Nhóm phép thế nguyên thuỷ giải được

Mở đầu Lớp nhóm giải đợc lớp nhóm giữ vị trí quan trọng, có nhiều ứng dụng không lý thuyết nhóm mà nghành khoa học khác nh lý thuyết Ga Loa, Vật lý, Hoá học Lớp nhóm đợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ sớm, thu đợc nhiều kết tốt Bản thân lý thuyết không ngừng phát triển, bên cạnh lý thuyết nhóm giải đợc trừu tợng, lý thuyết nhóm giải đợc tôpô, lý thuyết nhóm giải đợc tuyến tính phát triển Cho X tập hợp tuỳ ý, tập hợp song ánh X với phép nhân ánh xạ lập thành nhóm, ta gọi nhóm phép kí hiệu S(X) Theo định lí Kelly, nhóm trừu tợng đẳng cấu với nhóm phép Do việc nghiên cứu nhóm phép có ý nghĩa quan trọng nghiên cứu nhóm trừu tợng Chính vậy, luận văn có mục đích nghiên cứu hai lớp nhóm nói Đó nghiên cứu lớp nhóm giải đợc nhóm phép thế, đặc biệt nghiên cứu, mô tả cấu trúc nhóm phép nguyên thuỷ giải đợc Cũng lí mà suốt luận văn đề cập tới khái niệm nhóm không nói ta hiểu nhóm phép Nội dung luận văn gồm hai chơng: Chơng Các kiến thức Trong chơng trình bày số kết mang tính sở nh: nhóm giải đợc, nhóm phép bắc cầu, nhóm phép nguyên thuỷ nhằm phục vụ cho chơng sau Chơng Nhóm phép nguyên thuỷ giải đợc Trọng tâm chơng đồng thời nội dung luận văn: sâu nghiên cứu nhóm phép nguyên thuỷ giải đợc, xét cấu trúc, tính chất Nội dung gồm có: 2.1 Nhóm quy 2.2 Tâm tập nhóm bắc cầu 2.3 Nhóm phép có ớc chuẩn quy 2.4 Nhóm nguyên thuỷ có ớc chuẩn aben 2.5 Nhóm nhóm cộng không gian vectơ 2.6 Nhóm nguyên thuỷ giải đợc nhóm S(X) Luận văn đợc thực hoàn thành trờng Đại học Vinh dói hớng dẫn trực tiếp thầy giáo GS-TS Nguyễn Quốc Thi thầy giáo PGS-TS Lê Quốc Hán Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai thầy, ngời nhiệt tình bảo, giúp đỡ suốt trình làm luận văn Nhân xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới thầy cô tổ Đại số, thầy cô khoa toán, khoa Sau đại học, tập thể lớp Cao học Đại số trờng Đại học Vinh, ngời thân bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả chơng kiến thức Chơng đề cập chủ yếu tới khái niệm bản: nhóm giải đợc, nhóm phép bắc cầu, nhóm nguyên thuỷ, không nguyên thuỷ nhằm mục đích làm sở phục vụ cho chơng sau Chính số khái niệm nêu mà không sâu vào việc chứng minh đợc xem nh biết 1.1 Nhóm giải đợc Định nghĩa 1.1.1 + Giả sử x y hai phần tử nhóm G Ta gọi phần tử xyx-1y-1 hoán tử hai phần tử x,y kí hiệu [x,y] + Nhóm nhóm G sinh hoán tử G đợc gọi đạo nhóm Kí hiệu: { } G' = xyx-1 y-1/x, y G = [ G, G ] Định lý 1.1.2 Nhóm G nhóm G nhóm bất biến với tự đồng cấu G Chứng minh Giả sử xyx-1y-1 G tự đồng cấu nhóm G Tacó : (xyx-1y-1) = (x) (y) (x-1) (y-1) = (x) (y) (x) -1 (y) G Định lý 1.1.3 Cho H ớc chuẩn nhóm G Nhóm thơng G/H nhóm aben H G Chứng minh + Giả sử G/H nhóm aben Khi xH, yH G/H Ta có: xH yH = xyH = yH xH = yxH Từ xyH = yxH suy x-1y-1xyH = H => x-1y-1xy H => G' H + Ngợc lại giả sử G H, ta chứng minh cho G/H aben Ta có: xH.yH.x-1H.y-1H = xyx-1y-1H = H Vì G H suy xH.yH = yH.xH Định lí đợc chứng minh Ta kí hiệu G(i) = [ Gi-1 , Gi-1 ] với G = [ G,G ]; G (2) = [ G,G] Khi dãy nhóm G G G(2) G(n) có đợc dãy đạo nhóm nhóm G Chú ý dãy đạo nhóm G(i) = G(i+1) G(i) = G(j) j i ) Định nghĩa 1.1.4 Nhóm G có dãy đạo nhóm sau số hữu hạn bớc có G(n) = e đợc gọi nhóm giải đợc Ví dụ 1.1.5 a) Mọi nhóm aben nhóm giải đợc Thật vậy: -1 -1 -1 -1 G G = xyx y /x, y G = xy y x /x, y G = e { } { } b) Nhóm ma trận tam giác đặc biệt (ma trận tam giác có phần tử đờng chéo 1) aij ={ i >j i =j nhóm giải đợc Tính chất 1.1.6 a) Nhóm con, nhóm thơng, tích trực tiếp nhóm giải đợc nhóm giải đợc Mở rộng nhóm giải đợc nhóm giải đợc nhóm giải đợc Ta chứng minh tính chất nhóm con, nhóm thơng nhóm giải đợc nhóm giải đợc Thật vậy: + Nếu H nhóm giải đợc nhóm G Khi H G,vì H sinh hoán tử phần tử H G, G sinh hoán tử phần tử G Từ suy H G nhng G(n) = G nhóm giải đợc => H(n) = Tức H nhóm giải đợc + Nếu G/H = Q ; Ta xét ánh xạ đồng cấu tự nhiên G Q , phần tử hoán tử Q ảnh hoán tử G Do suy G' Q' v.v cuối ta có G(n) Q(n) Vậy Q(n) = G(n) = (cũng Q(i) = i < n b) G nhóm giải đợc i> Nhóm G có dãy bất biến hữu hạn G A0 A1 A2 AS = tất nhóm thơng Ai-1/Ai nhóm aben i s ii> Nhóm G có dãy chuẩn hữu hạn G = B0 B1 Bt = , Bi Bi-1 nhóm thơng Bi-1/Bi nhóm aben Chứng minh Nếu G nhóm giải đợc, theo định nghĩa => có dãy đạo nhóm hữu hạn G = G0 G1 G(n) = với Gi-1/Gi nhóm aben tính chất i> ii> đợc thoả mãn Ta chứng minh từ tính chất ii> suy G nhóm giải đợc Nếu: G= B0 B1 Bt = dãy chuẩn có nhóm thơng Bi-1/Bi nhóm aben ( i = 1, t), G/B1 nhóm aben suy B1 G tơng tự Bi-1 Gi-1 => Bi Bi-1 G(i) Bt = => G(t) = => G nhóm giải đợc Chú ý: Dãy nhóm G : G = A0 A1 An = đợc gọi dãy chuẩn Ai Ai-1 ; i = 1, n , Nếu Ai G ta có dãy bất biến 1.2 Nhóm phép Thế Trong mục ta trình bày khái niệm nhóm phép thế, phân tích phép thế, phép liên hợp chứng minh định lý biểu diễn nhóm hữu hạn nhóm phép Định Nghĩa 1.2.1 Cho tập X = { x1, x2, , xn } Mỗi song ánh từ tập X vào đợc gọi phép Nếu ta lấy tập X = { 1,2,3, ,n } phép đợc biểu thị dới dạng sau: n = (n) (1) ( 2) Kí hiệu Sn tập tất phép X = { 1,2, ,n } Khi Sn với phép nhân ánh xạ lập thành nhóm gọi nhóm đối xứng bậc n Nhóm có n! phần tử, phần tử đơn vị phép đồng e e = 2 n n Mỗi nhóm G nhóm đối xứng Sn đợc gọi nhóm phép bậc n Ngoài ta có kết : phép viết đợc dới dạng tích vòng xích độc lập Mỗi vòng xích viết đợc dới dạng tích phép chuyển trí Cấp vòng xích độ dài vòng xích Cấp phép bội chung nhỏ độ dài vòng xích độc lập phân tích phép Xét tập X bất kỳ, tập S(X) song ánh tập X với phép nhân ánh xạ lập thành nhóm Nhóm nhóm S(X) đợc gọi nhóm phép Định nghĩa 1.2.2 + Giả sử hai phép nhóm phép G Chúng đợc gọi liên hợp G tồn phép G cho : = -1 + Hai nhóm phép G1 , G2 đợc gọi liên hợp với tồn phép cho : G2 = -1G1 Nhận xét: Quan hệ liên hợp quan hệ tơng đơng Mệnh đề 1.2.3 Hai phép viết đợc dới dạng tích vòng xích độc lập liên hợp với có số vòng xích nh vòng xích tơng ứng có độ dài(Theo [1]) Định nghĩa 1.2.4 Một ánh xạ đồng cấu nhóm G hữu hạn vào nhóm phép đợc gọi biểu diễn nhóm G nhóm phép Nếu ánh xạ đơn cấu đợc gọi biểu diễn thật Định lý 1.2.5 Một nhóm G cấp n biểu diễn thật nhóm phép cấp n Chứng minh: Giả sử G nhóm hữu hạn cấp n với đơn vị e Với phần tử a thuộc G, Ta xây dựng ánh xạ a a : G G x xa Khi a song ánh Thật vậy: + a đơn ánh giả sử a(x) = a(y) => xa =ya Vì G nhóm => x=y + a toàn ánh y G, tồn x = ya-1 cho : a(x) = a(ya-1) = ya-1a = y Xét ánh xạ : G a Sn a Khi đồng cấu Thật vậy: Với (a) = a ; (b) = b ; (ab) = ab x G ab(x) = xab = (xa)b = b(xa) = bb(x) => ab = ab đơn ánh với a,b G, a b a(e) = ea = a b(e) = eb = b a => a b => đơn ánh Vậy đơn cấu Từ suy G = (G) Vì với a G => a song ánh G => (G) nhóm phép bậc n Biểu diễn đợc gọi biểu diễn quy phải Tơng tự ta có bểu diễn quy bên trái cách xây dựng song ánh g đặt : : G G x gx G X(G) g g Khi ta có (G) G Còn (G) phản đẳng cấu với G 1.3 Nhóm phép bắc cầu Định nghĩa 1.3.1 Nhóm phép G ký hiệu X = {x1, x2, ,xn } đợc gọi nhóm bắc cầu tập X thoả mãn hai điều kiện: i i>Với xi X , g G tồn xj X cho g(xi) = xj ii ii>Nếu xi, xj X tồn g G để g(xi) = xj Nếu hai điều kiện không thoả mãn G đợc gọi nhóm không bắc cầu Nhận xét 1.3.2 Giả sử G nhóm phép tập X, ta đa vào X quan hệ hai R nh sau: x, y X ; xRy G tồn phép g để g(x) = y Khi R quan hệ tơng đơng ta có chia lớp X = X ( I) Ta có G bắc cầu tập X - gọi quỹ đạo nhóm G Định nghĩa 1.3.3 Giả sử G1,G2 nhóm phép tập X ta nói chúng có kiểu quỹ đạo tồn song ánh s: X X chuyển quỹ đạo G1 lên quỹ đạo G2 Ví dụ: G1 = = { e,(1,2)} S3 G1không bắc cầu có quỹ đạo X1 ={1,2 } ; X2 = {3} G2 = = {e,(2,3)} G2 không bắc cầu có quỹ đạo X1 ={2,3 } ; X2 = {1} Khi dễ thấy song ánh s = (1,3) S3 chuyển quỹ đạo G1 lên quỹ đạo cuả G2 vì: s(X1) = s({1,2}) = {2,3} = X1 s(X2) = s({3}) = {1} = X2 Vậy G1, G2 có kiểu quỹ đạo Định lí 1.3.4 Các nhóm S(X) có kiểu quỹ đạo liên hợp với ngợc lại Chứng minh: Trớc hết ta chứng minh tính chất : Nếu X = X ( I ),là chia lớp X thành quỹ đạo G X = S(X) ( I ) chia lớp X thành quỹ đạo sGs-1.Thật vậy: s(X) s(X) = , , I s(X) s(X) x s(X) S(X) => x s(X) => s-1(x) X x s(X) => s-1(x) X s-1(x) X X = điều mâu thuẫn Giả sử x,y s(X) xRy thật vậy: x,y s(X) => tồn x1, y1 X cho s(x1) = x, s(y1) = y Vì x1, y1 X => tồn g G để g(x1) = y1 => sgs-1(x) = sgs-1[s(x1)] = sg(x1) = s(y1) = y => = sgs-1(x) sGs-1 để (x) = y Vậy s(X) I chia lớp X thành quỹ đạo sGs-1 Giả sử G1, G2, ,có kiểu quỹ đạo => s S(X) cho s chuyển quỹ đạo G1 lên quỹ đạo G2 , có nghĩa X = X ( I) quỹ đạo G1 X = X ( I) quỹ đạo G2 Mặt khác theo chứng minh X = s(X) , I chia lớp sGs-1 Từ ta có: G2 = s G1s-1 tức G1 liên hợp với G2 Ngợc lại giả sử G1, G2 hai nhóm S(X) liên hợp với nhau, suy tồn s S(X) để G2 = s G1s-1 => Nếu X = X ( I) quỹ đạo G1 ta có: s G1s-1 (s(X)) = s G1(X) = s(X) => s(X) quỹ đạo G2 = s G1s-1 => Tồn song ánh s chuyển quỹ đạo G lên quỹ đạo G2 Vậy G1 G2 có kiểu quỹ đạo Định nghĩa 1.3.5 Cho G nhóm phép X, kí hiệu a X cố định Ta kí hiệu: 10 Chứng minh Điều kiện i> đợc suy từ định lí 2.2.1 Vì H nhóm bắc cầu C suy C bắc cầu H = B = C X phân lớp theo quỹ đạo H ii> đNếu H không bắc cầu X = I ợc suy trực tiếp từ định lí 2.2.1 Định lí 2.2.4 Giả sử G nhóm bắc cầu S(X) biểu diễn đợc dới dạng G =HF H nhóm bất biến không bắc cầu thuộc chuẩn tập F phần tử H giao hoán với phần tử F [H, F] = e Nếu X = X phân lớp X theo quỹ đạo H và: I r : H S(X) , với r(h) = h X Khi biểu diễn r tơng đơng với Chứng minh Vì H nhóm bất biến không bắc cầu G G nhóm X phân lớp bắc cầu suy G nhóm nguyên thuỷ phân lớp X = I nguyên thuỷ Giả sử , I F có phép f để f(X) = X Đặt: = f X rõ ràng : X X song ánh với x X , h H ta có: r (h)[( x )] = r (h) = f (x ) = hf (x ) = = fh (x) = f h (x ) = (r (h)( x )) Vậy: r (h) = r (h) => r (h) = r (h)-1 Từ suy r tơng đơng với r Hệ Nếu phép f giao hoán với phần tử nhóm bắc cầu B phân tích f vòng xích độc lập vòng xích có độ dài 20 2.3 Nhóm phép có ớc chuẩn quy Trong 2.1 ta xét nhóm phép quy, mục ta tìm điều kiện nhóm có ớc chuẩn quy Để xét trờng hợp đó, trớc hết ta xét chuẩn tập nhóm quy Giả sử F nhóm quy S(X) NS(F) chuẩn tập F S(X) , F NS(F) Vì F nhóm quy nên tồn phép + để < X , +> đẳng cấu với F ((2)- 2.1 ) Ta kí hiệu đơn vị nhóm < X , +> N0 nhóm ổn định điểm NS(F) Định lí 2.3.1 Giả sử F nhóm quy S(X) ; NS(F) chuẩn tập F S(X) ; N0 nhóm ổn định điểm NS(F), đó; i> Chuẩn tập NS(F) = F.N0 ii> N0 đẳng cấu với nhóm tự đẳng cấu < X , +> iii> Đối với tự đẳng cấu F, tồn g0 N0 cho: (f) = g0 f g 01 , f F Chứng minh: Điều kiện i> đợc suy từ định lí nhóm ổn định Ta chứng minh ii> Giả sử g0 N0 , a,b < X , +> Theo 2.1 chơng ta có: g0(a) = g0fa(0) = g0fag (0) = fc(0) = c Vì F ớc chuẩn NS(F) chứa N0, ta có: g0(b) = g0fb(0) = g0fb g 01 (0) = fd(0) = d Với fc = g0fag ; fd = g0fbg Ta có: g0(a+b) = g0( fafb)(0) = g0( fafb) g 01 (0) = fc fd(0) = = c + d = g0(a) + g0(b) Vậy g0 Aut< X , +> 21 Ngợc lại giả sử Aut< X , +>, đơn vị < X , +> => (0) = Ta có (a) = fa(0) = fa-1(0) = b = b(0) Ta chứng minh x < X , +> fa-1(x) = fb(x) Đặt (y) = x với y X fa-1(x) = fa (y) = fafy(0) = [a + y] = = (a) + (y) = b + x = fb (x) (Do (1)) Vậy fa-1 = fb , f F Với thuộc Aut< X , +> => N0.Vậy N0 Aut< X , +> Ta chứng minh iii>.Vì (0) = => N0 Vậy (fx) = f(x) => fx-1(0) = (x) = f(x)(0) Do f(x) fx-1 phần tử nhóm quy F nên suy (fx) = fx-1 định lí đợc chứng minh Từ định lí kết hợp G NS(X)(G) ta có hệ quả: Hệ 2.3.2 Giả sử G nhóm phép chứa ớc chuẩn quy F F < X , +> Khi : i> G = G0.F ; F G0 = Với G0 nhóm ổn định < X , +> G ii> G0 nhóm nhóm Aut< X , + Định nghĩa 2.3.3 Giả sử A nhóm , Aut(A) nhóm tự đẳng cấu A, nhóm H Aut(A) 22 +Nhóm B A đợc gọi H-nhóm B bất biến nhóm H Tức h H h(B) = B + Nhóm H Aut(A) đợc gọi bất khả quy có hai nhóm A A H-nhóm + Nhóm G đợc gọi đặc trng nguyên tố G nhóm đặc trng thực (Nhóm bất biến với Aut(G)) Định lí 2.3.4 Nhóm phép G S(X) chứa ớc chuẩn quy F nhóm nguyên thuỷ G0 nhóm bất khả quy Aut< X , +> Trong trờng hợp đặc biệt, chuẩn tập NG(F) nhóm quy F nhóm nguyên thuỷ F nhóm đặc trng nguyên tố (G0 nhóm ổn định G ) Chứng minh: Theo hệ 2.3.2 G = F.G 0; Giả sử G0 nguyên thuỷ, theo quy tắc không nguyên thuỷ, nhóm G có nhóm U U G Đặt F1 = U F F1 F1 F Đối với g G0 gUg-1 = U g G0 gF1g-1 = F1 Giả sử -1 : F < X, + > biểu diễn ngợc (xét 2.1 chơng 2): Ta đặt X1 = -1(F1) ta chứng minh X1 G0- nhóm < X, + > Với x1 X1 , g G0 ta có : g(X1) = gfX1(0) = gfX1g-1(0) Ta đặt F1= (X1) rõ ràng e F F Với y X1 , g G0 ta có gfyg-1(0) = = gfy(0) =g(y) = y1 X Vậy gfyg-1 = fy1 (X1) = F1 hay: gF1g-1 = F1 F1G0 nhóm G Ta có G0 F1G0 G G0 nhóm không nguyên thuỷ Hệ 2.3.5 Giả sử G nhóm phép có ớc chuẩn quy F, G0 nhóm ổn định G H nhóm Aut(F) H = { h Aut(F) h(f) = gfg-1 ; g G ; f F} Khi nhóm G nguyên thuỷ H nhóm bất khả quy Aut(F) 23 2.4 Nhóm nguyên thuỷ có ớc chuẩn aben Trong nhóm giải đợc tồn ớc chuẩn aben ớc chuẩn aben giữ vị trí quan trọng nhóm giải đợc, nghiên cứu ớc chuẩn aben cần thiết Định lí 2.4.1 Giả sử F nhóm aben S(X) N S(F ) chuẩn tâp F, nhóm nguyên thuỷ A, B NS(F) chứa F A0, B0, N0 nhóm ổn định A, B, N tơng ứng điểm X Khi nhóm A B liên hợp S(X) A0, B0 liên hợp N0 Chứng minh Theo tính chất nhóm nguyên thuỷ, A, B nguyên thuỷ nên suy F nhóm bắc cầu Vì F giao hoán => F nhóm quy, theo định lí 2.3.1 , N =N 0F; A = FA0 ; B = FB0 Giả sử A0 B0 liên hợp tức tồn phần tử v N0 để vA0v-1 =B0 => vAv-1 = vFA0v-1 = vFv-1 vA0v-1 = FB0 (do F ớc chuẩn) A B liên hợp Ngợc lại A B liên hợp S(X) r S(X) để rAr-1 = B Khi vFv-1 ớcchuẩn aben B Vì F ớc chuẩn A => vFv-1 = F theo định lí 2.3.1 => r NS(F) r = vf với v N0 , f F Do rAr-1 = vAv-1 =F.B0 ổn định nhóm vAv-1 điểm trùng với vAv-1 Vậy B0 = vA0v-1 hay A0 B0 liên hợp Định lí 2.4.2 Giả sử G hai nhóm nguyên thuỷ S(X) cho chúng có ớc chuẩn aben khác Khi có ánh xạ đẳng cấu : G ánh xạ liên hợp Chứng minh: Giả sử e ớc chuẩn aben , e F ớc chuẩn aben của G Vì G hai nhóm nguyên thuỷ F hai nhóm aben Khi theo định lí 2.3.1 F hai nhóm quy = ; G = G0 24 Với G0 hai nhóm ổn định G điểm X : Giả sử G ánh xạ đẳng cấu, suy () ớc chuẩn aben G theo định lí 2.3.5 ta có () = F có phép t cho tt-1 = F Đặt A = tt-1 , A nhóm nguyên thuỷ đẳng cấu với theo định lí 2.3.1: A = A0F, A0 nhóm ổn định A : A G đẳng cấu từ định lí 2.3.1 => (F) = F F tự đẳng cấu F Giả sử NS(F) chuẩn tập F S(X) Khi N = N 0Fvới N0 nhóm ổn định N X Theo định lí 2.3.1 N có phép d cho f F (t) = dfd-1 Xây dựng ánh xạ đẳng cấu : A (A) x (x) = d-1(x)d Nhờ cách chọn dF để hạn chế dF đơn vị vủa Aut(F) Đối với f F , a A Ta có afa-1 F => (a)f-1(a) = afa-1 Vậy với f F a-1-(a)f = fa-1(a) Từ hệ 2.3.5 => a-1 (a) f (a) = af1 , f1 F (A) = (A0F)= A0F = A Mặt khác (A) = d-1 (A)d = d-1G d Vậy tGt-1 = A = d-1G d Định lí đợc chứng minh 25 2.5 Nhóm nhóm cộng không gian vectơ Trong mục ta nghiên cứu số tính chất nhóm cộng không gian vectơ trờng nguyên tố Định lí 2.5.1 Nhóm cộng không gian tuyến tính trờng số nguyên tố có nhóm aben đặc trng nguyên tố Chứng minh Giả sử A nhóm cộng aben đặc trng nguyên tố, rõ ràng hạng tử khác e có cấp số nguyên tố p A nhóm phi xoắn Trờng hợp đầu A nhóm cộng không gian tuyến tính trừơng GL(P) chứa p phần tử Trờng hợp sau, A phi xoắn phơng trình mx = na với a,b số nguyên có nghiệm, m>0 x = na nghiệm Tính trực m tiếp ta có A với phép nhân số hữu tỉ A nhóm cộng Mặt khác nhóm tuyến tính GL(V) (Tập phép biến đổi tuyến tính không suy biến trờng V ) nhóm bắc cầu Vậy nhóm cộng không gian tuyến tính đặc trng nguyên tố Rõ ràng nhóm aben đặc trng nguyên tố khi đẳng cấu với nhóm cộng trờng Định lí 2.5.2 Giả sử V không gian tuyến tính trờng nguyên tố Khi nhóm cộng A không gian V có Aut(A) trùng với GL(V) Chứng minh Đặt GL(V) = { g: V V } với x, y V , Ta có g(x+y) g(x) + g(y) ; g( a) = g(a) Vậy GL(V) Aut(A) Ngợc lại x A ; ; Aut(A) 26 Nếu trờng nguyên tố đặc trng nguyên tố x = lx với l số nguyên phụ thuộc Vậy: ( x) = (lx) = l(x) = (x) Từ suy GL(V) Giả sử trờng nguyên tố đặc trng ( tức trờng số hữu tỉ ) Khi với , = K Đặt x = y kx = ly l (kx) = (ly) => k(x) = l(y) Vậy (y) = (x) => (x) = (x) Với GL(V) 27 2.6 Nhóm nguyên thuỷ giải đợc nhóm S(X) Phần ta mô tả nhóm nguyên thuỷ giải đợc dựa vào kết đợc nghiên cứu phần trớc, cụ thể ta chứng minh định lí cấu trúc nhóm nguyên thuỷ giải đợc liên hệ lớp nhóm với nhóm xét phần trớc Đây nội dung luận văn Định lí 2.6.1 Giả sử G nhóm phép nguyên thuỷ giải đợc nhóm S(X) Khi đó: i> Nhóm G có ớc chuẩn aben F đẳng cấu với nhóm cộng không gian tuyến tính V trờng nguyên tố gồm tất phép tịnh tiến f a cho fa(x) = a + x với a,x V ; fa F ii> Nhóm G = G0F ; G0 F =< e> với e đơn vị G , G nhóm ổn định điểm < X,+ > G iii> Nhóm G0 GL(V) nhóm bất khả quy Aut Chứng minh Vì G nhóm phép giải đợc nên G có dãy đạo nhóm: G G G(n-1) G(n) = Trong ta đặt G(n-1) = F F Thì F ớc chuẩn aben G Vì G nhóm nguyên thuỷ nên theo định lí ớc chuẩn nhóm nguyên thuỷ ta có F phải bắc cầu Mặt khác theo định lí 2.3.3 F nhóm quy đặc trng nguyên tố Kết hợp với định lí 2.5.1 ta có G nhóm có ớc chuẩn aben F đẳng cấu với nhóm cộng không gian tuyến tính V gồm tất phép tịnh tiến fa V thoả mãn fa(x) = x + a với x,a V, fa F Vậy i> đợc chứng minh + Theo định lí 2.3.2 ta có: G =G0F ; G F = e G0 nhóm ổn định kí hiệu G Vậy điều kiện ii> đợc chứng minh + Điều kiện iii> hệ định lí 2.5.2 ; 2.3.1 2.3.2 Bây ta tìm cách mô tả chi tiết nhóm nguyên thuỷ giải đợc S(X) qua nhóm nhóm mà ta đề cập tới 28 Giả sử : U = { A I } lớp nhóm aben đặc trng nguyên tố A Ord(A) = X Với A , ta xây dựng nhóm (Theo (1) -2.1 chơng 2) để đẳng cấu với A biểu diễn qui : S(X) Đặt F =Im Giả sử Q lớp tất nhóm giải đợc bất khả quy G đôi không liên hợp với Aut Theo định lí 2.3.1 Aut đợc chứa chuẩn tập F nên F ớc chuẩn G = G0 F (*) với G0 Q G nhóm (F G, G0 nhóm con) Giả sử M lớp tất nhóm có dạng (*) Ta đặt M = M , I (**) Định lí 2.6.2 Với M = M , M lớp tất nhóm có dạng (*).Khi đó: i> Mỗi nhóm M nhóm nguyên thuỷ giải đợc S(X) ii> Bất kì nhóm nguyên thuỷ giải đợc S(X) liên hợp với nhóm lớp M Chứng minh: Giả sử G M ( theo (*) G = F G0 với G0 Q ) G0 nhóm giải đợc theo giả thiết, F nhóm aben Vậy G nhóm giải đợc, theo định lí 2.3.3 G nhóm nguyên thuỷ G0 nhóm bất khả qui Aut Vậy i> đợc chứng minh Ta chứng minh ii> Trớc hết ta chứng minh hai nhóm B C M không liên hợp S(X) Nhờ (*) (**) ta có B = H F , C = G F với H Q, G Q F F theo định lí liên hợp 2.4.1 B C liên hợp với suy F F liên hợp với nhau, B C không liên hợp với S(X) Nếu = nhóm H G theo cách xây dựng Q không liên hợp với Aut Do theo định lí 2.6.1 nhóm B C không 29 liên hợp S(X) Ta chứng minh nhóm nguyên thuỷ giải đợc S(X) liên hợp S(X) với nhóm M Theo định lí 2.6.1: G = G0 F với F nhóm qui aben S(X) G nhóm giải đợc bất khả quy Aut Theo cách xây dựng lớp M chứa nhóm A F Vậy với số I, , nhờ định lí 2.1.2 chơng ta suy S(X) có phép u để cho u : ánh xạ đẳng cấu F = uFu-1 Nếu N0 = Aut uN0u-1 = Aut .Khi uGu-1 = uG0u-1 uFu-1 = uG0u-1.F Aut Khi nhóm uG0u-1 giải đợc bất khả quy Aut Vậy uG0u-1 liên hợp với nhóm Q Aut Khi theo định lí 2.4.1 nhóm uGu-1 liên hợp S(X) với nhóm M lớp M Ta có hệ Hệ Nếu hai nhóm nguyên thuỷ giải đợc đẳng cấu với chúng liên hợp với S(X) Định lí 2.6.3 Nếu X= n ta kí hiệu S(X) = Sn nhóm đối xứng Nhóm G giải đợc nguyên thuỷ nhóm Sn n = pr , với p số nguyên tố Chứng minh Giả sử G nhóm nguyên thuỷ giải đợc nhóm Sn ,theo định lí 2.6.1 2.6.2, G có ớc chuẩn aben cấp m F nhóm cộng không gian tuyến tính V trờng nguyên tố Vậy = GL(P) , nên m = pr, ngợc lại X= n = pr ta lấy tập X = GL(P) Khi nhóm tất phép g ,à : ;g,à(x) = x + : x, , với tạo thành nhóm nguyên thuỷ giải đợc Sn Ví dụ 2.6.4 (Về nhóm nguyên thuỷ giải đợc nhóm Sn) 1) Xét nhóm A3 = {( 123)}, A'3 = e = F 30 Ta thấy A0 giử nguyên chỗ đơn vị .Vậy A3 = {( 123)} = F A0 2) Xét S3 , có S3' = A3 = {(123)} S3 A3 aben , (S3)0 = {(12)}giữ nguyên chỗ kí hiệu nhóm S3.(A3 F) Vậy S3 = A3 {(12)},(A3 F) 3) Xét nhóm A4 Ta có A'4 = {(12)(34), (13)(24), (14)(23),e } ớc chuẩn aben A4 (A4)0 giữ nguyên chỗ kí hiệu nhóm A3 Vậy A4 = A'4 A3 4) Xét nhóm S4 có S'4 = A4 S"4 = A'4 = {(12)(34), (13)(24), (14)(23),e } S4 giữ nguyên chỗ kí hiệu S3 Vậy S4 = A'4 S3 31 Kết luận Luận văn mô tả đợc cấu trúc nhóm phép nguyên thuỷ giải đợc Kết chứng minh hai định lí : Định lí Giả sử G nhóm phép nguyên thuỷ giải đợc nhóm S(X) Khi đó: Nhóm G = G0F ; G0 F =< e> với e đơn vị G , G0 nhóm ổn G X, G(n-1) = F Kí hiệu U = { A I } lớp nhóm aben đặc trng nguyên tố A Ord(A) = X F ảnh biểu diễn quy phải A S(X) Q lớp tất nhóm giải đợc bất khả quy G đôi không liên hợp với Aut(F) M lớp nhóm có dạng F G0 , với G0 nhóm ổn định G S(X) Định lí i> Mỗi nhóm M nhóm nguyên thuỷ giải đợc S(X) ii> Bất kì nhóm nguyên thuỷ giải đợc S(X) liên hợp với nhóm lớp M 32 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Quốc Thi, Một số lớp nhóm bản, Đại học Vinh 1998 [2] Lê Quốc Hán ,Giáo trình nhóm Tôpô, Đại học Vinh 1998 [3] Lê Quốc Hán, Sự liên hợp nhóm xilôp nhóm giải đợc địa phơng với hữu hạn thành phần liên thông, Tập san khoa học - ĐHSP Huế 1996 [4] A.Kuros, Lý thuyết nhóm, Mos 1968 [5] M Xoll, Lý thuyết nhóm, Mos 1962 [6] GP Javrik,Nhóm ma trận giải đợc, DANBSSR 11 (1967) trang 1873- 1877 [4] LBDIEKSON, Nhóm tuyến tính, Leipzik 1951 [5] A-I Mansev, Cơ sở đại tuyến tính, NAUK 1970 [6] D-A supronhenko, Nhóm phép giải đợc, Math SBJ 18 No (1967) trang 331-350 [7] JPSERR, Biểu diễn tuyến tính nhóm hữu hạn, Mir 1970 [8] Nguyễn Quốc Thi, Một số lớp nhóm bản, Đại học Vinh 1998 [9] Lê Quốc Hán ,Giáo trình nhóm Tôpô, Đại học Vinh 1998 [10] Lê Quốc Hán, Sự liên hợp nhóm xilôp nhóm giải đợc địa phơng với hữu hạn thành phần liên thông, Tập san khoa học - ĐHSP Huế 1996 [11] Borel A, Nhóm đại số tuyến tính, An.Math 64 No 1(1956) 20-82 [12] I.D IvankiuTa,p- nhóm xilốp nhóm đối xứng,YKR Math J 15-No 3(1963)1149-1158 33 Mục lục Trang Mở đầu Chơng Các kiến thức 1.1 Nhóm giải đợc 1.2 Nhóm phép 1.3 Nhóm phép bắc cầu 1.4 Nhóm phép nguyên thuỷ Chơng Nhóm phép nguyên thuỷ giải đợc 2.1 Nhóm quy 2.2 Tâm tập nhóm bắc cầu 2.3 Nhóm phép có ớc chuẩn quy 2.4 Nhóm nguyên thuỷ có ớc chuẩn aben 2.5 Nhóm nhóm cộng không gian vectơ 2.6 Nhóm nguyên thuỷ giải đợc nhóm S(X) Kết luận Tài liệu tham khảo 34 3 13 16 16 18 21 24 26 28 32 33 [...]... A, Nhóm đại số tuyến tính, An.Math 64 No 1(1956) 20-82 [12] I.D IvankiuTa,p- nhóm con xilốp của nhóm đối xứng,YKR Math J 15-No 3(1963)1149-1158 33 Mục lục Trang Mở đầu Chơng 1 Các kiến thức cơ bản 1.1 Nhóm giải đợc 1.2 Nhóm phép thế 1.3 Nhóm phép thế bắc cầu 1.4 Nhóm phép thế nguyên thuỷ Chơng 2 Nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc 2.1 Nhóm chính quy 2.2 Tâm tập của nhóm bắc cầu 2.3 Nhóm các phép thế. .. con ổn định là nhóm con cực đại 15 Chơng 2 Nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc Mục đích của chơng này là mô tả cấu trúc của của nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc Để làm đợc điều đó , ta nghiên cứu tính chất của một số nhóm con đặc biệt của nhóm S(X) ( Nhóm nhân các song ánh của tập X ) Các tính chất đó không những có liên quan tới việc nghiên cứu nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc mà còn... biết đặc điểm của một số nhóm ( nhóm con đặc biệt của S(X) ) nh : nhóm con chính quy, tâm tập của một nhóm bắc cầu, nhóm các phép thế có ớc chuẩn là nhóm chính quy, nhóm các phép thế có ớc chuẩn là nhóm aben 2.1 Nhóm chính quy Định nghĩa 2.1.1 Nhóm phép thế G đợc gọi là nhóm chính quy nếu G là nhóm bắc cầu và nhóm con ổn định của G bằng đơn vị e G Định lí 2.1.2 Bất kì một nhóm chính quy của S(X) là... quả 1.4.4 + ớc chuẩn khác {e} của nhóm nguyên thuỷ là nhóm bắc cầu + ớc chuẩn aben H {e} của nhóm nguyên thuỷ là nhóm đặc trng nguyên tố Định lý 1.4.5 Nhóm bắc cầu nguyên thuỷ khi và chỉ khi nhóm con ổn định của nó là nhóm con cực đại Chứng minh Giả sử G là nhóm phép thế bắc cầu của tập X, a X Ga là nhóm con ổn định của a trong G Giả sử G a không cực đại tức là nhóm con U sao cho Ga U G; Ta chia... của nhóm nguyên thuỷ giải đợc và liên hệ lớp nhóm này với các nhóm đã xét ở phần trớc Đây là nội dung chính của luận văn Định lí 2.6.1 Giả sử G là nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc của nhóm S(X) Khi đó: i> Nhóm G có ớc chuẩn aben F đẳng cấu với nhóm cộng của không gian tuyến tính V nào đó trên trờng nguyên tố và gồm tất cả các phép tịnh tiến f a sao cho fa(x) = a + x với a,x V ; fa F ii> Nhóm. .. 31 Kết luận Luận văn đã mô tả đợc cấu trúc của nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc Kết quả chính là chứng minh hai định lí : Định lí 1 Giả sử G là nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc của nhóm S(X) Khi đó: Nhóm G = G0F ; G0 F =< e> với e là đơn vị trong G , G0 là nhóm ổn của G trên X, G(n-1) = F Kí hiệu U = { A I } là lớp các nhóm aben đặc trng nguyên tố A để cho Ord(A) = X F là ảnh của biểu... Hệ quả Nếu hai nhóm con nguyên thuỷ giải đợc đẳng cấu với nhau thì chúng sẽ liên hợp với nhau trong S(X) Định lí 2.6.3 Nếu X= n khi đó ta kí hiệu S(X) = Sn là nhóm đối xứng Nhóm con G giải đợc nguyên thuỷ của nhóm Sn khi và chỉ khi n = pr , với p là số nguyên tố Chứng minh Giả sử G là nhóm nguyên thuỷ giải đợc của nhóm Sn ,theo định lí 2.6.1 và 2.6.2, G có ớc chuẩn aben cấp m và F là nhóm cộng của không... chuẩn chính quy F là nhóm nguyên thuỷ khi và chỉ khi G0 là nhóm con bất khả quy của Aut< X , +> Trong trờng hợp đặc biệt, chuẩn tập NG(F) của nhóm chính quy F là nhóm nguyên thuỷ khi và chỉ khi F là nhóm đặc trng nguyên tố (G0 là nhóm con ổn định của G tại 0 ) Chứng minh: Theo hệ quả 2.3.2 G = F.G 0; Giả sử G0 nguyên thuỷ, khi đó theo quy tắc không nguyên thuỷ, nhóm G sẽ có một nhóm con U để cho U G... một nhóm (F G, G0 là nhóm con) Giả sử M là lớp tất cả các nhóm có dạng (*) Ta đặt M = M , I (**) Định lí 2.6.2 Với M = M , M là lớp tất cả các nhóm có dạng (*).Khi đó: i> Mỗi nhóm của M là nhóm nguyên thuỷ giải đợc của S(X) ii> Bất kì một nhóm con nguyên thuỷ giải đợc của S(X) cũng liên hợp với một và chỉ một nhóm trong lớp M Chứng minh: Giả sử G M ( khi đó theo (*) G = F G0 với G0 Q ) G0 là nhóm. .. đợc do mỗi phép thế là một song ánh nên tất cả các X cùng lực lợng Từ đó ta có hệ quả: Hệ quả 1.4.2 + Nhóm bắc cầu bậc nguyên tố là nhóm nguyên thuỷ + Nhóm bắc cầu bội hai là nhóm nguyên thuỷ Chứng minh: Giả sử G là nhóm bắc cầu bậc p là số nguyên tố Khi đó nếu G không nguyên thuỷ => ta chia đợc X = X , I , trong đó các X có cùng lực lợng => X X mà X >1 => X là ớc khác 1 của số nguyên tố p = X ... đợc 1.2 Nhóm phép 1.3 Nhóm phép bắc cầu 1.4 Nhóm phép nguyên thuỷ Chơng Nhóm phép nguyên thuỷ giải đợc 2.1 Nhóm quy 2.2 Tâm tập nhóm bắc cầu 2.3 Nhóm phép có ớc chuẩn quy 2.4 Nhóm nguyên thuỷ có... {e} nhóm nguyên thuỷ nhóm bắc cầu + ớc chuẩn aben H {e} nhóm nguyên thuỷ nhóm đặc trng nguyên tố Định lý 1.4.5 Nhóm bắc cầu nguyên thuỷ nhóm ổn định nhóm cực đại Chứng minh Giả sử G nhóm phép. .. i =j nhóm giải đợc Tính chất 1.1.6 a) Nhóm con, nhóm thơng, tích trực tiếp nhóm giải đợc nhóm giải đợc Mở rộng nhóm giải đợc nhóm giải đợc nhóm giải đợc Ta chứng minh tính chất nhóm con, nhóm