tớnh liờn tục của g ta cú thể giả thiết | g(x) — gy) |< Ỹ với
mọi yeÙ,
Ta sẽ xõy dựng(x,„,)„„, bằng quy nạp theo z 6ẽ
Cố định œ1 và giả sử đó xỏc định được cỏc /(ỉ) với tất cả cỏc B<a@ Vỡ
Trang 2522
a, = i(B) với mọi B <a Theo Mệnh đề 2.2.4.2 ta cú thể chọn được ứ„
sao cho ứ, >a, va
I(x) 2 L(x) 2 l(x)— `5,
u(x) S u(x) Š w(x) +e, Vy >a
Từ Mệnh đề 2.2.4.3) và 4) suy ra tộn tại i(2)>ứ,,x„„„ceU„ và
J(z)>ứ,, x,,„ 6U, sao cho
Ey Ey
Sigal Ơita) Shag (Ơ) +S SHO) 4
Fives yay) 2 Mag(X) Em) —E
2
Theo cỏch xõy dựng i(a@), j(a@) ta thay cdc anh xa
ilo plol
œ->i() ` œ->j(ơ)
là bảo tồn thứ tự và khụng kết thỳc Do đú, Ă và 7 là 2 lưới con của J con
(X¿„;)„.Ă Và (x„„,)„„„ là hai đấy suy rộng trong K Vỡ (U,„),.„ là cơ sở lõn cận
Trang 2623
là dấy số suy rộng bị chặn Do đú, chỳng cú cỏc dóy con hội tụ Để đơn giản
ký hiệu, ta cú thể xem cỏc dóy con này cũng cú cỏc chỉ số Ă(Z), j(œ) tương ứng Vậy tồn tại Lim (fice) (Xia) + @(X„„,)) Š l(x)+ g(x) ael lim (Fico) (Xa) + BX (a) < u(x) + 9(x) ael
2.2.6 BO dộ Gid sit (f,),., là dóy suy rong bi chdn trong C(K) v6i chuẩn sup cũn è và u là cỏc hàm được xỏc định trong Định nghĩa 2.2.3 Khi đú, nếu
g€C(K) sao cho lim (| ƒ,+# |) tụn tại thỡ ael , u+t g|) lim (fi +g|) > max (+ s| œel Chứng minh Đầu tiờn, ta nhận thấy rằng, nếu (u,l) là sc- cặp thỡ với mỗi ứeC(K) đều cú
lu + gè) = sup ({u(x) + g(x): x â K} U{-l(x) - g(x) :xeK}) ()
Giả sử xe K Theo Bổ đề 2.2.5, tồn tại ỏnh xạ Ă : ẽ —>Ƒ bảo tồn thứ tự,
max (||I+ &| ,
khụng kết thỳc và dóy suy rộng (+, i(a)/ael lim (fija)(Xija)) + 8% „j))Š l(x) + (x) ael trong K hội tụ tới x sao cho Từ đú, suy ra lim (|ƒ, + 8|= lờm (| f,„, + #|> lim (—f„(Xu„,)— 8ễ4„,)) 3 ~((x)+ (2) Tương tự, ta cú lim (||ƒ, + gèè> u(x) + s(x) ael
Tir x là điểm bất kỳ thuộc K suy ra
Trang 2724 Kột hop vội (1) ta cú › + gè|) lim (|, +g||> max (èl+ s œel
Bổ đề sau đõy chứng tỏ bất đẳng thức ngược lại trong Bổ đẻ 2.2.6 vẫn đỳng 2.2.7 BO dộ Gid sit (f,,),., 1a ddy suy rộng bị chặn trong khụng gian C(K) với chuẩn sup, è và u là cỏc hàm được xỏc định trong Định nghĩa 2.2.3 Khi đú thỡ nếu geC(K) sao cho tổn tại lim (|, + ael ju + gl) lim (l/, +ợi <max (|I+ g œel Chứng mỡnh Đặt /ứm (|ƒ, + g|=r Với mỗi ứ 7, chọn x„eK va s, =+/ sao cho ael | fe +8 = Sul fa(Xa) + 8(x„))
Từ tớnh compact của K suy ra tồn tại ỏnh xạ bảo tồn thứ tự và khụng kế
thtic i: 1 I vahang s6 s =+/ sao cho
lim (x; =s Vael
ael (a =XEK va Sig)
Khi đú r= lim (z„,(Xz„;) + ứ(*„„,)) Ta chia ra 2 trường hợp
Trường hợp 1 s= 1 cố định ỉe€ẽ Ta cú
r =lim (Fria) (X ya) + 8(Xz„,)) = wel ael im p Fie (X ia) + 8X jq))) J (a)>,
< ae UP(Ma (Xa) +&(Xz„,)) Su; + B(x)
Trang 28sỈ|-25 Do đú ju + gl) lim (, +ợi <max (\l+ g ael Chỳng ta cần định lý sau:
2.2.8 Dinh ly (Edwards) Gid su U la hàm nửa liờn tục trờn và L là hàm nửa
liờn tục dưới trờn K sao cho U <L Khi đú, tụn tại hàm F liờn tục trờn K sao
cho U<F<L
2.2.9 Bổ đẻ Giả sử Z2 là phỳ mở hữu hạn của K và u:K->R là hàm bị
chặn Khi đú, hàm L:K —>R được xỏc định bởi
L(y) =sup| u(z):2€ 0 P|, ằeK yep,peP
là mửa liờn tục dưới và L>u
Tương tự, nếu 1: K +R la ham bị chặn và U:K >R được xỏc định
2s
bởi
U(y)=inf | Wz):z a P|, yeK
yep.peP
thỡ U nửa liờn tục trờn và U <1
Chứng minh Tự cỏch xỏc định L ta cú L(y)3L(z) với mọize A P yep,peP Vỡ Z2 hữu hạn nờn chỉ cú một số hữu hạn cỏc tập dạng A P Do đú, tập yep,peP {yeK:L(@)<r}= U (a W) xeK,L(x)<r xep,peP
là hợp của một số hữu hạn cỏc tập đúng nờn nú là tập đúng Theo Hệ quả
1.4.6, L là hàm nửa liờn tục dưới Từ cỏch xỏc định L ta cú ngay L> Khẳng định cũn lại được chứng minh tương tự
Dựa vào cỏc Bổ đề và kết quả đó trỡnh bày ở trờn ta sẽ thiết lập được mối quan hệ giữa cỏc dạng trờn C(K) với cỏc sc- cặp (I,u) thụng qua cỏc Mệnh
đề sau
Trang 2926
T(g) =max (I + s| èw+ ứ|) VgeC(K) (1) Chứng mỡnh Giả sử 7 là dạng trờn C(K) và (ƒ,)„.„ là dóy suy rộng bị chặn trong C(K) sinh ra 7 Ta ký hiệu ỉ, w là cỏc hàm được xỏc định như trong định
nghĩa 2.2.3
Bõy giờ, ta chứng minh (1) là sc- cặp Theo Định nghĩa 2.2.3 thỡ / nửa
liờn tục dưới, nửa liờn tục trờn trờn K và /<Ă Giả x là điểm co lập trong K
Áp dụng Mệnh đề 2.2.4.3)-4) cho U ={x} ta cú
lim Inƒ f2\(x) S U(x) < u(x) Slim sup f(x) (2)
Đặt r=3sup { |ƒ„(x)|:œ 1 } và xỏc định hàm g: K —> bởi cụng thức
0 nếu y # x
By)=) r nếu y = 4 „
Vi x là điểm cụ lập nờn g liờn tục trờn K, tức là geC(K)
Từ r=3sup { | F(x) |:zer} Suy ra
| f + 3 =sup |fo(y) + a(y)]=max (f(x) +r|,sup |f(y))) = f(x) +r yeK
Do đú
7(4)= lim lễ +ọ|= lim (f(x) +r)
Trang 3027
Ching minh Gia su (1,u) la sc — cap trộn K va T được xỏc định bởi (1) Ta sử
dụng Mệnh dộ 2.1.3 để chứng minh 7 là một dạng trờn C(K) Để thực hiện
điều đú ta chỉ cần chứng tỏ rằng với mỗi 7 với g,,g, g, €C(K) va voi
mỗi Ê>0 tồn tai F eC(K) sao cho r(8,)| r(ứ,)— ||F + sĂ| l<Ê VỚi moi i= 1, n
Cố định g,,g; ứ, và Ê >0 Chọn phủ mở hữu hạn Z2 của K sao cho tất cả cỏc V € PD, voi moi x,y EV va voi moi i = 1, n ta cú ộ | #(*)—&,(y) <5: (Vỡ cỏc hàm g,,g; ứ„ liờn tục trờn tap compact K nờn chỳng liờn tục đều, đú đú phủ Z2 là tồn tại) Ta xỏc định cỏc hàm L, U :K—>R bởi cỏc cụng thức L(y) =sup | w(z): 2 ỉ v], yep,peP
U(y) = ý [I(z):ze Ạ vi yek yep,peP
Theo Bổ đề 2.2.9, L nửa liờn tục dưới, U nửa liờn tục trờn trờn K Theo
Định ly 2.2.8, ton tai ham feC(K) sao cho U< f <L Sit dung (1) trong
chứng minh Bổ đề 2.2.6, cú thể chọn được tập hitu han SC K sao cho vội moi 1= 1, n ta cú
max {|I+ 8, , |u+ g, |} =max {-(I(z) + g,(z)),u(z) + g,(z) : z e S}
Trang 3128
ộ
| f0)- FE) |< 5 VxeW,2W
Hơn nữa, cú thể giả thiết rằng với mọi &=0,/, 24+7, và với mọi x,y EV, tac6
| f(x)- fly) <ỗ:
Theo Bổ đề Urysohn cú thể chọn dược cỏc hàm lờn tục ƒ,, , ƒ P 24+! thoả
món cỏc điều kiện:
Với mọi j= p,p+1, , chọn f sao cho
Fi egy 9 V8 GZ) = ME) — F(Z) UZ) — FZ) <0 sao cho +1 ww, 9 | A; |= LE )-fG) Với mỗi j =0, ,g chon f 20 va fy; fy, va 22 7+ Ky j41 ⁄2 7+1 = /Œj)=U(Œ7) 2q+I Đặt F= ƒ+ > ƒ, Chỳng ta sẽ chứng minh rằng k=p <6, | max {\-+ gu + g;} -|F +2 tức là }-e<|lF+sĂ| < max {U +g max {| + 8| |t-+ 8| ,|r+ gi|}+Ê
Đầu tiờn, ta chứng minh bất đẳng thức bờn phải
Trang 3229
24+I
Trường hợp I x# {z, z ,} â2( U V,) Khi đú, F(x) = f(x) Chỳng ta cú thể
chọn y,,y; an „V sao cho I(y,)=u(x) va u(y,)=L(x) Việc chọn y,,y;
thực hiện được bởi vỡ / nửa liờn tục dưới (tương ứng nửa liờn tục trờn) và cỏc xỏc định (tương ứng L) Khi đú, ~[F(x)+g,(x) ]=—ƒ(x)~(x) <—H(x)—8,(x)<=I(9,)= &(y,)+ 5 S] l+g, +5 F(x) + 9,(x) = f(x) + 9,(x) < L(x) + g;(x) ộ ộ (y;)+ 8,(3;) + 2 S| u+&, +> Do đú, ta cú
[F(x)+g,(x) ]<max { | I+, Ut g; |}+e
Trường hợp 2 x =z, với j nào đú thuộc {p,p + 1, ,—!} Khi đú F(x)+g,(x)=(x)+ g(x)= l(x) + g,(x) Vỡ thế ta cú | F(x) + g,(x) |< max { | 1+ g, ,|| U+ g; |}+e Trường hợp 3 xe V;, với j e{0,1, ,4}
Ta nhận thấy rằng Py, =ƒflu,+,|u, và Fi, 2 f\y,,-
Tồn tại y, eVW;, sao cho ƒ;,(y,)=L(z,)— ƒ(z,) (vỡ #;|= L(z¿)~ ƒ(z,) ) Hơn
nữa ( tồn tại y,e 1+ V sao cho
~ xeV VeP
Trang 3330 Khi đú ta cú —F(x)— g(x) <—f(x)— g(x) S~U(x)~ g,(x) < “U92)- 8,02) +5 S| l+g, l*5 và F(x)+g(x)= f(x)+f,(x)+s,(x)Šf(x)* ẫ,(9,)+ (3) =ƒ(x)+L(z,)— ƒ(z,)+ 8,(x)<M(y;)+ 8,(y;)+Ê <|H+ giè+Ê (Trong bất đẳng thức cuối cựng, ta đó sử dụng 2 bất đẳng thức - - ộ > ộ V #x)~fz,)<> vỡ x,z,€W, và 8:(2)— 8i(93) $5 vixy,E z;eV,VeP A V) Do đú |F(x)+g,(x) |< max { + s,||| + s, | Jee
Trương hợp 4 xeV,,., j+l với j = {0,!, ,g} Trường hợp này được chứng minh
tương tự như trường hợp 3
Kết hợp cỏc trường hợp từ 1 đến 4 ta cú
| F(x) + 9,(x) |< max { +g, › utg|}+e VxeK,i=Ln
Do đú
| F+g, |< max { li + s, ; utg|}+e Ă=ln
Bõy giờ ta chứng minh
|F+ứ, > max{\ + g,||,Ju+ g,\} -e i=ln Cố định Ă ={7, ,n} theo cỏch xay dung S ắt tồn tai ze S sao cho
max {—] I(z)+ g,(z) ].(u(z) + g,(z) } = max { li+ sĂl, lu+g, \
Với z đó chọn, xảy ra 2 trường hợp sau
Trường hợp 1 z=z, với j ={p, —1} Khi đú,
Trang 3431
Do đú
max { + 8, | + 8|} =| Ftz,)* 8z) |<|LF + |
Trường hợp 2 z=z, với j ={0,1, ,g} Khi đú tồn tại
yyEV,, VÀ y, EVs, sao cho ƒ(y,)=(z,)=ƒ(z,) và !5;0,)=~ƒ(z,)+U(z,) Ta cú I>F,)+8,(vy)> ƒ(,)*+Ltz,)~ f(z,) >LŒ,)+g,(Zj)—Ê | Fre, Do đú | F+g, |> max { || 1+ g, |u+g, | } 2.2.12 Mệnh dộ Gid sử (I,,u,) và (I,,u,) là 2 sc — cặp, 7, và 7, là 2 dạng ,
trờn C(K) được xỏc định bởi cỏc cặp (l,,u,) và (l,,u;,) nhờ cụng thức (T) trong
mệnh đề 2.2.10 Khi đú, cỏc điều kiện sau tương đương
l)7,=7;;
2)1,=L vau, =u
Chứng minh Hiển nhiờn 2) => 1)
Bõy giờ ta chứng minh 1) =>2) Ta chia ra 2 trường hợp sau
Trường hợp 1: u, # , Khi đú, tồn tại xeK sao cho u,(x) #u,(x) Khong
mất tớnh tổng quỏt cú thể giả thiết „,(x) > „;(x) Khi đú tổn tại Ê >0 sao
cho u,(x)>u,(x)+2e Dat U ={y ceK:u,(y)< u„(x)+ Ê} Vỡ „, nửa liờn tục trờn nờn U là lõn cận của x Theo Bổ để Urysohn tồn tại g; e C(K) với
}-
\|go||=2r sao cho gạ|x„ =0 và gạ =2r, trong đú r = max | || u, | , Uu,
Dat s=max { | |, | ;|7, |} Khi do, voi i = 1,2 ta cú
Trang 3532 | u, +(r+sj)e+g,|| <| u, +(r+s)Ê+ 8, Trong đú ý: K —> với e(x)= ẽ với mọi xeK Do đú với Ă = l, 2 ta cú | , max { | tu, + (r + S)€ + 8, II+r+s)e+s, |}=Í|,+(r+s)e+s || (a) Hơn nữa ta cú | u, +(rt+s)e+g, ||2>r+s+2r+u,(x) | u,+(r+sjet+g, |<r+s+2r+w;(x)+Ê Vỡ m,(x)> w„,(x)+2Ê nờn | u, +(r+sje+ g, I<| Mu, +(r+S)Ê +8; | và do đú max { | u, +(r+s)e+ ứ; |,|| 1, +(r+s)Ê+ , 8 lè ,
<max {| u,+(rt+s)et g, [+(rt+sjet+g, lè-
Bất đẳng thức này mõu thuẫn với (a)
Trường hợp 2 /, #/, Chứng minh tương tự như trường hợp l, ta cũng cú
điều mõu thuẫn
Vay u, =u, val, =1,
Kết hợp ba Mệnh dộ 2.2.10, 2.2.11 va 2.2.12 ta c6 dinh ly sau noi lộn mối quan hệ giữa dạng trờn C(K) và cặp cỏc hàm nửa liờn tục trờn K
Trang 3633
KET LUAN
Luan văn đó đạt được cỏc kết quả chớnh sau đõy:
- Trỡnh bày một cỏch cú hệ thống cỏc vấn đề về cỏc hàm bị chặn, liờn tục, nửa liờn tục, cỏc dạng trờn khụng gian Banach và mối liờn hệ của cỏc
dạng trờn C(K) và cỏc cặp cỏc hàm nửa liờn tục trờn
- Đưa ra cỏc vớ dụ minh hoạ cho một số khỏi niệm như Vớ dụ 1.2.4, Vớ
dụ 2.2.2
- Chứng minh chi tiết một số kết quả mà trong cỏc tài liệu tham khảo
khụng chứng minh như Mệnh đề 1.2.3, Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 2.1.3
Trang 37U1] [2] [3l [4] [5] [6] 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Dau Thộ Cap (2000), Gidi tich ham, Nha xuat ban Giỏo dục
Nguyễn Văn Khuờ, Lờ Mậu Hải và Bựi Tỏc Đắc (2001), Cứ sở lý thuyết
hàm và giải tớch hàm, tập 7, Nhà xuất bản Giỏo dục
M Klimex (1999), Pluripotential Theory, Calerendon
J Iovino (1998), Types on stable Banach spaces, Fudamental Mathematca, (157), 85-95
M Pomper (2004), Types over C(K) spaces, J.Anst Soc 77,17-28 M Pomper (2005), Double-dual types over the Banach space C(K),