Trong mục này ta nghiên cứu một số tính chất của nhóm cộng của không gian vectơ trên trờng nguyên tố.
Định lí 2.5.1 Nhóm cộng của không gian tuyến tính trên trờng số nguyên tố và chỉ có nó là nhóm aben đặc trng nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử A là nhóm cộng aben đặc trng nguyên tố, rõ ràng các hạng tử khác e của nó có cấp là một số nguyên tố p hoặc A là nhóm phi xoắn. Trờng hợp đầu A là nhóm cộng của không gian tuyến tính trên trừơng GL(P) chứa p phần tử.
Trờng hợp sau, A phi xoắn khi đó phơng trình mx = na với a,b là số
nguyên có duy nhất một nghiệm, nếu m>0 khi đó
m na
x= là nghiệm. Tính trực tiếp ta có A với phép nhân số hữu tỉ thì A là nhóm cộng.
Mặt khác nhóm tuyến tính GL(V) (Tập mọi phép biến đổi tuyến tính không suy biến trên trờng V ) là nhóm bắc cầu. Vậy nhóm cộng của không gian tuyến tính là đặc trng nguyên tố.
Rõ ràng nhóm aben đặc trng nguyên tố khi chỉ khi nó đẳng cấu với một nhóm cộng của một trờng nào đó.
Định lí 2.5.2
Giả sử V là không gian tuyến tính trên trờng nguyên tố ∆ . Khi đó nhóm cộng A của không gian V có Aut(A) trùng với GL(V).
Chứng minh. Đặt GL(V) = { g: V → V } với x, y ∈ V , λ∈∆ . Ta có g(x+y) g(x) + g(y) ;
g( λa) = λ g(a)
Nếu ∆ là trờng nguyên tố đặc trng nguyên tố thì λx = lx với l là số nguyên phụ thuộc λ .
Vậy: ϕ(λ x) = ϕ(lx) = lϕ(x) = λϕ(x). Từ đó suy ra λ∈ GL(V). Giả sử ∆ là trờng nguyên tố đặc trng 0 ( tức trờng số hữu tỉ ). Khi đó với λ≠ 0 , λ l K = Đặt λx = y thì kx = ly. ϕ(kx) = ϕ(ly) => kϕ(x) = lϕ(y). Vậy ϕ(y) = λϕ(x). => ϕ(λx) = λϕ(x). Với λ∈ GL(V).